线性规划问题运筹学线性规划问题

线性规划问题  时间:2021-09-07  阅读:()

关于数学简单的线性规划问题的讲解

近年来,各级各类数学竞赛中频频出现线性规划问题。

所谓线性规划,是指求线性函数在线性(不等式或等式)约束下达最(小或大)值的问题。

线性规划广泛应用于工农业、军事、交通运输、决策管理与规划、科学实验等领域。

本文拟通过竞赛试题介绍常用的解题思路和方法。

一、运用数量关系解题                         

 例1某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台。

已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表:

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高?最高产值是多少(以千元为单位)?

(1997,第十二届江苏省初中数学竞赛)

解:设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台,每周产值为f元,则

f=4x+3y+2z.

其中x、y、z满足

由①、②得y=360—3x,z=2x.

则由

得30≤x≤120.

故f=3(x+y+z)+x—z=1080—x.

当x=30时,fmax=1080—30=1050.

从而,y=270,z=60.

即每周生产空调器30台,彩电270台,冰箱60台,才能使产值最高,最高产值为1050千元。

二、运用图表作业解题                       

 例2A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台和8台。

现在决定把这些机器支援给D市18台、E市10台。

已知从A市调运一台机器到D市、E市的运费分别为200元和800元;从B市调运一台机器到D市、E市的运费分别为300元和700元;从C市调运一台机器到D市、E市的运费分别为400元和500元。

⑴设从A市、B市各调x台机器到D市,当28台机器全部调运完毕后,求总运费W(元)关于x(台)的函数式,并求W的最小值和最大值;

⑵设从A市调x台到D市,B市调y台到D市,当28台机器全部调运完毕后,用x、y表示总运费W(元),并求W的最小值和最大值。

(1998,全国初中数学竞赛)

解:⑴⑵这两问都可以运用数量关系解题,具体解法参见《中等数学》1998年第3期第34页或1999年第4期第3页文。

下面以第⑵问为例说明运用图表作业解题。

⑵(表上作业法)

由题意,易得W(x,y)=17200—500x—300y.

Ⅰ.求最小总运费Wmin.

表中对于D市、E市可供货的A、B、C三地进行比较,逐次选取较小运费地,尽可能的调运,得调运方案如表1所示:

即当x=10,y=8时,最小总运费Wmin=9800(元)。

Ⅱ.求最大总运费Wmax.

类似地,可得调运方案如表2所示:

即当x=0,y=10时,最大总运费Wmax=14200(元)。

(图上作业法)

由题意,易得W(x,y)=17200—500x—300y.

Ⅰ.求最小总运费Wmin.

图中所标运费可以看作是单位运量。

供量用正数表示,需量则用负数表示,对于D市、E市可供货的A、B、C三地进行比较,逐次选取单位运量较小的,尽可能的调运,得调运方案如图1所示:

即当x=10,y=8时,最小总运费Wmin=9800(元)。

Ⅱ.求最大总运费Wmax.

类似地,可得调运方案如图2所示:

即当x=0,y=10时,最大总运费Wmax=14200(元)。

三、运用图象性质解题                        

 例3某工厂制造A、B两种产品,制造产品A每吨需用煤9吨,电力4千瓦,3个工作日;制造产品B每吨需用煤5吨,电力5千瓦,10个工作日。

已知制造产品A和B每吨分别获利7千元和12千元,现在该厂由于条件限制,只有煤360吨,电力200千瓦,工作日300个可以利用,问A、B两种产品各应生产多少吨才能获利最大?最大利润是多少?

解:设A、B两种产品分别生产x吨、y吨,利润为f千元,则

f=7x+12y.

其中x、y满足

如图3所示,阴影部分即为这个线性规划问题的可行区域。

∵—4/5<—7/12<—3/10,

∴平行直线系f=7x+12y过点A(20,24)即当x=20,y=24时,fmax=7×20+12×24=140+288=428(千元)。

即产品A生产20吨,产品B生产24吨,获利最大,最大利润为428千元。

四、运用枚举验证解题                        

 例4某人有楼房一幢,室内面积共180m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房。

大房间每间面积为18m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费为40元;小房间每间面积为15m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费为50元;装修大房间每间需1000元,装修小房间每间需600元。

如果他只能筹款8000元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,能获得最大收益?最大收益是多少?

解:设隔出大、小房间分别为x间、y间,收益为f元,则

f=200x+150y.

其中x、y满足

如图4所示,由图解法易得f=200x+150y过点A(23/7,63/7)时,目标函数f取得最大值。

但x、y必须是整数,还需在可行区域内找出使目标函数f取得最大值的整点。

显然目标函数f取得最大值的整点一定是分布在可行区域的右上侧,则利用枚举法即可求出整点最优解。

这些整点有:(0,12),(1,10),(2,9),(3,8),(4,6),(5,5),(6,3),(7,1),(8,0),分别代入f=200x+150y,逐一验证,可得取整点(0,12)或(3,8)时,fmax=200×0+150×12=200×3+150×8=1800(元)。

所以要获得最大收益,有两种方案:

Ⅰ.只隔出小房间12间;

Ⅱ.隔出大房间3间,小房间8间。

最大收益为1800元

线性规划问题的解法有哪几种

1.目标函数是无数条平等线,也就是书中的主流线列数条平行线, 2,过一点的无数条相交线,如Z=(y-3)/(x+1)这一类问题 3.格点问题也就是整数点的问题 4动圆的半径Z=√X^2+Y^2

线性规划问题的特征是什么?

、每个模型都有若干个决策变量(x1,x2,x3……,xn),其中n为决策变量个数。

决策变量的一组值表示一种方案,同时决策变量一般是非负的。

  2、目标函数是决策变量的线性函数,根据具体问题可以是最大化(max)或最小化(min),二者统称为最优化(opt)。

  3、约束条件也是决策变量的线性函数。

  当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数,约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。

线性规划问题数学模型的三个要素是什么

线性规划问题的形式特征,三个要素组成: 1、变量或决策变量; 2、目标函数; 3、约束条件。

求解线性规划问题的基本方法是单纯形法,已有单纯形法的标准软件,可在电子计算机上求解约束条件和决策变量数达 10000个以上的线性规划问题。

为了提高解题速度,又有改进单纯形法、对偶单纯形法、原始对偶方法、分解算法和各种多项式时间算法。

对于只有两个变量的简单的线性规划问题,也可采用图解法求解。

这种方法仅适用于只有两个变量的线性规划问题。

它的特点是直观而易于理解,但实用价值不大。

通过图解法求解可以理解线性规划的一些基本概念。

扩展资料: 线性规划建立的数学模型具有以下特点: 1、每个模型都有若干个决策变量(x1,x2,x3……,xn),其中n为决策变量个数。

决策变量的一组值表示一种方案,同时决策变量一般是非负的。

2、目标函数是决策变量的线性函数,根据具体问题可以是最大化(max)或最小化(min),二者统称为最优化(opt)。

3、约束条件也是决策变量的线性函数。

当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数,约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。

参考资料来源:搜狗百科-线性规划

运筹学线性规划问题

设x为投资第一种的金额,y为投资第二种的金额。

则目标方程是max=1.7*x*3+3*y(1式),约束条件是x+y=100000(2式)。

把2式变形后带入1式,求一个一元函数的最大值就行了。

可以用倒数法求最大值。

具体值自己再算算吧。

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