第9讲 空间几何体的表面积和体积
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一 【课标要求】
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式不要求记忆公式 。
二 【命题走向】
近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题也常以几
何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式 .同时也要学会运用等价转化思想会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题会等体积转化求解
问题会把立体问题转化为平面问题求解会运用“割补法”等求解。
由于本讲公式多反映在考题上预测 2010年高考有以下特色
1 用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式
2考题可能为与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题
三 【要点精讲】
1 多面体的面积和体积公式
表中S表示面积 c′ 、 c分别表示上、下底面周长 h表斜高 h′表示斜高 l表示侧棱长。
2旋转体的面积和体积公式
3 3 3
表中l 、 h分别表示母线、 高 r表示圆柱、 圆锥与球冠的底半径 r1 、 r2分别表示圆台 上、下底面半径 R表示半径
1
四 【典例解析】
题型1 柱体的体积和表面积
例1 一个长方体全面积是 20cm2所有棱长的和是 24cm求长方体的对角线长 .
解设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm、 ycm、 zcm、 lcm
依题意得
由 2 得 x+y+z2+2x2 y+2 yz+2xz=36 3
所以l=4(cm) 。
点评涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素对角线、 内切与面积、
体积之间的关系。
例2如图 1所示在平行六面体ABCD—A 1B 1C1D1中 已知AB=5 AD=4 AA1=3
AB⊥AD ∠A 1AB=∠A 1AD= 。
3
1 求证顶点A 1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上
2求这个平行六面体的体积
图1 图2
解析 1 如图 2连结A 1O则A 1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M作ON⊥AD交AD于N连结A1M A1N。 由三垂线定得得 A1M⊥AB A 1N⊥AD 。 ∵∠A 1AM=∠A1AN
∴Rt△A 1NA≌Rt△A1 MA,∴A 1M=A 1N
从而OM=ON。
∴点O在∠BAD的平分线上。
2 ∵AM=AA 1cos 3 =3×21 =23
。
4
又在Rt△AOA 1中 A 1O2=AA 1 2 –AO 2=99 =9
∴A
2 2
2
题型2柱体的表面积、体积综合问题
例3 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2, 3, 6这个长方体对角线的长是
A 2 3 B 3 2 C 6 D 6
解析设长方体共一顶点的三边长分别为 a=1 b 2 c 3则对角线 l的长为l= a
点评解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。
例4如图三棱柱 ABC—A1B1C1中若E、 F分别为AB、 AC的中点平面 EB1C1将三棱柱
∵E、 F分别为AB、 AC的中点
∴V 1 ∶ V2=7∶ 5。
点评解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可
题型3锥体的体积和表面积
例5 7. (2009山东卷理)一空间几何体的三视图如
答案:C 正(主)视图 侧(左)视图【命题立意】 :本题考查了立体几何中的空间想象能力 ,
3
由三视图能够想象得到空间的立体图 ,并能准确地
计算出.几何体的体积 .
2009四川卷文如图 已知六棱锥 P ABCDEF的底面是正六边形
PA 平面ABC,PA 2AB则下列结论正确的是
D. 直线PD与平面ABC所成的角为45°
【答案】 D
【解析】 ∵AD与PB在平面的射影AB不垂直所以A不成立又平面PAB⊥平面PAE所以平面PAB平面PBC也不成立 BC∥AD∥平面PAD,∴直线BC∥平面PAE也不成立。在Rt PAD中 PAAD2AB ∴∠PDA45° . ∴D正确
2009全国卷Ⅱ文设 OA是球O的半径 M是OA的中点过 M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆 C。若圆C的面积等于的表面积等于 ×答案 8π
解析本题考查立体几何球面知识注意结合平面几何知识进行运算 由
S 4R 2 4 (4.
例61 .(2009 年广东卷文) 本小题满分13分
某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4所示,墩的上半部分是正四棱锥PEFGH,下半部分是长方体 ABCDEFGH.图5、 图6分别是该标识墩的正 (主)视图和俯视图. 1 请画出该安全标识墩的侧 (左)视图;
2求该安全标识墩的体积
3证明:直线BD平面PEG
4
例7 ABCD是边长为4的正方形 E、 F分别是AB、AD的中点 GB垂直于正方形ABCD所在的平面且GC2求点B到平面EFC的距离
解如图取 EF的中点O连接GB、 GO、 CD、 FB构造三棱锥BEFG。
5
3
设点B到平面EFG的距离为h BD4 2 EF 22 CO ×42 32。
4
GOCO
点评该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点 B为顶点△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法从而简化了运算。
【答案】 S1 2S2 3S3
【解析】 S1 4 R1
R2
例9 2009安徽卷文 本小题满分 13分
如图 ABCD的边长
为 2的正方形直线l与平面ABCD平行 g和F式l上的两个不同点且EA=ED
Ⅰ 证明直线 垂直且平分线段AD
Ⅱ若∠EAD=∠EAB=60° EF=2求多面
体ABCDEF的体积。
【思路】根据空间线面关系可证线线垂直 由分割法可求得多面体体积体现的是一种部分
【解析】 (1)由于EA=ED且ED' 面ABCD E'D E'C
6
点E'在线段AD的垂直平分线上,同理点F'在线段BC的垂直平分线上.
又ABCD是四方形
线段BC的垂直平分线也就是线段 AD的垂直平分线
即点E'F'都居线段AD的垂直平分线上.
所以,直线E'F'垂直平分线段AD.
(2)连接EB、 EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥 E—ABCD和正四面体E—BCF两部分.设AD中点为M,在Rt△MEE'中,由于ME' =1,ME 3 EE'2.
3 3 2 3多面体ABCDEF的体积为V E—ABC DV E—BCF=22
例10 1 2009浙江卷理如图在长方形 ABCD中 AB 2 BC 1 E为DC的中点 F为线段EC 端点除外上一动点现将 AFD沿AF折起使平面 ABD 平面ABC在平面ABD内过点 D
作DK AB K为垂足设 AK t 则t的取值范围是
答案
【解析】此题的破解可采用二个极端位置法 即对于 F位于DC的中点时 t 1 随着F点到C 点时 因CB AB,CB DK, CB 平面ADB 即有CB BD对于
例1 1 3. 2009浙江卷文若某几何体的三视图单位 cm如图所示则此几何体的体积
7
是 cm
【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视图通过三视图的考查充分体现了几何体直观
的考查要求与表面积和体积结合的考查方法
【解析】该几何体是由二个长方体组成下面体积为 1 3 3 9上面的长方体体积为
3 3 1 9 因此其几何体的体积为 18
例12 2009 全国卷Ⅰ理直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上若
AB AC AA1 2, BAC 120 则此球的表面积等于 。
解:在ABC中AB AC 2, BAC 120 ,可得BC 2 3,由正弦定理,可得 ABC外接圆半径 r=2,设此圆圆心为O球心为O在RTOBO中易得球半径 R 5故此球的表面积为4 R2 20 .
例13 已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半且
∴R
∴S 4R2 64 。
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点评 正确应用球的表面积公式建立平面圆与球的半径之间的关系。
例14如图所示球面上有四个点P、 A、 B、 C如果PA P B PC两两互相垂直且PA=P B=P C=a求这个球的表面积。
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解析如图设过 A、 B、 C三点的球的截面圆半径为 r 圆心为O′ 球心到该圆面的距离为d。
在三棱锥P—ABC中 ∵PA PB PC两两互相垂直且 PA=PB=P C=a,
∴AB=BC=CA= 2 a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′ 。
由正弦定理得。
又根据球的截面的性质有 OO′ ⊥平面ABC而PO′ ⊥平面ABC
∴P、 O、 O′共线 球的半径R= r
∴OO′ =R 3a=d=
3 3 3 2
∴S球=4π
点评本题也可用补形法求解。将 P—ABC补成一个正方体 由对称性可知正方体内接于球则球的直径就是正方体的对角线易得球半径 R= 23 a,下略
题型9球的面积、体积综合问题
例15 1 表面积为324的球其内接正四棱柱的高是 14求这个正四棱柱的表面积。 2正四面体ABCD的棱长为a球O是内切球球O1是与正四面体的三个面和球 O都相切的一个小球求球 O1的体积。
解 1 设球半径为R正四棱柱底面边长为 a
则作轴截面如图 AA 14 AC 2a
又∵4 R2 324 ∴R 9
∴AC AC
∴S表 64 23214 576
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