策梅洛定理佛玛的最后定理是什么内容？

无限重复博弈里的无名氏定理到底说明了什么?

在无限重复中，行为规则可以用自动机来代表，于是不同行为规则的 相争，便成了机器与机器的角斗。

假设甲和乙玩无限重复的囚犯博奕。

甲 相信《美德的起源》一书作者的教导，认定仁厚忠恕既高尚又有效，于是 以它为策略。

乙信奉理性流氓主义，崇尚实力和实利，于是以流氓主义为 策略。

这样，二人间的博弈，就可以看作恕道机器与流氓机器的争斗。

根 据上一贴中列出的框图，我们可以推演出各个回合双方的行为如下： 第一回合，甲仁厚玩合作H，乙宰客玩欺骗D； 第二回合，甲报复玩欺骗D，乙仍然宰客玩欺骗D； 第三回合，甲仍报复玩欺骗D，乙发现甲并非傻客，于是玩合作H； 第四回合，甲原谅乙，玩合作H；乙却因甲上次不合作，回头玩欺骗D宰客； ?? 如此等等。

采用我们上贴里的报偿表，整个结果序列如下图所示： 循 环 循 环 循 环 ┌———┐ ┌———┐ ┌———┐ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 行为：甲 H D D H D D H D D 乙 D D H D D H D D H 报偿：甲 0 2 6 0 2 6 0 2 6 乙 6 2 0 6 2 0 6 2 0 ?? 请注意，此序列呈现一个有趣的规律：就是每三个一组，不断循环重 复。

于是我们很容易算出，博弈各方平均每个回合的报偿有多少 只要 取相继三个回合，作个简单平均就够了。

甲得到（0＋2＋6）／ 3 ＝ 2．67，乙得到（6＋2＋0）／ 3＝2．67。

显然，两者平分秋色， 不相上下，谁也不比谁差，谁也不比谁强。

这种循环重复并不是特例。

可以证明，有限自动机玩无限重复博弈， 其结果最终都会变成循环重复序列。

于是，利用类似的办法，我们可以针 对上贴中列出的七种策略，算出每一对策略相博所产生的的平均报偿。

这 些报偿可以写成一个7×7博奕矩阵，如下表所示（其中一些略去了小数， 这不影响下面的讨论）： 乙 傻客 恶棍 冷血 恕道 侠义 流氓 摇摆 ·－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－· 傻客 ｜4，4｜0，6｜4，4｜4，4｜4，4｜0，6｜0，6｜ ｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 恶棍｜6，0｜②，②｜2，2｜2，2｜2，2｜3，1｜2，2｜ ｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 冷血｜4，4｜2，2｜④，④｜④，④｜2，2｜3，1｜2，2｜ ｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 恕道｜4，4｜2，2｜④，④｜④，④｜3，3｜2，2｜2，2｜ 甲 ｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 侠义｜4，4｜2，2｜2，2｜3，3｜2，2｜2，2｜2，2｜ ｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 流氓｜6，0｜1，3｜1，3｜2，2｜2，2｜④，④｜2，4｜ ｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 摇摆｜6，0｜2，2｜2，2｜2，2｜2，2｜4，2｜③，③｜ ·－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－· 上面这个表里面，有带圈数字的格子都是平衡点。

比如，乙玩恶棍策 略时，甲无论玩什么，都不比当恶棍带来的好处更多，顶多不致受损而已。

因此，甲乙双方都当恶棍，次次都玩欺骗，便是重复囚犯博奕的平衡点之 一，此时各方的报偿与一次性博奕相同，都是2。

观察一下上面这个表，我们会发现它有多个平衡点。

非重复博弈中的 均衡点，恶棍对恶棍，双方永远玩欺骗，仍然是无限重复博弈的均衡点。

无条件合作的傻客策略，仍然不是重复博弈的均衡点 理性的人，决不 会当傻客。

更重要的是，重复博弈引进了许多新的平衡点，其中有不少平衡点， 可以实现合作报偿(4,4)。

这包括恕道策略对恕道策略，恕道策略对冷血 策略，冷血策略对冷血策略，流氓策略对流氓策略等，都可以维持双方的 合作。

以流氓对流氓为例：第一回合，双方耍流氓互宰，发现对方不是好 惹的之后，双方转入合作心态，此后一直维持合作，这样无限次重复，其 平均报偿都是4。

事实上，存在这无穷多对有限自动机策略，可以成为无限重复博弈的 平衡点，并同时实现双方的合作。

这就是有名的“大众定理(Folk Theorem)”， 又译作“无名氏定理”。

它之得名，是由于重复博弈促进合作的思想，早 就有很多人提出，以致无法追溯到其原创者，于是以“无名氏”名之。

大众定理说明了行为规则的多样性：有无穷多种行为规则可以支持合 作行为。

在正常的平衡状态中，可观察到的行为可以完全相同的，此即博 弈双方相互合作，不玩欺骗。

但其背后的行为规则却可能大不相同 合 作，可以是由于双方都信奉仁厚的恕道主义，也可能是因为双方都是理性 流氓，还可能是因为双方都一冷血报复作威胁。

这些行为规则上的区别， 在正常的平衡状态中，是看不出来的，只有在非正常情况下，或在与外人 的交往中，才会表现出来。

为说明此点，设想有两个相互隔离的社会：一个形成了理性流氓式的 行为规则，一个形成仁厚恕道的行为规则，他们各自内部都能维持相互合 作，这形成了社会的正常状态。

外人但凭观察这两个社会中人们的正常行 为，看不出他们有什么区别。

现在假设两个社会打破隔离，相互接触，会 产生甚么情况？ 两套行为规则间会出现激烈的冲突！ 初次接触，流氓主义者将把对方当傻客，大宰其客。

恕道主义者假设 对方是好人，选择合作，只是在吃了亏之后，才以回宰其客相回报。

流氓 主义者见对方回宰，以为对方也是跟自己一样的流氓，于是转向合作心态， 同时预期对方也选择合作。

但恕道主义者根据“以直报怨”的原则，仍然 以宰客回报对方上次的欺骗。

流氓主义者一看对方不合作，怒从心起，于 是报之以宰客，如此循环往复，双方永远无法达成合作。

行为规则的冲突，类似于人文学科里常说的文化冲突。

由于行为规则 反映了人们对各自行为的稳定预期，一些博弈论者把不同的行为规则解释 为不同的文化信仰，应当是不无道理的。

我觉得，重复博弈理论，为我们 科学理解许多文化现象，打开了大门。

正是由于行为规则本身的多样性和复杂性，所以我对成朴文章中过分 抬高“一报还一报（tit for tat）”单一规则，将之推崇为 美德的起源，始终抱有疑虑。

大数定理是一条什么样的定理？

大数定律又称大数法则、大数率。

在一个随机事件中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；同时，在对物理量的测量实践中，测定值的算术平均也具有稳定性。

策梅洛定理对二人以上博弈有效吗？

题主的假设似乎不太完备，我就私自假设一下吧，假如说新的策梅洛定理（简化起见，假设为三人博弈）表示的是三方或者有必胜（对应其他两方必败），或者三方和局的策略。

举一个例子：假设三人为甲乙丙，第一步甲来，他有两条路，一条路是会让乙胜，一条路是让丙胜，第二步之后的我们就不考虑了，反正结果是确定的。

请问，这时候策梅洛定理还成立吗？显然乙丙二人的获胜概率为50%，而且完全靠运气，这就不符合策梅洛定理了。

而二人博弈时甲可以通过自己选择第一步让自己获胜，概率为100%（当然也不排除甲怎么选都不会赢，那也是100%）。

所以我认为策梅洛定理是不能推广到三人及以上的博弈的。

对策论中的Von neumann定理是什么？

冯·诺依曼不仅曾将自己的才能用于武器研究等，而且还用于社会研究。

由他创建的对策论，无疑是他在应用数学方面取得的最为令人羡慕的杰出成就。

现今，对策论主要指研究社会现象的特定数学方法。

它的基本思想，就是分析多个主体之间的利害关系时，重视在诸如下棋、玩扑克牌等室内游戏中竞赛者之间的讨价还价，交涉，结伙，利益分配等行为方式的类似性。

　　对策论的一些想法，20年代初就曾有过，真正的创立还得从冯·诺依曼1928年关于社会对策理论的论文算起。

在这篇文章中，他证明了最小最大定理，这个定理用于处理一类最基本的二人对策问题。

如果对策双方中的任何一方，对每种可能的策略，考虑了可能遭到的最大损失，从而选择“最大损失”最小的一种为“最优”策略，那么从统计角度来看，他就能够确保方案是最佳的。

这方面的工作大致已达到完善。

在同一篇论文中，冯·诺依曼也明确表述了n个游戏者之间的一般对策。

　　对策论也被用于经济学。

经济理论中的数学研究方法，大致可分为定性研究为目标的纯粹理论和以实证的、统计的研究为目标的计量经济学。

前者称为数理经济学，正式确立于本世纪40年代之后。

无论在思想上或方法上，都明显地受到对策论的影响。

　　数理经济学，过去模仿经典数学物理的技巧，所用的数学工具主要是微积分和微分方程、将经济问题当成经典力学问题处理。

显然，几十个商人参加的贸易洽谈会，用经典数学分析处理，其复杂程度远远超过太阳系行星的运动，这种方法的效果往往很难是预期的。

冯·诺依曼毅然放弃这种简单的机械类比，代之以新颖的对策论观点和新的数学—和凸性的思想。

　　1944年，冯·诺依曼和摩根斯特思合著的《对策论和经济行为》是这方面的奠基性著作。

论文包含了对策论的纯粹数学形式的阐述以及对于实际应用的详细说明。

这篇论文以及所作的与某些经济理论的基本问题的讨论，引起了对经济行为和某些社会学问题的各种不同研究，时至今日，这已是应用广泛、羽毛日益丰盛的一门数学学科。

有些科学家热情颂扬它可能是“20世纪前半期最伟大的科学贡献之一”。

史上最难的数学题是什么

数学之最：世界上最难的23道数学题 1．连续统假设1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。

1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛–弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。

1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛–伦克尔集合论公理是彼此独立的。

因此，连续统假设不能在策梅洛–弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。

希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。

2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。

希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。

1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。

1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。

1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。

3．两个等底等高四面体的体积相等问题。

问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。

M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。

4．两点间以直线为距离最短线问题。

此问题提得过于一般。

满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。

1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。

《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。

5．一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、庞德里亚金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。

6．物理学的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。

1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。

后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。

但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。

7.某些数的无理性与超越性1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0，1，和任意代数无理数β证明了αβ的超越性。

8．素数问题。

包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。

一般情况下的黎曼猜想仍待解决。

哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。

目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。

9．在任意数域中证明最一般的互反律。

该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。

10．丢番图方程的可解性。

能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。

希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。

11．系数为任意代数数的二次型。

H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。

12．将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。

13．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程。

七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x（a，b，c）。

这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。

但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。

14．证明某类完备函数系的有限性。

这和代数不变量问题有关。

1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。

15．舒伯特计数演算的严格基础一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。

希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。

现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。

但严格的基础迄今仍未确立。

16．代数曲线和代数曲线面的拓扑问题这个问题分为两部分。

前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。

后半部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。

17．半正定形式的平方和表示。

一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,…,xn)都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。

18．用全等多面体构造空间。

由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决。

19．正则变分问题的解是否一定解析。

对这一问题的研究很少。

C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。

20．一般边值问题这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。

目前还在继续研究。

21．具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明。

已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。

22．由自守函数构成的解析函数的单值化。

它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。

23．变分法的进一步发展出。

这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。

20世纪以来变分法有了很大的发展

佛玛的最后定理是什么内容？

一个延绵三百多年的猜想，一个未经证明而被称为定理的猜想，一个使无数的数学家花尽心思去证明的猜想，一个为数学界带来无穷得益的猜想——费马最后定理——终于在1995年正式由当代的数学家怀尔斯（Andrew Wiles）所解决，也为这个多年来令数学家束手无策的问题划上句号。

一切也应由人所皆知的勾股定理开始。

二千多年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发现对于任意一个直角三角形的两条邻边的平方和等于斜边的平方，即x2+y2=z2，当中x及y是邻边长度，而z是斜边的长度，这条定理相信有初中程度的学生也会知道，而当中我们发现有一些直角三角形的三条边的长度都可以是整数，如（3，4，5）和（5，12，13）等，我们称这些数组为「毕氏三元数」，而毕氏三元数也就是费马最后定理的起源。

十七世纪的数学家费马（Pierre de Fermat） 对数学作出了多方面的贡献，其中他对数论的兴趣特别浓厚。

在他珍藏的古籍拉丁译本中，有一本由希腊数学家丢番图（Diophantus）所着的名为《算术》（Diophanti Alexandrini Arithmeticorum Libri Sex）的书，他大约在1637年以拉丁文在这本书中的勾股定理论证附近写下了： 「另一方面，一个数字的立方不可能表示成两个立方数的和，一个四次方数也不能表示成两个四次方数的和；或者更概括地说，除了平方之外，一个n次方数不能表示成两个n次方数的和（xn+yn=zn）。

我己经为这个命题找到了一个非常美妙的证明，然而这里的篇幅不足以让我写下这个证明。

」 这就是有名的「页边笔记」。

因为费马所宣称己证明的定理多数也可被证明，所以这篇笔记的内容也被受重视，尤其是他所说的「非常美妙的证明」更是耐人寻味。

在十九世纪的初叶，所有其它由费马所说的定理都一一被证明或否证，只剩下这个看似简单的?述，依然没有定案，也因此被冠以「费马最后定理」或「费马大定理」之名。

三百多年来，有成千上万的数学家也曾经尝试过证明或否证费马最后定理，不过大多数的证据都显示它是正确的。

一些大数学家如：欧拉（Leonhard Euler）、高斯（Carl Fredrick Gauss）、莱布尼茨（Gettfried Wilhelm Leibniz）等也尝试过证明，不过他也只限于对某几个数字，甚至连费马本人也用他的无穷下降法证明了当n=4时，费马最后定理是正确的，直至十九世纪，库默尔（Ernst Eduard Kummer）证明了当n<100时，费马最后定理是正确。

到二十世纪，数学家已经把n的数值推至四千一百万了，不过总是触不到问题的核心——对所有的整数n>2也是正确！一直到1983年伏尔廷斯（Gerd Faltings）证明了对于n>3，不定方程xn+yn=zn最多只有有限多的整数解，可算是一大突破。

1993年，一位自小便对费马最后定理有兴趣的数学家怀尔斯，他以七年的苦心耕耘，攻克了一直被视为不可证明的破解费马最后定理的钥匙——谷山—志村猜想，并在6月于他的母校剑桥大学的牛顿爵士数学科学研究中心内发表他的研究成果，同时也宣布为费马最后定理划上句号。

可惜，划上的不是句号而只是休止符，在同年的八月怀尔斯的证明被发现在致命的漏洞，因而令怀尔斯伤心地返回奋斗了七年的书房。

一年后，正当怀尔斯想放弃之时，他看着眼前的论文，努力思考了将近二十分钟，竟然发现了自己的错误的原因，并且明白了如何解决，正如他自己形容： 「那是我工作生命中最重要的一刻。

突然，出乎意料地，我彷佛窥得了天机。

再没有其它事能如此难以形容的美丽，它是那样简单而精巧，我只能不可置信地望着……」 终于在1995年出版的《数学年鉴》中，怀尔斯的论文通过了严格的审查，向全世界发表了，也是正正式式的为费马最后定理划上句号。

费马最后定理是一个很简单易明的命题，在这三百多年间引起了不少的讨论，曾经有富翁愿意出十万马克征求解决方法。

当然，费马最后定理的价值不可以十万马克来衡量，它促进了数学的发展，在研究它的过程之中，不少新的数学分支和新的工具被发明和推广（如：代数数论），有些更独当一面成为专门的学科，为数学增加不少活力，这也是一个问题所以为一个好问题的因素。

至于，费马在「页边笔记」所写的那个「非常美妙的证明」是怎样的，将成为费马最后定理所遗下的最后一个谜！