转子稳定空间

第32卷第3期2002年5月东南大学学报(自然科学版)JOURNALOFSOUTHEASTUNIVERSITY(NaturalScienceEdition)Vol32No3May2002非线性转子动力学问题研究综述高张新江张勇(东南大学国家火电机组振动工程研究中心,南京210096)(江苏核电集团,连云港222000)摘要:针对转子动力学中的非线性振动问题,综述了近年来国内外在该领域的主要研究成果和发展前景.
首先,对转子动力学中非线性振动的类型及旋转机械设计方法的现状进行了分析,阐述了进行旋转机械非线性转子动力学研究的必要性.
其次,综述了现代非线性动力学的理论分析方法及其在大型旋转机械应用方面、尤其是在转子轴承系统非线性振动方面近期国内外研究工作的主要成果和进展.
最后,对今后非线性转子动力学研究的趋势进行了说明和展望.
关键词:转子动力学;非线性振动;分叉;混沌中图分类号:TH133.
3文献标识码:A文章编号:1001-0505(2002)03044309ReviewofnonlinearrotordynamicsGaoWei1ZhangXinjiang1ZhangYong2(1NationalEngineeringResearchCenterofTurboGeneratorVibration,SoutheastUniversity,Nanjing210096,China)(2JiangsuNuclearPowerCorporation,Lianyungang222000,China)Abstract:Thepresentstatusandtheprospectofnonlinearvibrationprobleminrotordynamicsissummarizedanddiscussed.
Thetypesofthenonlinearvibrationofrotordynamicsandthedesignmethodofrotatingmachineryareanalyzedandtheessentialityofthestudyisexpatiated.
Besides,therecentmainachievementanddevelopmentathomeandabroadaboutthenonlineardynamicsanditsapplicationtolargerotatingmachinery,especiallyintherotorbearingsystemsaresummarized.
Atlast,thetrendofthisresearchfieldisanalyzed.
Keywords:rotordynamics;nonlinearvibration;bifurcation;chaos收稿日期:20010930.
作者简介:高(1932—),男,教授,博士生导师.
由于旋转机械系统中各种异常振动的存在,常常引发灾难性的事故,其原因很难用线性理论来解释,人们逐渐认识到必须用非线性动力学理论来分析.
非线性动力学理论的应用非常广泛:如大型汽轮发电机组的低频振动分量及其失稳条件(油膜涡动及油膜振荡);转子裂纹的在线诊断问题;流固耦合激起结构的颤振;汽门机构的振动问题等.
应用非线性动力学理论研究转子系统的非线性动力学行为成为非线性转子动力学的主要研究内容[1,2].
非线性系统具有与线性系统许多不同的性质,主要表现在:恢复力为非线性时,系统的固有频率与振幅的大小有关[3],而线性系统固有频率与振幅没有关系;非线性系统的强迫振动会出现跳跃现象和滞后现象,对于强非线性系统,当激振力大小不变,缓慢地增加激振力的频率,其强迫振动的振幅将逐渐加大,直至某一点,振幅突然下降,即发生一次降幅跳跃,此后若继续增加激振力的频率,振幅将逐渐减小,反之,从高频开始逐步减小频率,振幅将逐渐增大,直至某一点,振幅突然增大,发生一次增幅跳跃,但激振力的频率在增大和减小过程中产生跳跃点的位置不同,正过程跳跃在前,逆过程跳跃在后,这就是滞后现象[4];在非线性系统中,由简谐干扰力引起的强迫振动,不仅有与干扰力周期相同的振动,而且有等于干扰力周期整倍数周期的振动,因此对于一个单自由度非线性系统作用一个简谐干扰力,可能出现多种共振状态;除非在很强的限定条件下[5],叠加原理通常不在适用;混沌运动的产生和消失等.
经典转子动力学研究转子轴承系统大多采用基于线性转子动力学理论,例如传统转子动力学对转子轴承系统稳定性问题的研究,一般采用8个线性化的刚度与阻尼特性系数的油膜力模型.
随着转子转速的升高和重量的增加,对于大型旋转机械中存在的油膜力、密封力、不均匀蒸汽间隙力等严重的非线性激励源,由于数学模型不够完善,以致系统中存在的许多由非线性因素引起的多种复杂动力学行为尚没有彻底搞清,不能满足现代工程设计的需要,迫切需要建立转子轴承系统的非线性动力学理论,揭示系统存在的各种非线性动力学行为,提出转子轴承系统的非线性动力学设计方法,分析研究旋转机械中存在的各种实际问题,这对提高旋转机械运行的稳定性、安全性、可靠性具有重要的现实意义和实际工程背景.
如何保证转子系统在非线性激励下仍具有良好的动力学性态,需要在非线性动力学理论的基础上,研究转子动力学中的非线性振动问题,分析解决各种实际问题.
本文将转子系统中的非线性振动问题进行了分类和简单解释,并对发展趋势进行了展望.
1国内外研究现状转子系统在广泛的参数范围内中运行,在稳态响应中也会出现次谐波、拟周期以及混沌运动,下面将从几个方面进行综述.
1.
1非线性振动问题的现代分析方法由于各种转子系统振动的非线性微分方程类型的多样性,因此目前无法找到一种普适方法,只能在不同的方程中采用不同的分析方法.
可以用于所有的研究具有确定性系数的弱非线性动力系统周期解的经典研究方法有:摄动法(小参数法),平均法(KB法),KBM法(渐近法),多尺度法等[6,7];研究单自由度强非线性动力系统的渐近解的方法有:广义的平均法,区域平均法,椭圆函数法,时间变换法,参数展开法,频闪法,增量谐波平衡法等[8];研究多自由度系统的研究方法:改进的平均法,多频摄动法,以及各种方法的综合运用等[9];研究参数激励的非线性动力系统的响应、分叉和混沌问题的常用方法:平均法,多尺度法,广义谐波平衡法,以及LS法,奇异性理论,中心流形理论,范式理论,幂级数法,数值计算法[10,11]等.
从目前已经发表的专著和文献来看,许多学者对含有参数激励的非线性动力学问题给予了极大的重视,并做出了许多开拓性的工作.
文献[12]用平均法和摄动法研究了Mathieu振子的周期解,得到了该振子周期解的解析表达式,并用数值方法加以验证;陈予恕等研究了该类方程的任意mn分数共振的分叉情况,发现除了主参数共振情况外,其他共振情况下,参数平面上只能存在Hopf分叉,通过对分叉方程的分析得到了2种拓扑结构的分叉响应曲线,而后用实验验证了所得结论[13,14];文献[15]研究了该类方程的全局分叉,用多尺度法给出了VanderPolDuffing振子在参数激励与外部激励联合作用下的主亚谐联合共振条件,用Melnikov方法研究了与之对应的平均系统的同、异宿轨道相交的条件,证明了原系统的振幅与相位存在类随机运动,并结合数值结果给出由概周期运动通向混沌的2种方式.
文献[16,17]利用LS方法和Zn等变奇异性理论研究了参数激励下非线性系统的次谐分叉问题、对称周期的次谐分叉以及这些理论在MathieuDuffing方程的应用,得到了多种次谐分叉模式和对称破缺分叉等,得到分岔转迁集和混沌的可能途径;文献[18]研究了参数激励下具有中心对称性的非线性动力系统,所得结果表明如果这类系统有混沌吸引子,则该吸引子具有中心对称性.
张伟等用改进的LP方法确定了具有参数激励的广义VanderPol型强非线性振子的变换系数,用多尺度法求出了分叉响应方程,并利用奇异性理论方法研究了双参数激励自激联合作用下非线性动力系统在主共振情况时的响应和分叉,并研究了参数激励作用下广义VanderPol振子的分叉,用多尺度法研究了这个系统在主参数共振时周期解的分叉,发现阻尼的类型对于分叉图和分叉解的形式有很大影响[19~21].
对于含参数激励的具有二次和三次非线性项的单自由度系统,在基本参数共振情况下的响应、分叉和混沌运动,国外的学者进行了大量的研究工作,他们利用多尺度法研究了该类方程的局部分叉,数值方法研究了单势阱和双势阱情况下的大振幅的响应,揭示系统出现的倍周期分叉、倒分叉和混沌等动力学行为[22,23],并进一步研究了系统在主参数共振和基本参数共振情况下的分叉和混沌动力学,给出了2种共振情况下的分形流域图,发现有3个吸引子共存,周期吸引子和混沌吸引子共存,并且分形边界具有Cantor集结构[24].
他们还发现2次非线性项的影响是使非线性频率漂移并且在功率谱上产生第2个谐波分量[25];对于参数激励与自激联合作用下的非线性系统的动力学问题,在研究系统动力响应的同时,解决了在12亚谐共振区域里的动态行为、在13亚谐和2倍超谐共振区域里的动力学行为以及三次非线性项的影响[26];除此之外他们还对非线性参数激励系统的周期解的稳定性问题[27],参数激励与自激联合作用下具有非对称444东南大学学报(自然科学版)第32卷性的非线性系统在12亚谐共振时的动力学问题[28],以及参数激励与自激联合作用下具有干摩擦的非线性系统的动力学问题[29,30]进行了详细的研究和讨论.
1980年C.
S.
Hsu在点映射法的基础上提出了胞映射法,胞映射法是一种动力系统全局分析的数值计算方法.
最近几年有了很大的发展,如B.
Tombuyses等提出的连续胞映射法(ContinuousCelltoCellMapping)[31].
文献[32]将Poincaré映射的思想与胞映射法相结合,提出了可用于高维非线性动力系统全局稳定性分析的新型数值方法———PCM(PoincareCellMapping)法,并应用此方法对平衡转子轴承非线性动力系统进行了全局分析,给出了一确定状态空间中存在周期解及其吸引域;文献[33]在Poincare映射及胞映射法的基础上,提出了一种非线性动力系统全局分析的新方法———变胞胞映射法(APCM)法,此法改变了原胞映射法中胞在胞空间分布的不合理性及运算逻辑的不合理性,更适用高维大求解域非线性动力系统的求解,应用此方法对具有非线性油膜力的平衡Jeffcot转子轴承系统进行了全局分析,绘制了系统分叉后的全局吸引域图.
文献[34]将点映射法的精确性和胞映射法的高效率结合起来,准确的搜索出动力系统中的周期运动.
文献[35]通过引入Poincare映射的思想,给出了用于高维非线性周期非线性动力系统全局特性分析的基于Poincaré映射的胞映射法方法.
1.
2非线性转子动力学的研究1.
2.
1具有非线性油膜力的刚性Jeffcott转子轴承系统的非线性动力学分析刚性Jeffcott转子轴承系统由于其较少的自由度、忽略陀螺力矩的影响而易于分析研究,因此,近几年来在非线性转子动力学中成为被研究最多的一种模型.
1991年,Ehrich详细分析了航空燃气轮机中的混沌运动现象[36];Brown等对该类转子系统在混沌运动时的关联维数进行了估算[37].
文献[38,39]对同一刚性Jeffcott刚性转子模型用谐波平衡法及龙格库塔法进行了研究,给出了稳定域及该类系统发生混沌运动时偏心量的条件,并用实验加以验证,与实验结果相比,混沌区域要比计算结果前移;同年,我国学者也对该类的问题进行了研究,陈予恕[40~43]用Floquet理论及数值方法对该类转子系统进行了分叉研究,得到了分叉转迁集,对该系统的非线性振动方程,在其临界点处利用中心流形定理对系统进行简化处理后,求得了中心流形上流的方程,在12亚谐共振情况通过平均法得到其平均方程后,根据奇异性理论对其进行了普适开析,从而得到了十种分叉模式;同时在其临界点处对12亚谐共振情况的周期振动、调幅和调相振动以及同宿、异宿轨道的分叉性态进行了研究,给出了控制系统稳定运行的结构参数区域,为大型复杂转子系统的油膜失稳控制提供了某些理论依据;袁小阳等以长轴承模型为例,基于Hopf分岔定性理论和周期系统Floquet理论,针对流固耦合系统力函数计算特点,并考虑系统规模大小对算法的不同要求,提出了一套新的转子轴承系统Hopf分岔分析计算方法.
这套方法主要包括自激周期解计算的边值方法、周期解稳定性判别算法、周期解预测校正延续算法、自激振动的稳定裕度准则等,可以有效地确定转子轴承系统Hopf分岔临界点及分岔方向,研究分岔解的发展、变化,包括研究实践中关注的"跳跃"、"迟滞"等典型非线性现象[44].
刘恒提出一种对非线性不平衡转子轴承系统周期解进行预测的新型算法,它利用系统周期解的稳态及瞬态信息,反解雅可比矩阵,实现对系统周期解的预测追踪,并利用反解得出的雅可比矩阵,求得系统周期解的Floquet乘子以判别其非线性稳定性.
文中以刚性不平衡转子轴承系统为例,实现了周期解的预测追踪及非线性稳定性判别,说明了新算法的有效性[45];提出一种求解非线性动力系统多重周期解的伪不动点追踪法,该方法是首先寻找非线性动力系统同时存在的各个周期解间的联系,引入一个反映全局瞬态信息的标量函数,将非线性动力系统求各个周期解的问题转化为此标量函数的寻优问题,以单盘刚性Jeffcott转子为例,采用长轴承假设求取了周期解[46].
此外,文献[47,48]用数据库的方法获取非线性油膜力,对某些参数域中此类转子的非线性动力学行为进行了研究,并得出偏心的变化会影响系统的混沌行为等结论;文献[49]则采用由3个函数确定的非线性油膜力模型,文献[50]采用短轴承理论简化的非线性油膜力模型,对该类转子轴承系统的混沌区域等进行了研究.
1.
2.
2用挤压油膜阻尼器支撑的转子轴承系统的非线性动力学问题对挤压油膜阻尼器的研究一般多针对简单模型对其非线性动力学特征进行分析:20世纪90年代J.
Y.
Zhao等对偏心挤压油膜阻尼器支撑的刚性转子系统的亚谐、概周期和混沌运动等非线性动力学现象及其稳定性进行了研究[51,52],很多学者对这一类问题从不同角度进行了大量的研究工作.
文献[53~55]的研究表明,雷诺数越大,挤压油膜阻尼器的刚度力越小,阻尼力越大,从而导致系统稳态544第3期高等:非线性转子动力学问题研究综述响应的峰值转速降低,振幅减小,流体惯性力对系统在亚临界及超临界的双稳态响应及非协调响应具有明显的抑制作用,惯性力越大,产生双稳态响应或非协调响应的转速范围越小,非协调谐波分量越小,但太大的惯性力会引起新的非协调响应.
与此同时,针对挤压油膜阻尼器参数设计合理给定问题,文献[56]提出虚设振幅逆解法,用该方法先估算系统所需的最佳支承质量、支承刚度和支承阻尼,进而确定结构参数;文献[57]对具有开口槽和进油孔的挤压油膜阻尼器进行了实验研究,结果表明,进油孔阻尼器比开口槽性能要好.
文献[58]提出了打靶弧长连续算法对该类系统的分叉和混沌运动进行了求解.
文献[59]对该类系统的非协调运动、突跳行为进行了理论分析;文献[60]利用NewtonFox打靶法和伪弧长连续算法计算了该类系统的周期解,并用基于多变量的Floquet理论对系统的稳定性进行了分析.
文献[61]对具有该类结构的柔性转子系统的双稳态特性进行了研究.
文献[62]用有限差分法计算静压型挤压油膜阻尼器的刚度、阻尼系数,在状态空间中建立静压阻尼器轴承转子系统的运动方程,通过不平衡响应及特征值计算,分析系统的过临界振动特性及稳定性裕度;针对实际系统,计算、分析了静压阻尼器的参数对系统动力性能的影响,以系统综合动力性能为目标对系统进行了优化.
顾致平等利用等效线性化法将多转子支承系统中的非线性元件逐次换为具有等效参数的线性元件,借助Riccati传递矩阵法稳定空间边界值问题,提出了分析多转子支承系统偏置同步响应的等效线性化———Riccati传递矩阵迭代法,并实例计算了装有中介轴挤压油膜阻尼器的双转子发动机的偏置同步响应[63].
刘方杰说明了研究挤压油膜阻尼器减振失效的意义,介绍了国际上研究SFD的5个学术集团的有关挤压油膜阻尼器失效的观点,特别着重指出了挤压油膜阻尼器失效的不正确设计,失效的现象是过不了临界和导致转子支承系统产生双稳态特性,避免失效的方法是:调整油膜间隙与不平衡量间的关系,应用全油膜,限制不平衡量和采用弹性支座;假如设计参数选择不当,挤压油膜阻尼器不仅不能减振,反而会导致转子支承系统工作不稳定或过不了临界[64].
特别值得关注的是J.
Y.
Zhao等对挤压油膜阻尼器支承的柔性转子的不平衡响应,在同心和非同心两种不同阻尼器中进行了理论分析和实验研究,结果表明,"0"油膜模型要比"π"油膜更好,但在一阶临界转速附近的"0"油膜模型低估了阻尼影响而过高估计了不同心力的影响,在理论分析时选择较低的油膜破裂压力,其计算结果更接近实验结果.
软支承时产生非稳态响应和跳跃现象,模型中连续的油膜破裂压力不能真实的反映阻尼器的空穴问题[65].
1.
2.
3裂纹及碰摩转子的非线性动学研究对于裂纹转子复杂的非线性动力学行为,Lee建立了系统模型用实验加以验证[65];Gasch则认为系统在某一转速下将发生参数共振,而且还可能出现李雅普诺夫意义下的不稳定[66].
郑吉兵等用数值计算分析了裂纹转子在非线性涡动影响下的动力学行为,特别是系统响应的分叉及混沌特性,结果表明,当刚度变化较大时,系统在亚临界转速区域具有丰富的非线性动力学行为,有可能出现倍周期分叉、拟周期和混沌运动,随刚度变化的增加,系统的周期解分别由低频进动分量分叉和谐波分叉两种不同的方式变为拟周期分叉,随后进入混沌,通向混沌的道路一方面由拟周期进入,另一方面则与周期三解有关,并用切比雪夫多项式方法,分析了颈轴承支承的裂纹转子的稳定性,通过大量的数值计算,发现在大重力参数情形下,裂纹引起的不稳定区与裂纹引起的刚度变化及转子系统的临界转速有关,当重力参数很小时,不稳定区与刚度变化量和集中在轴承与转盘处的质量比有关.
刚支临界时的Sommerfeld数不直接对裂纹不稳定区产生影响,它通过对支承油膜力的影响来改变无裂纹时系统的稳定度,从而影响裂纹不稳定区的出现与否及大小,将小波变换与Poincaré映射相结合,即用Poincaré映射确定周期解,用谐波小波变换区分拟周期响应和混沌运动,提出了一种分析非线性裂纹转子系统解的形式随参数变化的新方法[67~69].
文献[70]对双裂纹转子用有限元法进行了研究.
文献[71,72]对一裂纹转子轴承系统的识别方法进行了研究,得到了裂纹位置与深度对振幅影响的关系曲线.
王立平等则在考虑轴承间隙的同时构造了开闭裂纹转子的动力学模型,对系统的周期解、拟周期解、分叉及混沌等非线性动力学现象进行了分析[73].
碰摩转子的非线性运动近几年来得到了国内外很多学者的高度重视.
Ehrich用双线性振子模拟转子与定子之间存在非对称径向间隙产生局部碰摩的过程,用数值方法研究了转子在不平衡激励下的次谐波、超谐波及混沌响应[74,75].
Goldman研究了转子与定子接触、压缩和恢复过程,把描述接触区间的参数与整个转子的参数相关联,将径向冲击和切向冲击同时进行了考虑[76];文献[77,78]对柔性转子碰摩进行了试验研究,得到了不平衡转子在不同转速下的多值与混沌现象.
文献[79]认为转子644东南大学学报(自然科学版)第32卷机壳系统的碰摩运动主要以混沌形式出现,但不同的周期窗口按一定的规律嵌入混沌区内.
建立了一种应用广泛的碰摩模型,选择了适合航空发动机转子系统的碰摩模型.
刘献栋等建立了考虑静子本身刚度的不对中质量偏心转子碰摩的动力学方程,讨论了转速比,动、静件间摩擦系数,转子阻尼比对碰摩转子系统运动特性的影响.
分析表明,随着转速的变化系统具有丰富的周期运动、拟周期运动及混沌运动,在所研究的范围内有3个复杂运动区域,进入、离开这些区域的途径不一定相同,动、静件间摩擦系数增加,转子阻尼比减小,复杂运动可提前出现;通向、离开混沌的道路为拟周期分叉和周期混沌突发途径,不对中质量偏心转子系统碰摩所展示的混沌运动及所具有的各种现象,可以作为这类转子的显著特征.
随后,研究了整圈碰摩的稳定性,讨论了转、静件间摩擦系数对稳定性的影响,发现了转子整圈碰摩存在Hopf分叉现象,且是超临界分叉.
通过对分叉解析解的研究,得出了分叉解的振幅及稳定性判据,并且将分叉解与动力学方程的数值解作了比较[80,81].
1.
2.
4弹性转子轴承系统的非线性动力学研究由于刚性Jeffcott转子轴承系统模型的局限性,很多学者在弹性转子系统的非线性动力学分析方面进行了积极的探索.
TingNungShiau等对磁力轴承支承的弹性转子轴承系统的多目标临界转速优化和控制流约束方法,偏心质量影响等方面进行了较全面的研究[82].
X.
Wang等用不动点算法对一转子轴承柔性支承模型的周期解、多周期解,概周期及混沌响应进行了计算,为该类系统的参数选择提供了理论依据[83].
文献[84]提出将非线性钢缆弹簧用作立式冲击破碎机转子支承的设计构思.
基于钢缆弹簧的双线性迟滞模型,分析了转子系统的减振隔振性能.
分析表明,采用非线性钢缆弹簧作为立式冲击破碎机转子支承是可行的并具有许多优点,如可通过合理选择刚度比和摩擦参数,获得较佳的过共振区减振性能,降低共振响应和轴承冲击载荷,同时可以获得较佳的远超二阶临界工作点的隔振性能.
文献[85]应用完善和改进的求解非线性常微分方程组周期解及分叉特性分析的PNF方法,对单盘挠性转子轴承系统的动力学行为进行了研究,结果显示运动呈现拟周期分叉、倍周期分叉和切分叉等复杂动力学现象.
J.
W.
Z等建立了一种转子轴承系统的非线性连续模型,转子用Timoshenko梁理论进行处理,轴承非线性油膜力采用刚度的三次方项这一创新方法进行修正,用谐波平衡法进行求解,在响应计算中发现了谐波、亚谐和超谐振动3种成分[86].
Chen等建立了一种新型的非线性转子轴承基础系统模型,非线性油膜力采用长轴承假设得到的雷诺方程的解析表达式,基础采用线性阻尼、线性刚度加一个非线性刚度进行修正,用分叉图、频谱、庞加莱映射等方法研究了系统的非线性动力学特性,并用关联维数对系统发生的混沌运动进行了判断[87].
王立平等考虑转子的质量、转动惯量、弯曲和剪切变形及轴承油膜力等非线性因素的影响,根据欧拉伯努利梁理论并用哈密顿原理构造了转子系统多自由度的动力学模型.
利用有限元方法对故障转子系统进行动态仿真,在有限元模型中采用了铁木辛柯梁理论,包含了陀螺力矩、转动惯量、剪切变形以及轴的不对称、偏心的影响.
利用有限长轴承理论,将非线性油膜力对转子系统的影响加入有限元模型中.
最后给出了数值仿真的结果[88,89].
Lawen等对柔性转子和辅助轴承之间的相互作用动力学问题从理论和实验2个方面进行了研究[90].
邱家俊等对转子横向振动时的电磁阻尼及考虑电磁阻尼时转子的横向振动进行了研究,用电磁场理论得到了电机三相不对称稳态运行时的电磁阻尼力,应用拉格朗日麦克斯韦方程得到了考虑电磁阻尼的转子横向振动微分方程.
研究了三相对称情况下的电磁阻尼,应用非线性振动理论的渐近法得到了转子横向振动微分方程的一次近似,再从其稳态解消区相角,得到振幅方程研究其横振的幅频特性,并用实验验证了结论的正确性[91].
Raghothama等用增量谐波平衡法求解了齿式转子轴承系统的周期解和亚谐解,利用数值方法得到了系统的混沌运动,并用李雅普诺夫指数进行了判断[92].
2非线性转子动力学的发展趋势1)进一步研究单盘或双盘转子轴承(基础)系统非线性动力学行为,为研究大型旋转机械的非线性动力学问题提供理论基础.
2)研究旋转机械转子轴承系统的油膜非线性特性及其稳定性等问题.
3)旋转机械多自由度非线性动力学理论及非线性动力学数值分析方法的研究.
4)研究旋转机械的非线性参数识别、建模和重构.
5)研究高维非线性动力系统的降维方法.
6)旋转机械的非线性动力响应及耦合问题.
7)研究转子轴承基础系统的非线性动力学稳定性的灵敏度分析、非线性稳定性裕度及判据;非线性稳定性准则.
744第3期高等:非线性转子动力学问题研究综述8)研究大型旋转机械的非线性动力学优化设计问题.
9)研究大型旋转机械汽轮发电机组中低频振动分量的机理.
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