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§7-山东省教师教育网高考复习科目数学 高中数学总复习

I .基础知识要点 一、概率.

1.概率 随机事件A的概率是频率的稳定值反之频率是概率的近似值.

2.等可能事件的概率如果一次试验中可能出现的结果有年n个且所有结果出现的可能性都相等那么每一个基本事件的概率都是

1m如果某个事件A包含的结果有m个那么事件A的概率P(A)

.nn

3.①互斥事件不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.如果事件A、 B互斥那么事件A+B发生(即A、 B中有一个发生)的概率等于事件A、 B分别发生的概率和 即P(A+B)=P(A)+P(B) 推广

P(A1 A2  An) P(A1) P(A2)  P(An).

②对立事件两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.例如从152张扑克牌中任取一张抽到“红              桃”

与抽到“黑桃”互为互斥事件 因为其中一个不可能同时发生但又不能保证其中一个必然发生故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件 因为其中一个必发生.注意i.对立事件的概率和等于1 P(A) P(A ) 1. ii.互为对立的两个事件一定互斥但互斥不一定是对立事件.

③相互独立事件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件.如果两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积 即P(A· B)=P(A) · P(B). 由此 当两个事件同时发生的概率P AB等于这两个事件发生概率之和这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如从一副扑克牌52张中任抽一张设A“抽到老K”

B “抽到红牌”则A应与B互为独立事件[看上去A与B有关系很有可能不是独立事件但P(A)

互斥

对立

412611

.又事件 ,P(B) ,P(A) P(B)

521352226

21 因此有

5226

AB表示“既抽到老K对抽到红牌”即“抽到红桃老K或方块老

K”有P(A B) P(A )P(B) P(A B).

推广若事件A1,A2, ,An相互独立则P(A1 A2 An) P(A1)

P(A2) P(An).注意 i.一般地如果事件A与B相互独立那么A与B,A与B A与B也都相互独立. ii.必然事件与任何事件都是相互独立的.iii.独立事件是对任意多个事件来讲而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件且这多个事件不能同时发生故这些事件相互之间必然影响 因此互斥事件一定不是独立事件.

④独立重复试验若n次重复试验中每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果则称这n次试验是独立的.如果在一次试验中某事件发生的概率为P那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生kkn k次的概率 Pn(k) Ck.nP(1 P)

4.对任何两个事件都有P(A B) P(A) P(B) P(A B)二、随机变量.

1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件

①试验可以在相同的情形下重复进行②试验的所有可能结果是明确可知的并且不止一个③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.

2.离散型随机变量如果对于随机变量可能取的值可以按一定次序一一列出这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量 a b是常数.则 a  b也是一个随机变量.一般地若ξ是随机变量

f(x)是连续函数或单调函数则f( )也是随机变量.也就是说随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1,x2, ,xi,

ξ取每一个值x(i 1,2, )的概率P( x) p则表称为随机变量ξ的概率分布简称ξ的分布列.

112i注意若随机变量可以取某一区间内的一切值这样的变量叫做连续型随机变量.例如 [0,5]即 可以取05之间的一切数包括整数、小数、无理数.

3.⑴二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是P那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生kkn k次的概率是P(ξ k) Ck[其中k 0,1, ,n,q 1 p]npq

于是得到随机变量ξ的概率分布如下我们称这样的随机变量ξ

服从二项分布记作 B n · p其中nkn kp为参数并记Ck b(k;n p).npq

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复且每次试验只有两种结果如果不满足此两条件 随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小而每次抽取时又只有两种试验结果此时可以把它看作独立重复试验利用二项分布求其分布列.

4.几何分布 “ k”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生如果把k次试验时事件A发生记为Ak事A不发生记为Ak,P(Ak) q那么P(ξ k) P(A1A2 Ak 1Ak).根据相互独立事件的概率乘法分式P(ξ k) P(A1)P(A2) P(Ak 1)P(Ak)qk 1p(k 1

,2,3, )于是得到随机变量ξ的概率分布列.

我们称ξ服从几何分布并记g(k,p) qk 1p其中q 1 p.k 1,2,3

5.⑴超几何分布一批产品共有N件其中有MMN件次品今抽取n(1 n N)件则其中的次品数ξ是一离散型随机变量分布列为P(ξ k)kk

 

CM CNn M

Cn

N

(0 k M,0 n k N M). 〔分子是从Mr

件次品中取k件从N-M件正品中取n-k件的取法数如果规定mr时Cm 0则k的范围可以写为k=0 1 „ n. 〕

⑵超几何分布的另一种形式一批产品由 a件次品、 b件正品组成今抽取n件1≤n≤a+b则次品数ξ的分布列为P(ξ k)n k

Cka Cb

Cna bk 0,1, ,n..

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、 b件正品组成不放回抽取n件时其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取则其中次品数 的分布列可如下求得把a b个产品编号则抽取n次共有(a b)个可能结果等可能kn k(η k)含Ck个结果故P(η k) nabkn k

Cknabn

(a b)n

Ckn(akan k