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收稿日期:20190731;修回日期:20190903基金项目:国家自然科学基金资助项目(61075115,61673258);上海市自然科学基金资助项目(19ZR1421600)作者简介:高文欣(1995),女,河北承德人,硕士研究生,主要研究方向为群智能计算、智能计算、大数据处理与分析;刘升(1966),男(通信作者),湖北黄石人,教授,博士,主要研究方向为人工智能、智能计算(ls6601@163.
com);肖子雅(1994),女,江苏徐州人,硕士研究生,主要研究方向为智能算法、项目调度与优化;于建芳(1992),女,河南周口人,硕士研究生,主要研究方向为群智能算法、智能计算、工程优化、项目调度.
全局优化的蝴蝶优化算法高文欣,刘升,肖子雅,于建芳(上海工程技术大学管理学院,上海201620)摘要:针对基本蝴蝶优化算法中存在的易陷入局部最优值、收敛速度慢等问题,提出一种全局优化的蝴蝶算法,引入limit阈值来限定蝴蝶优化算法陷入局部最优解的次数,从而改变算法易陷入早熟的问题,结合单纯形策略优化迭代后期位置较差的蝴蝶使种群能够较快地找到全局最优解;将正弦余弦算法作为局部算子融入BOA中,改善迭代后期种群多样性下降的缺陷,加快算法跳出局部最优.
在仿真模拟实验中与多个算法进行对比,结果表明改进算法的寻优性能更好.
关键词:蝴蝶优化算法;limit阈值;单纯形法;正弦余弦算法中图分类号:TP18文献标志码:A文章编号:10013695(2020)10017296605doi:10.
19734/j.
issn.
10013695.
2019.
07.
0274ButterflyoptimizationalgorithmforglobaloptimizationGaoWenxin,LiuSheng,XiaoZiya,YuJianfang(CollegeofManagement,ShanghaiUniversityofEngineeringSciences,Shanghai201620,China)Abstract:Aimingattheproblemsofeasyfallingintolocaloptimumandslowconvergencespeedinbasicbutterflyoptimizationalgorithm,thispaperproposedaglobaloptimizationbutterflyalgorithm.
Itintroducedlimitthresholdtolimitthenumberoftimesbutterflyoptimizationalgorithmfellintolocaloptimumsolution,soastochangetheproblemthatthealgorithmwaseasytofallintopremature.
Itcombinedsimplestrategytooptimizeiteration.
Forthebutterflyindividualswithpoorpositioninthelaterstage,thepopulationcouldconvergetotheglobaloptimumfaster.
Itusedthesinecosinealgorithmasalocaloperatortoimprovetheshortcomingsofpopulationdiversitydeclineinthelaterstageofiterationandacceleratethealgorithmtojumpoutofthelocaloptimum.
Comparedwithseveralalgorithmsinthesimulationexperiment,theresultsshowthattheimprovedalgorithmhasbetteroptimizationperformance.
Keywords:butterflyoptimizationalgorithm;limitthreshold;simplexmethod;sinecosinealgorithm蝴蝶优化算法(BOA)是Arora等人[1]提出的一种模拟蝴蝶觅食和求偶行为的新型元启发式优化算法.
基本BOA中参数少、原理简单、易于实现.
在研究中发现,BOA的收敛速度和寻优精度要明显优于DE(差分进化算法)[2]、CS(布谷鸟搜索算法)[3]、PSO(粒子群优化算法)[4]、FA(萤火虫算法)[5]、GA(遗传算法)[6]、ABC(人工蜂群算法)[7],但是基本的蝴蝶优化算法中也存在收敛精度低和易陷入局部最优的问题.
国外学者提出了一些有效的改进BOA.
2015年,Arora等人[8]提出了一种基于莱维飞行策略的蝴蝶优化算法,在全局和局部的两个位置更新处引入莱维函数,增加了种群的多样性,提高了算法的全局开采能力;2018年,文献[9]提出了一种基于学习自动机机制的蝴蝶优化算法,引入学习自动机机制,在保持学习自动机主要特征的同时,加速了全局收敛速度;文献[10]提出了一种基于感觉模态变化的蝴蝶优化算法,采用变量感知模态参数策略,提高了收敛速度;文献[11]提出了一种融合人工蜂群算法的蝴蝶优化算法,克服了蝴蝶优化算法后期搜索能力不足的缺点,提高了算法的收敛速度.
虽然已有学者的研究对基本BOA的寻优能力有所提高,但对于权衡算法全局开采和局部搜索能力、解决算法收敛速度慢、易陷入局部最优等问题仍需更加深入的研究.
本文针对基本蝴蝶优化算法中存在的寻优精度不高、收敛速度慢的缺陷,提出了一种全局优化的蝴蝶优化算法.
在局部探索过程中将正弦余弦算法作为一种局部优化算子融入BOA中,使其能在算法迭代后期较快地跳出局部最优;在全局搜索阶段,本文参照人工蜂群算法具有较强的全局搜索能力,将人工蜂群算法中蜜蜂抛弃蜜源的行为引入BOA中,结合limit阈值的策略,如果在连续limit代寻优过程中某个解没有被改善,那么将抛弃这个解而重新随机生成一个解进入下一代的进化[12].
另外结合单纯形法来优化在迭代过程中位置较差的蝴蝶,使种群能够较快地收敛到全局最优解,使得算法能够有效克服易陷入局部最优解的缺陷、增强算法的全局搜索能力、避免早熟,提升了算法的寻优精度和收敛速度.
1蝴蝶优化算法蝴蝶优化算法是模拟自然界中蝴蝶觅食(花蜜)和求偶行为而衍生出的一种新型群智能优化算法.
从生物学上讲,蝴蝶有感官感受器用来闻/感觉食物及花朵的香味,这些感受器被称为化学感受器,分散在蝴蝶身体的各个部位,如腿、触须等.
在BOA中,假设每只蝴蝶都能产生不同程度的香味,这种香味与蝴蝶的适应性有着进一步的关系.
蝴蝶在搜索空间中从一个位置移动到另一个特定位置,它的适应度就会相应变化.
蝴蝶所产生的香味被远远地传播到该地区的所有其他蝴蝶身上,其他蝴蝶感受到了传播的香味就会形成一个群体的社会知识网络.
每当蝴蝶在搜索空间中感受到来自最优蝴蝶的香味时,第37卷第10期2020年10月计算机应用研究ApplicationResearchofComputersVol37No10Oct.
2020它就会朝着最优蝴蝶移动,这个阶段被称为BOA的全局探索阶段,当蝴蝶无法在搜索空间中感受到任何其他蝴蝶的香味时,它将随机游走,这个阶段称为BOA中的局部开采阶段.
针对上述行为,给出如下模拟步骤:a)所有的蝴蝶会散发香味,使蝴蝶个体之间相互吸引.
b)每只蝴蝶都会随机移动或向发出最多香味的蝴蝶移动.
c)蝴蝶的刺激强度受目标函数的影响或决定.
d)全局搜索和局部搜索使用切换概率p来控制,由于物理近似度以及风雨、雷电等各种其他自然因素等,局部搜索和全局开采的切换概率p有重要意义.
在BOA中,每一只蝴蝶有它自己独特的感觉和个体感知能力,同时这也是区别于其他群智能算法的一个重要特征.
蝴蝶产生香味的数学公式如下:f=cIa(1)其中:f是香味的感知强度,即香味能够被其他蝴蝶感知的强度;c是蝴蝶的感觉模态;I是刺激强度;a是依赖于模态的幂指数,它解释了不同程度香味的吸收.
对于现实中的大多数情况,可以在[0,1]内取a.
参数a是取决于感觉模态的功率指数(在此为香味),这意味着它表征吸收的变化.
在每次迭代中,搜索空间中的所有蝴蝶移动到新位置,然后评价它们的适应值.
该算法首先计算解空间中不同位置上所有蝴蝶的适应度值,然后这些蝴蝶将通过式(1)计算在它们的位置处产生的香味.
在全局搜索阶段,蝴蝶朝着最优的蝴蝶(解g)移动,全局位置更新用式(2)表示.
xt+1i=xti+(r2*g-xti)*fi(2)其中:xti是第t次迭代中第i只蝴蝶的解向量xi;g表示在当前迭代的所有解中的最优解;第i只蝴蝶发出的香味用fi表示;r是[0,1]的随机数.
局部位置更新公式为xt+1i=xti+(r2*xtj-xtk)*fi(3)其中:xtj和xtk表示解空间中的第j只和第k只蝴蝶的解向量;若xtj和xtk属于同一个群体,并且r是[0,1]内的随机数,表示局部随机游走.
基本蝴蝶算法流程如图1所示.
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"#$%&@AB'CDEFGHIJ@AB()*CDKEGHIJLMIJ78.
/NKEOPQRSLMTUOVWXYZ+&ML[\图1基本BOA流程Fig.
1FlowchartofbasicBOAalgorithm2全局优化的蝴蝶优化算法本文针对基本蝴蝶优化算法中存在的寻优精度不高、收敛速度慢的缺陷,提出了一种混合策略改进的蝴蝶优化算法(simplexmethodsinecosinealgorithmbutterflyoptimizationalgorithm,SMSCABOA).
在局部探索过程中将正弦余弦算法作为一种局部优化算子融入BOA中,使其能较快地跳出局部最优;在全局搜索阶段,本文参照人工蜂群算法有较强的全局搜索能力,将人工蜂群算法中蜜蜂抛弃蜜源的行为引入BOA中,结合limit阈值的策略,如果在连续limit代寻优过程中某个解没有被改善,那么将抛弃这个解而重新随机生成一个解进入下一代的进化,本文使用单纯形法来产生新的解.
改进策略使得算法能够有效跳出局部最优、增强算法的全局搜索能力、避免早熟,提升了算法的寻优精度和收敛速度.
21limit阈值本文参考人工蜂群算法[13]中侦察蜂阶段引入了观察可行解的停滞次数limit阈值从而跳出局部最优,较快地寻得全局最优解的思想,引入limit阈值来克服算法易陷入局部最优问题.
limit阈值机制是在预先设定极限值(limit)的条件下,通过观察可行解的停滞次数是否达到limit值来进行循环迭代,若在limit代中某个个体的位置没有改变,则抛弃当前解,重新生成下一个解进行下一代的进化.
通过分析基本BOA可知,随着算法迭代次数的增加,蝴蝶个体将逐渐向适应度较优的个体飞行从而使得种群分布缩小,种群的多样性呈现下降趋势,导致算法陷入局部最优.
因此引入limit阈值来限定蝴蝶优化算法陷入局部最优解的次数,从而改变算法易陷入早熟的问题.
阈值limit的取值会影响算法寻优能力,若取值过大则对算法改进甚微;反之,取值过小则会导致算法的局部开发能力被减弱,且算法更新频繁.
通过多次测试,本文将阈值limit设定为60时效果比较好.
22单纯形法NelderMead单纯形法是由Nelder等人[14]在1965年提出的一种用于优化多维无约束问题的搜索算法.
此算法通过在d维空间中取d+1个点构成一个单纯形.
首先计算顶点的函数值;然后对单纯形的最差点进行内部压缩、外部压缩、反射和扩展等操作,来获得更好的点,由此替换最差点,重构单纯形,使其不断地逼近最优点[15].
单纯形算法是一种直接搜索算法,其寻优不受目标函数的连续性与可导性影响,具备精细的寻优能力.
因此本文引入单纯形的搜索策略,在寻香结束后,选择位置较差的蝴蝶利用单纯形法来优化较差蝴蝶的位置,产生新的解,进而加快种群收敛到最优解的速度.
单纯形法的步骤如图2所示.
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"#$%&'(#)*&+,&-.
/01&2"&图2单纯形搜索的不同点Fig.
2Thedifferencesofsimple具体过程如下:a)评价蝴蝶种群中所有个体,从中选出最优的蝴蝶xg和次优的蝴蝶xb,设xs是要被抛弃的蝴蝶,xg、xb和xs的适应度值分别是f(xg)、f(xb)和f(xs).
b)计算出xg和xb的中点,记为xc.
xc=xg+xb2c)执行反射操作.
xr=xc+a(xc-xs)其中:xr是根据xs得到的反射点;a是反射系数,通常取1.
d)若f(xg)>f(xr),则进行扩张操作,得到扩张点xe.
xe=xc+γ(xr-xc)其中:扩张系数γ=2.
若f(xe)f(xs),进行压缩操作,得到压缩点xt.
xt=xc+β(xs-xc)·7692·第10期高文欣,等:全局优化的蝴蝶优化算法其中:β=0.
5.
若f(xt)f(xr)>f(xg),进行收缩.
xw=xc+β(xs-xc)其中:xw是收缩点;收缩系数β=0.
5;f(xw)0.
{5(4)其中含有四个参数R1、R2、R3、R4,R1决定在下一次迭代第i个个体的位置更新方向,R1的范围影响着搜索空间的范围,R1=a-T*aTmax,迭代次数的变化会缩小蝴蝶个体的搜索范围,有效地保证了算法的收敛性,使其最终收敛到一个最优值,a是一个常数,本文中a=2;R2是[0,2π]的随机数,它决定下一次迭代中个体的移动距离;R3是随机权重,取值为[0,2],R3>1时,Mti对下一代迭代中个体的位置更新具有明显的影响,否则没有影响效果;R4是[0,1]产生的一个随机数,R4决定蝴蝶个体的位置更新方式是正弦还是余弦操作.
在蝴蝶进行局部寻优时,引入正弦余弦算法进行个体位置更新操作,这种位置更新策略可以改善蝴蝶个体与最优个体之间的信息交流机制,避免寻优个体的盲目性,克服算法在迭代后期容易陷入局部最优的缺陷.
在这个过程中,参数R1、R2可以有效地控制搜索的距离和方向.
正弦操作能够有效地保证全局寻优得到潜在的最优解,来减少余弦搜索的盲目性,降低个体陷入局部最优的可能性;余弦操作可以促进迭代后期的局部搜索能力,进一步弥补迭代后期寻优速度下降的问题,有效地保证了寻优的效率.
正余双弦相互作用,共同提高算法的寻优性能.
24改进算法的时间复杂度分析算法的种群规模设置为N,最大迭代次数为maxiter,搜索空间的维度为dim,增加limit阈值策略,相当于增加一个内层循环(由改进算法的流程图可以直接看出),则增加的运算量为O(maxiter*dim*(N-1)),增加单纯形策略优化全局最优值的时间复杂度为O(maxiter*dim*N),增加正弦余弦指引机制的时间复杂度为O(maxiter*dim*N),因此SMSCABOA算法总的时间复杂度为O(maxiter*dim*N*(N-1)),相当于增加了一个内层循环,根据改进算法的寻优效率来说,增加的计算量是可以接受的.
改进的算法流程如图3所示.
3仿真实验结果与分析31仿真实验环境本仿真测试环境为:操作系统Windows7,CPU为IntelCoreTMi54210U,主频1.
7GHz,内存为4GB,仿真软件为MATLAB2018b.
32实验的初始参数设置本文选取樽海鞘群优化算法(SSA)[17]、鲸鱼优化算法(WOA)[18]、蚁狮优化算法(ALO)[19]、基本蝴蝶优化算法(BOA)、单一策略改进的正弦指引机制的蝴蝶优化算法(SCABOA)以及本文的全局优化的蝴蝶优化算法(SMSCABOA)进行对比实验.
为了使实验公平、客观,本文将所有算法的种群规模统一设为30,迭代次数设置为500,四种算法的公有参数保持一致.
BOA、SCABOA和SMSCABOA的感官模态c设置为0.
01,a幂指数在迭代过程从0.
1迭代到0.
3,切换概率p=08.
SMSCABOA中的limit设置为60时效果较好.
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8jh-.
G*opqprs$t图3SMSCABOA算法流程Fig.
3FlowchartofSMSCABOAalgorithm33测试函数表1和2分别给出了本文选取的单模态和多模态测试函数.
表1单模态基准测试函数Tab.
1Singlemodebenchmarkfunction函数dim范围fminf1=∑ni=1x2i30[-100,100]0f2=∑ni=1|xi|+∏ni=1xi30[-10,10]0f3=0.
26(x21+x22)-0.
48x1x230[-10,10]0表2多模态基准测试函数Tab.
2Multimodalbenchmarkfunction函数dim范围fminf4=πd*{10sin2(πy1)∑d-1i=1(yi-1)2[1+10sin2(πyi+1)]+(yn-1)2}+∑di=1u(xi,10,100,4)30[-50,50]0f5=∑ni=1|xisin(xi)+0.
1xi|30[-10,10]0f6=-20exp(-0.
2*1n∑ni=1x2槡i)-exp(1n∑ni=1cos(2πxi))+20+e30[-32,32]0f7=14000∑ni=1x2i-∏ni=1cos(xi槡i)+130[-600,600]0f8=∑ni=1(x2i-10cos(2πxi)+10)30[-5.
12,5.
12]0f9=0.
5+sin2(x2i+x槡22-0.
5)(1.
0+0.
001(x2i+x22))22[-5.
12,5.
12]034实验结果及分析为了验证本文SMSCABOA算法具有更好的收敛性、稳定性,本文选用九个基准测试函数进行了验证.
为了避免由于偶然的因素带来的结果偏差,每个算法在每个测试函数上面独立运行30次.
表3给出SSA、WOA、ALO、BOA、SCABOA、SMSCABOA六种算法在每个测试函数上独立运行30次后所得到的实验结果.
在本文所选的测试函数中,f1~f3是单峰函数,f4~f9是复杂的非线性多峰函数.
对于单模态测试函数,一般来说比较容易达到最优值,所以用来测试算法的收敛性能.
本文的改进算法能够较快地收敛到最优值.
而多模态测试函数一般会存在大量的局部极值,用来检验算法的全局开采能力、群体多样性·8692·计算机应用研究第37卷以及跳出局部最优值和避免易陷入早熟的能力.
从表3的实验结果可以看出,在固定迭代次数的实验下改进后的SMSCABOA性能无论在单模态函数还是多模态函数上均优化明显,明显优于对比算法SSA、WOA、ALO、BOA,除函数f4、f6这两个函数之外,其余测试函数都能收敛到最优值0,改进算法的稳定性较好,寻优成功率达到了100%.
对于函数f4虽然在迭代截止的时候没有收敛到最优值,终止精度达到了10-9并且仍然有下降的趋势,但是其收敛精度相比于基本的BOA提高了8个精度单位,对比其他四种算法,其寻优性能也是最好的.
函数f6是一种很难找到全局最优值的爬山形态的多峰函数,对比基本BOA,改进后的蝴蝶优化算法提高了7个数量级的寻优精度,标准差为0,证明改进算法具有较好的稳定性.
表3实验结果Tab.
3Experimentalresults函数算法最优值平均值标准差f1SSA2.
58E-087.
21E-071.
62E-06WOA8.
09E-871.
15E-734.
85E-73ALO1.
50E-041.
65E-031.
36E-03BOA01.
08E-111.
30E-111.
02E-12SCABOA3.
05E-2102.
55E-1179.
55E-117SMSCSABOA000f2SSA1.
91E-014.
32E+001.
33E+01WOA3.
13E-573.
85E-501.
95E-49ALO1.
53E+006.
19E+014.
89E+01BOA01.
29E-094.
38E-091.
36E-09SCABOA7.
89E-2202.
35E-1191.
27E-118SMSCSABOA000f3SSA1.
71E-171.
35E-152.
01E-15WOA2.
55E-2303.
08E-1865.
63E-192ALO3.
47E-173.
48E-154.
00E-15BOA4.
76E-138.
89E-132.
24E-13SCABOA1.
64E-2286.
77E-1383.
64E-137SMSCSABOA000f4SSA2.
85E+008.
37E+003.
56E+00WOA5.
49E-032.
68E-023.
35E-02ALO4.
54E+001.
22E+014.
58E+00BOA04.
14E-016.
62E-011.
45E-01SCABOA5.
23E-054.
21E-034.
99E-03SMSCSABOA3.
88E-098.
20E-071.
048E-06f5SSA8.
01E-013.
75E+002.
05E+00WOA1.
05E-581.
05E-405.
67E-40ALO2.
35E+006.
61E+003.
99E+00BOA1.
30E-106.
00E-103.
58E-10SCABOA1.
04E-1931.
57E-1595.
23E-161SMSCSABOA000f6SSA1.
05E-022.
63E+007.
61E-01WOA8.
88E-164.
91E-152.
55E-15ALO1.
16E+004.
65E+002.
61E+00BOA4.
45E-096.
05E-095.
68E-10SCABOA8.
88E-168.
88E-160SMSCSABOA8.
88E-168.
88E-160f7SSA6.
72E-041.
45E-029.
80E-03WOA000ALO2.
10E-026.
84E-023.
75E-02BOA9.
22E-134.
84E-122.
22E-12SCABOA000SMSCSABOA000f8SSA1.
71E-171.
35E-152.
01E-15WOA000ALO4.
18E+019.
13E+012.
67E+01BOA1.
05E+022.
80E+016.
66E+01SCABOA000SMSCSABOA000f9SSA2.
50E-155.
51E-034.
81E-03WOA06.
48E-042.
42E-03ALO1.
38E-135.
18E-034.
85E-03BOA5.
32E-121.
15E-027.
84E-03SCABOA000SMSCSABOA000为了进一步验证本文使用混合策略改进算法的有效性,表3中展示了使用单一策略正弦余弦指引机制优化的蝴蝶优化算法.
从实验结果可以看出,使用单策略改进的SCABOA算法在函数f1、f6、f7、f8、f9上能够收敛到最优值,由此说明正弦余弦指引机制能够有效地降低基本BOA在迭代过程中陷入局部最优值的可能性,避免蝴蝶个体盲目寻优.
函数f2、f3不能收敛到最优值,其寻优精度达到了E-220数量级,比基本蝴蝶算法提高200个精度,寻优成功率达到67%,也进一步说明增加limit阈值和单纯形策略改进后的SMSCABOA具有更高的寻优精度和鲁棒性,其结果是明显优于单一策略的.
对于函数f2,SMSCABOA比SCABOA在平均精度上高出4个数量级,SMSCABOA的标准差更小,稳定性更好.
标准差一般是用来检验算法的稳定性,在实验结果中可以看出本文SMSCABOA的标准差最小,可以证明混合改进后算法的稳定性更高.
为了进一步展示SMCSABOA的寻优能力,本文列出六个测试函数的收敛迭代曲线对比图,如图4所示.
从收敛曲线可以看出,SMSCABOA的寻优能力要优于SSA、WOA、ALO和BOA.
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