笛卡尔乘积笛卡尔乘积的运算性质

笛卡尔乘积  时间:2021-08-02  阅读:()

请问笛卡尔乘积是什么?

笛卡儿乘积 就是一张表的行数乘以另一张表的行数. 在离散数学和数据库之中大量用到! 设关系R和S的元组字节数分别是IR和IS,元组数目分别是TR和TS,则笛卡儿乘积R×S的元组字节数是IR+IS,元组数目是TRTS,空间字节数是TRTS(IR+IS).

幂集运算 集合的笛卡尔乘积

A={a,b},B={b,c} 则P(A)×B={空集,{a},{b},{a,b}}× B ={{空集,b},{{a},b},{{b},b},{{a,b},b},{空集,c},{{a},c},{{b},c},{{a,b},c}}

证明有限集A和可数集B的笛卡尔乘积是可数的

设A有k个元素,给它们排序。

B是可数集,即存在它和集合{1,k+1,2k+1,……}的双射 A和B的笛卡尔积可如此与正整数集建立双射: A的第i个元素与B的元素k(j-1)+1的乘积对应k(j-1)+i 容易验证,这是双射 所AXB可数 一般的,有限个有限集或可数集的笛卡尔积是有限或可数的

笛卡尔积还是笛卡儿积?

笛卡尔乘积积假设集合A={a,b},集合B={0,1,2},则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}。

可以扩展到多个集合的情况。

类似的例子有,如果A表示某学校学生的集合,B表示该学校所有课程的集合,则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。

笛卡尔积的运算性质  由于有序对<x,y>中x,y的位置是确定的,因此A×B的记法也是确定的,不能写成B×A.   笛卡尔积也可以多个集合合成,A1×A2×…×An.   笛卡尔积的运算性质. 一般不能交换.   笛卡尔积,把集合A,B合成集合A×B,规定   A×B={<x,y>?x?A?y?B}   在任意集合A上都可以定义笛卡尔积因为对任意两个集合A和B,用A中元素为第一元素,B中元素为第二元素构成有序对,所有这样的有序对组成的集合就是集合A和B的笛卡尔积.当集合A = B 时,笛卡尔积就记作A A.

笛卡尔积是什么,详细解答一下,最好再举例

假设集合A={a,b},集合B={0,1,2},则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}。

可以扩展到多个集合的情况。

类似的例子有,如果A表示某学校学生的集合,B表示该学校所有课程的集合,则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。

[编辑本段]笛卡尔积的运算性质  由于有序对<x,y>中x,y的位置是确定的,因此A×B的记法也是确定的,不能写成B×A.   笛卡尔积也可以多个集合合成,A1×A2×…×An.   笛卡尔积的运算性质. 一般不能交换.   笛卡尔积,把集合A,B合成集合A×B,规定   A×B={<x,y>&frac12;x&Icirc;A&Ugrave;y&Icirc;B}   在任意集合A上都可以定义笛卡尔积因为对任意两个集合A和B,用A中元素为第一元素,B中元素为第二元素构成有序对,所有这样的有序对组成的集合就是集合A和B的笛卡尔积.当集合A = B 时,笛卡尔积就记作A A. [编辑本段]推导过程  给定一组域D1,D2,…,Dn,这些域中可以有相同的。

D1,D2,…,Dn的笛卡尔积为:   D1×D2×…×Dn={(d1,d2,…,dn)|di∈Di,i=1,2,…,n}   所有域的所有取值的一个组合不能重复   例 给出三个域:   D1=SUPERVISOR ={ 张清玫,刘逸 }   D2=SPECIALITY={计算机专业,信息专业}   D3=POSTGRADUATE={李勇,刘晨,王敏}   则D1,D2,D3的笛卡尔积为D:   D=D1×D2×D3 =   {(张清玫,计算机专业,李勇),(张清玫,计算机专业,刘晨),   (张清玫,计算机专业,王敏),(张清玫,信息专业,李勇),   (张清玫,信息专业,刘晨),(张清玫,信息专业,王敏),   (刘逸,计算机专业,李勇),(刘逸,计算机专业,刘晨),   (刘逸,计算机专业,王敏),(刘逸,信息专业,李勇),   (刘逸,信息专业,刘晨),(刘逸,信息专业,王敏) }   这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合,形成庞大的集合群。

  本个例子中的D中就会有2X2X3个元素,如果一个集合有1000个元素,有这样3个集合,他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。

假若某个集合是无限集,那么新的集合就将是有无限个元素。

[编辑本段]序偶与笛卡尔积  在日常生活中,有许多事物是成对出现的,而且这种成对出现的事物,具有一定的顺序。

例如,上,下;左,右;3〈4;张华高于李明;中国地处亚洲;平面上点的坐标等。

一般地说,两个具有固定次序的客体组成一个序偶,它常常表达两个客体之间的关系。

记作〈x,y〉。

上述各例可分别表示为〈上,下〉;〈左,右〉;〈3,4〉;〈张华,李明〉;〈中国,亚洲〉;〈a,b〉等。

  序偶可以看作是具有两个元素的集合。

但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。

在集合中{a,b}={b,a},但对序偶〈a,b〉≠〈b,a〉。

  设x,y为任意对象,称集合{{x},{x,y}}为二元有序组,或序偶(ordered pairs),简记为<x,y> 。

称x为<x,y>的第一分量,称y为第二分量。

  定义3-4.1 对任意序偶<a,b> , <c, d > ,<a,b> = <c, d > 当且仅当a=c且b = d 。

  递归定义n元序组 <a1,… , an>   <a1,a2> ={{a1},{a1 , a2}}   <a1 , a2 , a3 > = { {a1 , a2},{a1 , a2 , a3}}   = < <a1 , a2 > , a3 >   <a1,…an> = <<a1,…an-1>, an>   两个n元序组相等   < a1,…an >= < b1,…bn >&Ucirc;(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn)   定义3-4.2 对任意集合 A1,A2 , …,An,   (1)A1×A2,称为集合A1,A2的笛卡尔积(Cartesian product),定义为   A1 ×A2={x | $u $v(x = <u,v>∧u &Icirc;A1∧v&Icirc;A2)}={<u,v> | u &Icirc;A1∧v&Icirc;A2}   (2)递归地定义 A1 × A2× … × An   A1 × A2×… × An= (A1× A2 × …× An-1)×An   例题1 若A={α,β},B={1,2,3},求A×B,A×A,B×B以及(A×B)&Ccedil;(B×A)。

  解 A×B={〈α,1〉,〈α,2〉,〈α,3〉,〈β,1〉,〈β,2〉,<β,3〉}   B×A={〈1,α〉,〈1,β〉,〈2,α〉,〈2,β〉,〈3,α〉,〈3,β〉}   A×A={〈α,α〉,〈α,β〉,〈β,α〉,〈β,β〉}   B×B={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈2,3〉,〈3,1〉,〈3,2〉,〈3,3〉}   (A×B)&Ccedil;(B×A)=&AElig;   由例题1可以看到(A×B)&Ccedil;(B×A)=&AElig;   我们约定若A=&AElig;或B=&AElig;,则A×B=&AElig;。

  由笛卡尔定义可知:   (A×B)×C={〈〈a,b〉,c〉|(〈a,b〉∈A×B)∧(c∈C)}   ={〈a,b,c〉|(a∈A)∧(b∈B)∧(c∈C)}   A×(B×C)={〈a,〈b,c〉〉|(a∈A)∧(〈b,c〉∈B×C)}   由于〈a,〈b,c〉〉不是三元组,所以   (A×B)×C ≠A×(B×C)   定理3-4.1 设A, B, C为任意集合,*表示 &Egrave;,&Ccedil;或 – 运算,那么有如下结论:   笛卡尔积对于并、交差运算可左分配。

即:   A×(B*C)=(A×B)*(A×C)   笛卡尔积对于并、交差运算可右分配。

即:   (B*C) ×A=(B×A)*(C×A)   ¤ 当*表示 &Egrave;时,结论(1)的证明思路:(讨论叙述法)   先证明A×(B &Egrave; C)&Iacute;(A×B) &Egrave; (A×C) 从<x,y>∈A×(B&Egrave;C)出发,推出<x,y>∈(A ×B) &Egrave; (A×C)   再证明(A×B) &Egrave; (A×C) &Iacute; A×(B &Egrave; C)   从<x,y>∈(A×B) &Egrave; (A×C)出发,推出<x,y>∈A×(B&Egrave;C)   当*表示 &Egrave;时,结论(2)的证明思路:(谓词演算法) 见P-103页。

¤   定理3-4.2 设A, B, C为任意集合,若C ≠ F,那么有如下结论:   A&Iacute;B&Ucirc;(A×C &Iacute;B×C) &Ucirc; (C×A&Iacute;C×B) ¤   定理前半部分证明思路 :(谓词演算法)   先证明A&Iacute;B &THORN; (A×C&Iacute;B×C)   以A&Iacute;B 为条件,从<x,y>∈A×C出发,推出<x,y>∈B×C   得出(A×C&Iacute;B×C)结论。

  再证明(A×C &Iacute;B×C) &THORN; A&Iacute;B   以C≠F为条件,从x∈A出发,对于y∈C,利用&THORN;附加式,推出x∈B   得出(A&Iacute;B)结论。

见P-103页。

¤   定理3-4.3 设A, B, C, D为任意四个非空集合,那么有如下结论:   A×B &Iacute; C×D的充分必要条件是A&Iacute; C,B&Iacute; D   ¤证明思路:(谓词演算法)   先证明充分性: A×B &Iacute; C×D &THORN; A&Iacute; C,B&Iacute; D   对于任意的x∈A、y∈B,从<x,y>∈A×B出发,利用条件A×B&Iacute; C×D, <x,y>∈C×D,推出x∈C, y∈D。

  再证明必要性: A&Iacute; C,B&Iacute; D &THORN;A×B&Iacute; C×D   对于任意的x∈A、y∈B,从<x,y>∈A×B出发,推出<x,y>∈C×D。

  笛卡尔(Descartes)乘积又叫直积。

设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新的元素,他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积,记为A×B,即A×B={(x,y)|x∈A且y∈B}。

笛卡尔乘积的运算性质

1.对任意集合A,根据定义有 AxΦ =Φ , Φ xA=Φ 2.一般地说,笛卡尔积运算不满足交换律,即 AxB≠BxA(当A≠Φ ∧B≠Φ∧A≠B时) 3.笛卡尔积运算不满足结合律,即 (AxB)xC≠Ax(BxC)(当A≠Φ ∧B≠Φ∧C≠Φ时) 4.笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律,即 Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC) (B∪C)xA=(BxA)∪(CxA) Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC) (B∩C)xA=(BxA)∩(CxA)

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