千米3-2-9_接送问题题库教师版讲解

1准确画出接送问题的过程图 标准每个量在相同时间所走的路程要分清

2、理解运动过程抓住变化规律

3、运用行程中的比例关系进行解题

 J2知识精讲

校车问题一一行走过程描述

队伍多校车少校车来回接送队伍不断步行和坐车最终同时到达目的地 即到达目的地的最短时间不要求证明。

二、 常见接送问题类型

根据校车速度来回不同 、班级速度不同班不同速 、班数是否变化分类为四种常见题型

 1 车速不变-班速不变-班数2个最常见

2 车速不变-班速不变-班数多个

3 车速不变-班速变-班数2个

4车速变-班速不变-班数2个

三、 标准解法

画图+列3个式子

1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间

2、班车走的总路程

3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。

模块一、汽车接送问题一一接一个人

【例1】某校和某工厂之间有一条公路 该校下午2时派车去该厂接某劳模来做报告 往返需用1小时•这位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来途中遇到接他的汽车便立刻上车驶向学校在下午2时40分到达•问汽车速度是劳模步行速度的几倍

【分析】车下午2时从学校出发如图

工厂 P 学校

A B

C

在C点与劳模相遇再返回B点共用时40分钟 由此可知在从B到C用了40“2=20分钟 也就是2时20分在C点与劳模相遇.此时劳模走了 1小时20分也就是80分钟.

另一方面汽车走两个AB需要1小时也就是从B点走到A点需要30分钟而前面说走完B C需要20分钟所以走完AC要10分钟也就是说B C=2AC.走完AC,劳模用了80分钟走完B C汽车用了20分钟.劳模用时是汽车的4倍而汽车行驶距离是劳模的2倍所以汽车的速度是劳模速度的42=8倍.【点拨】复杂的行程问题总要先分析清楚过程.我们不把本题看作是一道相遇问题 因为在路程和速度都

不知道的情况下解相遇问题需要初中代数的知识. 直接求出相遇点C到两端A、B的长度关系再通过时间的倍数关系就可以解出本题.解这道题最重要的就是找出劳模和汽车间路程及所有时间的倍数关系.通过汽车的用时推出

AC与B C的倍数关系再得出答案.

如何避开运用分数和比例方法有很多.对于这道题 如果认为学校与工厂间相距为 3000米则做出这道题就更容易了汽车 1分钟走3000“30=100米.AB相距1000米劳模走了80分钟所以劳模的速度是每分钟走1000"80=12.5米汽车速度是劳模的100„12.5=8倍.而实际上 3000米这个附加条件对结果并不起作用只是使解题人的思路更加清晰.

【巩固】 2008年陈省身杯”国际青少年数学邀请赛张工程师每天早上8点准时被司机从家接到厂里。 一天张工程师早上7点就出了门开始步行去厂里在路上遇到了接他的汽车于是他就上车行完了剩下的路程到厂时提前 20分钟。这天张工程师还是早上 7点出门但15分钟后他发

对耳卜兀各軽现有东西没有带于是回家去取再出门后在路上遇到了接他的汽车那么这次他比平常要提前分钟到厂。【解析】第一次提前20分钟是因为张工程师自己走了一段路从而导致汽车不需要走那段路的来回所

以汽车开那段路的来回应该是 20分钟走一个单程是10分钟而汽车每天8点到张工程师家里所以那天早上汽车是7点50接到工程师的张工程师走了50分钟这段路如果是汽车开需要10分钟所以汽车速度是张工程师步行速度的 5倍第二次实际上相当于张工程师提前半小时出发时间是遇到汽车之后的5倍则张工程师走了25分钟时遇到司机此时提前30一25 2=10 分钟 。模块二、汽车接送问题——接两个人或多人

一 、车速不变、人速不变

【例2】 难度级别探※※A、 B两个连队同时分别从两个营地出发前往一个目的地进行演习 A连有卡车可以装载正好一个连的人员为了让两个连队的士兵同时尽快到达目的地 A连士兵坐车出发一定时间后下车让卡车回去接 B连的士兵两营的士兵恰好同时到达目的地 已知营地与目的地之间的距离为32千米士兵行军速度为8千米/小时卡车行驶速度为40千米每小时 求两营士兵到达目的地一共要多少时间

【解析】由于卡车的速度为士兵行军速度的 5倍 因此卡车折回时已走的路程是 B连士兵遇到卡车时已走路程的3倍而卡车折回所走的路程是B连士兵遇到卡车时已走路程的 2倍卡车接到B连士兵后还要行走3倍B连士兵遇到卡车时已走路程才能追上 A连士兵此时他们已经到达了目的地 因此总路程相当于4倍B连士兵遇到卡车时已走路程 所以B连士兵遇到卡车时已走路程为8千米而卡车的总行程为3+2+3  X8=64千米这一段路卡车行驶了 64 W0=8/5小时 即1小时36分钟这也是两营士兵到达目的地所花的时间 •

【巩固】 甲班与乙班学生同时从学校出发去公园两班的步行速度相等都是 4千米/小时学校有一辆汽车它的速度是每小时48千米这辆汽车恰好能坐一个班的学生.为了使两班学生在最短时间内到达公园设两地相距150千米那么各个班的步行距离是多少

D B A C

-------------------------------------------------------------- -------------A

【解析】由于汽车速度是甲乙两班步行速度的 12倍设乙班步行1份汽车载甲班到A点开始返回到B点

相遇这样得出BD:BA=1:[(12-1)“2]=1:5.5汽车从A点返回最终与乙班同时到达C点汽车又行走了12份所以总路程分成1 5.5=7.5份所以每份=150- -7.5=20千米所以各个班的步行距离为20千米.【例3】 (难度级别探※)甲、 乙、丙三个班的学生一起去郊外活动他们租了一辆大巴但大巴只够一个班的学生坐于是他们计划先让甲班的学生步行乙丙两班的学生步行 甲班学生搭乘大巴一段路后下车步行然后大巴车回头去接乙班学生并追赶上步行的甲班学生再回头载上丙班学生后一直驶到终点此时甲、乙两班也恰好赶到终点 已知学生步行的速度为 5千米/小时大巴车的行驶速度为 55千米/小时 出发地到终点之间的距离为 8千米求这些学生到达终点一共所花的时间.

【解析】如图所示:

ABC DEF

«-------------o-----------0------------a--------------o----------o-------------o------------o-------------•

甲

乙---------- -----------------------------------------------------------------

丙---------------------------------------------------------------------------------------------

虚线为学生步行部分实线为大巴车行驶路段 由于大巴车的速度是学生的 1 1倍所以大巴车第一次折返点到出发点的距离是乙班学生搭车前步行距离的 6倍如果将乙班学生搭车前步行距离看作是一份的话大巴车第一次折返点到出发点的距离为 6份大巴车第一次折返到接到乙班学生又行驶了5分距离 ……如此大巴车一共行驶了 6+5+6+5+6=28份距离而A到F的总距离为8份所以大巴车共行驶了 28千米所花的总时间为 28/55小时.

【例4】海淀区劳动技术学校有100名学生到离学校33千米的郊区参加采摘活动 学校只有一辆限乘25人的中型面包车•为了让全体学生尽快地到达目的地•决定采取步行与乘车相结合的办法•已知学生步行的速度是每小时 5千米汽车行驶的速度是每小时 55千米•请你设计一个方案使全体学生都能到达目的地的最短时间是多少小时 

6份 1份

1份T一 「 「- ---------------- ________ .

________ ______________________ ___________________1份

^份T-—------------- --------------------------------------------------------------------- -I--------------- ---

■■--------------------------------------------------------------------------------------------------------r —.—

1份

【解析】由于100名学生要分4次乘车分别命名为甲、 乙、丙、丁四组且汽车的速度是步行速度的11倍,乙组步行1份路程则汽车载甲组行驶6份放下甲组开始返回与乙组的学生相遇汽车载乙组追上甲组把乙组放下再返回 甲组也步行了 1份丙组、丁组步行的路程和乙组相同如图所示所以全程为611^9份恰好是33千米其中汽车行驶了33- -96=22千米共步行了33—22=11千米所以全体学生到达目的地的最短时间为 22"55 1V>^2.6 小时

【例5】 甲、 乙两班学生到离校39千米的博物馆参观但只有一辆汽车一次只能乘坐一个班的学生. 为

了尽快到达博物馆两个班商定 由甲班先坐车 乙班先步行 同时出发 甲班学生在途中某

地下车后步行去博物馆汽车则从某地立即返回去接在途中步行的乙班学生•如果甲、 乙两班

学生步行速度相同汽车速度是他们步行速度的 10倍那么汽车应在距博物馆多少千米处返回

接乙班学生才能使两班同时到达博物馆

A B CD

I 丨 I

--------■r — .

【解析】如图所示 当甲班乘车至C处后下车然后步行至博物馆车则返回去接乙班至 B处时恰好与乙班相遇然后载着乙班直接到博物馆.

由于甲、 乙两班学生要同时到达他们所用的时间是相同的而总路程也相同那么他们乘车的路程和步行的路程也分别相同也就是说图中 AB与C D相等•又乙班走完A B时汽车行驶了从A到C再从C到B这一段路程 由于汽车速度是他们步行速度的 10倍所以汽车走的这段路程是AB的10倍可得B C是AB的10-1 “2=4.5倍那么全程AD是AB的6.5倍也是C D的6.5倍所以CD为39“6.5=6千米 即汽车应在距博物馆 6千米处返回接乙班.

【例6】 难度级别※※※※甲、 乙两班学生到离校 24千米的飞机场参观但只有一辆汽车一次

0家家学I名師网络,」 •班

IAJIAXUE.CO M1 - ™ J只能乘坐一个班的学生.为了尽快到达飞机场,

时出发 甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙

班学生.如果甲、 乙两班学生步行速度相同汽车速度是他们步行速度的 7倍那么汽车应在

距飞机场多少千米处返回接乙班学生才能使两班同时到达飞机场 

【解析】设学生步行时速度为“1  '那么汽车的速度为“7 '有如下示意图.

我学们校让甲班先乘车那么24当km乙班步行至距学校机场I处 甲班已乘车至距学校 71处•此时甲班下车步行汽车往回行驶接乙班汽车、 乙班将相遇.汽车、 乙班的距离为71-1=61 两者的速度和为7+1=8 所需护时仃-间甲按为车6时I*£乙=到0达.7地51点这段时间乙班学生又步行 0.751的路程所以乙班学生共步行

1+0.751=1.751

后乘车而行•应要求甲、 乙班同时出发、 同时到达且甲、 乙两班步行的速度相等所以甲班也

应在步行1.75I路程后达到飞机场有甲班经过的全程为 71+1.751=8.75I应为全程.所以有71=24£.7577=19.2千米 即在距学校 19.2千米的地方甲班学生下车步行此地距飞机场24-19.2=4.8千米•即汽车应在距飞机场4.8千米的地方返回接乙班学生才能使两班同时到达飞机场.【例7】 2008年迎春杯”六年级初赛A、B两地相距22.4千米•有一支游行队伍从A出发 向B匀速前进 当游行

队伍队尾离开 A时 甲、 乙两人分别从A、B两地同时出发.乙向A步行 甲骑

车先追向队头追上队头后又立即骑向队尾到达队尾后再立即追向队头追上队头后又立即骑向队尾……

当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距 B地5.6千米处 当甲第7次追上队头时

甲恰好第一次到达B地那么此时乙距A地还有______________千米.

A B

【解析】整个行程如图所示•设甲第一次追上队头与第二次追上队头时队伍所行的距离为 x千米第一次从队头到队尾时甲所行距离为y千米•由于每一次甲都是从队尾追上队头再从队头回到队尾,

家家学I名师网络小班

JlAJ lAXUE.C O M 厂3 中小半窑肺隊堆小施麹势育老师j对」补充.各髓追上队头是一个追及过程 回到队尾是一个相遇过程而追及、相遇的路程都是队伍的长度 队伍的长度是不变的所以每一次追及、相遇的时间也是不变的所以每一次甲追上队头到下一次甲追上队头这段时间内队伍所行的路程 即图中相邻两条虚线之间的距离 都是相同的而每一次从队头到队尾时甲所行的路程也都是相同的.

根据题意 甲第5次追上队头时距 B地5.6千米第7次追上队头时恰好到达 B地所以2x=5.6;f2x=5.6 x=2.8

从图中可以看出 7x•y=22.4, 所以 解得

7x+y=22.4 y=2.8

甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距 B地5.6千米处 甲第5次追上队头时共行了

2.82.8 5 2.84=39.2千米根据时间一定速度比等于路程之比可得v甲:v乙二39.2:5.6=7:1 .

从甲第5次追上队头到甲第7次追上队头 甲共行了 2.82.8 22.82=16.8千米所以这段时间内乙行了16.8- -7=2.4千米所以此时乙距 A地还有22.4一5.6一2.4=14.4 千米 .

二车速不变、人速变

【例8】 难度级别探※ 甲班与乙班学生同时从学校出发去公园 甲班步行的速度是每小时 4千米

乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆汽车它的速度是每小时48千米这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达公园那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少千米

【解析】方法一不妨设乙班学生先步行汽车将甲班学生送至 A地后返回在B处接到乙班学生最后汽车与乙班学生同时到达公园如图

C B 口 D

学校—" ,----------公园

V甲:V车=1 : 12,V乙V车=1 : 16。 乙班从C至B时汽车从C~A~B则两者路程之比为1:16,不妨设CB=1 则C~A~B=16,CA=  1+16吃=8.5则有CB:BA=1 :7.5;类似设AD=1 ,分析可得AD:BA=1 :5.5综合得CB:BA:AD=22: 165 :30,说明甲乙两班步行的距离之比

是15: 11 。

方法二如图假设实线代表汽车行驶的路线虚线代表甲班和乙班行走的路线假设乙班行驶1份到达C点则汽车行驶16份到达E点汽车与乙班共行驶 15份在D点相遇其中乙班步行

1 15 154 20 15 20 5了◎耐芾份 同时甲班步行了产丁17份此时汽车与甲班相差16亠存矿15后

5 5 1

份这样甲班还需步行 152^ 48_4 4= 15•卫 -份所以甲班与乙班步行的路程比为

17 17 1 1

201 1 15 17 5 15

1 1 1715 11 1 1

17

方法三 由于汽车速度是甲班速度的 12倍是乙班速度的16倍设乙班步行1份则汽车载甲班学生到E点返回与乙班相遇共行16份所以AD:DE=1:[ 16-1  “2]=1:7.5=2:15类似的设甲班步行1份则汽车从E点返回到D点又与甲班同时到达B点所以DE:EB二[(12-1)亠2]:1=5.5:1=1 1:2所以AD:DE:EB=22:(15 11):30,所以甲班与乙班步

行的路程比为30:22=15:11

三 、车速变、人速不变

【例9】 甲、 乙两班同学到42千米外的少年宫参加活动 但只有一辆汽车且一次只能坐一个班的同学

已知学生步行速度相同为 5千米/小时汽车载人速度是45千米/小时空车速度是75千米/

小时•如果要使两班同学同时到达且到达时间最短那么这个最短时间是多少

甲—

【解析】

行车路线如图所示设甲、 乙两班步行的路程为 1,车开出x后返回接乙班.

1XX—1

由车与乙相遇的过程可知 解得x=6,

5 45 75

6 1