http://www.paper.edu.cn

中国科技论文在线60力学与实践2008年第30卷其中m为形状参数,a为尺度参数,r为位置参2数,m=8,a=1.
425,%=O.
1.
量,本文分别对这两个变量作基于最小二乘法的近似,其近似函数为W=Nw+,wp=N7tt,'1p:删∥:m+}@'把近似函数离散式(6)代入式(2)得(仇1而++m2扫++庇ltt,++k20+一F1)Sw++(m3西++m4扫++知3tt,,+庇40+一F2)Jp+=0(7)其中m12ZpANTⅣ如,m22om32o,m4--foⅣⅣTNdzkL=|C1NnN'dx+nCtNHNIP.
+J0nqⅣTN7lP.
知2=一/CINTN7dx—nCtNTNIP".
,0k3=一|ClNnNdx—nclNqNIPu,',0如t=tC2N7TⅣ7dz+/o.
CINTⅣdz—nC2N用ⅣI功一nC2NTN7I岛Ft=ftqNTdxq-Pj蛾+nCtNn固IP.
F2=一nlC2N佃百Ij~一nClNT面IP.
一地Ⅳ:考虑到变分5w+,50+的任意性,方程(7)可等价为M·彳++K·'+=F(8)其中M=[1rrl,1m2],K=黔k.
2m3m4]JL甩3七4J仁"F=剀则式(8)便是无网格伽辽金的离散方程组形式.
一维杆件的动力学有限自由度离散方程在时域的精细积分处理方法为能与哈密顿方程在形式上一致,令r=M々+,t,=h+,.
】T,,=[0F】T则方程(8)可以转化为包含4n个方程的一阶常微分方程组【7】西=日t,+,,t,(t=to)=t,o式中,日=[BA暑],A=.
,c=.
,B=一K.
D=M~.
对于线性问题,此系统是定常系统,转换矩阵日是常数矩阵,式(8)的通解为v(t)=exp(H·(t—to))+(eXp[即.
叫Ⅲ8)d8=T咖+'eXp[即.
-s)抓s)ds(1.
)其中8为时间变量.
若时间步长为r=tk+1一tk,则式(10)转化为步长为7.
的递推解为钞知+·=Tt,"魄ftt,t1'+1exp【日(tk+,--tk)】F(s)如(11)式中T=exp(H·下),该指数矩阵由2Ⅳ类算法来计算.
令At=丁/2Ⅳ(Ⅳ=20),则T=(exp(HAt))∥=(J+T.
)2Ⅳ其中T.
=HAt+(HAt)2/2+(HAt)3/31+(HAt)4/41矩阵T由以下精细算法求解for(i=o;i=2T.
+T.
*T.
;T=j+T.
end对于式(11)的第2项采用Romberg积分[5】把各结点处得场函数移代入到式(5)中即拟合出梁上任意一点的谐响应.
第2期李忠芳等:Timoshenko梁谐响应求解新方法探索613数值算例3.
1两端固定梁的谐响应设Timoshenko梁的长度Z=1.
0m,弹性模量E=2.
0*1011Pa,剪切模量G=1.
0*108,矩形横截面,宽b=o.
1121,高h=0.
1Ill,截面积A=o.
011212,惯性距I=o.
0001/12m4.
剪切修正系数k=1.
2.
C1=kGA,c2=EI,梁的中点受正弦载荷F=Psinwt(P=1.
0kN,u=1)的作用.
当无网格离散点数目为20,积分步长为0.
001S时,用无网格精细积分方法得到的梁z=o.
25处的挠度响应和有限元解曲线的对比如图1所示.
8.
06.
0d4.
0芝2.
0越.
嚣一2.
o一4.
O一6.
0—8.
0o2468lO12141618时间/B图1Timoshenko两端固定粱在中点的正弦荷载下∞=0.
25处的挠度响应曲线3.
2悬臂梁的谐响应矩形横截面悬臂梁的参数和计算参数同算例3.
1.
梁的右端点受正弦激励的作用(Psinwt,P=1.
0kN,u=1).
梁中点的挠度响应曲线与有限元方法的结果比较如图2所示.
10.
08.
06.
04.
0曼2.
0簧以:一4.
0—6.
0—8.
0—10.
O05101520263035时间/8图2Timoshenko悬臂梁端点受正弦载荷下的梁中点的挠度曲线3.
3讨论(1)两端固定Timoshenko梁和悬臂Timoshenko梁的第一阶固有频率分别为f=400.
11和,=191.
90,两者均远远大于击振频率(o.
159),瞬态振动的振幅远小于稳态振动的振幅【61,所以瞬态振动可以忽略不计,可用ANSYS稳态响应来代替AN—SYS瞬态响应验证本算例的解的正确性.
(2)由图1,图2可明显看到本文解的幅值、相位和振动频率与ANSYS解均具有极大的一致性.
4结论从本文的研究结果可以看出,无网格精细积分法是求解Timoshenko梁谐响应的一种有效方法.
由于任意动力载荷都能够分解为若干个谐载荷的和,因此本文的求解方法能够推广到任意动力学响应求解中.
参考文献1熊渊博,龙述尧.
局部彼得洛夫一伽辽金法分析各向异性板屈曲.
力学与实践,2005,27(2):50,,,53(XiongYuaabb,LongShuyao.
AnalysisofbucklingforananisotropicplatebytheMLPGmethod.
Mechanics讯Engineering,2005,27(2):50,,一53(inChinese))2赵丽滨,王寿梅.
结构动力分析中时间积分方法进展.
力学与实践,2001,23(2):10,,-15(ZhaoLibin,WangShoumei.
Progressoftimeintegrationmethodsinstructuraldy-namicsanalysis.
Mechanics讯Engineering,2001,23(2):10—15(inChinese))3徐明毅,张勇传.
精细辛算法的高效格式和简化计算.
力学与实践,2005,27(1):55,-,57(XuMingyi,ZhangYongchuan.
Ef-ficientformatandsimplecomputationofprecisesymplec-ticintegrationmethod.
MechanicsinEngineering,2005,27(1):55,,,57(inChinese))4王勖成,邵敏.
有限单元法基本原理和数值方法.
北京:清华大学出版社(第2版),1997(WangMaocheng,ShaoMin.
Fun-damentalPrincipleandNumericalMethodofFEM(2ndEdition).
Beijing:TsinghuaUniversityPress,1997(inChi-nese))5李忠芳,任传波.
一维结构无网格法计算精度影响因素的分析.
山东理工大学学报,2004,18(6):7—10(LiZhongfang,RenChuanbo.
Theanalysisofaffectingcomputationalprecisionofmeshlessmethodofonedimensionalstructures.
JournalofShandongUniversityolTechnology,2004,18(6):7—10(inChinese))6刘延柱,陈文良,陈立群.
振动力学.
北京:高等教育出版社,2004(LiuYanzhu,ChenWenliang,GhenLiqun.
Mechan-icsofVibration.
Beijing:HigherEducationPress,2004(inChinese))