公式数值分析考试复习总结

第一章

1 误差

相对误差和绝对误差得概念

例题:当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时,一般要经历哪几个阶段?在哪些阶段将有哪些误差产生?

答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果

在这个过程中存在一下几种误差:

建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差

选用数值方法产生:截断误差

计算过程产生:舍入误差 传播误差

6设a0.937关于精确数x有3位有效数字估计a的相对误差.对于f(x) 1x估计f(a)对于f(x)的误差和相对误差.

解 a的相对误差 由于

|E(x) | xa 

Ef(a)对于f(x)的误差和相对误差. |E(f) || 1x 1a |=

|E.

2有效数字 基本原则:1两个很接近的数字不做减法: 2:不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)例题:

4 改变下列表达式使计算结果比较精确

 1 ;

;

 3 

解 (1) 2x.

x x(1cosx) 1cosx

第二章n

拉格朗日插值公式即公式 1   pn(x)yili(x)

插值基函数因子可简洁表示为li(xn n

其中: ) .j0 j0

例1 n=1时线性插值公式

y2 

牛顿Newton插值公式 由差商的引入知

 1  过点x0,x1的一次插值多项式为p1(x)f(x0)c1(xx0)

 2  过点x0,x1 ,x2的二次插值多项式为p2(x)p1(x)c2(xx0)(xx1)f(x2)f(x1)f(x1)f(x0)

p2(x)p1(x)f[x0,x1 ,x2](xx0)(xx1)f(x0)f[x0,x1 ](xx0)f[x0,x1 ,x2](xx0)(xx1)重点是分段插值:

例题: 1. 利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式结果要简化

解(2)  方法一. 由Lagrange插值公式L3(x)f0 l0(x)f1 l1(x)f2 l2(x)f3 l3(x)

可得 L3(x)x2(x1 2)

方法二.令 L3(x)x(x1 2)(AxB)

由 L称之为待定系数法

15.设f(x)x2 求f(x)在区间[0,1]上的分段线性插值函数fh(x) 并估计误差取等距节点且h1/10.

解 f(x)x

设 x

)

1为什么要进行数值积分?常用哪些公式,方法?

答:梯形复化求积公式和simpson复化求积公式.

2: 方法好坏的判断: 代数精度

 误差分析

1.代数精度的概念

定义若求积公式次多项式不精确 则称 * 具有m次代数精度。

等价定义若求积公式 * 对1,x,x2,,xm是精确的但对xm1不精确 则 * 具有m次代数精度。

3:误差

1等距剖分下的数值求积公式

公式特点 节点预先给定均匀分布,系数wi ,i0(1)n待定

利用插值多项式pn(x)近似代替f(x)  即得插值型求积公式Newton-Cotes公式

2给定节点数下的具有最佳逼近性质具有最高次代数精度的数值求积公式 Gauss求积公式 公式特点 系数wi ,i0(1)n和节点xi ,i0(1)n均待定

3分段插值多项式n(x)近似代替f(x) 分段求积复化求积公式

复化求积公式

通过高次求积公式提高精度的途径不行类似函数插值

分而治之 分段低次求积公式----------称为复化求积法

两类低次n4 求积公式

1. NewtonCotes型矩形、梯形、 Simpson、 Cotes公式分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式

2. Gauss型 一点、 两点、三点Gauss求积公式称为复化一点、 两点、三点Gauss公式

复化梯形公式Tn 

)]}



复化辛甫生公式: 每个ek上用辛甫生公式求积

Sn)]

[f(xn1)4f(x)]}

)]

其中 h的中点

复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。常采用其等价形式

复化柯特斯公式

Cn)][(7f(x1)32f(x5 )12f(x3 )32f(x7 )7f(x2)]

4 2 4

[7f(xn1)32f(x)]}

32)]

其中 h]的中点xk]的四等分的分点

 自适应复化求积法

计算时要预先给定n或步长h在实际中难以把握

因为 h取得太大则精度难以保证 h太小则增加计算工作量.

自适应复化梯形法的具有计算过程如下

步1 n1,hba,)]

步3 判断|T2T1 |若是 则转步5

步4 n2n,hh/2, T1T2 转步2

步5 输出 T2 .

第五章

1: 常用方法:

(1) .直接解法 Ga us s 逐步顺序消去法、

Gauss主元素法、矩阵分解法等

(2) .迭代解法构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解

①.经典迭代法

Jacob i 迭代法、 GaussSeidel迭代法、

逐次超松弛SOR迭代法等

②. Krolov子空间的迭代法

根据A的对称性又分为

A对称正定-------共轭梯度法

A非对称--------- BICG 、 GMRes (最小残量法)

③.解一类特定背景问题的迭代法

多重网格法

2: 几类迭代法优缺点比较:

3:迭代方法

目标 求解Axb 其中 A非奇异。

基本思想把线性方程组Axb的解x化为一个迭代序列极限解

关键构造迭代序列所满足的公式迭代格式。

构造迭代格式基本步骤

1 将A分裂 A:BC 其中 B非奇异

2 构造迭代格式

Axb

 BxbCx

Bx(k1)bCx(k)



其中GB1 C称之为迭代矩阵, gB1b

其中 bAx(k)为x(k)的残余向量

此时 GIB1A, gB1b

常用的迭代方法

将A(aij)分裂为

ADLU 其中

Ddiag(a 1 1 ,a 22,,a nn)

L Jacobi迭代方法

若a ii0迭代格式x(①

其中 Jacobi迭代矩阵 GJD1(LU)gD1b

①式可写为分量形式x

方法 *1 或①称为Jacobi迭代方法.

Gauss—Seidle迭代方法

若a ii0迭代格式x(②

其中

Gauss-Seidel迭代矩阵 Gg(DL)1b

其分量形式x

即

在计算新分量x

迭代法 *2 或②称为Gauss—Seidel迭代方法。

 超松弛方法(SOR)方法

定义SOR方法的迭代格式如下z] ,x

称为松弛因子 1即为GS方法.

其矩阵形式

其中

SOR法的迭代矩阵 G(DL)1 [(1)DU]g(DL)1b .

第七章

1:解非线性方程与方程组的方法:

1. 准确方法

如 用求根公式对n4次的代数多项式求根。

但 绝大多数的方程并无准确方法可用。如 n5次的代数多项式并无求根公式。

2. 数值方法实际中大多采用

基本思想 设法找到一个能收敛到方程的解的序列。

(1) .区间套法——二分法。

(2) .迭代法

①.简单迭代法 ②. Newton迭代法;

○3 . 割线法; ○4 .加速算法。

2:收敛条件:

二分法无条件

简单迭代法条件:

定理1 如果(x)满足以下条件:

1) x[a,b] , (x)[a,b] ;

2)  常数L: 0L1 ,使得对任意两点x1,x2 [a,b] ,都有

(x1 )(x2) Lx1x2 ,

则: 方程(*)在[a,b]上的解存在唯一,且对任给的初值x0 ,由迭代过程(* *)所产生的序列xk收敛到.

例题:

2. 为求方程x3x210在x01.5附近的一个根设将方程改写为下列等价形式并建立相应的迭代公式

 1  x11/x

 2  x

 3  x

试分析每一种迭代公式的收敛性并问哪一种迭代收敛得快

解取x01.5的邻域[1.3, 1.6]来考察

(1) (x)11/x)收敛.

(2) (x)(1x2)

(x)2x/[3(1x

故迭代公式 2 也收敛。

(3) (x)1/(x1)1/2 ,

(x)1/[2(x1)

故迭代公式 3 发散.

由于(x0)越小越快地收敛于根 故 2 式收敛最快。 □

第八章

解一阶常微分方程的常用方法: Euler方法 Runge-Kutta方法

2阶常微分方程边值问题的差分方法

1 三类边值问题

1 第一类边值问题y(x)f(x,y(x),y(x)), axb  3. 1 y(a), y(b)。 (3. 2)

2 第二类边值问题y(x)f(x,y(x),y(x)), axb  3. 3 y(a), y(b)。 (3. 4)

3 第三类边值问题y(x)f(x,y(x),y(x)), axb  3. 5 y(a)0y(a)1 , y(b)0y(b)1  (3. 6)

其中 0,00, 00 0 。

2 差分格式的建立

针对方程 3. 1 而言.

Step 1取[a,b] 的离散节点:ax,一般可取等步长: hmh, m1,2,N.

Step 2 将y(xm) 用二阶差商、 y(xm)用一阶差商近似

y(x

理由 由Taylor展开有y(x)y(x)



两式相加得

其中 x.

两式相减得y(x

其中 x.

Step 3 略去O(h)有:



所以得到第一边值问题(3. 1)-(3. 2)的差分格式:

)y0, yN.…………………………(3. 9)

对第二边值条件(3. 3) ,由于y(x)其中 x0

所以可得到第二类边值问题(3. 3)-(3. 4)的差分格式:

)

类似可得第三类边值问题(3. 5)-(3. 6)的差分格式(略) .