数学(完整版)数学课程与教学论新编(涂荣豹)

《数学课程与教学论新编》复习资料

第一章数学的特点、方法与意义

一、数学的对象、特点

1、从数学的研究对象的角度,将数学概括为研究现实世界的数和形之间各种量、量变及其关系的一门科学。

2、数学的特点 1抽象性①数学抽象的彻底性②数学抽象的层次性数学抽象发

展过程可划分为三大阶段 即A从对象的具体性质进行抽象、 B从具体的数量进行抽象、 C从数学对象之间的相互关系的意义进行抽象③数学方法的抽象性。 2严谨性数学的严谨性是指逻辑上要无懈可击结论要十分确定一般又称为逻辑严密性或严格性结论确定性或可靠性。3广泛的应用性。首先我们经常地几乎每时每刻地在生产中、 日常生活中以及社会生活中运用着最普遍的数学概念、方法和结论其次对于力学、物理学、天文学、化学等自然学科数学已成为无可争辩的有效工具在科技高度发达的今天数学的运应用呈现出了更为广阔的前景。

3、作为教育学科的数学特征 1数学是一门渐进性的科学2数学具有独特的语言、符号系统。

4、数学语言如同数学的对象一样来源于人类实践它源于人类的语言随着数学抽象性和严谨性发展逐步演变成独特的语言符号系统 数学语言主要有文字语言术语 、符号语言记号和图像语言组成。

二、数学的思想方法

在数学思想方法中影响和作用最大的就是A公理化思想方法B数学模型方法C随机思想方法。 也说宏观的数学方法有公理化方法数学模型方法随机思想方法

5、数学思想是现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中并经过思维活动而产生的结果是对数学事实与数学理论概念、定理、公式、法则、方法等的本质认识 是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观念他在认识中被反复运用带有普遍的指导意义是建立数学和用数学解决问题的指导思想。

6数学方法 是以数学为工具进行科学研究和解决问题的方法 即用数学语言表达事物的状态、关系和过程经过推理、运算和分析 以形成解释、判断和预言的方法。数学方法同样具有数学科学的三个基本特点一是高度的抽象性和概括性二是精确性 即逻辑的严密性及结论的确定性三是应用的普遍性和可操作性。

7、数学思想、数学方法、数学观念的关系

数学思想来源于数学知识与方法又高于知识与方法居于更高层次的地位他指导知

识与方法的运用。

对于数学方法来说思想是相应方法的精神实质和理论基础方法则是实施有关数学思

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想的技术手段和工具数学教育中出现的数学观念方程观念、函数观念、统计观念等和各种数学方法都体现着一定的数学思想。

8公理化方法公理化方法就是指从尽可能少的原始概念和 不加证明的原始命题即公

理、公设出发按照逻辑规则推导出其他命题建立起一个演绎系统的方法。公理化方法始于古希腊欧几里得的《原本》 。它从五个公设和五条公理出发运用演绎方法将当时所知道的几何学知全部推导出来并使之条理化、系统化形成了一个合乎逻辑的体系。

9、 公理化方法的作用和意义

1, 首先有利于概括整理数学知识并提高认知水平,2其次促进新理论创立。如非欧几何、

元数论或证明论、模型论等,3再次 由于数学公理化思想表述数学理论的简捷性、条件性

和结构的和谐性从而为其他科学理论的表述起到了示范作用其他科学纷纷效法建立自己

的公理化系统。

10、 数学模型方法是指对某种事物或现象中所包含的数量关系和空间形式进行数学概

括、描述和抽象的基本方法。建立数学模型的过程是一个科学抽象的过程。

11、 随机方法随机方法又称概率统计方法就是指人们以概率统计为工具通过有效

的收集、整理受随机因素影响的数据从中寻找确定的本质的数量规律并对这些随机影响以数量的刻画和分析从而对所观察的现象和问题作出推断、预测直至为未来的决策与行动提供依据和建议的一种方法。

12、 随机方法又称概率统计方法的特点 A概率统计方法的归纳性B处理的数据受随机因素的影响C处理的问题一般是机理不甚清楚的复杂问题D概率数据中隐藏着概率特性。

三、数学的作用

13、 数学对推动人类进步与社会进步、形成人类理性思维和催进个人智力发展等多方面

具有重要的作用。

1 对于人类进步和社会发展的重要影响

2 探索自然现象、社会现象的语言与工具

3 提高文化素质与发展科学思维。

①通过数学的训练可以使学生树立明确的数量观念认真的注意事物的数量方面及其

变化规律。

②提高学生逻辑思维能力使他们思路清晰、条理分明、有条不紊的处理各项工作。

③数学上的推导要求每一个正负号、小数点都不能含糊敷衍有助于培养学生认真细致的作风。

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④数学上追求的是最广泛的结论最低的条件及最简单的证明可以使学生形成精益求精的风格。

⑤通过数学训练课提高学生运用数学知识处理现实世界中各种复杂问题的意识、信念和能力。

⑥通过数学的训练可以使学生增强拼搏精神和应变能力

⑦可以调动学生的探索精神和创造力

⑧使学生具有某种数学上的直觉和想象力能够根据所面对的问题的本质和特点

⑨数学中处处显示着数学符号简练的抽象美这些美可以诱发学生的非智力因素又可以诱发学生的无限的创造力。

第二章数学课程概述

一、数学课程的含义与类型

1数学课程的含义归结为以下三种看法课程作为学科这种定义将课程看作是所传授的学科注重考虑课程的教学内容的组织和知识的积累课程即学科是使用最为普遍的一种课程定义。课程作为目标或计划这种定义将课程看作是教学过程要达到的目标、教学的预设结果换言之课程是学校为了达到教育的目标而对学生所有活动的计划和安排这种定义突出强调教学的计划和控制强调教育目标序列化、具体化的技术处理。课程作为学生的经验或体验这种定义把课程界定为学生在学校学习过程中所获得的经验或体验 以及学生自我获得的经验或体验他把受教育者在学校范围内知识与技能的获得、能力的发展、思想素质的提高等都包括在课程概念之中。

对中学教师而言所接触的课程有三种呈现形式计划的课程、实施的课程、学会的课程。

2、数学课程的类型

所谓学科课程是以知识为基础按照一定的价值标准从不同的知识领域中选择一定的内容再根据知识的逻辑体系将所选出的知识组织为学科 比如语文学科、数学学科、英语学科等。经验课程旨在培养具有丰富个性的学生它是从学生的兴趣和需要出发以儿童的主体性活动的经验为中心组织的课程。

经验课程与学科课程的基点不同两者分别反映了人的直接经验和间接经验、个体知识与学科知识、心理经验与逻辑经验。但经验课程与学科课程两者又具有内在的统一性经验课程并不排斥学科知识所反对的是学科知识脱离儿童的心理经验的现象 从而阻碍儿童的发展学科课程也不排斥儿童的心理经验 所反对的是盲目沉醉于儿童的活动与心理经验。

2 按照课程实施的方式可分为传授性课程与研究性课程。

传授性课程是以教师讲授为主的课程使学生在教师的指导下获得规范的发展是传授性课程的主导价

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值。

研究性课程是为“研究性学习方式”的充分展开而提供的相对独立的、有计划的学习机会。即在课程计划内规定一定的课时数从而有利于学生从事“在教师指导下从学生生活与社会生活中选择与确定研究专题主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。 ”

作为传授性课程的价值互补研究性课程的价值在于使学生能过通过自主研究和发现获得自由的发展具体表现为产生学生兴趣、丰富学习研究体验、形成合作与共享的个性品质建立合理的知识结构养成尊重事实的科学态度。

3 按照课程的预期性可分为显性课程与隐性课程。

显性课程是学校中有计划、又组织地实施的正式课程能对学生产生预期的影响。隐性课程是学生在学习环境物质环境、社会环境、文化体系中所学习到的非预期的或非计划性的知识、价值观念、规范和态度具有某种潜在性。特征其一影响具有普遍性其二影响具有持久性其三影响可能是积极的也可能是消极的。

显性课程的价值在于对学生的发展产生直接的影响而隐性课程的价值在于对学生的发展产生潜移默化的影响但两者也是有联系的。显性课程它的学习总是伴随着隐性课程而它的实施具有非预期性 因此必然存在非计划性、非预期性的教育影响另一方面 隐性课程也在不断的转化为显性课程。

国家课程是根据所有公民基本素质发展的一般要求设计的它反映国家教育的基本标准体现了国家对各个地方的中小学数学教育的共同要求所有学校都应认真贯彻实施国家课程 以保证国家教育目标的实现其价值在于通过课程体现国家的教育意志它对教育方针的落实、培养目标得到实现起到决定性的作用。地方课程是各省、市教育主管部门以国家课程为基准在一定的教育思想与课程观念的指导下根据地方经济特点与文化发展等实际情况而设计的课程其价值在于通过课程满足地方社会发展的现实需要。校本课程是以学校为

基地开发的课程。其价值在于托管课程展示学校的办学宗旨和特色。

3、课程的现代发展1970年后课程内涵有了较深刻的发展有以下一些变化趋势  1从强调学科发展到强调学习者的经验2从强调目标、计划发展到强调学习过程的价值一3从强调教材到强调教师、学生、教材、环境的整合4从只强调显性课程发展强调显性课程与隐性课程并重5从只强调学科课程到强调学校课程与校外课程的整合。

二、影响数学课程发展的因素

4、影响数学课程发展的因素

社会因素包括社会政治、经济、科学技术的方法、传统习惯、价值观念等。①社会因素对数学课程目标

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的影响社会的政治经济、科学技术的需求决定着数学人才培养的规格也就是数学课程的目标。对于培养什么人的问题在教育史上有所谓的“人本主义”与“实用主义”之争。 “人本主义”的教育目标突出的强调个人的心智训练和发展这种现象在古希

腊的数学教育中得到较鲜明的体现 “实用主义”的教育目标则强调对于实用技能的掌握 这种教育思想在中国古代教育史上有典型的表现。两种教育目标的对立便有了所谓“形式教育”与“实质教育”两个学派的争论形式教育认为教育的任务并非主要在于交给学生能够多少知识重点应放在学生的能力的培养上而实质教育则主张教给学生对生产、生活有使用价值的知识和技能为了调和两者的对立和争论便有了“基础教育的双重目标”的提法。②对数学课程内容及教学方式的影响。 A数学课程内容要适应现代化社会生活的需要 现代社会生产和生活中广泛应用的数学知识、数学思想方法应该精选为数学课程的内容。

B适应科学技术迅猛发展的需要一方面科学技术越是发展应用数学的程度越高人们越是要通过数学才能掌握其他科学和技术数学课程应当反映这一点另一方面科学技术的发展直接或间接地影响着数学课程内容的改变课程内容只能吸收最有价值的科学成果。 C课程内容要适应为全体学生进行数学教育的需要。学校数学的中心必须由二元的任务一一为多数学生的最低限度的数学为少数学生的高级的数学一一向单一的任务转变 即选取为所有的学生所需要的数学中的核心部分。

2 数学学科因素

数学学科对基础教育数学课程的影响主要体现于以下两个方面一是现代数学观的建立 二是对数学课程内容的影响。

在信息时代我们应该具备的数学观A公理化方法、形式演绎仍是数学的特征B在计算机技术的支持下数学注重应用 C数学不等于逻辑要做“好”的数学。

数学教学内容现代化的内涵可以归纳为以下两点其一适当增加适应学生认知水平的近现代数学知识其二突出数学思想和方法。

3学生的因素①数学课程的设置必须适应学生的身心发展 ②数学课程的设置必须促进学生的身心发展。

三、数学课程的现代发展

5、几种颇具代表性的数学课程

提出数学教育的核心是培养解决数学问题的能力。问题解决的内涵可以从三方面加以解释其一、问题解决是数学教学的一个目的。重视问题解决的培养发展学生的解决问题的能力最根本目的是通过解决问题的训练让学生掌握在未来竞争激烈、发展迅速的信息社会中生活、生存的能力与本领。其二、 问

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题解决是个数学活动的过程也就是说通过问题解决让学生亲自参与发现的过程、探索的过程、创新的过程。其三、问题解决是技能。但它并非是单一的解题技能而是一个综合技能它包括对问题的理解、求解的数学模型的设计、求解策略的寻求 以及对整个解题过程的反思与总结。

课程设置如何体现问题解决为中心呢 A通过问题解决认识和理解数学B把数学和非数学的问题情景表达成数学问题 C学会和应用各种策略解决问题 D根据问题的原始情境来检验和解释答案 E概括解决新问题的方法和策略 F在有意义地运用数学的过程中获得信心。

2面向大众的课程

1984年第五届国际数学教育会议上正式形成“大众数学“的说法 1991年美国总统签署了一份《美国2000年教育规划》的报告提出大众数学的思想 数学应成为未来社会每一个公民应当具备的文化素养学校应为所有人提供学习数学的机会。

大众数学的基本含义包括以下三个方面

1 人人学有用的数学

2 人人掌握数学

3 不同的学生学习不同的数学

体现大众数学的数学课程的设置特点 1注重课程内容的普适性 即精选未来社会所需要的、学生所喜爱并能够接受的数学基础知识作为课程内容 2以未来社会公民所必须的数学思想方法为主线选择和安排教学内容3以与学生年龄特征相适应的大众化、生活化的方式呈现数学内容4使学生在活动中、在现实生活中学习数学、发展数学5淡化形式重在实质。

3注重应用的数学课程

数学的作用除了传统的思维训练外更多的着眼于为社会服务强调数学在各行各业中的作用注重数学应用的数学课程设置不仅仅表现为增加一些应用题而是要将应用意识贯穿于课程的始终具体表现现为以下几方面 A增加具有广泛应用前景的数学知识 B加强传统数学知识与实际的联系 C进行实践课题的研究。

四、 中学数学课程体系的编排

6编排数学课程体系的基本原则

1 符合学生的认知规律与心理发展规律

具体来说课程体系的编排应符合以下要求 A可接受性是指教学内容由浅入深循序渐进。符合学生的认知规律和接受能力  B直观性按照直观性组织内容一般是由生活实例、直观模型等引入新课题 C趣味性D阶段性学生的思维发展过程一般是从具体形象思维到经验性抽象思维再到理论性抽象思维最后逐步产生辩证思维 因此知识内容的编排应当与学生的认知结构、思维特点与年龄特征相适应。

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在中学阶段学生的数学学习一般要经历下列五次转折与飞跃①从算术到代数②从代数演算到几何推理论证③从演绎几何到解析几何这是几何研究方法的改变④从常量数学到变量数学这是从逻辑思维到辩证思维的转变⑤从确定性数学到随机性数学这也是数学思维方式的转变。

2 符合数学科学的基本特性

首先要尽可能的保持数学知识的系统性 由易到难、 由浅入深、 由古到今、纲目清晰的展

开知识内容其次要突出数学学科的知识结构

7、课程体系的具体呈现形式

1 直线式与螺旋式直线式是将一门学科的知识内容按照逻辑体系组织起来前后的

内容不重复也就是一个知识点学习完之后不在作为新知识出现。 螺旋式就是在不同的学习阶段重复呈现特定的知识内容也就是说某个知识点学完之后有可能再次作为新知识出现不过这并不是简单的重复再次出现时其知识点的内涵、难度均有所上升。

2 结论式与过程式结论式的处理方式就是教材内容反映的是编者经过研究、整理

得到的结论性知识没有给出得到这些结论的思考、分析、探索过程。 过程式的处理方式一般是从问题出发通过提出问题、解决问题、给出学习新知识的背景与必要性提供观察、尝试、操作、猜想、验证等方面的学习材料暴露思维活动过程总结数学活动的经验使学生在数学化的过程中学习概念、公式、法则、性质。

3 综合式与分科式分科式的课程体系其特征是各科内容单独编排 自称体系教学时同时并进。综合式的课程体系将各科内容混合编排组成统一的数学课程这种处理基

本上打破了算术、代数、几何各自独立、互不联系的情况并使螺旋式处理部分数学知识成为可能。时至今日综合性的数学课程体系已成为主流。

第三章 国外的数学课程改革

一、 20世纪的数学教育改革运动

1、 贝利一克莱因运动1901年英国数学家贝利发表了《论数学教学》的著名演讲 提出了“数学教育应该面向大众”、 “数学教育必须重视应用”的思想 以及改革数学教育的鲜明主张其中多数是针对几何课程的。于此同时著名的数学家莱克因也在各种场合发表自己对数学教育的看法并提出了所谓的“米兰大纲”这些观点对当时的数学界以强烈的抨击作为对贝利和克莱因的响应法国的波利尔和美国的穆尔也纷纷提出了数学教育改革的主张于是就形成了后来被称为贝利一克莱因运动的20世纪第一个数学教育现代化运动。

贝利一克莱因运动初期改革的一个中心注重发展学生的函数思维能力其主要特点如下从运动和变化中提出数学对象运用因果关系对数学内容作实际有效的解释重视说明数学对象的丰富内容 即强调

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数学的实用观点。发展函数思维的手段之一是借助一组相同的问题这些问题的目的是对某些明显有“函数内容的”具体对象给予数学的表达和分析。

所谓的“米兰大纲” A教材的选择、排列应适应学生心理的自然发展 B融合数学的各学科密切其他学科的联系 C不过分强调形式的训练 D强调实用的方面 E将养成函数思想与空间观察能力作为数学教学的基础。

2、新数学运动1950年代初期新数学运动就已经作为美国战后数学教育计划之一悄悄地开始了其最初的想法主要基于下面两个方面的变革首先是数学本身的变革。二战以后 数学抽象化、公理化、结构化的程度越来越高并使得古典几何被排除在现代数学之外在这种情况下许多数学家都竭力主张彻底改革中学数学课程用现代数学的思想方法和语言来重建传统的初等数学并引进新的现代数学内容。其次是课程观念上的转变。传统的数学课程存在着明显的不足一是过分强调运算技巧学习数学退化称为死记公式、模仿例题的工作缺乏必要的数学理解二是忽视数学的逻辑结论和系统性人为的把数学分割成一些互不相通的部分。正是在这种课程思想指导下人们开始考虑制定新的数学课程。继美国、 欧洲推进数学教育现代化后非洲、拉丁美洲、东南亚地区都相继成立了地区性的机构召开会议推进“新数学运动”于是“新数学运动”波及全球于1960年形成高潮。

3、 回到基础运动与“新数学运动”的轰轰烈烈成鲜明对比的是 “回到基础”几乎是悄无声息的进行的既没有响亮的口号也没有同统一的纲领其出发点是希望重新引起对基本技能的重视但令人遗憾的是回到基础不但没有提高教学水平反而使数学教学回落到

历史的最低谷

4、新数学运动与回到基础运动带给我们的教训

A教育不是一门纯粹独立的科学 B用口号来代替行动纲领将毫无益处 C数学课程的改革不是一个突变的过程 D教材的编写应照顾到不同层次的学生。

5、问题解决1977年美国全国数学督导委员会宣布 “学习数学的根本目的是学会问题解决。 ”1980年全国数学教师协会在《行动的议程》中提出 “问题解决应该成为80年代学校数学教育的核心。 ”

对于什么是问题解决主要有三种说法一是作为背景的问题解决。这种观点将问题解决作为一种学习课程内容和实现其他课程目标的工具。二是作为技能的问题解决。这一观点认为数学问题解决之所以重要并不是因为它能使一个人成为好的问题解决者而是因为解决数学问题本身具有重要价值。因此问题解决教育的目的就是让学生能够解答提出的各种数学问题并掌握各种解决问题的技能进而将从数学领域中学到的推理技能应用到其他领域中。三是作为艺术的问题解决。这一观点主要归功于波利亚的著作。波利亚认为数学是一种创造活动不要把数学理解为一种常规的、形式主义的演绎学科而应类似于自然科学取决于猜测、顿悟和发现。因此对他来说 问题解决就是一种“实践的艺术。 ”

5、 在实际问题解决教学中叶出现了许多问题首先 目前关于问题解决的认识仍相当肤浅其次片

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面的强调问题解决也造成了学生基础知识和基本技能方面的不足此外在1980年代有关问题解决的研究几乎都集中在问题解决能力和表现分析上而很少涉及问题解决的教学与评估。

6、 1990年代的数学教育研究动态1990年代的国际数学教育界开始着手制定面向21世纪的中小学数学课程。数学是一门生动活泼的科目它寻求蕴藏于周围世界和我们头脑中的模式这个转变要求课程内容和教学方式有所变革寻求解法不仅是记住步骤探索模式 不仅是学习公式形成猜想不仅是做练习。

二、大规模的数学教育国际比较研究

7、 F IM S第一次国际数学研究在1960年代中期进行最初的目的是确定导致学生成就差异的相关因素 F IM S考察了两个年龄段的学生 12个国家的13岁美国的8年级和中学的最后一年美国的12年级 研究的项目有数学成就测试、 学生观念调查和教学背景问卷 但忽略了课程方面的因素。

8、 SIMS 1981—1982年间进行的第二次国际数学研究主要目标是在国际背景下对比和比较各种课程、教学实践和学生在态度与认知两方面的成就从而使每个国家或地区的教育系统更好地理解其优势和缺点。 S IM S涉及到两个年龄段 20个国家的13岁年龄段和15个国家的中学毕业班。进行了三个方面的问卷调查学生背景问卷 目的是了解学生家长的情况和学生对数学的态度教师问卷 目的是收集教师经历、培训、质量和态度等方面的信息学校问卷 由学校管理人员完成 目的是了解学生的统计数据、教职工的背景、数学课程及数学教学的特点。

9、 TIMSS 1994-1995年开始实施的第三次国际数学与科学研究是有史以来最大的、最全面的也是最严格的对学校与学生成就的国际性研究它超越了传统的“赛马式”数据 而进一步分析了参加国家的教材、课程等背景材料并对学生和教师进行了大规模的问卷调查。 TIM SS数据为我们界定什么是“世界级”的教育提供了参考也为我们提供了一个衡量学生表现和教学效果的工具更重要的它可以使我们从其他国家教育中取长补短从而更好的改进我们的教育。

10、 IAEP教育进步国际评价的简称 由美国考试局组织实施 IAE P的研究目的是收集和

报告下面几个方面的数据 学生知道什么和能做什么与学生成就有联系的教育和文化因素学生的态度。

11、 PISA是一项新的面向15岁学生的国际性评价。评价的目的是了解学生阅读、数学

和科学素养方面为成人生活所做的准备情况。因此考察的重点是学生在实际生活中运用知识和技能的能力而不是所掌握的特殊的学校课程。除此之外 PISA也对有关学生和学校的特点的背景性指标、各项指标的发展趋势政策分析和研究的知识基础进行了问卷调查。

PISA的测试框架中数学素养的三个维度是 A过程、 B内容、 C背景。

三、面向新世纪的各国数学课程改革

12、 美国的数学课程标准

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