近年来,各级各类数学竞赛中频频出现线性规划问题。
所谓线性规划,是指求线性函数在线性(不等式或等式)约束下达最(小或大)值的问题。
线性规划广泛应用于工农业、军事、交通运输、决策管理与规划、科学实验等领域。
本文拟通过竞赛试题介绍常用的解题思路和方法。
一、运用数量关系解题
例1某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台。
已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表:
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高?最高产值是多少(以千元为单位)?
(1997,第十二届江苏省初中数学竞赛)
解:设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台,每周产值为f元,则
f=4x+3y+2z.
其中x、y、z满足
由①、②得y=360—3x,z=2x.
则由
得30≤x≤120.
故f=3(x+y+z)+x—z=1080—x.
当x=30时,fmax=1080—30=1050.
从而,y=270,z=60.
即每周生产空调器30台,彩电270台,冰箱60台,才能使产值最高,最高产值为1050千元。
二、运用图表作业解题
例2A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台和8台。
现在决定把这些机器支援给D市18台、E市10台。
已知从A市调运一台机器到D市、E市的运费分别为200元和800元;从B市调运一台机器到D市、E市的运费分别为300元和700元;从C市调运一台机器到D市、E市的运费分别为400元和500元。
⑴设从A市、B市各调x台机器到D市,当28台机器全部调运完毕后,求总运费W(元)关于x(台)的函数式,并求W的最小值和最大值;
⑵设从A市调x台到D市,B市调y台到D市,当28台机器全部调运完毕后,用x、y表示总运费W(元),并求W的最小值和最大值。
(1998,全国初中数学竞赛)
解:⑴⑵这两问都可以运用数量关系解题,具体解法参见《中等数学》1998年第3期第34页或1999年第4期第3页文。
下面以第⑵问为例说明运用图表作业解题。
⑵(表上作业法)
由题意,易得W(x,y)=17200—500x—300y.
Ⅰ.求最小总运费Wmin.
表中对于D市、E市可供货的A、B、C三地进行比较,逐次选取较小运费地,尽可能的调运,得调运方案如表1所示:
即当x=10,y=8时,最小总运费Wmin=9800(元)。
Ⅱ.求最大总运费Wmax.
类似地,可得调运方案如表2所示:
即当x=0,y=10时,最大总运费Wmax=14200(元)。
(图上作业法)
由题意,易得W(x,y)=17200—500x—300y.
Ⅰ.求最小总运费Wmin.
图中所标运费可以看作是单位运量。
供量用正数表示,需量则用负数表示,对于D市、E市可供货的A、B、C三地进行比较,逐次选取单位运量较小的,尽可能的调运,得调运方案如图1所示:
即当x=10,y=8时,最小总运费Wmin=9800(元)。
Ⅱ.求最大总运费Wmax.
类似地,可得调运方案如图2所示:
即当x=0,y=10时,最大总运费Wmax=14200(元)。
三、运用图象性质解题
例3某工厂制造A、B两种产品,制造产品A每吨需用煤9吨,电力4千瓦,3个工作日;制造产品B每吨需用煤5吨,电力5千瓦,10个工作日。
已知制造产品A和B每吨分别获利7千元和12千元,现在该厂由于条件限制,只有煤360吨,电力200千瓦,工作日300个可以利用,问A、B两种产品各应生产多少吨才能获利最大?最大利润是多少?
解:设A、B两种产品分别生产x吨、y吨,利润为f千元,则
f=7x+12y.
其中x、y满足
如图3所示,阴影部分即为这个线性规划问题的可行区域。
∵—4/5<—7/12<—3/10,
∴平行直线系f=7x+12y过点A(20,24)即当x=20,y=24时,fmax=7×20+12×24=140+288=428(千元)。
即产品A生产20吨,产品B生产24吨,获利最大,最大利润为428千元。
四、运用枚举验证解题
例4某人有楼房一幢,室内面积共180m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房。
大房间每间面积为18m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费为40元;小房间每间面积为15m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费为50元;装修大房间每间需1000元,装修小房间每间需600元。
如果他只能筹款8000元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,能获得最大收益?最大收益是多少?
解:设隔出大、小房间分别为x间、y间,收益为f元,则
f=200x+150y.
其中x、y满足
如图4所示,由图解法易得f=200x+150y过点A(23/7,63/7)时,目标函数f取得最大值。
但x、y必须是整数,还需在可行区域内找出使目标函数f取得最大值的整点。
显然目标函数f取得最大值的整点一定是分布在可行区域的右上侧,则利用枚举法即可求出整点最优解。
这些整点有:(0,12),(1,10),(2,9),(3,8),(4,6),(5,5),(6,3),(7,1),(8,0),分别代入f=200x+150y,逐一验证,可得取整点(0,12)或(3,8)时,fmax=200×0+150×12=200×3+150×8=1800(元)。
所以要获得最大收益,有两种方案:
Ⅰ.只隔出小房间12间;
Ⅱ.隔出大房间3间,小房间8间。
最大收益为1800元
、每个模型都有若干个决策变量(x1,x2,x3……,xn),其中n为决策变量个数。
决策变量的一组值表示一种方案,同时决策变量一般是非负的。
2、目标函数是决策变量的线性函数,根据具体问题可以是最大化(max)或最小化(min),二者统称为最优化(opt)。
3、约束条件也是决策变量的线性函数。
当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数,约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。
搬瓦工怎么样?2021年7月最新vps套餐推荐及搬瓦工优惠码整理,搬瓦工优惠码可以在购买的时候获取一些优惠,一般来说力度都在 6% 左右。本文整理一下 2021 年 7 月最新的搬瓦工优惠码,目前折扣力度最大是 6.58%,并且是循环折扣,续费有效,可以一直享受优惠价格续费的。搬瓦工优惠码基本上可能每年才会更新一次,大家可以收藏本文,会保持搬瓦工最新优惠码更新的。点击进入:搬瓦工最新官方网站搬瓦工...
阿里云香港配置图提速啦是成立于2012年的十分老牌的一个商家这次给大家评测的是 阿里云香港 16核32G 20M 这款产品,单单说价格上就是十分的离谱原价8631元/月的现价只要 999元 而且还有个8折循环优惠。废话不多说直接进入正题。优惠时间 2021年8月20日-2021年9月20日 优惠码 wn789 8折优惠阿里云香港BGP专线 16核32G 10M带宽 优惠购买 399元购买链接阿里云...
如何低价香港服务器购买?想要做一个个人博客,想用香港服务器,避免繁琐备案,性能不需要多高,只是记录一些日常而已,也没啥视频之类的东西,想问问各位大佬有没有低价的香港服务器推荐?香港距大陆近,相比美国服务器最大的优势在于延迟低,ping值低,但是带宽紧张,普遍都是1M,一般戏称其为“毛细血管”。同时价格普遍高,优质稳定的一般价格不菲。大厂云梯队阿里云、腾讯云两家都有香港服务器,要注意的是尽量不要选择...