定理初中数学中被删掉有用知识圆幂定理及其应用

初中数学中被删掉有用知识圆幂定理及其应用

圆幂定理及其应用

教学目标

1使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系,并能综合运用它们解

决有关问题

2.通过对例题的分析提高学生分析问题和解决问题的能力并领悟添加辅助线的方

法

3.从运动的观点来统一认识圆幂定理对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的

观点的教育.

教学重点和难点

相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点;灵活运用圆幂定理解题

是难点.

教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1。根据图162(  )、 ()、 (3让学生结合图形说出相交弦定理、切割线定理、割

线定理的内容。

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2。然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系

提出问题让学生思考,在学生回答的基础上教师用电脑或投影演示图形的变化过程,

从相交弦定理出发用运动的观点来统一认识定理.

(1如图—63⊙的两条弦ABCD相交于点P则·

BP·PD.这便是我们学过的相交弦定理对于这个定理有两个特例

一是如果圆内的两条弦交于圆心O则有P=PP=D=圆的半径R,此时AB CD是直径相交弦定理当然成立.(如图7—164)

二是当P点逐渐远离圆心运动到圆上时,点和BD重合,这时PPD=O仍然有PA·PBPC·P=O相交弦定理仍然成

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立.(图7-165

 在图7- 66中如果将割线PC按箭头所示方向绕P点旋转使C,D两点在圆上逐渐靠

近 以至合为一点C割线PD变成切线C。这时有P·P=PC·PD=C2这就是我们学过的切割线定理.(图167

4)如果割线AB也绕P点向外旋转的话也会成为一条切线PA.这时应有PAB2,可

得PAPB,这就是我们学过的切线长定理。 图168

至此,通过点的运动及线的运动变化我们发现相交弦定理、切割线定理及其推论和

切线长定理之间有着密切的联系

3。启发学生理解定理的实质

经过一定点P作圆的弦或割线或切线,如图7—169.

观察图7169,可以得出 设⊙O半径为R)

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在图1)中 P·BPC·PD=E·PF

=(R-OP) ROP)

在图(2中 P·PBPOP2OT2

=OP 2—2

在图(3中 A·PB=PC·PDP

O P 2—R2

教师指出 由于P·PB均等于 P2-R2  ,为一常数 叫做点P关于⊙O的幂所以相交弦定理、切割线定理及其推论割线定理)统称为圆幂定理。

二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行

例1 如图717 两个以O为圆心的同心圆,A切大圆于BAC切小圆于,交大圆于D E B12,A=   AD8求两圆的半径

分析结合图形和已知条件根据勾股定理容易求出大圆的半径O B求C也可考虑用上述方法,但AC未知,此时则可根据切割线定理先求出AE再利用垂径定理便可求出AC于是问题得解.

(由学生讨论、分析,得出解决)

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例2 如图7—171,在以O为圆心的两个同心圆中 A B是大圆上任意两点过A 作小圆的割线XY和BPQ.

求证:X·AY=P·B

分析在平面几何比较复杂的图形中,往往都是由几个简单的图形组合而成的.但本题

不直接含有这样的图形,我们应考虑通过添加适当的辅助线来构造出这样的图形 以此为出

发点,师生共同探索得出以下几种不同的辅助线的添法.

方法1 在图—172中,过点,B分别作小圆的切线ACB DCD为切点。这时就出现了切割线定理的基本图形于是有

所以X·AY=P·B。

方法2 在图7-173中,作直线X交大圆于,F,分别延长,Q交大圆于C D。这样就出现了相交弦定理的基本图形。于是有

X·CX·XF,BP·=FP·P.

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易证AX=Y P=DQ,EX=P.

所以AX·XC=A·Y BP·DBP·B,EX·F=FP·PE.

所以X·AY=BP·B。

方法3 如图7- 74 由于点O是圆内的特殊点,考虑过点的特殊割线作直线交小圆于E F作直线BO交小圆于C D则出现了割线定理的基本图形。于是有

A·AYAE·AF B·BQBC·BD.

易证AE=BC,AF=BD,

所以AE·AF·D.

从而X·AYBP·BQ

通过对以上方法的分析,将“和圆有关的比例线段"这一节的几个定理紧密结合起来,

沟通了知识间的联系,最后可启发学生联想基本图形思考还有哪些辅助线的作法来证明此

题

果A=7 PA2求C的长

练习2如图717 ⊙O和⊙′都经过点A和B PQ切⊙O于交⊙O′于QM交AB的延长线于N。求证 PN2=NM·Q.

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7—76),让学生观察并说出相应的定理

教师指出以上定理形式虽然不同但实质相同它们是相互统一的.

五、习题

1、求证相交两圆的公共弦的延长线上任一点到两圆所作的切线长相等。

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已知:如图5 ⊙O1和⊙相交于点、 B,为B延长线上任意一点且PC、 PD与⊙O1和⊙O2分别切于C、D两点。求证 PC=D.

2、如图6过点P作⊙O的切线A 为切点,过PA中点B作割线交⊙于、D连结C并延长交⊙O于E连结交⊙O于F。求证:F∥P.

3、如图7,已知BD是⊙O的割线 A、 P是⊙O的切线 A、 C为切点求证:

(1 A·AB=PB·AD

( 

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(3)AD·BC=B·DC。

提示:   要证PA·B=P ·AD只要证就可以了。而PA、AD、 PB、A分别是△P和△P的两条边,因此只根证得这两个三角形相似即可.显然∠A=∠BPA∠DP=∠AP因此△D∽△PBA。

(2)由问题(1可。而P2 ·P故。

3要证D·CAB·DC,只需证可。因此.