[基础达标]
1 (2019·东北四市高考模拟)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次事件“至少有一次正面向上”的概率为P的最小值为( )
A 4 B 5
C 6 D 7
解析选A.由题意得P1.
2投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次记“硬币正面向上”为事件A “骰子向上的点数是3”为事件
B则事件A B中至少有一个发生的概率是( )
A
C
解析选C.依题意得P(A)中至少有一个发生的概率为
1P(.
3 (201
A
C
解析选B.因为随机变量XB(2 p) YB(4 p)又P(X≥1)1P(X0)1(1p所以Y.
4 (2019·杭州七校联考)如果X值为( )
A 3 B 4
C 5 D 3或4
解析选D.观察选项采用特殊值法
因为P(X3)
P(X4)C
P(X5)C
经比较 P(X3)P(X4)P(X5)
故使P(Xk)取最大值时k3或4.
5某单位为绿化环境移栽了甲、 乙两种大树各2棵设甲、 乙两种大树移栽的成活率分别为且每棵大树是否成活互不影响则移栽的4棵大树中至少有1棵成活的概率是( )
A
C
解析选D.设Ak表示第k棵甲种大树成活 k1 2 Bl表示第l棵乙种大树成活 l1 2则A1 A2 B1 B2相互独立且P(A1)P(A2)P(A1)·P(A2)·P(B1)·P(B2)1.
6如图所示的电路有a b c三个开关每个开关开和关的概率都是且是相互独立的则灯泡甲亮的概率为________
解析设“a闭合”为事件A “b闭合”为事件B “c闭合”为事件C 则甲灯亮应为事件ACB且A BC之间彼此独立 P(A)P(.
所以P(A.
答案
7某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查随机抽查的200个机械元件情况如下
若以频率为概率现从该批次机械元件中随机抽取3个则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为____________
解析 由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为.
答案
8某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18 19 20层停靠若该电梯在底层有5个乘客且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率都为
解析考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验这是5次独立重复试验故Xk)
故P(X4)
答案
9小王在某社交网络的朋友圈中 向在线的甲、 乙、丙随机发放红包每次发放1个
(1)若小王发放5元的红包2个求甲恰得1个的概率
(2)若小王发放3个红包其中5元的2个 10元的1个记乙所得红包的总钱数为X求X的分布列
解 (1)设“甲恰得1个红包”为事件A
则P(A).
(2)X的所有可能取值为0 5 10 15 20.
P(X0)
P(X5)C
P(X10)
P(X15)C
P(X20).
X的分布列为
10.已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为症状的情况进行了药物试验试验设计为每天用药一次连续用药四天为一个用药周期假设每次用药后当天是否出现A症状与上次用药无关
(1)若出现A症状则立即停止试验求试验至多持续一个用药周期的概率
(2)若在一个用药周期内出现3次或4次A症状则在这个用药周期结束后终止试验若试验至多持续两个周期设药物试验持续的用药周期为η求η的分布列
解 (1)法一记试验持续i天为事件Ai i1 2 3 4试验至多持续一个周期为事件B
易知P(A1)
则P(B)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4).
法二记试验至多持续一个周期为事件B 则B为试验持续超过一个周期
易知P(
所以P(B)1
(2)随机变量η的所有可能取值为1 2
P(η1)
P(η2)1
所以η的分布列为
1某商场举行有奖促销活动顾客购买一定金额的商品后即可抽奖每次抽奖都是从装有4个红球、 6个白球的甲箱和装有5个红球、 5个白球的乙箱中各随机摸出1个球在摸出的2个球中若都是红球则获一等奖若只有1个红球则获二等奖若没有红球则不获奖
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率
(2)若某顾客有3次抽奖机会记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X求X的分布列
解 (1)记事件A1{从甲箱中摸出的1个球是红球}
A2{从乙箱中摸出的1个球是红球}
B1{顾客抽奖1次获一等奖} B2{顾客抽奖1次获二等奖} C{顾客抽奖1次能获奖}
由题意知A1与A2相互独立 A1A2与A1A2互斥 B1与B2互斥且B1A1A2 B2A1A2A1A2 CB1B2.
因为P(A1)
所以P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)
P(B2)P(A 1A2A 1A2)P(A1A2)P(A 1A2)
P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)
P(A1)(1P(A2))(1P(A 1))P(A2)
.
故所求概率为P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2).
(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验 由(1)知顾客抽奖1次获一等奖的概率为.
于是P(X0)C0
P(X1)C
P(X2)C
P(X3)
故X的分布列为
2.(2019·杭州学军中学高三月考)某校课改实行选修走班制现有甲 乙丙丁四位学生准备选修物理化学生物三个科目每位学生只选修一个科目且选修其中任何一个科目是等可能的
(1)求恰有2人选修物理的概率
(2)求学生选修科目个数ξ的分布列
解 (1)这是等可能性事件的概率计算问题
法一所有可能的选修方式有34种
恰有2人选修物理的方式C42 · 22种
从而恰有2人选修物理的概率为
法二设每位学生选修为一次试验这是4次独立重复试验
记“选修物理”为事件A 则P(A)从而
由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知恰有2人选修物理的概率为PC42.
(2)ξ的所有可能值为1 2 3
P
综上知 ξ的分布列为
3.现有4个人去参加春节联欢活动该活动有甲、 乙两个项目可供参加者选择为增加趣味性约定每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢
(1)求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率
(2)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率
(3)用X Y分别表示这4个人中去参加甲、 乙项目联欢的人数记ξ|XY| 求随机变量ξ的分布列
解依题意这4个人中每个人去参加甲项目联欢的概率为.
设“这4个人中恰有i人去参加甲项目联欢”为事件Ai(i0 1 2 3 4)
则P(A
(1)这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率P(A2)C42.
(2)设“这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B则BA3∪A4.
故P(B)P(A3)P(A4)
所以这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为.
(3)ξ的所有可能取值为0 2 4.
P(ξ0)P(A2)
P(ξ4)P(A0)P(A4).
所以ξ的分布列为
4.某次飞镖比赛中规定每人至多发射三镖在M处每射中一镖得3分在N处每射中一镖得2分如果前两次得分之和超过3分即停止发射否则发射第三镖某选手在M处的命中率q10.25在N处的命中率为q2.该选手选择先在M处发射一镖 以后都在N处发射用X表示该选手比赛结束后所得的总分其分布列为
(1)求随机变量X的分布列
(2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率的大小
解 (1)设该选手在M处射中为事件A在N处射中为事件B 则事件A B相互独立且P(A)0.25 P(A)0.75 P(B)q2P(B)1q2.
根据分布列知 当X0时
P(A B B)P(A)P(B)P(B)0.75(1q2)20.03
所以1q20.2 q20.8.
当X2时P1P(A BB A B B)P(A)P(B)P(B)P(A)P(B)P(B)0.75q2(1q2)×20.24
当X3时P2P(A BB)P(A)P(B)P(B)0.25(1q2)20.01 当X4时
P3P(ABB)P(A)P(B)P(B)0.75q20.48
当X5时P4P(A BBAB)P(A BB)P(AB)
P(A)P(B)P(B)P(A)P(B)
0.25q2(1q2)0.25q20.24.
所以随机变量X的分布列为
(2)该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率为0.480.240.72.
该选手选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率为
P(BBBB BBBB)P(BBB)P(B BB)P(BB)
2(1q2)q2q20.896.
所以该选手选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率大
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