如图华师版八年级数学下册第19章 整合提升密码附答案

专训1 利用特殊四边形的性质巧解折叠问题

名师点金

四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明折叠的本质是图形的轴对称变换折叠后的图形与原图形全等

平行四边形的折叠问题

1 如图将平行四边形纸片ABCD沿AC折叠点D落在点E处 AE恰好经过BC边的中点若AB3 BC6求∠B的度数

矩形的折叠问题

2 (中考·衢州)如图①将矩形ABCD沿DE折叠使顶点A落在DC上的点A′处然后将矩形展平沿EF折叠使顶点A落在折痕DE上的点G处再将矩形ABCD沿CE折叠此时顶点B恰好落在DE上的点H处如图②.

(1)求证 EGCH

(2)已知AF 2求AD和AB的长

菱形的折叠问题

3如图在菱形ABCD中 ∠A120°  E是AD上的点沿BE折叠△ABE点A恰好落在BD上的F点连结CF那么∠BFC的度数是( )

A 60° B 70° C 75° D 80°

(

正方形的折叠问题

4如图正方形纸片ABCD的边长AB12 E是DC上一点 CE5折叠正方形纸片使点B和点E重合折痕为FG则FG的长为________

5 (中考·德州)如图现有一张边长为4的正方形纸片ABCD点P为正方形AD边上的一点(不与点A点D重合) 将正方形纸片折叠使点B落在P处点C落在G处 PG交DC于H折痕为EF连结BP BH.

(1)求证 ∠APB∠BPH. 【导学号 71412046】

(2)当点P在边AD上移动时△PDH的周长是否发生变化并证明你的结论

专训2 利用特殊四边形的性质巧解动点问题

名师点金

利用特殊四边形的性质解动点问题一般将动点看成特殊点再运用从特殊

到一般的思想 将特殊点转化为一般点(动点)来解答

平行四边形中的动点问题

1 如图在▱ABCD中 E F两点在对角线BD上运动(E F两点不重合) 且保持BEDF连结AE CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系并对你的猜想加以证明

矩形中的动点问题

2如图在矩形ABCD中 AB4 cm BC8 cm AC的垂直平分线EF分别交AD BC于点E F垂足为O.连结AF CE.

(1)试说明四边形AFCE为菱形并求AF的长

(2)动点P Q分别从A C两点同时出发沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周即点P自A→F→B→A停止点Q自C→D→E→C停止在运动过程中已知点P的速度为5 cm/s 点Q的速度为4 cm/s运动时间为t s 当以A C PQ四点为顶点的四边形是平行四边形时求t的值

菱形中的动点问题

3如图在菱形ABCD中 ∠B60° 动点E在边BC上动点F在边CD上

(1)如图①若E是BC的中点 ∠AEF60° 求证 BEDF

(2)如图②若∠EAF60° 求证△AEF是等边三角形

正方形中的动点问题

4如图正方形ABCD的边长为8 cm E F G H分别是AB BC CD DA上的动点且AEBFCGDH.

(1)求证 四边形EFGH是正方形

(2)判断直线EG是否经过一个定点并说明理由

专训3 全章热门考点整合应用

名师点金

本章内容是中考的必考内容主要考查与矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题近几年又出现了许多与特殊平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题其主要考点可概括为三个图形三个技巧

三个图形

图形1矩形

1 如图在▱ABCD中 E F分别是AB CD的中点连结AF CE.

(1)求证△BEC≌△DFA

(2)连结AC当CACB时判断四边形AECF是什么特殊四边形并说明理由

图形2菱形

2如图△ABC是边长为1的等边三角形将△ABC绕点C顺时针旋转120° 得到△EDC连结BD交AC于F.

(1)猜想AC与BD的位置关系并给予证明

(2)求线段BD的长

图形3正方形

3如图四边形ABCD是正方形点G是BC边上任意一点 DE⊥AG于点EBF∥DE交AG于点F.

(1)求证 AFBFEF

(2)将△ABF绕点A逆时针旋转使得AB与AD重合记此时点F的对应点为点F′ 若正方形ABCD的边长为3求点F′与旋转前图形中的点E之间的距离

4如图①在正方形ABCD中 E F分别是边AD DC上的点且AF⊥BE.

(1)求证 AFBE.

(2)如图②在正方形ABCD中 M N P Q分别是边AB BC CD DA上的点且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等并说明理由

三个技巧

技巧1解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)

5如图所示在矩形ABCD中 AB10 BC5点E F分别在AB CD上将矩形ABCD沿EF折叠使点A D分别落在矩形ABCD外部的点A1  D1处求阴影部分的周长

技巧2解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)

6如图正方形ABCD的对角线相交于点O 点O也是正方形A′ B′ C′ O的一个顶点如果两个正方形的边长都等于1那么正方形A′ B′ C′ O绕顶点O转动两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律请说明理由

技巧3解与四边形有关的动态问题的技巧(固定位置法)

7如图在Rt△ABC中 ∠B90°  AC60 cm 点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动设点D E运动的时间是t s(0≤t≤15) 过点D作DF⊥BC于点F且DF连结EF.若四边形AEFD为菱形则t的值为( )

A 5

B 10

C 15

D 20

8如图在边长为10的菱形ABCD中对角线BD16对角线AC BD相交于点G 点O是直线BD上的动点 OE⊥AB于E OF⊥AD于F.

(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积

(2)如图① 当点O在对角线BD上运动时 OEOF的值是否发生变化请说明理由

(3)如图②当点O在对角线BD的延长线上时 OEOF的值是否发生变化若不变请说明理由若变化请探究OE OF之间的数量关系并说明理由

答案

专训1

1 解设AE与BC相交于点F如图

∵四边形ABCD为平行四边形

∴AD∥BC.∴∠1∠3.

∵平行四边形纸片ABCD沿AC折叠 点D落在点E处

∴∠2∠3

∴∠1∠2.

∴FCFA.

∵F为BC边的中点 BC6

∴AFCFBF.

又∵AB3 ∴△ABF是等边三角形 ∴∠B60° .

2 (1)证明 由折叠知A′ EAEEG BCCH.

∵四边形ABCD是矩形

∴ADBC.

易得四边形AEA′ D是正方形

∴A′ EAD.

∴EGCH.

(2)解 ∵∠ADE45°  ∠FGE∠A90°  AF 2

∴DGFGAF 2.由勾股定理得DF2.

∴AD2 2.

如图 由折叠知 ∠1∠2 ∠3∠4

∴∠2∠490°  ∠1∠390° .

∵∠1∠AFE90° 

∴∠AFE∠3.

由(1)知 AEBC.

又∵∠A∠B90° 

∴△EFA≌△CEB.

∴AFBE.

∴ABAEBEADAF2 2 222 2.

3 C 点拨 ∵四边形ABCD是菱形

∴ABBC ∠A∠ABC180°  BD平分∠ABC.∵∠A120°  ∴∠ABC60°  ∴∠FBC30° .根据折叠可得ABBF ∴BFBC.∴∠BFC∠BCF(180° 30° )÷275° .故选C.

4 13 点拨如图过点F作FM⊥BC垂足为M连结BE FE设BE交FG于点N 由折叠的性质知FG⊥BE

∴∠C∠BNG90°  ∴∠1∠BEC.易知FMBC ∠FMG∠C∴△FMG≌△BCE ∴MGCE5 由勾股定理得FG FM2MG213.