矢量阵列信号处理(知识点)

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信号子空间p

设N元阵接收p个信源则其信号模型为 x  t  i1 si  t  ai i N t 

在无噪声条件下 x t   span a 1  ,a 2  ,,a P  

称span a 1  ,a 2  ,,a P  为信号子空间是N维线性空间中的P维子空间记为SNP 。SNP的正交补空间称为噪声子空间记为NNP 。

正交投影

设子空间S  Rm 如果线性变换P满足

1 )x  Rm ,Px  S且x  S,Px  x,

2)x  R

则称线性变换P为正交投影。

导向矢量、阵列流形p

设N元阵接收p个信源则其信号模型为 x  t  i1 si  t  ai i N t  其中矢量ai i 

称为导向矢量当改变空间角 使其在空间扫描所形成的矩阵称为阵列流形用符号A表示 即A  {a   |  (0,2) }

波束形成

波束形成空域滤波技术与时间滤波相类似是对采样数据作加权求和,以增强特定方向信号的功率 即y t  WHX t   s  t WH a  通过加权系数W实现对的选择。

最大似然

已知一组服从某概率模型fX 的样本集X1 ,X2 ,,XN 其中为参数集合使条件概率fX1 ,X2 ,,XN 最大的参数估计称为最大似然估计。

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不同几何形态的阵列的阵列流形矢量计算问题

假设有P个信源 N元阵列则先建立阵列的几何模型求第i个信源的导向矢量ai i 选择阵元中的一个作为第一阵元其导向矢量a1 i   [1 ]

然后根据阵列的几何模型求得其他各阵元与第一阵元之间的波程差n 则确定其导向矢量j2

an i   e 

 1 

 j2  

 e  1 

最后形成N元阵的阵列流形矢量A     

 

 j2  1 

e  N NP

例如各向同性的NxM元矩形阵阵元间隔为半个波长 当信源与阵列共面时

首先建立阵列几何模型

对于第m行、第n列的阵元其与第1行、第1列阵元之间的波程差为

mn  (n  1 )d sin(i ) (m 1 )dcos(i )

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 1   1 

而当信源与阵列不共面时

首先将信源投影到阵列平面

然后建立阵列模型

对于第m行、第n列的阵元其与第1行、第1列阵元之间的波程差为

mn  [(n 1 )dsin(i ) (m 1)dcos(i )] sin(i )

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 1   1 

线性约束最小方差准则LCMV的自适应波束形成算法

对于信号模型 X t   s  t a 0  JN 

波束形成输出 y t  WHX t   s  t WHa 0 WH (J N)

LCMV准则实际上是使W H a 0 为一个固定值的条件下求取使得W H (J N)方差最小的W作为最有权值 即为常数

利用拉格朗日乘子法可解得 W opt  RX1a 0 

当取F  1时则 和方向图。

在精确的方向矢量约束条件和相关矩阵精确已知的情况下 LCMV准则与SNR准则等效。对于最有波束形成Wopt |LCMV 'R 1a 0  其中Rn应不含信号分量。

SMI 采样协方差矩阵求逆算法是在此准则上用一批次采样数据X ti  , i  1 ,2,,M来估计得到Rn  R n M M1 iM1 Xti XH  ti 

此估计为最大似然无偏估计 即 Rn MRn , M

 1

W opt M  Rn Ma 0 

SMI算法输出SNR损失会随着M的增加而减小 当M 输出无损失为了使性能损失不超过3dB一般取M 2N 。



当精确的方向矢量约束条件和精确的相关矩阵已知的条件不满足时直接使用Rn M估计

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Rn求逆会产生信号相消的现象。

SMI算法的收敛性受R n特征值分散程度的影响在超过一定临界值之后若期望信号不含在R中则收敛较快反之则会变慢可利用对角加载改善收敛速度。

天线旁瓣相消问题ASC

自适应天线旁瓣相消器采用下面的结构基于最小均方误差准则的最适应波束形成MSEm t 

辅助天线增益小与主天线旁瓣电平相当无方向性因此y t 几乎仅为干扰信号加在辅助天线的权矢量为W opt  RX1rXd 主天线与辅助天线对干扰信号接收输出信号相关性较好时可获得好的干扰抑制性能。

广义天线旁瓣相消问题属于一种部分自适应设计其结构框图如下

y(t)  C

对于一般的最优波束形成有LCMV准则

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)

 S t W

其权系数分为两部分一部分为固定权W0 匹配滤波系数 另一部分为自适应权WA 依赖输入数据计算最优权值时只需要计算WA 。

令

则 W

而 W W

故 W W0 WA W0 CnW能满足约束方程可将方程约束条件去掉

得信号被分成两个支路上支路形成目标检测通道(W0是匹配滤波权系数) 下支路形成辅助通道用其加权求和去预测检测通道中的干扰信号进而对消掉。

对于输入信号x t 有

因为CnHC  0 故有y(t)  C)所以下支路中y(t)不含目标信号仅有干扰 Cn被称为信号阻塞矩阵Block Matrix由Cn保证下支路中不含目标信号。

当精确的方向矢量约束条件或精确的相关矩阵未知时会产生信号相消的现象。

而进行降维处理之后 W

令C

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其中T称为降维处理矩阵 因为THC  0 故T可阻塞信号且T的维数p N L进行降维处理之后的结构框图为

X t y(t)  C

T有三种设计方法

1、 Gabriel法 由指向干扰方向的波束作为权矢量构成的。

2、 Adams法 由指向目标方向邻近波束权矢量构成。

3、 由R的特征分解的特征矢量构成。

MUSIC算法

MUSIC算法进行DOA估计的步骤为

1、 由^阵列数据x ti 估计相关矩阵 R^ M1 iM1 x  ti  xH  ti 

2、对R作特征分解用其P个大特征值对应的特征向量v1 ,v2 ,,vp张成信号子空间SNP 或用其NP个小特征值对应的特征矢量vp1 ,,vN噪声子空间NNP 

3、 用搜索矢量a 向S 

或用搜索矢量a 向NNP作投影Pna    

4、计算谱峰 S    Pna   iP1 aH   vi 2 谱峰对应的角度就是波束到

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MUSIC算法并不能适用于任何几何形态的阵列不同阵列的a 是不一样的而MUSIC算法要求a 为满秩的范德蒙德矩阵这个条件有可能不满足。

^

MUSIC算法并不能适用于相干源因为对于相干信源其相关矩阵R有可能不满秩这样既不能准确知道信源的个数P又不能得到准确的信号子空间SNP和噪声子空间NNP 。但可以通过空间平滑法去相关然后再用MUSIC算法。

空间平滑法就是将N元等距线阵分成L个M元子阵

这样对于每一个M元子阵有Xi  t   AM Di1S t Ni  t 

其中

  

  

若信源中存在相干源则采用这种方法后可破坏其相关性。通过多个子阵每个子阵相当于空间平移因为不同信号由于方向不同旋转因子不同将多出的旋转因子归并到信号包络Si  t  所以然后Si  t 便变得不相干了然后将各子阵数据在相关域平均。

对于非等间隔线阵若信源中不含相干源则MUSIC算法仍然适用若含有相干源则则MUSIC算法不适用且不能通过空间平滑法去相关。

MUSIC算法并不能适用于P个波长不同的平面波波达方向估计此时a 虽为的范德蒙德矩阵但不满秩空间角模糊。

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MUSIC算法并不能适用于色噪声环境可以利用高阶累量抑制未知相关矩阵的高斯色噪声然后运用MUSIC算法。

例如 4阶累量MUSIC算法流程如下

1、 构建4阶累量矩阵

C4  Cum

2、在P个独立源情况下 C 4  AA H 其中  d ia gr1 ,r2 ,,rP   ri为第i个信号源的4阶累量 ri  C u mS i  t S i*  t S i  t S i*  t 

3、对C4进行特征值分解用其NP个小特征值对应的特征矢量vp1 ,,vN噪声子空间NNP

。

ESPIRIT方法

ESPIRIT算法的主要步骤为

1、估计^ Z t 的自相关矩阵R^ Z M1 iM1 Z  ti ZH  ti 

2、对RZ进行特征值分解 由P个最大特征向量得到其信号子空间SNP

3、从SNP中分出子阵1X t 和子阵2Y t 

4、 由X t 可求得无噪声条件下的C XX  R XX n2I  R XX

5、子阵1和子阵2噪声不相关 因此RXY  X t YH  t 

6、对C XX R XY进行特征值分解其特征值即为a 1  ,a 2  ,,a P 

7、根据