体积高三数学一轮复习必备精品9：空间几何体的表面积和体积【高三数学一轮复习必备精品共42讲全部免费欢迎

第9讲 空间几何体的表面积和体积

备注 【高三数学一轮复习必备精品共42讲全部免费欢迎下载】

一 【课标要求】

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式不要求记忆公式 。

二 【命题走向】

近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题也常以几

何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式 .同时也要学会运用等价转化思想会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题会等体积转化求解

问题会把立体问题转化为平面问题求解会运用“割补法”等求解。

由于本讲公式多反映在考题上预测 2010年高考有以下特色

 1 用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式

2考题可能为与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题

三 【要点精讲】

1 多面体的面积和体积公式

表中S表示面积 c′ 、 c分别表示上、下底面周长 h表斜高 h′表示斜高 l表示侧棱长。

2旋转体的面积和体积公式

3 3 3

表中l 、 h分别表示母线、 高 r表示圆柱、 圆锥与球冠的底半径 r1 、 r2分别表示圆台 上、下底面半径 R表示半径

1

四 【典例解析】

题型1 柱体的体积和表面积

例1 一个长方体全面积是 20cm2所有棱长的和是 24cm求长方体的对角线长 .

解设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm、 ycm、 zcm、 lcm

依题意得

由 2 得 x+y+z2+2x2 y+2 yz+2xz=36  3

所以l=4(cm) 。

点评涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素对角线、 内切与面积、

体积之间的关系。

例2如图 1所示在平行六面体ABCD—A 1B 1C1D1中 已知AB=5 AD=4 AA1=3

AB⊥AD ∠A 1AB=∠A 1AD= 。

3

 1 求证顶点A 1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上

2求这个平行六面体的体积

图1 图2

解析  1 如图 2连结A 1O则A 1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M作ON⊥AD交AD于N连结A1M A1N。 由三垂线定得得 A1M⊥AB A 1N⊥AD 。 ∵∠A 1AM=∠A1AN

∴Rt△A 1NA≌Rt△A1 MA,∴A 1M=A 1N

从而OM=ON。

∴点O在∠BAD的平分线上。

 2 ∵AM=AA 1cos 3 =3×21 =23

。

4

又在Rt△AOA 1中 A 1O2=AA 1 2 –AO 2=99 =9

∴A

2 2

2

题型2柱体的表面积、体积综合问题

例3 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2, 3, 6这个长方体对角线的长是 

A 2 3 B 3 2 C 6 D 6

解析设长方体共一顶点的三边长分别为 a=1  b 2 c 3则对角线 l的长为l= a

点评解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。

例4如图三棱柱 ABC—A1B1C1中若E、 F分别为AB、 AC的中点平面 EB1C1将三棱柱

∵E、 F分别为AB、 AC的中点

∴V 1 ∶ V2=7∶ 5。

点评解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可

题型3锥体的体积和表面积

例5 7. (2009山东卷理)一空间几何体的三视图如

答案:C 正(主)视图 侧(左)视图【命题立意】 :本题考查了立体几何中的空间想象能力 ,

3

由三视图能够想象得到空间的立体图 ,并能准确地

计算出.几何体的体积 .

 2009四川卷文如图 已知六棱锥 P ABCDEF的底面是正六边形

PA 平面ABC,PA 2AB则下列结论正确的是

D. 直线PD与平面ABC所成的角为45°

【答案】 D

【解析】 ∵AD与PB在平面的射影AB不垂直所以A不成立又平面PAB⊥平面PAE所以平面PAB平面PBC也不成立 BC∥AD∥平面PAD,∴直线BC∥平面PAE也不成立。在Rt PAD中 PAAD2AB ∴∠PDA45° . ∴D正确

 2009全国卷Ⅱ文设 OA是球O的半径 M是OA的中点过 M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆 C。若圆C的面积等于的表面积等于 ×答案 8π

解析本题考查立体几何球面知识注意结合平面几何知识进行运算 由

S 4R 2 4 (4.

例61 .(2009 年广东卷文) 本小题满分13分

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4所示,墩的上半部分是正四棱锥PEFGH,下半部分是长方体 ABCDEFGH.图5、 图6分别是该标识墩的正 (主)视图和俯视图. 1 请画出该安全标识墩的侧 (左)视图;

2求该安全标识墩的体积

3证明:直线BD平面PEG

4

例7 ABCD是边长为4的正方形 E、 F分别是AB、AD的中点 GB垂直于正方形ABCD所在的平面且GC2求点B到平面EFC的距离

解如图取 EF的中点O连接GB、 GO、 CD、 FB构造三棱锥BEFG。

5

3

设点B到平面EFG的距离为h BD4 2 EF 22 CO ×42 32。

4

GOCO

点评该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点 B为顶点△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法从而简化了运算。

【答案】 S1 2S2 3S3

【解析】 S1 4 R1

R2

例9  2009安徽卷文 本小题满分 13分

如图 ABCD的边长

为 2的正方形直线l与平面ABCD平行 g和F式l上的两个不同点且EA=ED

 Ⅰ 证明直线 垂直且平分线段AD

Ⅱ若∠EAD=∠EAB=60°  EF=2求多面

体ABCDEF的体积。

【思路】根据空间线面关系可证线线垂直 由分割法可求得多面体体积体现的是一种部分

【解析】 (1)由于EA=ED且ED' 面ABCD E'D E'C

6

点E'在线段AD的垂直平分线上,同理点F'在线段BC的垂直平分线上.

又ABCD是四方形

线段BC的垂直平分线也就是线段 AD的垂直平分线

即点E'F'都居线段AD的垂直平分线上.

所以,直线E'F'垂直平分线段AD.

(2)连接EB、 EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥 E—ABCD和正四面体E—BCF两部分.设AD中点为M,在Rt△MEE'中,由于ME' =1,ME 3 EE'2.

3 3 2 3多面体ABCDEF的体积为V E—ABC DV E—BCF=22

例10  1   2009浙江卷理如图在长方形 ABCD中 AB 2 BC 1  E为DC的中点 F为线段EC 端点除外上一动点现将 AFD沿AF折起使平面 ABD 平面ABC在平面ABD内过点 D

作DK AB K为垂足设 AK t 则t的取值范围是 

答案

【解析】此题的破解可采用二个极端位置法 即对于 F位于DC的中点时 t 1 随着F点到C 点时 因CB AB,CB DK, CB 平面ADB 即有CB BD对于

例1 1  3.  2009浙江卷文若某几何体的三视图单位 cm如图所示则此几何体的体积

7

是 cm

【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视图通过三视图的考查充分体现了几何体直观

的考查要求与表面积和体积结合的考查方法

【解析】该几何体是由二个长方体组成下面体积为 1 3 3 9上面的长方体体积为

3 3 1 9 因此其几何体的体积为 18

例12  2009 全国卷Ⅰ理直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上若

AB AC AA1 2, BAC 120 则此球的表面积等于 。

解:在ABC中AB AC 2, BAC 120 ,可得BC 2 3,由正弦定理,可得 ABC外接圆半径 r=2,设此圆圆心为O球心为O在RTOBO中易得球半径 R 5故此球的表面积为4 R2 20 .

例13 已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半且



∴R

∴S 4R2 64 。

9

点评 正确应用球的表面积公式建立平面圆与球的半径之间的关系。

例14如图所示球面上有四个点P、 A、 B、 C如果PA P B PC两两互相垂直且PA=P B=P C=a求这个球的表面积。

8

解析如图设过 A、 B、 C三点的球的截面圆半径为 r 圆心为O′ 球心到该圆面的距离为d。

在三棱锥P—ABC中 ∵PA PB PC两两互相垂直且 PA=PB=P C=a,

∴AB=BC=CA= 2 a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′ 。

由正弦定理得。

又根据球的截面的性质有 OO′ ⊥平面ABC而PO′ ⊥平面ABC

∴P、 O、 O′共线 球的半径R= r

∴OO′ =R 3a=d=

3 3 3 2

∴S球=4π

点评本题也可用补形法求解。将 P—ABC补成一个正方体 由对称性可知正方体内接于球则球的直径就是正方体的对角线易得球半径 R= 23 a,下略

题型9球的面积、体积综合问题

例15  1 表面积为324的球其内接正四棱柱的高是 14求这个正四棱柱的表面积。 2正四面体ABCD的棱长为a球O是内切球球O1是与正四面体的三个面和球 O都相切的一个小球求球 O1的体积。

解  1 设球半径为R正四棱柱底面边长为 a

则作轴截面如图 AA 14 AC 2a 

又∵4 R2 324  ∴R 9

∴AC AC

∴S表 64 23214 576

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