协方差相关系数相关性与协方差

协方差相关系数  时间:2021-07-23  阅读:()

相关系数和协方差所表示的意义有什么区别

二者表示变量间的共变程度,协方差是变量x的离均差乘以y的离均差再求平均得到的统计量,虽然它可以表示x和y的共变程度,但x和y的单位可能不同,这样直接将二者的离均差相乘得到的结果可能偏差很大,因此有必要统一单位,即消去x和y的单位,做法就是给协方差再分别处以x、y各自的标准差,这样得到的统计量就是相关系数 由于相关系数是协方差除以两变量标准差得到的,因此相关系数是一个标准化的变量,而协方差是未标准化变量。

方差、协方差与相关系数的关系方程式

随机变量:ξ 0,数学期望:Eξ 1,方差:若E(ξ-Eξ)^2存在,则称 Dξ=E(ξ-Eξ)^2为随机变量ξ的方差;称√Dξ为ξ的标准差。

2,协方差:给定二维随机变量 ξ (ξ1, ξ2),若:E[(ξ1-Eξ1)(ξ2-Eξ2)]存在,则称其为随机变量 (ξ1,ξ2)的协方差,记为:cov(ξ1,ξ2)=E[(ξ1-Eξ1)(ξ2-Eξ2)] 3,记:r(ξ1,ξ2)=cov(ξ1,ξ2)/[Dξ1Dξ2]^0.5 =E[(ξ1-Eξ1)(ξ2-Eξ2)] / [Dξ1Dξ2]^0.5 (Dξ1,Dξ2均大于零) 称:上式为ξ1,ξ2的‘相关系数’或‘标准协方差’。

4,以上可知方差、协方差、相关系数之间的相互关系。

相关系数和协方差所表示的意义有什么区别

相关关系是一种非确定性的关系,相关系数是研究变量之间 线性相关程度 的量。

由于研究对象的不同,分为简单相关系数,复相关系数,典型相关系数。

协方差用于在概率论和统计学中衡量两个变量的 总体误差。

概率论概率论 相关系数怎么算

相关系数 正的协方差表达了正相关性,负的协方差表达了负相关性。

对于同样的两个随机变量来说,计算出的协方差越大,相关性越强。

但随后一个问题,身高和体重的协方差为30,这究竟是多大的一个量呢?如果我们又发现,身高与鞋号的协方差为5,是否说明,相对于鞋号,身高与体重的的相关性更强呢? 这样横向对比超出了协方差的能力范围。

从日常生活经验来说,体重的上下浮动大约为20kg,而鞋号的上下浮动大约可能只是5个号码。

所以,对于体重来说,5kg与中心的偏离并不算大,而5个号码的鞋号差距,就可能是最极端的情况了。

假设身高和体重的相关强度,与身高和鞋码的相关强度类似,但由于体重本身的数值上下浮动更大,所计算出的协方差也会更大。

另一个情况,依然是计算身高与体重的协方差。

数据完全不变,而只更改单位。

我们的体重用克而不是千克做单位,计算出的协防差是原来数值的1000倍! 为了能进行这样的横向对比,我们需要排除用统一的方式来定量某个随机变量的上下浮动。

这时,我们计算相关系数(correlation coefficient)。

相关系数是“归一化”的协方差。

它的定义如下: 相关系数是用协方差除以两个随机变量的标准差。

相关系数的大小在-1和1之间变化。

再也不会出现因为计量单位变化,而数值暴涨的情况了。

? 依然使用上面的身高和体重数据,可以计算出 Var(X)=0.3×(60?70)2+0.3×(80?70)2=60 Var(Y)=0.3×(180?170)2+0.3×(160?170)2=60 ρ=30/60=0.5 这样一个“归一化”了的相关系数,更容易让人把握到相关性的强弱,也更容易在不同随机变量之间,做相关性的横向比较。

? 双变量正态分布 双变量正态分布是一种常见的联合分布。

它描述了两个随机变量X1和X2的概率分布。

概率密度的表达式如下: X1和X2的边缘密度分别为两个正态分布,即正态分布N(μ1,σ1),?N(μ2,σ2)。

另一方面,除非ρ=0,否则联合分布也并不是两个正态分布的简单相乘。

可以证明,ρ正是双变量正态分布中,两个变量的相关系数。

? 现在绘制该分布的图像。

可惜的是,现在的scipy.stats并没有该分布。

需要自行编写。

选取所要绘制的正态分布,为了简单起见,让μ1=0,?μ2=0,?σ1=1,σ2=1。

我们先让ρ=0,此时的联合分布相当于两个正态分布的乘积。

绘制不同视角的同一分布,结果如下。

可以看到,概率分布是中心对称的。

再让ρ=0.8,也就是说,两个随机变量的相关系数为0.8。

绘制不同视角的同一分布,结果如下。

可以看到,概率分布并不中心对称。

沿着Y=X这条线,概率曲面隆起,概率明显比较高。

而沿着Y=?X这条线,概率较低。

这也就是我们所说的正相关。

现在,ρ对于我们来说,有了更具体的现实意义。

相关性与协方差

是概率论和数理统计的内容吗? 量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为随机变量X与Y的协方差,记为Cov(X,Y) 即, COV(X,Y)=E{{X-E(X)][Y-E(Y)]} 而 p=COV(X,Y)/sqrt[D(X)*D(Y)] 称为随机变量X与Y的相关系数。

当p=0时,X ,Y不相关,表示X与Y之间不存在线性关系【但是有可能存在除线性以外的关系】 XY相互独立 =>XY不相关 XY相关=> XY 不独立

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