事件统计概率知识点梳理总结

统计概率知识点梳理总结

第一章 随机事件与概率

一、教学要求

1 理解随机事件的概念了解随机试验、样本空间的概念掌握事件之间的关系与运算

2 了解概率的各种定义掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算

3 理解条件概率的概念掌握概率的乘法公式、全概率公式、 贝叶斯公式并能运用这些公式进行概率计算

4 理解事件的独立性概念掌握运用事件独立性进行概率计算

5 掌握贝努里概型及其计算能够将实际问题归结为贝努里概型然后用二项概率计算有关事件的概率

本章重点随机事件的概率计算

二、知识要点

1 随机试验与样本空间

具有下列三个特性的试验称为随机试验

(1)试验可以在相同的条件下重复地进行 ·

(2)每次试验的可能结果不止一个但事先知道每次试验所有可能的结果

(3)每次试验前不能确定哪一个结果会出现

试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间用 表示其中的每一个结果用表示 称为样本空间中的样本点记作 

2 随机事件

在随机试验中把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件(简称事件) 通常把必然事件(记作 )与不可能事件(记作 )

看作特殊的随机事件

3  **事件的关系及运算

(1)包含若事件 发生一定导致事件 发生那么称事件 包含事件 记作 (或 ) 

(2)相等若两事件 与 相互包含即 且 那么称事件 与相等记作 

(3)和事件 “事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为A与B的和事件记作  “n个事件 中至少有一事件发生”这一事件称为

的和记作 简记为  

(4)积事件 “事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件记作(简记为 )  “n个事件 同时发生”这一事件称为

的积事件记作 简记为 或 ) 

(5)互不相容若事件A和B不能同时发生即 那么称事件A与B互不相容(或互斥) 若n个事件 中任意两个事件不能同时发生即

(1≤i<j≤几) 那么称事件 互不相容

(6)对立事件若事件A和B互不相容、且它们中必有一事件发生即 且

那么称A与B是对立的事件A的对立事件(或逆事件)记作 

(7)差事件若事件A发生且事件B不发生那么称这个事件为事件A与B的差事件记作 (或 ) 

(8)交换律对任意两个事件和B有

 

(9)结合律对任意事件ABC有

 

(10)分配律对任意事件ABC有

 

(11)德摩根De Morgan法则对任意事件A和B有

, .

4 频率与概率的定义

(1)频率的定义

设随机事件A在n次重复试验中发生了 次则比值 n称为随机事件A发生的频率记作 即 .

(2)概率的统计定义

在进行大量重复试验中随机事件A发生的频率具有稳定性即当试验次数n很大时频率 在一个稳定的值 (0< <1)附近摆动规定事件A发生的频率的稳定值 为概率即 

(3) **古典概率的定义

具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型

(i) 试验的样本空间 是个有限集不妨记作 ;

(ii) 在每次试验中每个样本点 ( 出现的概率相同即

在古典概型中规定事件A的概率为



(4) 几何概率的定义

如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域) 且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性那么规定事件的概率为

·

(5) 概率的公理化定义

设随机试验的样本空间为 随机事件A是 的子集 是实值函数若满足下列三条公理

公理1 (非负性) 对于任一随机事件有 ≥0 

公理2 (规范性) 对于必然事件 有 

公理3 (可列可加性) 对于两两互不相容的事件 有



则称 为随机事件的概率

5  **概率的性质

由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质

(1) 

(2) (有限可加性)设n个事件 两两互不相容则有



(3)对于任意一个事件A



(4)若事件AB满足 则有

,



(5)对于任意一个事件A有 

(6) (加法公式)对于任意两个事件AB有

.

对于任意n个事件 有

.

6  **条件概率与乘法公式

设A与B是两个事件在事件B发生的条件下事件A发生的概率称为条件概率记作当 规定

.

在同一条件下条件概率具有概率的一切性质

乘法公式对于任意两个事件A与B当 , 时有

.

7  *随机事件的相互独立性

如果事件A与B满足



那么称事件A与B相互独立

关于事件A月的独立性有下列两条性质