黎曼流形黎曼流形的介绍

什么是黎曼几何？

黎曼（德，1826－1866年）：几何观点，黎曼面。

1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》，其重要性恰如著名数学家阿尔福斯（芬－美，1907－1996年）所说：这篇论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的萌芽，而且开启了拓扑学的系统研究，革新了代数几何，并为黎曼自己的微分几何研究铺平了道路。

此外，建立了柯西－黎曼条件，真正使这方程成为复分析大厦的基石，揭示出复函数与实函数之间的深刻区别，黎曼映射定理。

黎曼流形上的几何学。

德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。

1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。

在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。

他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。

这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。

这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1+dx1，……xn+dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。

亦即 （gij）是由函数构成的正定对称矩阵。

这便是黎曼度量。

赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。

黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。

黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。

黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。

黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。

例如：定义度量（a是常数），则当a=0时是普通的欧几里得几何，当a>0时 ，就是椭圆几何 ，而当a<0时为双曲几何。

请问微分流形和黎曼流行主要内容是什么？

微分流形 一、 流形的基本概念：流形的定义和基本例子，子流形，切空间和切丛，光滑函数、光滑映射及切映射。

要求了解球面、环面、射影空间等基本例子，并了解一维、二维流形的分类。

要求了解浸入（immersion）、嵌入（embedding）、淹没（submersion）和微分同胚的概念。

二、 正则性、奇异性及其应用：正则点和正则值，临界点和临界值，Sard定理，Morse引理，Thom横截性定理。

要求了解映射度的概念，并能运用正则值的概念验证某些空间是流形。

三、 光滑向量场和可积性定理：光滑向量场及其奇点的定义，Lie括号，积分曲线和动力系统，Euler-Poincare公式，Frobenius可积性定理。

四、 Lie群和Lie 群作用初步：Lie群和Lie代数的定义和基本例子，单参数子群，指数映射，Lie群在流形上的作用，基本向量场，齐性空间等。

要求能够验证一些常见的矩阵群为Lie群并计算它们的Lie代数，并对一些低维Lie群的流形结构较为熟悉。

要求能将一些常见流形写成齐性流形。

五、 微分形式和积分：微分形式和外积的定义和性质，外微分，内积，Lie 导数，Cartan公式，de Rham上同调，Poincare对偶，Laplace算子，Hodge理论初步，定向和微分形式的积分，带边流形和Stokes定理。

要求掌握单位分解的技巧，要求了解外微分和Stokes定理的古典形式。

要求能够计算常见流形和二维流形的上同调环。

六、 Riemann 几何初步：Riemann度量，Levi-Civita联络，Christoffel符号，Rieman曲率，截曲率，常截曲率流形的模型。

要求能够从给定的Riemann度量计算Riemann曲率。

要求对向量丛的概念和张量运算较为熟悉。

黎曼流形 爱因斯坦的广义相对论告诉我们，引力并不是真正的力，而是反映空间扭曲的一个几何现象。

对一个考察者来说，他身处在这个空间里，是无法直接体会到空间扭曲的。

但是他可以通过测量自己所处的空间来判断是否存在空间扭曲，测量的标准就是所谓的度量。

度量是内蕴性质。

具有度量的空间就称为黎曼空间。

具体的定义如下： 黎曼流形是具有黎曼度量的微分流形，换句话说，这个流形上有一个对称 正定 协变 二阶张量场， 亦即每一点处有一个2阶正定矩阵。

给了度量以后， 我们就可以向数学分析里做的那样，建立起微积分的理论。

欧氏空间有自然的度量ds^2=(dx_1)^2+...+(dx_n)^2.它的矩阵就是单位矩阵。

欧氏空间中的子流形当然也就自然地诱导出一个度量。

曲线和曲面的微分几何 里，我们都是把曲线曲面视为三维空间的子流形，所以自然赋予了度量结构。

黎曼度量给定后，我们可以有唯一的确定出一个对称（即无挠）联络，并且它是保持黎曼内积。

这个联络称为黎曼联络。

有了联络，我们就可以定义向量场的协变微分和协变导数，从而建立起流形上的微分学。

在欧氏空间上，联络是0，所以这就是通常意义上的向量函数的微分。

黎曼度量还诱导出黎曼曲率的概念，它反映了流形的弯曲程度，是内蕴性质，也就是说这个性质与流形所在的大空间无关。

曲率恒消失的流形称为平坦黎曼流形。

欧氏空间就是最常见的平坦流形。

大数学家 高斯 最早研究了曲面上的曲率--高斯曲率， 发现这种曲率是内蕴的，尽管它的定义式不是内蕴的。

这是一个非常了不起的发现。

什么是欧几里德几何？什么是黎曼几何

欧几里得几何指按照古希腊数学家欧几里得的《几何原本》构造的几何学。

欧几里得几何有时单指平面上的几何，即平面几何。

本文主要描述平面几何。

三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何。

高维的情形请参看欧几里得空间。

黎曼流形上的几何学，简称黎曼几何。

是由德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。

黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。

他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 。

黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。

黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。

黎曼流形的介绍

黎曼（德，1826－1866年）：几何观点，黎曼面。

1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》，其重要性恰如著名数学家阿尔福斯（芬－美，1907－1996年）所说：这篇论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的萌芽，而且开启了拓扑学的系统研究，革新了代数几何，并为黎曼自己的微分几何研究铺平了道路。

此外，建立了柯西－黎曼条件，真正使这方程成为复分析大厦的基石，揭示出复函数与实函数之间的深刻区别，黎曼映射定理。