笛卡尔乘积笛卡尔乘积是啥定义
笛卡尔乘积 时间:2021-08-02 阅读:(
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数据库里的笛卡儿积是什么东西?
笛卡尔积又叫笛卡尔乘积,是一个叫笛卡尔的人提出来的。
简单的说就是两个集合相乘的结果。
具体的定义去看看有关代数系的书的定义。
直观的说就是 集合A{a1,a2,a3} 集合B{b1,b2} 他们的 笛卡尔积 是 A*B ={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)} 任意两个元素结合在一起笛卡尔乘积是啥定义
名称定义
假设集合A={a,b},集合B={0,1,2},则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}。
可以扩展到多个集合的情况。
类似的例子有,如果A表示某学校学生的集合,B表示该学校所有课程的集合,则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。
笛卡儿积的运算性质
由于有序对中x,y的位置是确定的,因此A×B的记法也是确定的,不能写成B×A.
笛卡儿积也可以多个集合合成,A1×A2×…×An.
笛卡儿积的运算性质. 一般不能交换.
笛卡儿积,把集合A,B合成集合A×B,规定
A×B={?x?A?y?B}
推导过程
给定一组域D1,D2,…,Dn,这些域中可以有相同的。
D1,D2,…,Dn的笛卡尔积为:
D1×D2×…×Dn={(d1,d2,…,dn)|di??Di,i=1,2,…,n}
所有域的所有取值的一个组合不能重复
例 给出三个域:
D1=SUPERVISOR ={ 张清玫,刘逸 }
D2=SPECIALITY={计算机专业,信息专业}
D3=POSTGRADUATE={李勇,刘晨,王敏}
则D1,D2,D3的笛卡尔积为D:
D=D1×D2×D3 =
{(张清玫,计算机专业,李勇),(张清玫,计算机专业,刘晨),
(张清玫,计算机专业,王敏),(张清玫,信息专业,李勇),
(张清玫,信息专业,刘晨),(张清玫,信息专业,王敏),
(刘逸,计算机专业,李勇),(刘逸,计算机专业,刘晨),
(刘逸,计算机专业,王敏),(刘逸,信息专业,李勇),
(刘逸,信息专业,刘晨),(刘逸,信息专业,王敏) }
这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合,形成庞大的集合群。
本个例子中的D中就会有2X2X3个元素,如果一个集合有1000个元素,有这样3个集合,他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。
假若某个集合是无限集,那么新的集合就将是有无限个元素。
序偶与笛卡尔积
在日常生活中,有许多事物是成对出现的,而且这种成对出现的事物,具有一定的顺序。
例如,上,下;左,右;3〈4;张华高于李明;中国地处亚洲;平面上点的坐标等。
一般地说,两个具有固定次序的客体组成一个序偶,它常常表达两个客体之间的关系。
记作〈x,y〉。
上述各例可分别表示为〈上,下〉;〈左,右〉;〈3,4〉;〈张华,李明〉;〈中国,亚洲〉;〈a,b〉等。
序偶可以看作是具有两个元素的集合。
但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。
在集合中{a,b}={b,a},但对序偶〈a,b〉≠〈b,a〉。
设x,y为任意对象,称集合{{x},{x,y}}为二元有序组,或序偶(ordered pairs),简记为 。
称x为的第一分量,称y为第二分量。
定义3-4.1 对任意序偶 , , = 当且仅当a=c且b = d 。
递归定义n元序组
={{a1},{a1 , a2}}
= { {a1 , a2},{a1 , a2 , a3}}
= < , a3 >
= <, an>
两个n元序组相等
< a1,…an >= < b1,…bn >?(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn)
定义3-4.2 对任意集合 A1,A2 , …,An,
(1)A1×A2,称为集合A1,A2的笛卡尔积(Cartesian product),定义为
A1 ×A2={x | $u $v(x = ∧u ?A1∧v?A2)}={ | u ?A1∧v?A2}
(2)递归地定义 A1 × A2× … × An
A1 × A2×… × An= (A1× A2 × …× An-1)×An
例题1 若A={α,β},B={1,2,3},求A×B,A×A,B×B以及(A×B)?(B×A)。
解 A×B={〈α,1〉,〈α,2〉,〈α,3〉,〈β,1〉,〈β,2〉,<β,3〉}
B×A={〈1,α〉,〈1,β〉,〈2,α〉,〈2,β〉,〈3,α〉,〈3,β〉}
A×A={〈α,α〉,〈α,β〉,〈β,α〉,〈β,β〉}
B×B={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈2,3〉,〈3,1〉,〈3,2〉,〈3,3〉}
(A×B)?(B×A)=?
由例题1可以看到(A×B)?(B×A)=?
我们约定若A=?或B=?,则A×B=?。
由笛卡尔定义可知:
(A×B)×C={〈〈a,b〉,c〉|(〈a,b〉∈A×B)∧(c∈C)}
={〈a,b,c〉|(a∈A)∧(b∈B)∧(c∈C)}
A×(B×C)={〈a,〈b,c〉〉|(a∈A)∧(〈b,c〉∈B×C)}
由于〈a,〈b,c〉〉不是三元组,所以
(A×B)×C ≠A×(B×C)
定理3-4.1 设A, B, C为任意集合,*表示 ?,?或 – 运算,那么有如下结论:
笛卡尔积对于并、交差运算可左分配。
即:
A×(B*C)=(A×B)*(A×C)
笛卡尔积对于并、交差运算可右分配。
即:
(B*C) ×A=(B×A)*(C×A)
¤ 当*表示 ?时,结论(1)的证明思路:(讨论叙述法)
先证明A×(B ? C)?(A×B) ? (A×C) 从∈A×(B?C)出发,推出∈(A ×B) ? (A×C)
再证明(A×B) ? (A×C) ? A×(B ? C)
从∈(A×B) ? (A×C)出发,推出∈A×(B?C)
当*表示 ?时,结论(2)的证明思路:(谓词演算法) 见P-103页。
¤
定理3-4.2 设A, B, C为任意集合,若C ≠ F,那么有如下结论:
A?B?(A×C ?B×C) ? (C×A?C×B) ¤
定理前半部分证明思路 :(谓词演算法)
先证明A?B ? (A×C?B×C)
以A?B 为条件,从∈A×C出发,推出∈B×C
得出(A×C?B×C)结论。
再证明(A×C ?B×C) ? A?B
以C≠F为条件,从x∈A出发,对于y∈C,利用?附加式,推出x∈B
得出(A?B)结论。
见P-103页。
¤
定理3-4.3 设A, B, C, D为任意四个非空集合,那么有如下结论:
A×B ? C×D的充分必要条件是A? C,B? D
¤证明思路:(谓词演算法)
先证明充分性: A×B ? C×D ? A? C,B? D
对于任意的x∈A、y∈B,从∈A×B出发,利用条件A×B? C×D, ∈C×D,推出x∈C, y∈D。
再证明必要性: A? C,B? D ?A×B? C×D
对于任意的x∈A、y∈B,从∈A×B出发,推出∈C×D。
笛卡尔(Descartes)乘积又叫直积。
设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新的元素,他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积,记为A×B,即A×B={(x,y)|x∈A且y∈B}。
笛卡尔积怎么算。要过程
笛卡尔乘积是指在数学中,两个集合X和Y的笛卡尔积,又称直积,表示为X×Y,第一个对象是百X的成员度而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员,而笛卡尔乘积的具体算法及过程如下:
设A,B为集合,用A中元素为第一元素,B中元素为第二元素构成有序对,所有这样的有序对组成的集合叫做A与B的笛卡尔积,记作A x B.
笛卡尔积的符号化为:
A×B={(x,y)|x∈A∧y∈B}
扩展问资料:
笛卡尔乘积中专业符号的意义
1、“∈”答是数学中的一种符号。
读作“属于”。
若a∈A,则a属于集合A,a是集合A中的元素。
数学上读此符号时,直接可以用“属于”这个词来表达。
2、∧,称为合取,就是逻辑与,例如:P∧Q?当且仅内当P与Q同时为真(T)时,结果为真,容其余全为假(F)
3、∨,称为析取,就是逻辑或,例如: P∨Q,当且仅当P与Q同时为F时,结果为假,其余全为真。
4、┐ 为逻辑非求C语言描述的笛卡尔乘积代码!!!在线等!!
展开全部
#include
#include
void main()
{
int *a, *b,x;
int Na,Nb;
int i,j;
printf("input Na
");
scanf("%d",&Na);
printf("input Nb
");
scanf("%d",&Nb);
a = (int *) malloc(sizeof(int) * Na);
b = (int *) malloc(sizeof(int) * Nb);
printf("input a[]:
");
for (i=0;iprintf("input b[]:
");
for (i=0;iprintf("---------
");
// a * b:
for (j=0;j{
for (i=0;i{
x = a[j] * b[i];
printf("%d ",x);
}
printf("
");
}
}笛卡尔乘积是啥定义
笛卡尔(Descartes)乘积又叫直积。
假设集合A={a,b},集合B={0,1,2},则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)}。
可以扩展到多个集合的情况。
类似的例子有,如果A表示某学校学生的集合,B表示该学校所有课程的集合,则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。
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