递归迭代与递归用法及区别

迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行在每次执行这组指令(或这些步骤)时都从变量的原值推出它的一个新值。

利用迭代算法解决问题需要做好以下三个方面的工作

一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量这个变量就是迭代变量。

二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系) 。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程?这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况一种是所需的迭代次数是个确定的值可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

例1  一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子这种兔子从出生的下一个月开始每月新生一只兔子新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去问到第12个月时该饲养场共有兔子多少只?

分析 这是一个典型的递推问题。我们不妨假设第1个月时兔子的只数为u 1 第2个月时兔子的只数为u 2 第3个月时兔子的只数为u 3  „„根据题意 “这种兔子从出生的下一个月开始每月新生一只兔子” 则有

以下是引用片段u 1 = 1  u 2 = u 1 + u 1 × 1 = 2  u 3 = u 2 + u 2 × 1 = 4  „„

根据这个规律可以归纳出下面的递推公式

以下是引用片段u n = u n - 1 × 2 (n≥2)

对应u n和u n - 1 定义两个迭代变量y和x 可将上面的递推公式转换成如下迭代关系

以下是引用片段y=x*2x=y

让计算机对这个迭代关系重复执行11次就可以算出第12个月时的兔子数。参考程序如下

以下是引用片段clsx=1for i=2 to 12y=x*2x=ynext iprint yend

例2  阿米巴用简单分裂的方式繁殖它每分裂一次要用3分钟。将若干个阿米巴放在一个盛满营养参液的容器内 45分钟后容器内充满了阿米巴。已知容器最多可以装阿米巴2 20个。试问开始的时候往容器内放了多少个阿米巴?请编程序算出。

分析 根据题意阿米巴每3分钟分裂一次那么从开始的时候将阿米巴放入容器里面到45分钟后充满容器需要分裂45/3=15次。而“容器最多可以装阿米巴2 20个”即阿米巴分裂15次以后得到的个数是2 20 。题目要求我们计算分裂之前的阿米巴数不妨使用倒推的方法从第15次分裂之后的2 20个倒推出第15次分裂之前(即第14次分裂之后)的个数再进一步倒推出第13次分裂之后、第12次分裂之后、„„第1次分裂之前的个数。

设第1次分裂之前的个数为x 0 、第1次分裂之后的个数为x 1 、第2次分裂之后的个数为x 2 、„„第15次分裂之后的个数为x 15 则有

以下是引用片段x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、„„x n-1 =x n /2 (n≥1)

因为第15次分裂之后的个数x 15是已知的如果定义迭代变量为x 则可以将上面的倒推公式转换成如下的迭代公式x=x/2 ( x的初值为第15次分裂之后的个数2 20 )

让这个迭代公式重复执行15次就可以倒推出第1次分裂之前的阿米巴个数。因为所需的迭代次数是个确定的值我们可以使用一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。参考程序如下

以下是引用片段clsx=2^20for i=1 to 15x=x/2next iprint xend

例3  验证谷角猜想。 日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象对于任意一个自然数n 若n为偶数则将其除以2 ;若n为奇数则将其乘以3 然后再加

1 。如此经过有限次运算后总可以得到自然数1 。人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想” 。

要求编写一个程序 由键盘输入一个自然数n 把n经过有限次运算后最终变成自然数1的全过程打印出来。

分析 定义迭代变量为n 按照谷角猜想的内容可以得到两种情况下的迭代关系式当n为偶数时 n=n/2 ;当n为奇数时 n=n*3+1 。用QBASIC语言把它描述出来就是

以下是引用片段if n为偶数thenn=n/2elsen=n*3+1end if

这就是需要计算机重复执行的迭代过程。这个迭代过程需要重复执行多少次才能使迭代变量n最终变成自然数1 这是我们无法计算出来的。因此还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。仔细分析题目要求不难看出对任意给定的一个自然数n 只要经过有限次运算后能够得到自然数1 就已经完成了验证工作。因此用来结束迭代过程的条件可以定义为 n=1 。参考程序如下

以下是引用片段clsinput "Please input n=";ndo until n=1if n mod 2=0 thenrem如果n为偶数则调用迭代公式n=n/2n=n/2

print "—";n;elsen=n*3+1print "—";n;end ifloopend

迭代法

迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0用某种数学方法导出等价的形式x=g(x) 然后按以下步骤执行

(1)选一个方程的近似根赋给变量x0;

(2)将x0的值保存于变量x1然后计算g(x1) 并将结果存于变量x0;

(3) 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时重复步骤(2)的计算。

若方程有根并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为

【算法】迭代法求方程的根

以下是引用片段

{ x0=初始近似根;do {x1=x0;x0=g(x1) ; /*按特定的方程计算新的近似根*/

} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon) ;printf( “方程的近似根是%f\n”  x0) ;

}

迭代算法也常用于求方程组的根令

X=(x0 x1 „ xn-1)

设方程组为xi=gi (X) (I=0 1 „ n-1)

则求方程组根的迭代算法可描述如下

【算法】迭代法求方程组的根

具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况

(1)如果方程无解算法求出的近似根序列就不会收敛迭代过程会变成死循环因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解并在程序中对迭代的次数给予限制;

(2)方程虽然有解但迭代公式选择不当或迭代的初始近似根选择不合理也会导致迭代失败。

递归

递归是设计和描述算法的一种有力的工具由于它在复杂算法的描述中被经常采用为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。

能采用递归描述的算法通常有这样的特征为求解规模为N的问题设法将它分解成规模较小的问题然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法分解成规模更小的问题并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地 当规模N=1时能直接得解。

【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n) 。

斐波那契数列为 0、 1、 1、 2、 3、„„ 即

以下是引用片段fib(0)=0;fib(1)=1 ;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时) 。

写成递归函数有

以下是引用片段int fib(int n)

{ if (n==0) return 0;if (n==1) return 1 ;if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2) ;

}

递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中求解fib(n) 把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2) 。也就是说为计算fib(n) 必须先计算fib(n-1)和fib(n- 2) 而计算fib(n-1)和fib(n-2) 又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4) 。依次类推直至计算fib(1)和fib(0) 分别能立即得到结果1和0。在递推阶段必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中 当n为1和0的情况。

在回归阶段当获得最简单情况的解后逐级返回依次得到稍复杂问题的解例如得到fib(1)和fib(0)后返回得到fib(2)的结果 „„在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后返回得到fib(n)的结果。

在编写递归函数时要注意函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层当递推进入“简单问题”层时原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层它们各有自己的参数和局部变量。

由于递归引起一系列的函数调用并且可能会有一系列的重复计算递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法即从斐波那契数列的前两项出发逐次由前两项计算出下一项直至计算出要求的第n项。

【问题】 组合问题

问题描述找出从自然数1、 2、„„、 n中任取r个数的所有组合。例如n=5 r=3的所有组合为 (1)5、 4、 3 (2)5、 4、 2 (3)5、 4、 1

(4)5、 3、 2 (5)5、 3、 1 (6)5、 2、 1

(7)4、 3、 2 (8)4、 3、 1 (9)4、 2、 1

(10)3、 2、 1

分析所列的10个组合可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m, int k)为找出从自然数1、 2、„„、 m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]

存放求出的组合的数字约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中 当一个组合求出后才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、 m-1、„„、 k函数将确定组合的第一个数字放入数组后有两种可能的选择因还未去顶组合的其余元素继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。

【程序】

【问题】 背包问题

问题描述有不同价值、不同重量的物品n件求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案使选中物品的总重量不超过指定的限制重量但选中物品的价值之和最大。

设n件物品的重量分别为w0、 w1、„、 wn-1物品的价值分别为v0、 v1、„、 vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ] 该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案其物品选择情况保存于数组cop[ ] 。假定当前方案已考虑了前i-1件物品现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此若其余物品都选择是可能的话本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时继续考察当前方案变成无意义的工作应终止当前方案立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时该方案不会被再考察这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。

对于第i件物品的选择考虑有两种可能

(1)考虑物品i被选择这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后继续递归去考虑其余物品的选择。

(2)考虑物品i不被选择这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。

按以上思想写出递归算法如下

为了理解上述算法特举以下实例。设有4件物品它们的重量和价值见表

物品0 1 2 3

重量5 3 2 1

价值4 4 3 1

并设限制重量为7。则按以上算法下图表示找解过程。 由图知一旦找到一个解算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解算法不会在该分支继续查找而是立即终止该分支并去考察下一个分支。

按上述算法编写函数和程序如下【程序】