实数的定义实数的概念是什么，实数包括0吗？

什么是实数？实数的概念是什么

有理数和无理数。

其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。

实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。

本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。

实数的概念是什么，实数包括0吗

实数包括0。

实数，是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。

但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。

实数和虚数共同构成复数。

0是介于-1和1之间的整数，是最小的自然数，也是有理数。

0既不是正数也不是负数，而是正数和负数的分界点。

扩展资料： 一、实数的运算 实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。

实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。

任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。

二、数字0的相关性质 1、0是最小的自然数。

2、0不是奇数，而是偶数（一个非正非负的特殊偶数）。

3、0不是质数，也不是合数 4、0在多位数中起占位作用，如108中的0表示十位上没有，切不可写作18。

5、0不可作为多位数的最高位。

不过有些编号中需要前面用0补全位数。

参考资料来源：百度百科－实数 参考资料来源：百度百科-0

实数的含义

包括有理数和无理数。

其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。

数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。

本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。

数学含义 基本概念 　　实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。

有理数可以分成整数和分数，而整数可以分为正整数、零和负整数。

分数可以分为正分数和负分数。

无理数可以分为正无理数和负无理数。

实数集合通常用字母 R 或 R^n 表示人任意图。

而 同一天一句话R^n 表示 n 为实数空间。

实数是不可数的。

实数是实分析的核心研究对象。

　　 实数可以用来测量连续的量。

理论上，任何实数人瑞日语都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。

在实际运用中，实数额头业态已经很讨厌冬天过后常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数）。

在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

　　 ①相反数（只有符号不同的两个数，我们就说其中人热瑜伽日语一个是另一个的相反数） 实数a的相反数是-a 　　 ②绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离） 实数a的绝对值是： 　　|a|= ①a为正数时，|a|=a 　　②a为0时， |a|=0 　　③a为负数时，|a|=-a 　　(任何数的绝对值都大于或等于0。

) 　　 ③倒数 （两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数） 实数a的倒数是：1/a （a≠0） 　　 4 数轴 （1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。

（2）数轴上的点与实数一一对应。

相关定义 　　从有理数构造实数 　　 实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。

实数可以不同方式从有理数构造出来。

这里给出其中一种，其他方法请详见实数的构造。

　　 公理的方法 　　设 R 是所有实数的集合，则： 　　集合 R 是一个域： 可哦空军航空图库亏看 人家以作加、减、乘、除运算，且有如交yet一句话他也同意后额头以后额头有换律，结合律等常见性质。

　　域 R 是个有序额头哦以后哦 额头以后域，即存在全序关系 ≥ ，对所有实数 x, y 和 z： 　　若 x 鄂尔泰≥ y 则 x + z ≥ y + 太阳 z太阳花儿童用户； 　　若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0。

好太阳花太阳花脱氧核糖 　　集合 R 满足戴德金儿童额头有何特意哦完备性，即任意 R 的非特意和额头有空子集 S ( S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 内有上界，那么 S 在 R 内有上确界。

　　 最后一条是区分实数和有理数的关键。

例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5；但是不存在有理数上确界（因为 √2 不是有理数）。

　　 实数通过上述性质唯一确定。

更准确的说，给定任意两个戴德金完备 儿童 的有序域 R1 和 R2，存在从 R1 到 R2 的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。

相关性质 基本运算 　　实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数）还可以进行开方运算。

实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。

任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。

完备性 　　作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质： 　　 所有实数的柯西序列都有一个实数极限。

　　 有理数集合就不是完备空间。

例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。

实际上，它有个实数极限 √2。

实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。

　　 极限的存在是微积分的基础。

实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。

“完备的有序域” 　　实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。

　　 首先，有序域可以是完备格。

然而，很容易发现没有有序域会是完备格。

这是由于有序域没有最大元素（对任意元素 z，z + 1 将更大）。

所以，这里的“完备”不是完备格的意思。

　　 另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。

上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。

这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。

　　 这两个完备性的概念都忽略了域的结构。

然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。

上述完备性中所述的只是一个特例。

（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。

）当然，R 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。

实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。

可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。

这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。

　　 “完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。

他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。

这样 R 是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。

这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。

高级性质 　　实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。

这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。

实际上，实数集的势为 2ω（请参见连续统的势），即自然数集的幂集的势。

由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。

实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。

该假设不能被证明是否正确，这是因为它和集合论的公理不相关。

　　所有非负实数的平方根属于 R，但这对负数不成立。

这表明 R 上的序是由其代数结构确定的。

而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于 R。

这两个性质使 R成为实封闭域的最主要的实例。

证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。

　　实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。

　　 实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。

不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. L?wenheim-Skolem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. 超实数的集合远远大于 R，但也同样满足和 R 一样的一阶逻辑命题。

满足和 R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为 R 的非标准模型。

这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在 R 中证明要简单一些），从而确定这些命题在 R 中也成立。

拓扑性质 　　实数集构成一个度量空间：x 和 y 间的距离定为绝对值 |x - y|。

作为一个全序集，它也具有序拓扑。

这里，从度量和序关系得到的拓扑相同。

实数集又是 1 维的可缩空间（所以也是连通空间）、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。

但实数集不是紧致空间。

这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。

以下是实数的拓扑性质总览： 　　令 a 为一实数。

a 的邻域是实数集中一个包括一段含有 a 的线段的子集。

　　R 是可分空间。

　　Q 在 R 中处处稠密。

　　R的开集是开区间的联集。

　　R的紧子集是有界闭集。

特别是：所有含端点的有限线段都是紧子集。

　　每个R中的有界序列都有收敛子序列。

　　R是连通且单连通的。

　　R中的连通子集是线段、射线与R本身。

由此性质可迅速导出中间值定理。

实数的概念是什么，实数包括0吗？

实数的概念：包括有理数和无理数。

其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。

实数包括0。

实数可以用来测量连续的量。

理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。

在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数）。

在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

由于有理数和无理数都有正负之分，如果按正负概念为标准，实数又可分类为 实数、正实数、正有理数、正无理数、零、负实数、负有理数、负无理数。