方程衡天小张

竞赛讲座(34)一次方程与一次不等式1.
一次方程(组)一次方程(组)是最简单的方程,是进一步研究函数、方程、不等式等的基础,先看一个含字母系数的一元一次方程的讨论.
例1(第36届美国中学数学竞赛题)设a,a'b,b'是实数,且a和a'不为零,当且仅当()时,ax+b=0的解小于a'x+b'=0的解.
(A)a'b0的解为,那么关于x的不等式ax>b的解是多少分析由(2a-b)x+a-5b>0可得(2a-b)x>5b-a,注意到题目已给出的解得知仅当2a-bb,当a>0时,x>,a例5(1973年加拿大中学生竞赛题)求满足|x+3|-|x-1|=x+1的一切实数解.
分析解绝对值方程的关键是去绝对值符号,令x+3=0,x-1=0,分别得x=-3,x=1,-3,1将全部实数分成3段:x.
例7(1978年广东数学竞赛试题)不等式|x|+|y|解由条件知其两两之和为六个数,且有关系式1+a1+b根据1+c和a+b的大小关系可分为两种情况:i)1+aii)1+a在i)情况下,由等差数列性质知(b+c)-(a+c)=(a+c)-(a+b)=(c+b)-(1+c)设公差为k,即b-a=c-b=a+b-c-1=k从而有b=a+kc=b+k=a+2k代入a+b-c-1=k中,得a+a+k-a-2k-1=k于是a=2k+1b=3k+1c=4k+1又因为六个数之和为201,所以3(a+b+c+1)=201a+b+c=66即(2k+1)+(3k+1)+(4k+1)=66k=7∴a=15b=22c=29类似地在ii)情况下可解得a=10b=19c=373.
二元一次不定方程我们把形如ax+by=c(ab≠0)的方程叫做二元一次不定方程,在这里我们只研究方程系数a,b,c为整数的情况(以下不再作说明).
关于二元一次不定方程的整数解,有下面的简单定理.
定理1若a,b的最大公约数d不能整除c,则方程ax+by=c没有整数解.
以下约定记号(a,b)=1表示整数a,b互质.
定理2对于方程ax+by=c,(a,b)=1如果(x0,y0)是方程的一组整数解,那么(t为整数)是方程的全部整数解.
我们不证明这两个定理,定理的证明完全可以仿照下面例题的解答给出.
例9x,y是满足条件2x+3y=a的整数(a是整数),证明必存在一整数b,使x,y能表示为x=-a+3b,y=a-2b的形式.
证明:∵2x+3y=a,∵x,y是整数.
∴令,则y=a-2b.
这时,,2x+3y=2(3b-a)+3(a-2b)=6b-2a+3a-6b=a这说明整数b能使x=-a+3b,y=a-2b满足方程2x+3y=a.
上面证明中用到的辗转相除法实际上是解二元一次不定方程常用的方法.
例10求37x+41y=1的一组整数解.
解37x+41y=1即为整数,这时x=+9+1=10,故x=10,y=-9是方程的一组整数解.
说明:本题只要求求出一组整数解,依定理2这个方程的全部整数解为:(t为参数)例11小张和他的朋友小王两人都有工作,小张每工作八天后休息一天,小王每工作五天后休息一天,小张今天休息,小王明天休息,问他们哪天(如果有这一天的话)一同休息解出题设知小张工作周期是9天,小王工作周期是6天.
如果他们在某天一同休息,则可设小张已工作了x周,小王已工作了y周,据题意列方程:9x-6y=1.
显然31(9x-6y),31,所以方程无整数解,故小张和小王不可能同一天休息.
例12(中国古代数学问题)百钱买百鸡,公鸡每只值5钱,母鸡每只值3钱,雏鸡每三只值1钱,问公、母、雏鸡各买了几只解设买公、母、雏鸡的数目分别为x、y、z只,则①②②*3-①并化简得7x+4y=100③由于(-1,2)是方程7x+4y=1的一组解,所以(-100,200)是方程③的一组解,因此通解为:∴t=25,26,27,28,故公、母、雏鸡的数量分别为(0,25,79),或(4,18,78)或(8,11,81)或(12,4,84).
练习四1.
选择题(1)如果x-1(B)a=1(C)a≥1(D)非上述答案2.
填空题(1)读一本书,如一天读80页,需4天多读完,如一天读90页,需3天多读完,现为使每天读的页数与读完的天数相等,则每天应读____页.
(2)某班学生不到50人,在一次测验中,有的学生得优,的学生得及格,则不及格的学生有____人.
(3)(1989年上海初一试题),方程并且abc≠0,那么x____(4)使得不等式3x-a≤0只有三个正整数解,那么这时正数a的取值范围是_____.
3.
解不等式a(x-a)>x-1.
4.
|x-5|-|2x+3|<1,求x的取值范围.
5.
求11x+15y=7的全部整数解6.
用一元钱买15张邮票,其中有4分,8分,1角的三种邮票,问有多少种买法7.
已知某个六位数的首位移到末位而其余数字不动,所得新数是原数的3倍,求原来的六位数.
8.
(欧拉问题)一头猪卖银币,有人用100个银币卖了这三种牲畜100头,问买猪、山羊、绵羊各几头9.
(1978年武汉市数学竞赛题)解关于x1,x2,x3,…,xn-1,xn的方程组x2+x3+x4+…+xn-1+xn=1,x1+x3+x4+…+xn-1+xn=2,x1+x2+x4+…+xn-1+xn=3,………x1+x2+x3+…+xn-1=n.
10.
(第16届美国中学生数学竞赛题)求证:对每个正整数,恒存在它的某个整倍数,在十进制表示式中,用到所有的十个数字.