短时傅里叶变换傅里叶变换的公式？

常见的傅里叶变换

傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。

在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。

最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

　　傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。

当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。

法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。

直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。

　　拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。

但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅里叶是对的。

　　用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波来表示的原因在于，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。

用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。

一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。

且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。

请简述Fourier变换、LR变换、短时Fourier变换、小波变换的异同

fourier变换是在全时域上的变换即从负无穷时间到正无穷时间，它具有最高的频率分辨率但是没有时间分辨率。

窗口fourier变化对时域加窗，因而能够同时具有时间分辨率和频率分辨率，但是由于加窗的影响，它的频率分辨率有损失，而时间分辨率取决于窗的大小。

小波变换是科恩类变换，其基本思想是将函数在核函数上展开，核函数具有时间与频率分辨率，因而小波变换也具有时间和频率分辨率。

但是小波变换的频率并不是真正意义上的频率，只有具有相当于频率的一种比率。

短时傅里叶变换的介绍

短时傅里叶变换（STFT，short-time Fourier transform，或 short-term Fourier transform)）是和傅里叶变换相关的一种数学变换，用以确定时变信号其局部区域正弦波的频率与相位。

傅里叶变换的公式？

连续傅里叶变换 一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。

“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。

这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。

连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform) 为 即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。

一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。

除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。

在通信或是信号处理方面，常以 来代换，而形成新的变换对 : 或者是因系数重分配而得到新的变换对： 一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。

当f(t)为偶函数(或奇函数)时,其正弦(或余弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦变换(cosine transform) 或 正弦变换(sine transform). 另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(?ω) = F * (ω) 成立. 参考资料: /wiki/傅里叶变换