指数函数与幂函数的比较

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com数学目标学生能使用不同的图像表示法来确定,随着x变大,两个函数中哪一个会更大.
学生能理解,在x足够大的情况下,任意一个底数大于1的指数函数大于任意一个幂函数.
学生能够在已知两函数比例图像的情况下,确定哪个函数比较大.
学生能够根据图像以及其他方法建立论据,来支持以下观点:在x足够大的情况下,指数函数大于幂函数.

抽象与具体地论证.
(CCSS数学操作)词汇指数函数幂函数底数关于本课本课包括,使用图像表达法,猜测并验证幂函数与指数函数图像的相对大小以及增长.
因此,学生需要:使用滚动条调整指出函数的底数,并将不同的指数函数与和相比较.
调整视图窗口,观察对于任意大于1大的底数,指数函数最终比两个幂函数都要大.
调整指数函数的底数以及幂函数的次数,观察两个函数的图像,观察它们的比值的图像,猜测它们的相对大小.
TI-NspireNavigator课堂无线系统使用快速调查来检测学生的理解.
使用屏幕截图来展示不同的指数函数.
TI-Nspire技能:下载TI-Nspire文件打开一个文件在页间切换选中并拖拉一个点教师提示:确保您的手持TI-Nspire图形计算器字体大小设置为中等您可以点击/G隐藏函数输入框课程材料:学生活动指数函数与幂函数的比较_学生版.
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com讨论要点和可能的答案教师提示:点击滚动条,改变r和b的值,以及窗口中显示的x的最大值.
翻到page1.
2.
1.
点击箭头b,调整指数函数的底数为2.
这时你有两个函数x2和2x.
a.
在什么区间内x2,同样地,长期来看,2x>.
TI-NspireNavigator课堂无线系统运用:屏幕截图参见本课最后Note1.
2.
点击箭头b调整指数函数,使它小于2.
a.
长久来看,有没有b的值能够使指数函数的值小于x2这些函数正在发生什么变化答案范例:学生会观察到,当b的值在1和2之间时,渐渐地,幂函数大小会超过指数函数.
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comb.
选择b的一个不为1的值,使得从长期的角度看,x2看起来比bx大.
现在使用滚动条改变图像窗口x的最大值.
发生了什么答案:改变窗口显示指数函数在某些点超过了.
教师提示:和学生讨论窗口中的变化.
为什么的图像变化了,但是没有呢这是因为y值的延伸设置为x值的平方,因此比例是固定的.
所以,的图像是不变的.
TI-NspireNavigator课堂无线系统运用:屏幕截图参见本课最后Note2.
c.
在上一题中,为什么不能选择b=1那样会发生什么答案:当b=1,函数不再是指数函数,而是一个常数函数.
所以,x=1之后的图像上,函数值会越来越大.
d.
通过你的观察,任何b>1的情况,x变大,哪一个看起来会更大bx还是x2请解释.
答案:.
如图所示,它最终会超过.
e.
你怎么知道x2在之后的图像中不会比bx大答案范例:学生可能是根据两个函数各自的增长率来发展论点.
f.
如果你使用幂函数x3代替x2,你觉得结果会不同吗解释一下你的想法.
答案范例:正确答案是不会.
但是,学生可能回答错误.
TI-NspireNavigator课堂无线系统运用:快速调查参见本课最后Note3.
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com翻到page2.
1.
3.
点击箭头b改变指数函数的底数.
a.
长期来看,b等于多少时,bx看上去大于x3从图像上看,你是通过什么得出这个结论答案范例:b的值大于2时.
对所有这些值来说,指数函数大于.
b.
给b选中一个小的值,(例如1.
1),使用xmax滚动条来调整窗口,你观察到什么答案:当xmax增加,很明显,随着x变大,任何底数大于1的指数函数会大于.
c.
b等于多少时,长久来看,bx大于x3答案:任意大于1的值.
d.
你觉得这个结论对所有幂函数都成立吗从长久来看,b与r等于多少时,你认为bx会比xr大答案范例:是.
对任意大于1的b与r,从长久来看bx会比xr大.
翻到page3.
1.
4.
点击箭头调整b与r的值.
从长久来看,b与r等于多少时,你认为bx会比xr大图像是怎么帮你确定的答案范例:当r不大于b.
图中显示每个函数的图像,什么时候一个函数大于另外一个函数,在图中清晰可见.

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com调整b和r的值,使x越大,xr看起来比bx大.
教师提示:在检验不同的r和b的值时,学生可能需要一些指导.
教师需要提供几组值做测试.
翻到page3.
2.
5.
在3.
2页的图像是根据你在3.
1中设置的b与r的值所产生的一个比:xrbx.
a.
xrbx等于多少时,bx>xr为什么答案:当>1,.
因为分数大于1时,分子大于分母.
b.
从xrbx的图像中,x越大,你能看出bx与xr什么样的关系请解释.
答案:你需要确定何时.
当图像显示比例大于1时,我们知道.
即使b非常接近于1,而r也很大,这表示,只要最终比例大于1,那么.
c.
回到3.
1页,调整b和r的值,再回到3.
2页观察比例图像的变化.
你可以进行多次操作.
根据你的观察,b和r为何值时,随着x变大,bx大于xr请解释理由.
答案:对任意b>1以及任意的r,随着x变大,bx大于xr.
论证方法各不相同.
学生可能会注意到,指数函数最终的增长速度大于幂函数.
这可以通过比率看出.
当比率按照越来越大的增长率增长,这就代表着分子指数函数的增长大于分母幂函数的增长.
教师提示:你可能想让学生在page3.
2画出图像f(x)=1,这样他们可以在图像上看到什么时候比例小于或大于1.
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comTI-NspireNavigator课堂无线系统运用:屏幕截图参见本课最后Note4.
结语在结束本次讨论时,确保学生明白:底数大于1的任意指数函数最终会大于一切幂函数.
可以利用两函数的比例更好地理解单个函数增长率的区别.
检测提供指数函数与幂函数,在x无限大的情况下进行比较.
包括次数和底数小于1的函数.
让学生猜测,何时底数小的指数函数与大于次数大的幂函数,并使用计算器检验猜测.