03 导数及其应用
1.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程为x-y+2=0,则f(1)+f' (1)=( ) .
A. 1 B.2
C.3 D.4
解析▶ 由条件知(1,f(1) )在直线x-y+2=0上,且f' (1)=1,∴f(1)+f' (1)=3+1=4,故选
D.
答案▶ D
2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7 a在x=1处取得极大值10,则��的值为( ) .
A.
C.-2或
解析▶ 由题意知f' (x)=3 x2+2 ax+b,
则f' (1)=0,f(1)=10,
即
解得
经检验.
答案▶ A
3.对于R上可导的任意函数f(x) ,若满,则必有( ) .
A.f(0)+f(2)>2f(1)
B.f(0)+f(2)≤2f(1)
C.f(0)+f(2)<2f(1)
D.f(0)+f(2)≥2f(1)
解析▶ 当x<1时,f' (x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x>1时,f' (x)>0,此时函数f(x)单调递增.即当x=1时,函数f(x)取得极小值同时也取得最小值f(1) .所以f(0)>f(1) ,f(2)>f(1) ,则f(0)+f(2)>2f(1) .故选A.
答案▶ A
4.若函数y=的取值范围是 .
解析▶ y'=-应有两个不等实根,Δ=4a>0,故a的取值范围是(0, +∞) .
答案▶ (0, +∞)
【例1】 (1)已知曲线f(x)的值为( ) .
A.
(2)曲线f(x)=x2+ln x在点(1,f(1) )处的切线方程为 .
解析▶ (1)对函数f(x)
因为曲线f(x),
所以f' (1).
(2)因为f' (x)=2x
所以曲线f(x)在点(1,f(1) )处的切线斜率为f' (1)=2+1=3.
因为f(1)=1,
所以切线方程为y-1=3(x-1) ,
即3x-y-2=0.
答案▶ (1)D (2)3x-y-2=0
1.求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法: (1)已知切点P(x0,y0) ,求y=f(x)过点P的切线方程:先求出切线的斜率f' (x0) ,由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率k,求y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0) ,通过方程k=f' (x0)解得x0,再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点) ,求y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0) ,利用导数求得切线斜率f' (x0) ,然后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.
2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数:已知过某点的切线方程(斜率)或其与某直线平行、垂直,利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解.
1.设曲线y=ex在点(0, 1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为 .
解析▶ ∵函数ye=x的导函数为y'e=x,
∴曲线y=ex在点(0, 1)处的切线的斜率k1=e0=1.
设P的坐标为(x0,y0) (x0>0) ,
∵函数y
∴曲线y
由题意知k1k2=-1,即1 · -,
又x0>0,∴x0=1.
∵点P在曲线y,
故点P的坐标为(1, 1) .
答案▶ (1, 1)
2.已知曲线y=x+lnx在点(1, 1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .
解析▶ (法一)令f(x)=x+lnx,求导得f' (x)=1.
又f(1)=1,∴曲线y=x+lnx在点(1, 1)处的切线方程为y-1=2(x-1) ,即y=2x-1.
设直线y=2 x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切的切点为P(x0,y0) ,
则当x=x0时.
又a02+(a+2)x0+1=2 x0-1,即a02+ax0+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,
∴x0=.
(法二)求出曲线y=x+lnx在点(1, 1)处的切线方程为y=2x-1.
,
∴Δ=a2-8a=0,∴a=8或a=0(显然不成立) .
答案▶ 8
【例2】 (1)函数f(x)=x2lnx的单调递减区间为( ) .
A+∞
(2)若函数f(x)=lnx+ax2-2在的取值范围是( ) .
A. (-∞+∞
C. -2+∞)
解析▶ (1)函数f(x)的定义域为(0, +∞) ,
由题意得f' (x)=2xln x+x=x(2ln x+1) ,
令f
所以函数f(x)的单调递减区间为0,.
故选D.
(2)由题意得f' (x)
若f(x)在内存在单调递增区间,
则f.
又g(x)=.答案▶ (1)D (2)D
利用导数研究函数的单调性: (1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f' (x)>0,f' (x)<0的解集,求单调区间应遵循定义域优先的原则; (2)含参函数的单调性要分类讨论,通过确定导数的符号判断函数的单调性; (3)注意两种表述“函数f(x)在(a,b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a,b)”的区别.
1.已知函数f(x)的取值范围为 .
解析▶ ∵f(x)
∴f) .
∵函数f(x)在[1, +∞)上为增函数,
∴f' (x), +∞)恒成立,
∴ax-1≥0对任意的x∈[1, +∞)恒成立,
即a≥.
答案▶ [1, +∞)
2.已知函数f(x)
(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间.
(2)是否存在实数a,使函数g(x)=f(x)-ax在(0, +∞)上单调递增?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
解析▶ (1)当a=-1时
则f' (
=(-1) (-2) .
当0<x<1或x>2时,f' (x)>0,f(x)单调递增;当1<x<2时,f' (x)<0,f(x)单调递减.
∴f(x)的单调递增区间为(0, 1) , (2, +∞) ,单调递减区间为(1,2) .
(2)假设存在实数a,使函数g(x)=f(x)-ax在(0, +∞)上单调递增,
∴g' (x)=f' (x)-a=x恒成立.
即
∴x2-2x-2a≥0对任意的x∈(0, +∞)恒成立,
∴a≤+∞) )恒成立.
又φ(x),
∴当a≤恒成立.
又当a=
故当a∈-∞,-, +∞)上单调递增.
【例3】 若x=3是函数f(x)=(x2+a x+1)ex的极值点,则f(x)的极大值等于( ) .
A.-1 B.3 C.-2e3 D.6e-1
解析▶ ∵函数f(x)=(x2+ax+1 e)x,
∴f' (x)=[x2+(2+a)x+a+1]ex.
∵x=3是函数f(x)=(x2+a x+1)ex的极值点,
∴f' (3)=0,解得a=-4,
故f' (x)=(x2-2x-3)ex,
∴当x=-1时,f(x)取得极大值,极大值为f(-1)=6e-1 .故选D.
答案▶ D
【例4】 已知函数f(x)=ax2+(1-2a)x-lnx.
(1)当a>0时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当a<0时,求函数f(x)在上的最小值.
解析▶ (1)由函数f(x)=ax2+(1-2 a)x-l n令f' (x)>0
∴x-1>0,得x>1,
∴f(x)的单调递增区间为(1, +∞) .
(2)由(1)可得f' (
已知a<0,令f.
①当上是减函数,
∴f(x)在.
②当时,
若x∈.
因此f(x)在上是增函数,
∴f(x)的最小值为f-.
③当上是增函数,
∴f(x)的最小值为f.
综上,函数f(x)在上的最小值为f(x)
利用导数研究函数极值、最值的方法: (1)若求极值,则先求方程f' (x)=0的根,再检查f' (x)在方程根的左右两边函数值的符号. (2)若已知极值大小或存在情况,则将问题转化为已知方程f' (x)=0根的大小或存在情况来求解. (3)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a) ,f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值. (4)研究函数的极值或最值时应注意的问题:①利用导数研究函数的极值和最值时,应先考虑函数的定义域;②导数值为0的点不一定是函数的极值点,它是函数在该点取得极值的必要不充分条件.
已知f(x)=lnx
(1)求f(x)的单调区间和极值;
(2)若对任意x>0,均有x(2ln a-lnx)≤a恒成立,求正数a的取值范围.
解析▶ (1)f+∞) .
①若a≤0,则f' (x)>0,f(x)在(0, +∞)上单调递增,无极值.
②若a>0,当x∈(0,a)时,f' (x)<0,f(x)在(0,a)上单调递减;
当x∈(a, +∞)时,f' (x)>0,f(x)在(a, +∞)上单调递增.
故f(x)在(0, +∞)有极小值,无极大值,f(x)的极小值为f(a)=lna+1.
(2)若对任意x>0,均有x(2ln a-lnx)≤a恒成立,
则对任意x>0,均有2ln a≤恒成立,
由(1)可知f(x)的最小值为lna+1,
故问题转化为2ln a≤lna+1,即lna≤1,解得0<a≤e,故正数a的取值范围是(0,e] .
一、选择题
1.曲线f(x)=2x-ex在点(0,f(0) )处的切线方程是( ) .
A.x+y+1=0 B.x-y+1=0
C.x+y-1=0 D.x-y-1=0
解析▶ 由题意得f' (x)=2e-x,f' (0)=1,f(0)=-1,
故切线方程为x-y-1=0.故选D.
答案▶ D
2.已知函数f(x)=x+sinx,若a=f(3) ,b=f(2) , c=f(log26) ,则a,b, c的大小关系是( ) .
A.a<b<c B. c<b<a
C.b<a<c D.b<c<a
解析▶ 因为f' (x)=1+cos x≥0,
所以函数f(x)为定义域上的增函数,
而2<log26<3,所以b<c<a.故选D.
答案▶ D
3.函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是( ) .
A.0 B. 1
C.2 D.3
解析▶ 函数f(x)的定义域为(0
令g(x)=6x2-2x+1,因为方程6x2-2x+1=0的判别式Δ=-20<0,所以g(x)>0恒成立,
故f' (x)>0恒成立,即f(x)在定义域上单调递增,无极值点.故选A.
答案▶ A
4.如图,可导函数y=f(x)的图象在点P(x0,f(x0) )处的切线为l:y=g(x) ,设h(x)=f(x)-g(x) ,则下列说法正确的是( ) .
A.h' (x0)=0,x=x0是h(x)的极大值点
B.h' (x0)=0,x=x0是h(x)的极小值点
C.h' (x0)=0,x=x0不是h(x)的极值点
D.h' (x0)≠0
解析▶ 由题设有g(x)=f' (x0) (x-x0)+f(x0) ,
故h(x)=f(x)-f' (x0) (x-x0)-f(x0) ,
所以h' (x)=f' (x)-f' (x0) .
因为h' (x0)=f' (x0)-f' (x0)=0,
又当x<x0时,有h' (x)<0,当x>x0时,有h' (x)>0,
所以x=x0是h(x)的极小值点,故选B.
答案▶ B
5.若函数f(x)=2 x3-3 mx2+6x在区间(2, +∞)上为增函数,则实数m的取值范围为( ) .
A. (-∞,2) B. (-∞,2]
C
解析▶ ∵f' (x)=6x2-6mx+6,当x∈(2, +∞)时,f' (x)≥0恒成立,即x2-mx+1≥0恒成立,∴m≤x, +∞)上单调递增.
答案▶ D
6.设函数f(x)=lnx+ax2的极小值为( ) .
A. ln 2-2 B. ln 2-1
