最速下降steepest descent是什么意思

2、牛顿法和最速下降法只能求解无约束优化，有约束的非线性规划有哪些求解方法？

Data Mining 无约束最优化方法 梯度的方向与等值面垂直，并且指向函数值提升的方向。

二次收敛是指一个算法用于具有正定二次型函数时，在有限步可达到它的极小点。

二次收敛与二阶收敛没有尽然联系，更不是一回事，二次收敛往往具有超线性以上的收敛性。

一阶收敛不一定是线性收敛。

解释一下什么叫正定二次型函数： n阶实对称矩阵Q，对于任意的非0向量X，如果有XTQX>0，则称Q是正定矩阵。

对称矩阵Q为正定的充要条件是：Q的特征值全为正。

二次函数，若Q是正定的，则称f(X)为正定二次函数。

黄金分割法 黄金分割法适用于任何单峰函数求极小值问题。

求函数在[a,b]上的极小点，我们在[a,b]内取两点c,d，使得a<c<d<b。

并且有 1）如果f(c)<f(d)，则最小点出现在[a,d]上，因此[a,d]成为下一次的搜索区间。

2）如果f(c)>f(d)，则[c,b]成为下一次的搜索区间。

假如确定了[a,d]是新的搜索区间，我们并不希望在[a,d]上重新找两个新的点使之满足(1)式，而是利用已经抗找到有c点，再找一个e点，使满足： 可以解得r=0.382，而黄金分割点是0.618。

练习：求函数f(x)=x*x-10*x+36在[1,10]上的极小值。

+ View Code 最速下降法 泰勒级数告诉我们： 其中Δx可正可负，但必须充分接近于0。

X沿D方向移动步长a后，变为X+aD。

由泰勒展开式： 目标函数： a确定的情况下即最小化： 向量的内积何时最小？当然是两向量方向相反时。

所以X移动的方向应该和梯度的方向相反。

接下来的问题是步长a应该怎么定才能使迭代的次数最少？ 若f(X)具有二阶连续偏导，由泰勒展开式可得： H是f(X)的Hesse矩阵。

可得最优步长： g是f(X)的梯度矩阵。

此时： 可见最速下降法中最优步长不仅与梯度有关，而且与Hesse矩阵有关。

练习：求函数f(x1,x2)=x1*x1+4*x2*x2在极小点，以初始点X0=(1,1)T。

+ View Code 梯度下降法开始的几步搜索，目标函数下降较快，但接近极值点时，收敛速度就比较慢了，特别是当椭圆比较扁平时，收敛速度就更慢了。

另外最速下降法是以函数的一次近似提出的，如果要考虑二次近似，就有牛顿迭代法。

牛顿迭代法 在点Xk处对目标函数按Taylar展开： 令 得 即 可见X的搜索方向是，函数值要在此方向上下降，就需要它与梯度的方向相反，即。

所以要求在每一个迭代点上Hesse矩阵必须是正定的。

练习：求的极小点，初始点取X=(0,3)。

+ View Code 牛顿法是二次收敛的，并且收敛阶数是2。

一般目标函数在最优点附近呈现为二次函数，于是可以想像最优点附近用牛顿迭代法收敛是比较快的。

而在开始搜索的几步，我们用梯度下降法收敛是比较快的。

将两个方法融合起来可以达到满意的效果。

收敛快是牛顿迭代法最大的优点，但也有致命的缺点：Hesse矩阵及其逆的求解计算量大，更何况在某个迭代点Xk处Hesse矩阵的逆可能根本就不存在（即Hesse矩阵奇异），这样无法求得Xk+1。

拟牛顿法 Hesse矩阵在拟牛顿法中是不计算的，拟牛顿法是构造与Hesse矩阵相似的正定矩阵，这个构造方法，使用了目标函数的梯度（一阶导数）信息和两个点的“位移”（Xk-Xk-1）来实现。

有人会说，是不是用Hesse矩阵的近似矩阵来代替Hesse矩阵，会导致求解效果变差呢？事实上，效果反而通常会变好。

拟牛顿法与牛顿法的迭代过程一样，仅仅是各个Hesse矩阵的求解方法不一样。

在远离极小值点处，Hesse矩阵一般不能保证正定，使得目标函数值不降反升。

而拟牛顿法可以使目标函数值沿下降方向走下去，并且到了最后，在极小值点附近，可使构造出来的矩阵与Hesse矩阵“很像”了，这样，拟牛顿法也会具有牛顿法的二阶收敛性。

对目标函数f(X)做二阶泰勒展开： 两边对X求导 当X=Xi时，有 这里我们用Hi来代表在点Xi处的Hesse矩阵的逆，则 (5)式就是拟牛顿方程。

下面给出拟牛顿法中的一种--DFP法。

令 我们希望Hi+1在Hi的基础上加一个修正来得到： 给定Ei的一种形式： m和n均为实数，v和w均为N维向量。

(6)(7)联合起来代入(5)可得： 下面再给一种拟牛顿法--BFGS算法。

(8)式中黑色的部分就是DFP算法，红色部分是BFGS比DFP多出来的部分。

BFGS算法不仅具有二次收敛性，而且只有初始矩阵对称正定，则BFGS修正公式所产生的矩阵Hk也是对称正定的，且Hk不易变为奇异，因此BFGS比DFP具有更好的数值稳定性。

最优化Goldstein算法确定步长的最速下降法，matlab怎么编

1 无约束非线性最优化问题常用算法：梯度法（最速下降法）、共轭梯度法、变尺度法和步长加速法。

其中，前三个要用到函数的一阶导数或二阶导数，适用于函数表达式导数存在且求导简单的情况，而步长加速法则相反，适用于函数表达示复杂，甚至无解析表达式，或导数不存在情况。

2 约束非线性最优化问题常用算法：按照是否化成无约束问题可分为 可行方向法、制约函数法（外点法和内点法），其中内点法适用于目标函数在可行域外性质复杂情况，外点法则相反。

后者根据罚函数或障碍函数的构造不同，又有不同的变形。

最优化方法的基本定义

最低0.27元开通文库会员，查看完整内容> 原发布者:圣骑_allkilled 第2章最优化方法第7章最优化方法§1引言《计算e79fa5e98193e59b9ee7ad9431333433623764方法》§2一维搜索§3非线性最小二乘法§4最速下降法§5共轭斜量法§6变尺度方法§7单纯形方法第2章最优化方法§1引言《计算方法》1.1一元函数的极值1.定义设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,在该邻域内,若满足f(x)＞f(x0)(x≠x0),则称f(x)在点x0达到极小值,x0为f(x)的极小点;若满足f(x)＜f(x0)(x≠x0),则称f(x)在点x0达到极大值,x0为f(x)的极大点。

第2章最优化方法如图7.1,f(x)在点x1达到极大值,在点x2达到极小值,x1、x2分别为f(x)的极大点和极小点。

极大值和极小值统称为极值。

《计算方法》图7.1第2章最优化方法2.极值的必要条件设函数f(x)在点x0可微,且在x0达到极值,则f′(x0)=0《计算方法》如图7.1,曲线f(x)在A点、B点的切线都平行于x轴,也即f′(x1)=0,f′(x2)=0。

这里的x0称为函数f(x)的驻点。

驻点不一定是极值点,例f(x)=x3,有f′(0)=0,但x=0不是f(x)=x3的极值点。

第2章最优化方法3.极值的充分条件第一种充分条件设函数f(x)在点x0的某个邻域内具有导数且f′(x0)=0,《计算方法》(1)若当x＜x0时,f′(x)＞0,当x＞x0时,f′(x)＜0,则函数f(x)在点x0处达到极大值;(2)若当x＜x0时,f′(x)＜0,当x＞x0时,f′(x)＞0,则函数f(x)在点x0处达到极小值;(3)当x取x0的左、右边附近的值时,f′(x)恒为正(或恒

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