协方差相关系数相关性与协方差

协方差相关系数时间:2021-07-23 阅读:()

方差、协方差与相关系数的关系方程式

随机变量：ξ 0，数学期望：Eξ 1，方差：若E(ξ-Eξ)^2存在，则称 Dξ=E(ξ-Eξ)^2为随机变量ξ的方差；称√Dξ为ξ的标准差。

2，协方差：给定二维随机变量 ξ (ξ1, ξ2)，若：E[(ξ1-Eξ1)(ξ2-Eξ2)]存在，则称其为随机变量 (ξ1，ξ2)的协方差，记为：cov(ξ1，ξ2)=E[(ξ1-Eξ1)(ξ2-Eξ2)] 3，记：r(ξ1，ξ2)=cov(ξ1，ξ2)/[Dξ1Dξ2]^0.5 =E[(ξ1-Eξ1)(ξ2-Eξ2)] / [Dξ1Dξ2]^0.5 （Dξ1，Dξ2均大于零）称：上式为ξ1，ξ2的‘相关系数’或‘标准协方差’。

4，以上可知方差、协方差、相关系数之间的相互关系。

概率论概率论相关系数怎么算

相关系数正的协方差表达了正相关性，负的协方差表达了负相关性。

对于同样的两个随机变量来说，计算出的协方差越大，相关性越强。

但随后一个问题，身高和体重的协方差为30，这究竟是多大的一个量呢？如果我们又发现，身高与鞋号的协方差为5，是否说明，相对于鞋号，身高与体重的的相关性更强呢？这样横向对比超出了协方差的能力范围。

从日常生活经验来说，体重的上下浮动大约为20kg，而鞋号的上下浮动大约可能只是5个号码。

所以，对于体重来说，5kg与中心的偏离并不算大，而5个号码的鞋号差距，就可能是最极端的情况了。

假设身高和体重的相关强度，与身高和鞋码的相关强度类似，但由于体重本身的数值上下浮动更大，所计算出的协方差也会更大。

另一个情况，依然是计算身高与体重的协方差。

数据完全不变，而只更改单位。

我们的体重用克而不是千克做单位，计算出的协防差是原来数值的1000倍！为了能进行这样的横向对比，我们需要排除用统一的方式来定量某个随机变量的上下浮动。

这时，我们计算相关系数(correlation coefficient)。

相关系数是“归一化”的协方差。

它的定义如下: 相关系数是用协方差除以两个随机变量的标准差。

相关系数的大小在-1和1之间变化。

再也不会出现因为计量单位变化，而数值暴涨的情况了。

? 依然使用上面的身高和体重数据，可以计算出 Var(X)=0.3×(60?70)2+0.3×(80?70)2=60 Var(Y)=0.3×(180?170)2+0.3×(160?170)2=60 ρ=30/60=0.5 这样一个“归一化”了的相关系数，更容易让人把握到相关性的强弱，也更容易在不同随机变量之间，做相关性的横向比较。

? 双变量正态分布双变量正态分布是一种常见的联合分布。

它描述了两个随机变量X1和X2的概率分布。

概率密度的表达式如下： X1和X2的边缘密度分别为两个正态分布，即正态分布N(μ1,σ1),?N(μ2,σ2)。

另一方面，除非ρ=0，否则联合分布也并不是两个正态分布的简单相乘。

可以证明，ρ正是双变量正态分布中，两个变量的相关系数。

? 现在绘制该分布的图像。

可惜的是，现在的scipy.stats并没有该分布。

需要自行编写。

选取所要绘制的正态分布，为了简单起见，让μ1=0,?μ2=0,?σ1=1,σ2=1。

我们先让ρ=0，此时的联合分布相当于两个正态分布的乘积。

绘制不同视角的同一分布，结果如下。

可以看到，概率分布是中心对称的。

再让ρ=0.8，也就是说，两个随机变量的相关系数为0.8。

绘制不同视角的同一分布，结果如下。

可以看到，概率分布并不中心对称。

沿着Y=X这条线，概率曲面隆起，概率明显比较高。

而沿着Y=?X这条线，概率较低。

这也就是我们所说的正相关。

现在，ρ对于我们来说，有了更具体的现实意义。

相关性与协方差

是概率论和数理统计的内容吗？量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为随机变量X与Y的协方差，记为Cov（X,Y）即， COV（X,Y）=E{{X-E(X)][Y-E(Y)]} 而 p=COV(X,Y)/sqrt[D(X)*D(Y)] 称为随机变量X与Y的相关系数。

当p=0时，X ,Y不相关，表示X与Y之间不存在线性关系【但是有可能存在除线性以外的关系】 XY相互独立 =>XY不相关 XY相关=> XY 不独立

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