淮南人事考试网2015年国家公务员考试行测数学运算容斥
原理和抽屉原理精讲
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容斥原理和抽屉原理是国家公务员考试行测科目数学运算部分的“常客” 了解此两种原理不仅可以提高做题效率还可以提高自己的运算能力扫平所有此类计算题。中公教育专家在此进行详细解读。
一、容斥原理
在计数时要保证无一重复无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算在不考虑重叠的情况下把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来然后再把计数时重复计算的数目排斥出去使得计算的结果既无遗漏又无重复这种计数的方法称为容斥原理。
1.容斥原理1——两个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、 B两类那么先把A、 B两个集合的元素个数相加发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次所以要减去。如图所示
公式 A∪B=A+B-A∩B
总数=两个圆内的-重合部分的
【例1】一次期末考试某班有15人数学得满分有12人语文得满分并且有4人语、数都是满分那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?
数学得满分人数→A语文得满分人数→B数学、语文都是满分人数→A∩B至少有一门得满分人数→A∪B。 A∪B=15+12-4=23共有23人至少有一门得满分。
2.容斥原理2——三个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、 B、 C三类那么将A、 B、 C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次三个集合公共部分被重复计算了2次。
如图所示灰色部分A∩B-A∩B∩C、 B∩C-A∩B∩C、 C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到
公式 A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C
总数=三个圆内的-重合两次的+重合三次的
【例2】某班有学生45人每人都参加体育训练队其中参加足球队的有25人参加排球队的有22人参加游泳队的有24人足球、排球都参加的有12人足球、游泳都参加的有9人排球、游泳都参加的有8人 问三项都参加的有多少人?
参加足球队→A参加排球队→B参加游泳队→C足球、排球都参加的→A∩B足球、游泳都参加的→C∩A排球、游泳都参加的→B∩C三项都参加的→A∩B∩C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
3.用文氏图解题
文氏图又称韦恩图能够将逻辑关系可视化的示意图。从文氏图可清晰地看出集合间的逻辑关系、重复计算的次数最适合描述3个集合的情况。
【例3】某班有50位同学参加期末考试结果英文不及格的有15人数学不及格的有19人英文和数学都及格的有21人。那么英文和数学都不及格的有( )人。
A.4 B.5 C. 13 D. 17
中公解析如图所示按英文及格、数学及格画2个圆圈根据题干条件确定它们重叠。
二、抽屉原理
能利用抽屉原理来解决的问题称为抽屉问题。在行测考试数学运算中考查抽屉原理问题时题干通常有“至少„„才能保证„„”字样。
抽屉原理1
将多于n件的物品任意放到n个抽屉中那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于2。(至少有2件物品在同一个抽屉)
抽屉原理2
将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。 (至少有m+1件物品在同一个抽屉)
下面我们通过几个简单的例子来帮助理解这两个抽屉原理。
【例1】将5件物品放到3个抽屉里要想保证任一个抽屉的物品最少只能每个抽屉放一件有5件物品放了3件还剩5-3×1=2件这两件只能分别放入两个抽屉中这样物品最多的抽屉中也只有2件物品中公.教育版权。
即当物品数比抽屉数多时不管怎么放总有一个抽屉至少有2件物品。
【例2】将10件物品放到3个抽屉里呢?将22件物品放到5个抽屉里呢?
同样按照前面的思路要想保证任一个抽屉的物品数都最少那么只能先平均放。
10÷3=3„„1则先每个抽屉放3件还剩余10-3×3=1件随便放入一个抽屉中则这个抽屉中的物品数为3+1=4件。
22÷5=4„„2则先每个抽屉放4件还剩余22-4×5=2件分别放入两个抽屉中则这两个抽屉中的物品数为4+1=5件。
即如果物体数大于抽屉数的m倍那么至少有一个抽屉中的物品数不少于m+1。
1.利用抽屉原理解题
一般来说求抽屉数、抽屉中的最多有几件物品时采用抽屉原理其解题流程如下
(1)找出题干中物品对应的量;
(2)合理构造抽屉(简单问题中抽屉明显找出即可) ;
(3)利用抽屉原理1、抽屉原理2解题。
【例题1】外国讲星座 中国传统讲属相。请问在任意的37个中国人中至少有几个人的属相相同?
A.3 B.4 C.5 D.6
中公解析 属相有12种看成12个抽屉则至少有一个抽屉有不少于 =4个人 即至少有4个人属相相同选B。
2.考虑最差(最不利)情况
抽屉问题所求多为极端情况即从最差的情况考虑。对于“一共有n个抽屉要有(取)多少件物品才能保证至少有一个抽屉中有m个物体” 即求物品总数时考虑最差情况这一方法的使用非常有效。具体思路如下
最差情况是尽量不能满足至少有一个抽屉中有m个物品 因此只能将物品均匀放入n个抽屉中。当物品总数=n×(m-1)时每个抽屉中均有m-1个物品此时再多1个 即可保证有1个抽屉中有m个物品。因此物品总数为n×(m-1)+1。
【例题2】从一副完整的扑克牌中至少抽出多少张牌才能保证至少有6张牌的花色相同?
A.21 B.22 C.23 D.24
中公解析此题答案为C。一副完整的扑克牌包括大王、小王;红桃、方块、黑桃、梅花各13张。
至少抽出多少张牌→求取物品的件数考虑最差情况中公.教育版权。
要求6张牌的花色相同最差情况即红桃、方块、黑桃、梅花各抽出5张再加上大王、小王此时共取出了4×5+2=22张此时若再取一张则一定有一种花色的牌有6张。即至少取出23张牌才能保证至少6张牌的花色相同。
中公教育专家建议考生们将以上内容进行认真研究为行测高分奠定牢固基础。
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