节点qq图片代码

B-SplineB-SplineB-SplineB-SplineCurveCurveCurveCurveLibraryLibraryLibraryLibraryininininOpenOpenOpenOpenCascadeCascadeCascadeCascadeB-SplineB-SplineB-SplineB-SplineCurveCurveCurveCurveLibraryLibraryLibraryLibraryininininOpenOpenOpenOpenCascadeCascadeCascadeCascadeOpenOpenOpenOpenCascadeCascadeCascadeCascade中的中的中的中的BBBB样条曲线库样条曲线库样条曲线库样条曲线库eryar@163163163163.
com摘要Abstract:简要介绍OpenCascade中的B样条曲线库BSplCLib的使用方法,并且结合源程序来对OpenCascade中的B样条曲线的组成部分如节点矢量、重复度等概念进行介绍,以及通过对计算B样条基函数的算法进行分析,加深对B样条曲线概念的理解.
关键字KeyWord:BSplineCurve、OpenCascade、KnotVector、Multiplicity一、概述Overview1919191946464646年由Schoenberg提出了B样条理论,给出了B样条的差分表达式;1972197219721972年deBoor和Cox分别独立给出了关于B样条的标准算法.
Gordon和Riesenfeld又把B样条理论用于形状描述,最终提出了B样条方法.
用B样条基替代了Bernstein基,构造出B样条曲线,这种方法继承了Bezier方法的一切优点,克服了Bezier方法存在的缺点,较成功地解决了局部控制问题,又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题,从而使自由曲线曲面形状的描述问题得到较好解决.
p次B样条曲线的定义为:∑==n0iip,iP)u(N)u(C其中:Pi是控制顶点(controlpoint);Ni,p(u)是定义在非周期节点矢量上的p次B样条基函数;有很多方法可以用来定义B样条基函数以及证明它的一些重要性质.
例如,可以采用截尾幂函数的差商定义,开花定义,以及由deBoor和Cox等人提出的递推公式等来定义.
我们这里采用的是递推定义方法,因为这种方法在计算机实现中是最有效的.
令U={u0000,u1111,…,um}是一个单调不减的实数序列,即uiandmustbeKnotsLength(KnotSequence,Periodic).
voidBSplCLib::Knots(constTColStd_Array1111OfReal&SeqKnots,TColStd_Array1111OfReal&knots,TColStd_Array1111OfInteger&mult,//constStandard_BooleanPeriodic)constStandard_Boolean){Standard_Realval=SeqKnots(1111);Standard_Integerkk=1111;knots(kk)=val;mult(kk)=1111;for(Standard_Integerjj=2222;jj==+,,1,0,01准均匀B样曲线(quasi-uniformB-Splinecurve):其节点序列中两端节点具有重复度k+1111,而所有内节点均匀分布,具有重复度1111.
分段Bezier曲线(piecewiseBeziercurve):其节点序列中两端节点重复度与准均匀B样条曲线的相同,所不同的是所有内节点重复度为k.
非均匀B样条曲线(generalnon-uniformB-Splinecurve):这是对任意分布的节点序列,只要在数学上成立,即节点序列非递减,都可取.
在基础类模块(ModuleFoundationClasses)的工具箱(ToolkitTKMath)中的包(GeomAbs)中有对B样样条曲线类型的定义,源程序如下所示://!
Thisenumerationisusedtonotespecificcurveform.
enumGeomAbs_BSplKnotDistribution{GeomAbs_NonUniform,GeomAbs_Uniform,GeomAbs_QuasiUniform,GeomAbs_PiecewiseBezier};而类BSplCLib主要是用来管理节点和重复度的,所有将节点和重复度也进行了分类.
根据节点矢量是否均匀分布,将节点分配方式(KnotDistribution)分为:均匀(BSplCLib_Uniform)和非均匀(BSplCLib_NonUniform).
源程序如下所示:enumBSplCLib_KnotDistribution{BSplCLib_NonUniform,BSplCLib_Uniform};根据重复度数组将重复度的分配方式分为如下三种类型:BSplCLib_Constant:重复度都相同;BSplCLib_QuasiConstant:首、尾节点的重复度与内部节点的重复度不同;BSplClib_NonConstant:其它情况;源程序如下所示:enumBSplCLib_MultDistribution{BSplCLib_NonConstant,BSplCLib_Constant,BSplCLib_QuasiConstant};判断节点矢量和重复度矢量类型分别由下列函数实现:B-SplineB-SplineB-SplineB-SplineCurveCurveCurveCurveLibraryLibraryLibraryLibraryininininOpenOpenOpenOpenCascadeCascadeCascadeCascadeBSplCLib::KnotForm();BSplCLib::MultForm();具体的判断方法可以查看源程序.
将节点分布方式与重复度的分布方式进行组合,可以得出B样条曲线的那几种类型.
B-SplineB-SplineB-SplineB-SplineCurveCurveCurveCurveLibraryLibraryLibraryLibraryininininOpenOpenOpenOpenCascadeCascadeCascadeCascade五、B样条基函数的计算EvaluatetheB-SplineBasisB样条基函数的计算主要使用了B样条基了函数的递推公式(Cox-deBoor公式)的局部支撑性质,如下所示:)u(Nuuuu)u(Nuuuu)u(N0uuu1)u(N1p,1i1i1pi1pi1p,iipiip,i1ii0,i+++++++++=0000时,Ni,p(u)是两个p-1111次基函数的线性组合;计算一组基函数需要事先指定节点矢量U和次数p;半开区间[ui,ui+1111)称为第i个节点区间(knotspan),它的长度可以为零,因为相邻节点可以是相同的;计算p次基函数的过程可以生成一个如下形式的三角形陈列:4,03,12,23,01,32,11,22,00,31,10,21,00,10,0NNNNNNNNNNNNNNB样条有局部支撑性,即若u不在区间[ui,ui+p+1111),则Ni,p(u)=0000.
可从下面的三角形中看出N1111,3333是N1111,0000、N2222,0000、N3333,0000和N4444,0000的线性组合,而N1111,0000在区间[u1111,u2222)上非零,N2222,0000在区间[u2222,u3333)上非零,N3333,0000在区间[u3333,u4444)上非零,N4444,0000在区间[u4444,u5555)上非零,所以N1111,3333仅在区间[u1111,u5555)上非零.
在任意给定的节点区间[uj,uj+1111)内,最多有p+1111个是非零的,它们是Nj-p,p、Nj-p+1111、…、Nj,p.
例如,在[u3333,u4444)上,零次基函数中只有N3333,0000是非零的,一次基函数只有N2222,1111和N3333,1111是非零的,非零的三次基函数只有N0000,3333、N1111,3333、N2222,3333、N3333,3333.
这个性质如下图所示:B-SplineB-SplineB-SplineB-SplineCurveCurveCurveCurveLibraryLibraryLibraryLibraryininininOpenOpenOpenOpenCascadeCascadeCascadeCascade上面两幅图中右边的图中所示的推算过程表明,给定节点序列U及B样条曲线的次数p,给出任意一个u值,找出其所在的节点区间[ui,ui+1111)上,最多有Ni-p,p,Ni-p+1111,p,…,Ni,p个非零的基函数.
例如我们根据递推公式写出二次基函数的一般形式,如下所示:当给定的u值在区间[u3333,u4444)上即(i=3333)时,根据上面的三角形,得出下列重要结论:0)()(0)()(0)()(1,41,131,11,231,11,2======++uNuNuNuNuNuNii即这两项不需要计算.
另外一个重要结论就是图中用相同颜色框中的部分是相同的,也就是下面程序中的变量temp表示的内容.
我们引入下面符号:B-SplineB-SplineB-SplineB-SplineCurveCurveCurveCurveLibraryLibraryLibraryLibraryininininOpenOpenOpenOpenCascadeCascadeCascadeCascade由二次基函数推出的三个公式可写为:上述推导过程为《TheNURBSBook》中的算法,算法代码如下所示:理解了变量temp的意义之后,整个程序就很好理解了.
将OpenCascade中计算基函数的算法是不同的,将其源程序摘抄如下所示://function:BuildBSplineMatrixB-SplineB-SplineB-SplineB-SplineCurveCurveCurveCurveLibraryLibraryLibraryLibraryininininOpenOpenOpenOpenCascadeCascadeCascadeCascade//purpose:BuildstheBsplineMatrixStandard_IntegerBSplCLib::EvalBsplineBasis//(constStandard_IntegerSide,//=1rigthside,-1leftside(constStandard_Integer,//=1rigthside,-1leftsideconstStandard_IntegerDerivativeRequest,constStandard_IntegerOrder,constTColStd_Array1OfReal&FlatKnots,constStandard_RealParameter,Standard_Integer&FirstNonZeroBsplineIndex,math_Matrix&BsplineBasis){//thematrixmusthaveatleastDerivativeRequest+1//rowandOrdercolumns//theresultarestoredinthefollowingwayin//theBsplinematrix//LetibetheFirstNonZeroBsplineIndexand//tbetheparametervalue,ktheorderofthe//knotvector,rtheDerivativeRequest:////B(t)B(t)B(t)//ii+1i+k-1////(1)(1)(1)//B(t)B(t)B(t)//ii+1i+k-1//////////(r)(r)(r)//B(t)B(t)B(t)//ii+1i+k-1//Standard_IntegerReturnCode,ii,pp,qq,ss,NumPoles,LocalRequest;//,Index;B-SplineB-SplineB-SplineB-SplineCurveCurveCurveCurveLibraryLibraryLibraryLibraryininininOpenOpenOpenOpenCascadeCascadeCascadeCascadeStandard_RealNewParameter,Inverse,Factor,LocalInverse,Saved;//,*FlatKnotsArray;ReturnCode=0;FirstNonZeroBsplineIndex=0;LocalRequest=DerivativeRequest;if(DerivativeRequest>=Order){LocalRequest=Order-1;}if(BsplineBasis.
LowerCol()!
=1||BsplineBasis.
UpperCol()=Order){LocalRequest=Order-1;}for(qq=2;qq=Order){LocalRequest=Order-1;}对B样条基数计算结果矩阵BsplineBasis存储空间进行检查.
若存储空间不足,则会退出,程序代码如下所示:if(BsplineBasis.
LowerCol()!
=1||BsplineBasis.
UpperCol()px[Ihi]){Ilc=Ihi+1;return;}Standard_IntegerIm;while(Ihi-Ilc!
=1){Im=(Ihi+Ilc)>>1;if(X>px[Im])Ilc=Im;elseIhi=Im;}}确定参数所在区间[ui,ui+1111)后,可得到第一个非零基函数的索引值为i-p;FirstNonZeroBsplineIndex=ii-Order+1;基函数计算的主要算法代码如下所示:BsplineBasis(1,1)=1.
0e0;for(qq=2;qq#include#include#include#include#pragmacomment(lib,"TKernel.
lib")#pragmacomment(lib,"TKMath.
lib")#pragmacomment(lib,"TKG2d.
lib")intmain(intargc,char*argv[]){//Knotvector:[0,0,0,1,2,3,4,4,5,5,5]TColStd_Array1OfRealknotSeq(1,11);knotSeq.
Init(0);knotSeq.
SetValue(1,0);knotSeq.
SetValue(2,0);knotSeq.
SetValue(3,0);knotSeq.
SetValue(4,1);knotSeq.
SetValue(5,2);knotSeq.
SetValue(6,3);knotSeq.
SetValue(7,4);knotSeq.
SetValue(8,4);B-SplineB-SplineB-SplineB-SplineCurveCurveCurveCurveLibraryLibraryLibraryLibraryininininOpenOpenOpenOpenCascadeCascadeCascadeCascadeknotSeq.
SetValue(9,5);knotSeq.
SetValue(10,5);knotSeq.
SetValue(11,5);cout<<"KnotSequence:[";for(Standard_Integeri=1;i<=knotSeq.
Length();i++){cout<Value(i)<<"";}cout<<"]"<BSplCLib::Knots(knotSeq,knots,mults);cout<<"Knots:[";for(Standard_Integeri=1;i<=knots.
Length();i++){cout<Value(i)<<"";}cout<<"]"<Length();i++){cout<Value(i)<<"";}cout<<"]"<"<"<5;Standard_IntegeriOrder=2+1;Standard_IntegeriFirstNonZeroIndex=0;B-SplineB-SplineB-SplineB-SplineCurveCurveCurveCurveLibraryLibraryLibraryLibraryininininOpenOpenOpenOpenCascadeCascadeCascadeCascademath_MatrixbSplineBasis(1,1,1,iOrder,0);BSplCLib::EvalBsplineBasis(1,0,iOrder,knotSeq,rValue,iFirstNonZeroIndex,bSplineBasis);cout<<"FirstNon-ZeroBasisindex:"<程序输出为:KnotSequence:[00012344555]Knots:[012345]Multiplicity:[311123]Knotsisuniform.
FirstNon-ZeroBasisindex:3math_MatrixofRowNumber=1andColNumber=3math_Matrix(1,1)=0.
125math_Matrix(1,2)=0.
75math_Matrix(1,3)=0.
125Pressanykeytocontinue.
.
.
B-SplineB-SplineB-SplineB-SplineCurveCurveCurveCurveLibraryLibraryLibraryLibraryininininOpenOpenOpenOpenCascadeCascadeCascadeCascade七、结论Conclusion通过学习《TheNURBSBook》并给合OpenCascade的源程序,理论联系实际,使对NURBS的学习更轻松.
根据BBBB样条基的递推公式,B样条曲线的局部性是通过节点来具体实现的.
与Bezier曲线不同的就是增加了节点这个参数.
根据Cox-deBoor递推公式亲自推导出一次、二次、三次B样条基函数,可以加深对B样条曲线的理解.
计算给定节点矢量、次数及参数,计算参数所在区间上所有非零基函数算法的步骤为:通过二分法查找出参数所在的节点区间;根据B样条基的局部支撑性,计算出所在节点区间上所有非零基函数;八、致谢Acknowledgments感谢晓天的支持与鼓励.
九、参考文献Bibliography1.
赵罡,穆国旺,王拉柱译LesPiegl,WayneTillerTheNURBSBook(SecondEdition)2010201020102010清华大学出版社2.
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王仁宏,李崇君,朱春钢计算几何教程2008200820082008科学出版社