函数2019高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题02函数的图象与函数的应用练习理20190313296(数理化网)

02 函数的图象与函数的应用

1

∴y=.

答案▶ A

2.函数f(x)=log2x零点所在的区间为( ) .

A. 0

C. (1,2) D. (2,3)

解析▶ 函数f(x)的定义域为(0, +∞) ,且函数f(x)在(0, +∞)上为增函数.∵f,f(1)=log21,f(2)=log22f(3)=log23

∴f(1) ·f(2)<0,

∴函数f(x)=log2x.

答案▶ C

3.已知函数f(x)=的取值范围是( ) .

A. [-1,0) B. (1,2]

C. (1, +∞) D. (2, +∞)

解析▶ 当x≤2时,由-x2+4x=0,得x=0;

当x>2时,令f(x)=l og2x-a=0,得x=2a.

又函数f(x)有两个不同的零点,

∴2a>2,解得a>1,故选C.

答案▶ C

4.某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产,第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加3万元,该设备每年生产的收入均为21万元,设该设备使用了n(n∈N*)年后,盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本) ,则n等于( ) .

A.6 B.7

C.8 D.7或8

解析▶ 盈利总额为21n-9-2+

由于对称轴为直线n=461,所以当n=7时,盈利总额取最大值,故选B.

答案▶ B

【例1】 函数y=sin x+ln|x|在区间[-3,3]上的图象大致为( ) .

解析▶ 设f(x)=sin x+ln|x|,

当x>0时

当x∈(0, 1)时,f' (x)>0,即函数f(x)在(0, 1)上为单调递增函数,排除B;

当x=1时,f(1)=sin 1>0,排除D;

因为f(-x)=sin(-x)+ln|-x|=-sinx+ln|x|,所以f(-x)≠±f(x) ,所以函数f(x)为非奇非偶函数,排除C.故选A.

答案▶ A

【例2】 函数y=sin x(1+cos 2x)在区间[-2,2]上的图象大致为( ) .

解析▶ 函数y=sin x(1+cos 2x)的定义域为[-2,2] ,其关于原点对称,且f(-x)=sin(-x) (1+cos 2x)=-sin x(1+cos 2x)=-f(x) ,则f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除D;

当0<x<1时,y=sin x(1+cos 2x)=2sin xcos2x>0,排除C;

又2sin xcos.

答案▶ B

函数图象的辨识主要从以下几个方面入手: (1)函数图象的对称性; (2)函数图象的单调性; (3)特殊点.

1.函数f(x)=的图象大致是( ) .

解析▶ 当x≥0时,f(x)=2x-1,根据指数函数g(x)=2x的图象向下平移一个单位,即可得到函数f(x)的图象.

当x<0时,f(x)=-x2-2x,根据二次函数的图象与性质,可得到相应的图象.

综上,函数f(x)的图象为选项D中的图象.

答案▶ D

2.函数f(x)图象大致是( ) .

解析▶ 因为f(-x)其图象不关于y轴对称,所以可排除B,C.代入x=2,得f(x)<0,可排除A.故选D.

答案▶ D

【例3】 已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1) ,且f(x)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-loga (x+2)有4个零点,则实数a的取值范围是( ) .

A. (1,5) B. (1,5]

C. (5, +∞) D. [5, +∞)

解析▶ 由题意可知函数f(x)是周期为2的偶函数,结合当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,绘制函数图象如图所示,

函数g(x)有4个零点,则函数f(x)与函数y=l o ga (x+2)的图象在区间[-1,3]内有4个交点,结合函数图象可得, loga (3+2)≤1,解得a≥5,即实数a的取值范围是[5, +∞) .

答案▶ D

【例4】 定义在R上的奇函数f(x) ,当x≥0时,f(x)=的函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为( ) .

A.2a-1 B. 1-2-a

C.-log2 (1+a) D. log2 (1-a)

解析▶ 当x≥0时,f(x)=

又f(x)是奇函数,画出函数f(x)的图象,

由函数f(x)图象和F(x)=0⇒f(x)=a(0<a<1) ,可知F(x)有五个零点,其中有两个零点关于直线x=-3对称,还有两个零点关于直线x=3对称,所以这四个零点的和为零,第五个零点是直线x=a与函数y=,故选C.

答案▶ C

函数零点的求解与判断方法: (1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点. (2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a) ·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. (3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画出这两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.

1.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x) ,当x∈[0, 1]时,f(x)=-2x+1,设函数g(x)=的图象所有交点的横坐标之和为( ) .

A.2 B.4 C.6 D.8

解析▶ 因为f(x+1)=-f(x)对称,作图可得四个交点的横坐标关于直线x=1对称,其和为2×2=4,故选B.

答案▶ B

2.函数f(x)=的取值范围是( ) .

A. [0, +∞) B. [0, 1]

C. (-1,0] D. [-1, +∞)

解析▶ 设t=f(x) ,则a=f(t) ,在同一坐标系内作y=a与y=f(t)的图象(如图) ,

当a≥-1时,两个图象有两个交点,设交点的横坐标分别为t1, t2,且t1<-1, t2≥-1.

当t1<-1时, t1=f(x)有一个解;当t2≥-1时, t2=f(x)有两个解.

综上可知,当a≥-1时,g(x)=f(f(x) )-a有三个不同的零点.故选D.

答案▶ D

【例5】 某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是( ) . (参考数据: lg 1. 12≈0.05, lg

1.3≈0. 11, lg 2≈0.30)

A.2020年 B.2021年

C.2022年 D.2023年

解析▶ 若2018年是第1年,则第n年科研经费为1300×1. 12n.由1300×1. 12n>2000,可得lg 1.3+nlg 1. 12>lg 2,得n×0.05>0. 19,n>3.8,n≥4,即4年后,到2021年科研经费超过2000万元,故选B.

答案▶ B

与实际应用相结合的问题题型是高考命题的一个方向,解决此类问题的一般程序:.

在标准状况下,人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位:mol/L,记作c(H+) )和氢氧根离子的物质的量浓度(单位:mol/L,记作c(OH-) )的乘积等于常数10-14.已知pH的定义为pH=-lgc(H+) ,健康人体血液的pH保持在7.35可以为( ) . (参考数据: lg 2≈0.30, lg 3≈0.48)

A.

解析▶ ∵cH(+) · cO H(-)=10-14,

∴.

∵7.35<-lgc(H+)<7.45,

∴10-7 45<c(H+)<10-7 35,

∴10

∵0.7>lg 3>lg 2.

答案▶ C

一、选择题

1.已知方程x2-3x+1=0的两个根为x1,x2,则21 · 22=( ) .

A.3 B.6 C.8 D.2

解析▶ 由题意得

答案▶ C

2.函数f(x)=2x+2x的零点所在的区间是( ) .

A. [-2, -1] B. [-1,0]

C. [0, 1] D. [1,2]

解析▶ 因为f(x)是增函数且f(-2)=2-2+2×(-2)<0,f(-1)=2-1+2×(-1)<0,f(0)=20+0>0,所以由零点存在性定理知,函数f(x)的零点在[-1,0]内,故选B.

答案▶ B

3.函数f(x)=ln(|x|-1)+x的大致图象为( ) .

解析▶ 由题意知, |x|-1>0,则x>1或x<-1.当x>1时,f(x)=ln(x-1)+x为单调递增函数,排除B,C;当x=-2时,f(-2)=ln(|-2|-1)-2=-2<0,排除D.故选A.

答案▶ A

4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(32a-1)≥f(-3) ,则a的最大值是( ) .

A. 1 B.

解析▶ 由题意可知, -3≤32a-1≤3,解得a≤.

答案▶ D

5.已知f(x)=e|x-1 |,设a=f的大小关系是( ) .

A.a>b>c B. c>a>b

C.b>a>c D. c>b>a

解析▶ f(x)e=|x-1|的图象关于直线x=1对称,且f(x)在(1, +∞)上单调递增,又1,

∴f) ,

又f

∴f.

答案▶ B

6.设函数f(x)=的取值范围为( ) .

A. [1,2] B. [0,2]

C. [1, +∞) D. [2, +∞)

解析▶ ∵f(x)=的最小值.

由二次函数性质可得a≥1,

由分段函数性质得(1-a) 2-1≤ln 1,

解得0≤a≤2.

综上,a的取值范围为[1,2] ,故选A.

答案▶ A

7.已知函数f(x)=的取值范围是( ) .

A. 0+∞

C. 0

解析▶ 在同一坐标系内画出y=f(x) ,y=mx+m在(-1, 1]上的图象,

动直线y=mx+m过定点(-1,0) ,观察图象可知,当0<m≤21时,两图象有两个不同的交点,从而方程f(x)-mx-m=0有两个不同的实根,故选D.

答案▶ D

8.已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定:当|f(x) |≥g(x)时,h(x)=|f(x) |;当|f(x) |<g(x)时,h(x)=-g(x) .则h(x) ( ) .

A.有最小值-1,最大值1

B.有最大值1,无最小值

C.有最小值-1,无最大值

D.有最大值-1,无最小值

解析▶ 画出y=|f(x) |=|2x-1|与y=g(x)=1-x2的图象,它们交于A,B两点.观察图象,在点A左侧,点B右侧(含A,B两点) , |f(x) |≥g(x) ,故h(x)=|f(x) |;在A,B之

间, |f(x) |<g(x) ,故h(x)=-g(x) .

综上可知,y=h(x)的图象是图中的实线部分,因此h(x)有最小值-1,无最大值,故选C.

答案▶ C

9.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数) ,若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是( )小时.

A.22 B.23 C.33 D.24

解析▶ 由题意可得,当x=0时,y=192,当x=22时,y=48.

将其代入

即有e11

则当x=33时

答案▶ D

二、填空题

10.若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数,且其图象过点(2,4) ,则函数g(x)=l o ga (x+m)的单调递增区间为 .

解析▶ 由题设知m=-1,所以f(x)=xa,

又2a=4,所以a=2,

故g(x)=log2 (x-1) ,其单调递增区间为(1, +∞) .

答案▶ (1, +∞)

11.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中, t min后甲桶剩余的水量符合函数f(t)=aent(n为常数) .假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min后甲桶中的水只有4��升,则m的值为 .

解析▶ 因为5 min后甲桶和乙桶的水量相等,

所以函数f(t)=aen,

因此当kmin后甲桶中的水只有,解得k=10,所以m=k-5=5.

答案▶ 5

三、解答题

12.已知函数f(x)=的取值范围.