模型轰炸机防御

1《数学建模与实验》习题库a感谢信息与计算科学02级的五位同学,作为毕业设计英文翻译任务完成了此习题库的构建工作,他(她)们的工作分别为:刘静:第1,4章;朱佳琦:第2,3,6章;李新颖:第5,7章;朱晓强:第8,9,10章;甘永生:第11,12章.
参考文献数学建模(英文版),机械工业出版社,北京,2003.
5.
(经典原版书库,原书名:AFirstCourseinMathematicalModeling(ThirdEdition),byFrankR.
Giordano,MauriceD.
Weir,WilliamP.
Fox.
)第1章1.
1习题1.
写出下列序列的前五项40aa(a)1+na=30a,0a=1(b)1+na=20a+6,0a=0;(c)1+na=2na(na+3),0a=4(d)1+na=2na,0a=12.
求序列第n项的公式(a){3,3,3,3,3,…}(b){1,4,16,64,256,…}(c){21,41,81,161,321…}(d){1,3,7,15,31,…}差分方程3.
考察下列序列,写出差分方程以表示作为序列中前一项的函数的第n个区间上的变化.
4.
写出满足下列差分方程的序列前五项动力系统5.
代入n=0,1,2,3,写出下列动力系统表示的前四个代数方程.
6.
写出你认为可以用动力系统来建模的若干行为的名称.
确切地对变化建摸对问题7-10,写出能对所述情景的变化建模的动力系统的公式7.
目前你在储蓄帐户上有月息为0.
5%的$5000存款,你每个月再存入$200.
8.
你的信用卡上有月息1.
5%的欠款500美元,你每月偿还$50并且没有新的欠款.
9.
你的父母在考虑一项贷款期限30年,每月要支付0.
5%利息的100,000美元抵押贷款.
试建立一个每月还款p,且能够在360次负费后还清抵押贷款(借款)的模型.
提示:如果na表示n个月后的欠款,那么0a和360a表示什么呢10.
你的祖父母有一份年金.
每月把上一个月结余的1%作为利息自动存入年金.
你的祖父母每月初要取出1000美元作为生活费.
目前他们的年金为50,000美元.
试用动力系统对年金建模,年金会用光吗什么时候用光提示:当年金用光时na的值为多少1.
1研究课题1.
你希望买一辆新车而且选择范围仅限于Saturn,Cavalier和Hyundai.
每家公司都向你提供2最优惠的交易条件:Saturn车价$13,990预付$1000月利率3.
5%直到60个月Cavalier车价$13,550预付$1500月利率4.
5%直到60个月Hyundai车价$12,400预付$500月利率6.
5%直到48个月你每个月为买车最多能付475美元.
利用动力系统模型来决定你应该买哪家公司的车.
1.
2习题1.
从引进到Tasmania岛的新环境里的养群数量的增长得到下面的数据.
年181418241834184418541864数量125275830120017501650根据数据画图形,能看出某种趋势吗画出1814年后数量变化对年份的图形.
构建一个能合理地近似描述你所观察到的变化的离散动力系统.
2.
下列数据表示从1790年到2000年的美国人口数据年份人口17903,929,00018005,308,00018107,240,00018209,638,000183012,866,000184017,069,000185023,192,000186031,443,000187038,558,000188050,156,000189062,948,000190075,995,000191091,972,0001920105,711,0001930122,755,0001940131,669,0001950150,697,0001960179,323,0001970203,212,0001980226,505,0001990248,710,0002000281,416,000求能够相当好地拟合该数据的动力系统模型,通过画出模型的预测值和数据值来测试你的模型.
3.
社会学家识别出一种称为社会扩散的现象,即,在人群中传播一段信息,一项技术革新或者一种文化时尚.
人群可以分为两类:知道该信息的人和不知道该信息的人.
在数目已知的人群里,可以合理地假设扩散率与知道该信息的人数和不知道该信息的人数的乘积成比例.
记na为总数为N的人群在n天后已经知道该信息的人数,构建一个能近似表示人群中已知道该信息的人数变化的动力系统.
4.
考虑在人口总数为N的孤岛上一种传染性很强的疾病的传播问题.
一部分岛上的人到岛外旅行并患上这种病回到岛上,构建一个能近似表示患病人数变化的动力系统.
5.
假设我们考虑鲸鱼的生存问题,如果鲸鱼数目降至低于最小生存水平m的话,那么该物种将会灭绝,还假设由于环境的容纳量M,鲸鱼的数量是受到限制的,即,如果鲸鱼的数量高于M,因为环境无法支持,数量将会下降.
在下面模型中,na表示n年后的鲸鱼数量;试讨论模型:))((1maaMkaannnn=+6.
假设存在某种药物,当其浓度大于100毫克/升时,可以治疗疾病.
药物的初始浓度是640毫克/升,从实验知道药物是以每小时现有量的20%的比率衰减(a)构建一个表示每小时浓度的模型3(b)建立一张浓度值表并确定何时浓度到达100毫克/升7.
利用习题6,研制的模型开一个初始剂量处方,以及一个能把浓度保持在高出有效水平500ppm(即百万分之五百,或万分之五)但低于安全水平1000ppm的维持剂量处方.
用不同的值来做实验,直到结果满意为止.
8.
在一处古篝火遗址附近发现了一个猿人头骨.
考古学家确信该头骨和古篝火是同时代的.
实验测试确定取自篝火的灰烬中,仅留存原来的碳14量的1%,已知碳14以与其剩余量成比例的比率衰减而且碳14在5700年里衰减掉50%.
构建一个碳14测定年代的模型.
9.
附表的数据展示了一辆汽车的数据n(以5英里/小时的增量计)以及从刹车到停止的(滑行)距离na.
例如,n=6(表示6*5=30英里/小时)时所需的停止距离为6a=47ft.
(a)计算并画出变化na对n,该图形能合理地近似表示一种线形关系吗(b)根据你在(a)中的计算,对停止距离数据求一个差分方程模型.
通过画出与n相对应的预测值的误差来测试你的模型.
讨论模型的正确性.
10.
把一罐冷冻饮料放在房间里.
测量房间的温度并周期性地测量饮料的温度.
构造预测饮料温度变化的模型.
从你的数据估计比例常数,你的模型中误差的来源是什么1.
2研究课题1.
完成由KathrynNHarmon写的UMAP教学单元.
UMAP303号"计划生育新技术的传播".
该教学单元给出了有限差分方程在研究公众政策的传播过程中的有趣应用以了解各国政府如何实施各种计划生育政策.
1.
3习题1.
求下列问题中差分方程的解:(a)nnaa31=+,10=a(b)nnaa51=+,100=a(c)431nnaa=+,640=a(d)121=+nnaa,30=a(e)21+=+nnaa,10=a(f)2.
31.
01+=+nnaa,3.
10=a2.
求下列问题的平衡点,如果它存在的话,把平衡点分类为稳定的或不稳定的.
(a)nnaa1.
11=+(b)nnaa9.
01=+(c)nnaa9.
01=+(d)nnaa=+1(e)502.
11+=+nnaa(f)502.
11=+nnaa(g)1008.
01+=+nnaa(h)1008.
01=+nnaa(i)1008.
01+=+nnaa(j)1001=+nnaa(k)1001+=+nnaa3.
建立下列初值问题的数值解,画出数据的图形以观察解的模式.
存在平衡点吗平衡点是稳定的还是不稳定的(a)502.
11+=+nnaa,10000=a(b)1008.
01=+nnaa,5000=a4(c)1008.
01=+nnaa,5000=a(d)1008.
01+=+nnaa,10000=a(e)1001=+nnaa,10000=a4.
对下列问题,如果存在平衡点的话,求差分方程的解及其平衡点.
对各种初值讨论解的长期行为,并把平衡点按稳定和不稳定进行分类.
(a)21+=+nnaa,10=a(b)21+=+nnaa,10=a(c)2.
31+=+nnaa,3.
10=a(d)431+=+nnaa,50=a5.
目前,你在储蓄帐户上有月息为0.
5%的5000美元存款,你每个月再存入200美元.
建立一个模型并求数值解以确定何时帐户上的存款达到20,000美元.
6.
你的信用卡上有月息为1.
5%的欠款500美元,你每月偿还50美元并且没有新的欠款,平衡点是什么用信用卡的术语来说,平衡点的意思是什么求数值解,帐户里的欠款什么时候还清最后付费为多少7.
你的父母在考虑一项贷款期限30年,每月要支付0.
5%利息的100,000美元抵押贷款.
试建立一个每月还款p,且能够在360次负费后还清抵押贷款(借款)的模型.
提示:如果na表示n个月后的欠款,那么0a和360a表示什么呢通过计算数值解的实验来求能确保360月(30年)还清贷款的p值.
8.
你的父母正在考虑一项贷款期限30年,每月支付0.
5%利息的抵押贷款.
试建立一个每月还款p,且能够在360次付费后还清的抵押贷款模型.
他们每月可以还款1500美元,试通过实验来确定他们能够借款的最大款额.
提示:如果na表n个月后的欠款,那么0a和360a表示什么呢9.
你的祖父母有一份年金,年金按前一个月的余额的1%作为利息增长着.
你的祖父母每月取出1000美元作为生活费.
目前,他们的年金为50,000美元,用动力系统建立年金模型.
求平衡点.
在这个问题中,平衡点代表什么通过计算数值解来确定年金何时用光10.
第1.
2节例4的继续:求出digoxin模型的平衡点,平衡点的意义是什么11.
第1.
2节问题6的继续:用不同的初值和维持剂量来做实验.
把给药间隔时间和给药量作为方便满意的度量,求一种方便满意的组合.
12.
第1.
2节问题8的继续:确定在古篝火遗址附近发现的猿人头骨的年代.
1.
3研究课题1.
你计划拿出一部分薪水作为子女的教育经费,你希望在帐户里有足够的存款,使得从现在起20年后开始的8年里,每月能提出1000美元,帐户每月付给你0.
5%的利息.
(a)从现在起你在20年里你需要累积多少钱才能完成你的投资目标假设从第一个孩子上大学你就停止投资——一种安全假设.
(b)在以后的20年里,你每月必须存多少钱2.
假设我们正在考虑鲸鱼的生存问题,又假设如果鲸鱼的数量低于最小生存水平m以下,该种群将会灭绝.
还假设,由于环境的容纳量M,鲸鱼的数量是受限制的.
即,如果鲸鱼的数量超过了M,那么由于环境不能支持,数量会衰减,在下列模型中,na表示n年后鲸鱼的数量.
对M=5000,m=100,k=0.
0001,0a=4000求数值解))((1maaMkaannnn=+再对不同的M,m和k做实验,试着对若干个0a的起始值做实验.
你的模型有什么预测3.
完成由DonaldR,Sherbert写的UMAP教学单元UMAP322"差分方程及其应用".
该教学单元提供了有关求解一阶和二阶线性差分方程,包括求解非齐次方程的待定系数,是很好的入门引论,还包括对人口问题和经济建模的应用.
51.
4习题1.
考虑例1,汽车租赁公司,用不同的系数值来做实验,对给定的初值所得到的动力系统进行迭代.
然后对不同的起始值做实验.
你的实验结果是否表明模型对(a)系数(b)起始值是敏感的2.
考虑例3,斑点猫头鹰和,利用给定的起始值,用不同的系数值来做实验.
然后再试不同的起始值,其长期行为是什么你的实验结果是否表明模型对(a)系数(b)起始值是敏感的呢3.
在1805年的Trafalgar战斗中,我们看到如果两军简单地正面交锋的话,英军在战斗中大约要损失掉24艘战舰,而法-西联军大约损失15艘战舰.
我们还看到Nelson爵士利用分而治之的策略战胜了敌人的优势兵力.
劣势兵力战胜优势兵力的另一种策略就是增强它所使用的技术设备.
假定英军战舰装备了优良的武器.
又假定法-西联军遭受的损失为英军战舰的15%,而英军遭受的损失为法-西联军战舰数的5%.
(a)形成一个差分方程组对双方的战舰数进行建模,假设法西开始的战舰数为33,英军的战舰数为27(b)建立数值解以确定在新的假设条件下正面交战的话,哪一方会赢.
(c)利用Nelson爵士的分而治之战略结合英军战舰装备了优良武器的条件建立三次战斗的数值解4.
假定斑点猫头鹰的主要食物来源是单一的食饵:老鼠.
生态学家希望预测在一个鸟兽类保护区里斑点猫头鹰和老鼠的种群量水平.
令nM表示n年后老鼠的种群量,nO表示n年后斑点猫头鹰的种群量.
生态学家提出了下列模型:nnnnMOMM01.
02.
11=+nnnnMOOO002.
07.
01+=+生态学家想知道在栖息地两个种群能否共存以及结果是否对起始种群量敏感.
(a)比较上面模型中系数的正负号和例3中猫头鹰-模型中系数的正负号.
依次解释正在建模的捕食者——食饵关系中四个系数1.
2,-0.
01,0.
7和0.
002的正负号的意义.
(b)对下列表中初始种群数量进行检验并预测其长期行为:猫头鹰老鼠情况A情况B情况C情况D1501501001020030020020(c)现在利用给定的起始值对不同的系数的值做实验,然后再试不同的起始值.
长期行为是怎样的你的实验结果是否表明模型对系数是敏感的是否对起始值敏感5.
在例4的投票趋势中,对原点附近的起始值做实验,原点是稳定平衡点吗试加以说明,利用给定的起始值对不同的系数值做实验.
然后试试不同的起始值.
长期行为是怎样的你的实验结果是否表明模型对系数是敏感的是否对起始值敏感现在假定每个党都在补充新的党员.
当每个党员补充了未登记公民作为新党员时,一开始就要假设选民总数要增加.
对新党员人数不同的值做实验.
长期行为是怎样的它对补充的速率是敏感的吗你怎样调整模型以反映选区的公民总数是不变的怎样调整模型反映你所在的选区正在发生的情况从长远的观点来看,在你的选区里将会发生什么情况6.
经济学家要研究单个产品的价格变化.
据观察,市场上产品的高价格会吸引更多的供应商.
但是,增加所供应的产品的数量会导致价格的下跌.
随时间变化,存在着价格和供应之间的相互作用.
经济学家提出了下面的模型,其中nP表示了第n年的产品价格,而表示第n年产品的数量:)500(1.
01=+nnnQPP)100(2.
01+=+nnnPQQ(a)该模型在直观上有意义吗常数100和500的意义是什么解释常数-0.
1和0.
2的正负号的意义6(b)对下表的初始条件进行检验并预测长期行为:价格数量情形A100500情形B200500情形C100600情形D1004007.
1868年,偶然从澳大利亚引入美国的吹绵蚧(IceryaPurchasi)威胁到甚至会毁灭美国的柑橘业.
为了对抗这种形势,引进了一种天然的澳大利亚捕食者瓢虫(NoviusCardinalis).
瓢虫使得吹绵蚧的数量降低到一个相对低的水平.
当发明了能杀死蚧的杀虫剂DDT后,农民就使用DDT希望能进一步降低蚧的数量.
但是,事实证明DDT对瓢虫也是致命的,而且利用了这种杀虫剂后的总效果是增了蚧的数量.
令nC和nB分别表示n天后吹绵蚧和瓢虫的种群量水平.
推广习题4中的模型,有nnnnnCBkCkCC211+=+nnnnnCBkBkBB431+=+其中ik都是常数(a)讨论该模型中每个ik的意义(b)在一个种群不存在时,关于另一个种群的增长的隐含的假设是什么(c)对系数取值并再试试几个起始值,你的模型预测的长期行为是什么改变系数,你的实验是否表明模型对系数是敏感的对起始值是否是敏感的(d)修改该捕食者-食饵模型使之能反映农民(在常规的基础上)使用杀虫剂以与瓢虫与吹绵蚧当前的数量成比例的杀死率杀死它们的情形.
1.
4研究课题1.
完成由MartinEisen写的UMAP教学单元UMAP553.
"生物学中某些差分方程的图形分析"提出要求.
许多生物种群的增长可以用差分方程来建模.
该教学单元展示了可以用图形方法来预测的某些方程的解的行为.
2.
对本节参考文献中列出的May等人的论文写一个综述报告.
3.
完成由CarolWeitzelKohfeld写的UMAP教学单元UMAP304"党派支持的增长I:模型和估计".
和UMAP305"党派支持的增长II".
UMAP304提供了政治动员的一个简单模型,其改进把特殊党派的支持者和可能补充的非支持者之间的相互作用包括在内.
UMAP305研究了一阶二次差分方程模型的教学性质.
该模型是利用美国三个县的数据来检验的.
第2章2.
1习题在习题1-8中,情景是模糊地陈述的.
从这些模糊的情景中识别要研究的问题,哪些变量影响到问题识别中你已经识别的行为哪些变量最重要记住,实际上没有正确的答案.
1.
单种群的总量增长.
2.
一家零售店要建造一个新的停车场,停车场应该怎样照明3.
一位农民期望他的地里种植的粮食农作物的产量达到最大.
他正确地识别了问题吗试讨论另一种目标.
4.
怎样设计一个供大班级用的演讲厅.
5.
一个物体从很高的地方掉下来,何时它撞击到地面撞击到地面的力度有多大6.
某种产品的制造商应该怎样决定每年应该生产多少件产品,以及每件产品应该标价多少7.
美国食品及药物局(FDA)想要了解一种新药对控制人口中的某种疾病是否有效.
8.
滑雪者下山坡有多快7对于习题9-17中提出的情景,识别值得研究的问题并列出会影响你已经识别的行为的变量.
哪些变量可以完全忽略哪些变量在开始时可以认为它们是常数你能识别出你想仔细研究的子模型吗识别任何你想收集的数据.
9.
一位植物学家有兴趣研究叶子的形状以及影响叶子长成这种形状的各种支配力量.
她从一棵白橡树的底部剪下几片叶子,发现叶子的相当宽没有明显的锯齿形.
当她到树的顶部去看时,她发现有很明显的锯齿形而没有展得很宽的叶子.
10.
不同大小的动物其他特征也不同.
小动物比之于较大的动物,叫声尖细,心跳较快以及呼吸次数更多.
另一方面,较大的动物的骨骼比小动物的骨骼更为强壮,较大的动物的直径和体长之比大于小动物.
所以,当体格从小到大增加时,存在着以和动物尺寸的比例相应的规则的变形.
11.
一位物理学家想要研究光的性质.
他想了解当光线从空气进入平滑的湖中,特别时在两种不同介质的交界处,光线的路径.
12.
拥有一队卡车的一家公司面临着因卡车使用年限和油耗而增加的维修费用.
13.
人们偏爱于计算机的速度,哪些计算机系统提供了最快的速度14.
怎样提高我们的能力,使得每学期都能报名上最好的班级15.
怎样才能节约我们的一部分收入16.
考虑在竞争市场情况下一家刚开始运转的生产单一产品的新公司,讨论该公司营业初期的短暂的短期和长期目标.
这些目标会怎样影响到雇员工作的指派该公司有必要要决定短期运行的最大利润吗17.
讨论利用模型来预测实际系统和利用模型来解释实际系统之间的差别.
想象某些要利用模型来解释实际系统的情景:类似地,想象某些你要利用模型来预测实际系统地情景.
2.
1研究课题1.
考虑冲泡咖啡的味道问题.
什么是影响味道的变量哪些变量一开始可以忽略假定除了水温外,已经固定了所有的变量,多数咖啡壶都用沸水以某种方式从底部的咖啡中蒸馏出滋味.
你认为用沸水是产生最佳滋味的最优方式吗你将怎样检验这个子模型你将收集什么样的数据以及怎样去收集数据2.
一家运输公司正在考虑用直升飞机在纽约市摩天楼之间运送人员,你被聘为顾问确定所需直升飞机的数量.
精确地识别适当的问题,运用模型构建的过程来确定你所选定的变量之间的关系所需要的数据.
当你着手进行时,可能需要重新定义你的问题.
3.
考虑酿酒的问题,提出若干商业制造商可能会有的目标,把考虑品味作为一个子模型.
什么是影响品味的变量哪些变量一开始就可以忽略怎样把余下的变量关联起来为确定这些关系,什么样的数据将是有用的4.
一对夫妇应该买房子还是租房子因为抵押的费用上涨,直观上看,似乎存在一个抵押费用的价位,高于这个价格决不要去抵押贷款买房.
什么变量决定了总的抵押费用5.
考虑一家诊所的运作问题,病人个人的病历档案必须保存,而会计程序是一项日常工作.
该诊所应该购买或者租用一个小型的计算机系统吗提出可能要考虑的目标.
什么变量你会加以考虑你怎样建立变量之间的关系为决定你所选择的变量之间的关系,需要什么样的数据为什么不同诊所的对这个问题会有不同的解决方法6.
什么时候车主应该更新汽车什么因数会影响到做出的决定哪些变量以开始可以忽略识别你要的数据以决定所选择的变量之间的关系.
7.
一个人能跳多远在1968年墨西哥城举行的奥运会上,美国的鲍勃.
比蒙把世界记录提高了10%,该记录一直保持到1996年奥运会,列出影响跳远距离的变量.
你认为墨西哥城的低空气密度可以解释这个10%的差别吗8.
上大学是一项可靠的金融投资吗四年里没有收入,而且大学的费用极高.
什么因素决定大学教育的总费用怎么确定为使这项投资有利可图的必要条件2.
2习题1.
图解地说明比例性y∝u/v的意义.
82.
如果一根弹簧被14磅的力拉长了0.
3英寸,那么9磅的力会拉长多少22磅的力又会拉长多少假设断言拉长的距离与作用力成比例的虎克定律成立.
3.
如果一张建筑制图中0.
75英寸表示4英尺,那么27英尺用多长表示呢4.
试决定下列数据是否支持对y∝z1/2的比例性论证,如果是的话,估计其斜率.
Y∣3.
55678Z∣36912155.
在冥王星之外于太阳之间的平均距离为4004百万英里的地方发现一颗新的行星.
利用开普勒第三定律,估计该行星绕太阳在轨道上运行一圈所需时间.
6.
对于车辆停止距离模型,设计一个确定平均响应时间的检验,设计一个确定平均反应距离的检验.
讨论这两种统计量之间的差别.
要是你用这些检验的结果来预测总的停止距离的话,你会用到平均反应距离吗解释你的理由.
7.
在车辆停止距离模型中涉及刹车距离的子模型,你将怎样设计刹车系统,使得对所有的车辆,不论其质量如何,它们的最大减速都是一样的试考虑闸垫的表面积以及产生压力的液压系统的容量.
2.
2研究课题1.
考虑汽车的悬挂系统,试建立一个关于支撑汽车质量的弹簧的拉长(或压缩)的模型.
通过测量弹簧的尺寸对弹簧支撑的质量的变化收集数据.
图解地检验你的比例性论证.
如果它是合理地,求出比例性常数.
2.
研究并准备一个10分钟的有关虎克定律的报告.
2.
3习题1.
假定在描图纸上按不同的比例尺画了一个国家的两张地图并且把它们叠在一起,在把其中的一张叠在另一张之前有一张地图可能转动了一下.
证明两张地图上只有一个地点能重合.
2.
考虑站着的3英尺高20磅重的粉红色的火烈鸟,而它的腿有2英尺长.
试对100磅火烈鸟的高度和腿长进行建模.
什么假设是必要的它们是合理的假设吗3.
一个物体在倾角为θ弧度的坡面上滑下,在滑到底之前达到的其终极速度.
假设由于空气造成的阻力与S2v成比例,其中S是垂直与运动方向的横截面的面积,而v是速率.
进一步假设物体和坡面之间的滑动摩擦和物体的常规重量成比例,决定终极速度和物体的质量之间的关系,如果两个重量分别为600磅和800磅的盒子被推下坡面,求它门的终极速度之间的关系.
4.
假设在某些情况下物体的热损失与它暴露在外的面积成比例.
建立边长为6英寸和边长为12英寸的两个立方体的热损失之间的关系.
然后再考虑诸如两艘潜艇那样的两个不规则物体.
建立长度围70英尺的潜艇和7英尺的潜艇模型的按比例模型的热损失之间的关系,假定你对维持潜艇内部温度不变所需要的总能量感兴趣.
建立实际潜艇所需要的能量和比例模型所需要的能量之间的关系.
详细说明你的假设.
5.
考虑实际上处于休息状态以及在同样的条件下(就像在动物园里)的两头成年温血动物的情形.
假设他们保持相同的体温,以及为保持这个温度可利用的能量与提供给他们的食物成比例.
质询这个假设.
如果你愿意假设动物都是几何相似的,那么建立为保持他们的体温所需要的食物和保持他们的长度和体积的关系(提示:参见习题4).
列出你的所有假设.
为建立所需要的食物和保持他们的体重之间的关系,还需要哪些附加假设6.
设计一个塑料盘来完成模型(2-13)给出的计算.
7.
考虑模型(2-11)和(2-13)你认为哪个更好为什么定性地讨论这些模型,在第3章中将要求你们解析地比较这两个模型.
8.
在什么情况下,如果存在的话,模型(2-11)和(2-13)是一致的试给予充分的说明.
9.
考虑模型2wlg∞和3wg∞.
从几何上解释这两个模型中的每一个.
分别解释这两个9模型与模型(2-11)和(2-13)怎样不同.
是否存在这四个模型一致的情况这种情况是什么你认为哪个模型在预测w时会做得最好为什么在第3章中将要求你们解析地比较这四个模型.
(a)设A(x)表示鲈鱼的典型的横截面的面积,0《x《l,其中l表示鱼的长度.
利用微积分中的中值定理证明鱼的体积v由V=__lA给出,其中__A是A(x)的平均值.
(b)假设__A与腰围g的平方成比例而且鲈鱼的重量密度是常数,证明2lgw∞2.
3研究课题1.
超级明星在电视节目"超级明星"中来自各种运动的顶尖运动员在各种活动中互相竞争.
运动员在高度和体重方面差别很大.
为了在举重比赛中对此作出补偿,要从运动员举起的重量减去其体重.
这暗示了什么的关系利用下表来说明这种关系,该表展示了1996年奥林匹克运动会上优胜者的举重成绩已经提出的生物学论证建议肌肉的强度和其横截面的面积成比例.
利用这个强度自模型,建立一个表示举重能力和体重之间关系的模型.
列出所有的假设.
是否必须假设所有的举重运动员都是几何相似的吗用所提供的数据检验你的模型.
现在来考虑前一个模型的改进.
假设体重中由一部分是与成年人的尺寸无关的.
提出一个把这种改进融合进去的模型并对提供的数据做检验.
讨论前面数据使用中的优缺点.
为给举重运动员设置障碍,你真正想要的是什么数据按照你的模型,谁是最优秀的运动员对超级明星节目提出一种经验法则,给举重运动员设置障碍.
2.
鸟的心搏率温血动物通过身体表面散发热量,因此要花大量能量来维持体温.
事实上,生物学家相信一头正在休息的温血动物的主要能量就是为了保持其体温.
(a)建立一个数学模型把通过心脏的血流量和体重联系起来.
假设可利用的能量的总量和通过肺(它是氧的来源)的血流量成比例.
假设(血液)循环需要的最小血量.
可利用的总能量等于保持体温要用掉的总能量.
(b)下列数据把某些鸟的体重和根据它们每分钟心跳次数测得得心搏率联系起来.
建立一个将两者联系起来得模型.
讨论你的模型中的假设.
利用该数据来检验你的模型.
103.
哺乳动物的心搏率下列数据把某些哺乳动物的体重和根据他们每分钟心跳次数测得的心搏率联系起来.
基于在研究课题2中给出的通过心脏的血流量和体重的关系的讨论,建立联系心搏率和重量的模型,讨论你的模型所做的假设.
利用以下的数据来检验你的模型.
4.
木材切割者木材切割者希望利用容易得到的测量数据来估计木材的板英尺数,他们测量树木腰高处的直径(以英寸计).
构建一个将预测英尺数与直径联系起来的函数的模型.
利用下列数据供检验之用变量x是以英寸计的美国黄松的直径,y是板英尺数除以10.
(a)考虑两个不同的假设,每个假设生成一个模型,充分分析每个模型.
i.
假设所有的树木都是正圆柱体而且高度大致相同.
ii.
假设所有的树木都是正圆柱体而且其高度与直径成比例.
(b)哪个模型看起来更好看些为什么证明你的结论的正确性.
5.
比赛用轻赛艇如果你看过赛艇比赛,你可能观察到船上划桨手很多,船就前进的越11快.
研究在船的速率和船上划桨手数目之间是否存在一种数学关系.
在形成模型过程中,考虑(部分列出的)下列假设:(a)在整个比赛中,对于一个特定的赛艇来说,全体划桨手施加在船上的合力是常数.
(b)当赛艇在水中运动时,其阻力与速度的平方和船体受湿表面面积的乘积成比例.
(c)功定义为力乘距离.
功率定义为单位时间内所做的功.
提示:当额外的划桨手加入到赛艇时总力是否和艇上的划桨手数目成比例或者总功率是否和艇上的划桨手成比例并不显然.
哪个假设看起来更合理些呢哪个假设会产生更精确的模型6.
按比例缩放刹车系统假定有了几年的经验之后,你的汽车公司为它享有声望的标准尺寸汽车的刹车系统重新进行了优化设计,即刹车所需滑距离在同级重量的汽车中最短,而且车上的人都感觉系统非常的平稳.
你们的公司决定制造重量较轻一级的汽车.
讨论如何按比例缩放当前汽车的刹车系统,使得较小的刹车系统具有同样的性能.
要有把握地考虑液压系统和刹闸片的尺寸,是否只需要简单地利用几何相似性就够了让我们假定对所有的汽车型号,车轮的比例缩放都是按以下方式做的,即作用在(静止状态)车胎上的压力是不变的.
对轻型车的刹闸片,应该如何按比例缩放呢2.
4习题1.
在汽车的燃油里程例子中,假设画出每加仑英里数对速率的图形作为一般法则的图形表示(替代图2-23所画的图),解释为什么从这个图形难于导出比例性关系.
2.
在汽车的燃油里程例子中,假设阻力和Sv成比例,其中S是垂直于汽车运动方向的汽车横截面面积而V是速率.
你能得出什么结论对该阻力子模型,讨论可能影响倾向于选择S2v而不选SV的那些因素,你怎样检验该子模型3.
讨论在汽车里程问题的分析中被完全忽略的几个因素.
2.
5习题1.
为检验支持模型(2-21)的各种子模型,详细描述你想收集的数据,你怎样去收集这些数据2.
为测量身体脂肪的百分比,有多种检测方法.
假设这些检测方法都是精确的而且有大量细心收集到的数据可供利用.
你可以详细说明其他的统计数据,例如你想收集的腰围和身高的数据.
解释能怎样安排数据来检验支配本节子模型的假设.
例如,假定考察了具有不变身体脂肪和高度的年龄在17-21岁之间的男性的数据.
解释怎样检验内部核心的密度为常数这一假设.
3.
身体状况和个人体形的流行的测量方法就是夹痛测试.
为做这种测试,你通过夹痛的方法来测量身体所选择的部位的外部核心的厚度,在什么部位以及怎样做这种夹痛测试什么样的夹痛厚度是允许允许夹痛厚度随身高而变化吗4.
人们说体操是一项需要极大灵活的运动.
利用本节研究的有关灵活性的模型和假设来论证为什么很少有高个体操运动员.
2.
5研究课题1.
考虑只测量有氧健身情况的耐力测试.
这种测验可能是游泳测验,赛跑测验或自行车测验.
假设我们要求所有的参赛者都做同样的功.
试创建一个模型来反映参赛者所做的功和某个诸如身高或体重那样的可测量的特征量之间的关系.
然后利用你的模型中的动能12来做出改进.
对这些有氧测验中的一种运动收集某种数据来决定这些模型的合理性.
第3章3.
1习题1.
正常情况下,图3-2的模型会用来预测1x和5x之间的状况,用模型预测x小于1x或大于5x时的y会有什么危险不妨设我们是在为投掷棒球的弹道建模.
2.
下表给出了一根钢丝上施加拉力S(单位:磅/平方英寸)后每英寸的伸长e(单位:英寸/英寸).
画出数据,检验模型e=1cS,从图上估计1c.
3.
下面的数据中,x是美国黄松在树身中部测得的直径(单位英寸),y是体积的度量,即用10除后的板英尺数.
变换数据画图,检验模型y=axb.
如果模型看似合适,从图上估计模型的参数a和b.
4.
下面的数据,V代表一个平均的步行速率,P代表人群总体的人数,我们希望知道是否能通过观测人们的步行速度来预测总体的人数.
画出数据图,猜测有何种关系画出适当的变换数据,检验下列模型.
(a)P=abv(b)P=alnV5.
下面数据反映了在六个星期时间中果蝇群体的增长,对一个适当的数据集画图,检验下列模型,估计模型的参数.
(a)P=1ct(b)P=abte136.
下面的数据表示以1990年为基础的(假设的)能源消费,画出数据图,画出变换数据,检验模型Q=abte,用图形估出模型的参数.
7.
1601年,开普勒成为布拉格天文台的台长.
开普勒曾经帮助TychoBrahe收集了13年有关火星的相对运动的观察资料,到1609年开普勒已经形成了他的头两条定律:(1)每个行星都沿一条椭圆轨道运行,太阳在该椭圆的一个焦点处.
(2)对每个行星来说,在相等的时间里该行星和太阳的连线扫过相等的面积.
开普勒花了许多年证实这些定律,并构造出了第三条定律,该定律与运行轨道的周期和距离太阳的平均距离有关,(a)使用当今的数据画出周期时间T对平均距离r的图.
(b)假定关系的形式为14T=Car画出lnT对lnr的图,用图确定参数C和a.
模型合适吗试构造开普勒第三定律.
3.
2习题1.
用初等演算,说明Y=f(x)的最小值点和最大值点Y=2()fx的最小值点和最大值点之间.
假定f(x)》0,为什么能通过极小化f2(x)来极小化f(x)2.
对下列每一数据集,构造数学模型写出公式,极小化数据和直线y=ax+b间的最大偏差.
如果有计算机可用,解出a和b的估计.
(a)(b)(c)3.
对下列数据,构造数学模型写出公式,极小化数据和模型y=c1x2+c2x+c3间的最大偏差,如果有计算机可用,解出c1、c2和c3的估计.
4.
对下列数据,构造数学模型写出公式,极小化数据和模型P=aebt间的偏差,如果有计算机可用,解出a和b的估计.
5.
设变量x1可以是任意实数值.
说明下列使用非负变量x2和x3的替换允许x1取任意实数值:x1=x2-x3,x1无限制且x2》0和x2》0这样,倘若计算机只允许用非负变量,这一代替允许解出变量x3和x2的线性规则,然后15再找出变量x1的值.
3.
3习题1.
解(3.
4)给出的两个方程,得出分别由(3.
5)和(3.
6)式给出的参数的值.
2.
使用(3.
5)和(3.
6)式估计直线的系数.
使直线和下列数据点之间的偏差平方和达到极小.
(a)(b)(c)对每一问,计算D和dmax以界定Cmax,将你解出的结果与3.
2节问题进行比较.
3.
求使一数据点集与二次形模型y=c1x2+c2x+c3间偏差平方和极小化的方法.
使用这些方程对下列数据集找出c1、c2和c3估计.
计算D和dmax以界定cmax,将你解出的结果与3.
2节问题进行比较.
4.
为拟合模型P=aebt做一个适当的变换,使用(3-4)式估计a和b.
5.
细心地考虑问题3中你拟合二次形时产生的方程组,假设c2=0,对应的方程组将会怎样在c1=0和c2=0的情形,重复这一问题,提供一个三次方程组,检查你的结果.
说明如何推广方程(3-4)的系统到拟合一个任意多项式,如果一个多项式里有一个或多个系数为0,你将怎么做6.
计算一个人的体重的一般规则如下:对一位女性,用3.
5乘以身高(英寸),再减108.
对一男性,用4.
0乘以身高(英寸),再减128.
如果一个人骨架较小,调整计算结果,削减10%.
对骨架较大的人加10%,对中等体形的人不调整.
收集不同年龄、体形和性别的人的体重对身高的数据、使用(3—4)式和你的数据为男性拟合一条直线,为女性拟合一条直线,这些直线的斜率和截距如何,怎样将这些结果与普通规则进行比较163.
3研究课题建议那些想了解统计相关性度量的初步知识的同学完成教学单元"运用最小二乘准则做曲线拟合"(CurveFittingviaCriterionofLeast-Squares,byJohnW.
Alexander,Jr.
,UMAP321)的要求.
这一单元提供了相关散点图以及直线和曲线回归的简单介绍,可构造散点图,为拟合特殊的数据选取合适的函数,使用计算机程序拟合曲线.
3.
4习题对下面的每一问题,用数据或用经变换的数据(如果适当)使用最小二乘准则求出一个模型,将你的结果与3.
1节问题中观测到的图形拟合进行比较,对每一模型计算偏差、极大绝对偏差以及偏差平方和,如果模型是用最小二乘准则拟合的,求关于Cmax的一个界.
1.
3.
1节问题3.
2.
3.
1节问题4a.
3.
3.
1节问题4b.
4.
3.
1节问题5a.
5.
3.
1节问题2.
6.
3.
1节问题6.
7.
(a)在下列数据中,W表示一条鱼的重量,l表示它的长度,使用最小二乘准则拟合模型W=kl3(b)在下列数据中,g表示一条鱼的身围,使用最小二乘法对数据拟合模型W=klg2(c)两个模型哪个拟合数据较好全面评判,你更喜欢哪一个模型为什么8.
使用习题7(b)中的数据拟合模型W=cg3和W=kgl2.
解释这些模型,计算适当的指示量并确定哪个模型是最佳的,做出说明.
3.
4研究课题1.
写出一个计算机程序.
求下列模型中系数的最小二乘估计(a)y=ax2+bx+c(b)y=axn2.
写出一个计算机程序,计算数据点和使用者遇到的任一模型的偏差.
假定模型是用最小二乘规则拟合的,计算D和dmax,输出每一数据点,每一数据点的偏差、D、dmax和偏差平方和.
3.
写出计算机程序,使用(3-4)式和适当的变换后的数据计算下列模型的参数.
(a)y=bxn(b)y=beax(c)y=alnx+b(d)y=ax2(e)y=ax317第4章4.
1习题在1976年,Marc和HelenBornstein研究日常生活的步伐,观察城镇规模变大时,生活节奏是否变得更快,他们系统地观测了城镇的主要街道行人步行50英尺所需要的平均时间.
在表4.
5中,我们给出了他们收集的一些数据,变量P表示城镇人口,变量V表示行人步行50英尺的平均速度.
问题1-5基于表4.
51.
对表4.
5中数据拟合模型aCpV=,使用变换:CPaVlogloglog+=,画出logV对logP的图.
这样的关系看似合理吗(a)作logP对logV的表(b)构造一个log-log数据的散点图(c)在你的散点图中用肉眼确定一条直线(d)估计斜率和截距(e)求出关于logV和logP的线性方程(f)求出用P表示V的aCpV=形式的方程2.
在原始的散点图上加上你在问题1(f)中求出的方程的图像3.
使用数据,计算器以及你在问题1(f)中为V确定的模型,完成表4.
64.
利用表4.
6的数据计算Bornstein误差预测值观测值VV的平均值,关于模型的价值,这些结果有什么提示5.
用模型bPm+=)(logV解答问题1-4.
将误差与问题4中算出的误差作比较.
这两个模型,哪个更好些6.
表4.
7和图4.
9列出的数据是Chesapeake海湾的牡蛎商业收成.
对数据拟合一个简单的单项模型.
你找到的拟合数据最佳的单项模型好吗最大的误差是什么平均误差是什么7.
在表4.
8中,X是华氏温度,Y是1分钟内1只蟋蟀唧唧叫的次数.
对数据拟合一个模型.
分析该拟合是否很好.
8.
对表4.
9拟合一个模型,你熟悉这些数据吗由这些数据你能推断出它们什么关系9.
下列数据是美国黄松的两个特征测量值.
变量X是树身中部测得的直径,单位为英寸;Y是体积的测量值,单位为板英尺数除以10.
对数据进行拟合.
用X表示Y.
10.
下列数据是一群鱼(鲈鱼)的长度和重量.
将鱼的重量作为长度的函数建模.
11.
下列数据是美国从1800到2000年的人口数.
将人口数(单位千人)作为年的函数建模.
你所建的模型拟合的好吗对这些模型,单项模型适合吗为什么4.
1研究课题1.
完成UMAP551,BruceKing著的"生活的步伐——经验模型拟合导论"的要求,为课堂讨论准备一篇简短的综述.
4.
2习题1.
对这一节磁带录音机问题,给出确定通过数据每一点的多项式系数的方程组.
如果可利用计算机,确定该多项式并画出图形.
该多项式反映了数据的倾向吗2.
考虑4.
1节问题1的关于生活的步伐的数据.
对数据拟合一个14阶的多项式,讨论使用多项式作预测的缺点.
如果可利用计算机,确定多项式并画出图形.
3.
下列数据中,X是华氏温度,Y是一分钟内一只蟋蟀鸣叫的次数(参看4.
1节,习题7),做数据的散点图,并讨论使用通过数据点的用18阶多项式作为经验模型的适宜性.
如果有计算机,对数据拟合出多项式并画出结果.
4.
下列数据中,X表示美国黄松树身中部测得的直径,Y是测得的体积,为板英尺数除以10.
做数据的散点图.
讨论使用通过数据点的13阶多项式作为经验模型的适宜性.
如果有计算机可用,对数据拟合出多项式并画出结果.
4.
3习题为习题1-4中的数据,构造均差表,对这些数据你可以得出什么结论你想用低阶多项式作为经验模型吗如果是,接下来做什么181.
X01234567Y2824561101923084642.
X01234567y234873981231481731983.
X01234567y7153361991472052734.
X01234567Y14.
520904031808810336,3165.
为培养物中酵母增长的数据画散点图.
数据看上去合理吗构造一个均差表,尝试运用一个低阶三次多项式,用一个适当的标准进行光滑化,分析拟合情况,与这一节我们建立的二次模型进行比较.
画出你的模型、数据点以及偏差.
在问题6-12,构造给定数据的散点图,数据有趋势吗有异常数据点吗构造一个均差表,用低阶多项式进行光滑化适宜吗如果是这样,选择一个适当的多项式用最小二乘准则进行联合,考察用适宜的指示量分析拟合优度.
画出模型、数据点以及偏差.
6.
下列数据,X是华氏温度,Y是一分钟内一个蟋蟀鸣叫的次数(参看4.
2节,习题4)7.
下列数据,X是美国黄松树干直径的测量值,Y是测量的体积,为板英尺除以10(参看4.
2节,习题4)8.
下列数据表示的是1790-2000年美国的人口9.
下列数据表明一个羊群引入到Tasmania岛新环境后的增长(改编自:J.
Davidson,"Tasmania岛上羊群数量的增长",Trans.
R.
Soc.
S.
Australia62(1938):342-346)10.
下列数据是关于步伐的(参看4.
1节,习题1)P是人口,V是50码区段中每秒的平均速度11.
下列数据是鲈鱼的长度和重量12.
下列数据表示1976年奥林匹克的举重成绩.
4.
4习题1.
对下列每一数据集,确定通过给定点的自然三阶样条的系数,写出方程组,如果有计算机可用,解出方程组,并画出样条的图.
在问题2-3,求出通过给定点的自然三阶样条,使用样条回答提出的要求.
2.
(a)估计在x=3.
45处定出的偏差,将你的估计与x=3.
45处由xe确定的偏差作比较.
(b)估计曲线下从3.
3到3.
6的面积,与dxex∫6.
33.
3作比较.
3.
X06π3π2π32π65ππy0.
000.
500.
871.
000.
870.
500.
004.
对磁带式录音机问题中(4.
2节和4.
3节),收集到的带有计算器读数的播放时间的数据,构造通过各数据的自然样条.
将此模型与你曾构造过的模型作比较,哪一个模型能做出更好的预测5.
邮资.
考虑下列数据,使用本章的方法来追踪数据中存在的趋势.
你会删除某些数据点吗为什么你能够用你的模型来预测2010.
1.
1的邮资吗你构造的各种模型对2010.
1.
1的邮资预测是怎样的什么时候邮资达到$1你有兴趣可以读一下这方面的文章:DonaldR.
Byrkit和RobertE.
Lee"TheCostofaPostageStamp,orUp,Up,andAway,"MathematicsandComputerEducation17,no.
3(summer1983);184-1904.
4研究课题1.
做一个计算机程序,确定通过给定的数据点的自然样条的系数,参看本章前面提及的Burden和Faires书中的有效算法.
2.
表4.
22给出的数据为培养物中酵母的增长(数据来自:R.
Pearl,"TheGrowthofPopulation",Quart.
Rev.
Biol.
2(1927):532-548)193.
下面是1790-2000年美国人口的数据4.
下列数据来自一个羊群引入到Tasimania岛新环境后的增长(改编自:J.
Davidson,"Tasmania岛上羊群数量的增长",Trans.
R.
Soc.
S.
Australia62(1938):342-346).
5.
下列数据是关于步伐的(参看4.
1节,习题1)P是人口,V是50码区段中每秒的平均速度.
6.
下列数据是鲈鱼的长度和重量.
7.
下列数据表示1976年奥林匹克的举重成绩.
8.
你可以用你开发的三阶样条软件以及联想到的一些图形,在计算机上画出光滑曲线,表示出一个你想画的图形.
用计算机在你的图形上叠加一张坐标纸,记录足够的数据,以便能得到极光滑的曲线,并取出有突然变化的数据点(图4.
29)现在取出这些数据点,让样条通过这些点,注意如果在数据处出现的导数本质上不连续,如图4.
29中A-G,你将需要终止一个样条函数的集合,而开始另一个集合.
然后可用绘图软件画出样条函数的图.
基本上,我们是使用计算机来用光滑曲线连接一些点.
选择你感兴趣的图案,比如你们学校的吉祥物,用计算机画出它.
第5章5.
1习题1.
每张彩票按照以下方式"藏"着一个数:55%的彩票藏着1,35%的彩票藏着2,10%的彩票藏着3,得到所有3个数的彩票购买者获得奖金,设计一个试验,确定买多少张彩票才能获得奖金.
2.
A.
B两个唱片公司生产古典音乐唱片,A品牌唱片是廉价的,5%的新片有明显的翘曲,B品牌唱片在更高的质量控制下生产(因而贵一些),只有20%的新盘有翘曲,你在当地的商店里买A,B品牌号各一张,设计一个试验,确定在买到两张翘曲,你在当地的商店里买到A,B品牌号各一张,设计一个试验,确定在买到两张翘曲的盘之前,你会做多少关键作用这样的购买.
3.
用蒙特卡罗模拟写出一个算法,按照下面的途径计算派的近似值,在1/4圆Q:小x2+y2=1.
x>=0,y>=0内选取所有机点,其中1/4圆位于以下正方形内S:00.
y>0.
z>0)的体积5.
用蒙特卡罗模拟写一个算法,计算两个抛物面z=8-x2-y2和z=x2+3y2相交的那部分区域的体积,注意,两个抛物面相交于以下椭圆柱上x2+2y2=45.
2习题1.
利用平方取中方法生成(a)10个随机数,设x0=1009(b)20个随机数,设x0=653217(c)15个随机数,设x0=3043(d)对上面得到的每个数列做出评论,存在循环吗数列退化迅速吗2.
利用线性同作方法生成(a)10个随机数,设a=5,b=1,c=8(b)15个随机数,设a=1,b=7,c=10(c)20个随机数,设a=5,b=3,c=16(d)对上面得到每个数列做出评论,在循环吗若存在,何时出现205.
2研究课题1.
完成UMAP教学单元269蒙特卡罗,随机数用于模拟试验的要求,文中提出并讲解了用于求几个实际问题的近似解的蒙特卡罗方法,还包括几个简单的实验用于学生实习.
2.
UMAP590随机数,该教学单元讨论了生成随机数的方法,给出了确定数串随机性的检验,完成这个教学单元并准备一篇检验随机性的简短报告.
3.
按照下列算法编写一生成均匀颁布随机整数第一步:设d=231,选定NC要生成的随机数个数第二步;任选一个整数Y作为种子,满足10000=s其中假定p=0(b)Minx+ys.
t.
x+y>=63x-y>=9X,y>=0(c)Min10x+ys.
t.
8x+6y=5(需求)x,y>=0(非负性)5.
对下列数据,用chebyshev准则按惯例模型,使最大偏差最小(a)y=cxy11255490x5102030(b)y=cx^2y1090250495x13577.
3习题1~5用本节中的方法,求解7.
2节中的习题1~56.
在下面的情形下,有多少个可能的交点(a)2个决策变量和5个04x3+3x4xM,计算方程(10-10)中常数C的值.
画出这种情况下的解曲线.
并画出在M/20为常数:dtdX=Kx(N-X)(a)列出这个模型所隐含的两条主要假设.
这些假设有什么依据(b)画出dX/dt关于X的图形.
(c)若初始被感染人数为X1N/2,画出X关于t的图形.
(d)把X作为t的函数,解出前面给出的模型.
(e)有(d),当t趋于无穷时求出X的极限.
(f)设岛上的人口有5000人.
在传染期的不同时刻被感染人数如下表天数t2610被感染的人数X188740874853Ln(X/(N-X))-0.
51.
53.
5问这些数据能否支持所给的模型(g)利用(f)的结果估计模型中的常数,并预测t=12天时被感染的人数.
7.
我们考虑鲸的生存情况.
假设鲸的数量减少到最低存活量级m一下时,就会导致灭绝.
还假定鲸的数量受到环境容纳量M的限制.
这就是说,当鲸的数量超过M时就会减少,因为环境承受不了那么多数量的鲸.
(a)讨论下面关于鲸数的模型dtdP=k(M-P)(P-m)其中P(t)代表鲸在t时刻的数量,k是正常数.
(b)做出dP/dt关于P和P关于t的图形,考虑初始数量P(0)=P0满足P00.
5R的最小n.
4.
给定H=2mg/ml,L=0.
5mg/ml和k=0.
02hr1,假设当药物浓度低于L时不仅无效而且有害,请(用剂量的浓度和次数)制定一个用药计划.
5.
设k=0.
2hr1且最低有效浓度是0.
03mg/ml.
单次用药使浓度上升0.
1mg/ml.
大约多少小时能保持药物有效6.
举出可以用上本书所述模型的其他一些现象.
7.
根据图10-14中给出的浓度曲线,简述一组药物会怎样积累.
8.
每到常规间隔为T的时刻,给病人用一次Q剂量的药物.
实验表明血液中的药物浓度满足规律dtdC=-keC(a)若在第t=0小时注入第一剂药,证明T小时之后,血液中的剩余浓度为R1=-ln(kT+eQ)(b)假设用药后药物浓度瞬时上升,证明在用第二药物后在过T小时,血液中的剩余浓度为R2=-ln[Kt(1+eQ)+eQ2](c)证明:若每隔T小时用剂量为Qmg/ml的药物,则剩余浓度极限的极限值R由下式给出:R2=-ln[Kt(1+eQ)+eQ2](d)假设药物在低于浓度L时无效,高于某隔较高浓度H时有害,证明对于药物在血液中的安全有效浓度,用药间隔T应满足公式:T=k1(eL-eH)其中k是正常数.
10.
2研究课题1.
对于文章J.
R.
UsherandD.
A.
Abercrombie,"CaseStudiesinCancerandItsTreatmentbyRadiotherapy,"InternationalJournalofMathematicsEducationinScienceandTechnology12,no.
6(1981),pp.
661-682,写一篇终述报告,并在课堂上宣读.
在课题2~5中完成所给UMAP教学单元的要求.
2.
BrindellHorelickandSinanKoont,UMAP70,给出"基因选择(SelectinGenetics)".
该教学单41元介绍了遗传学术报告术语相继代基因型分布的基本结果.
从可以确定隐性基因的第n代频率得到一个递归关系.
用微积分推导出使这种频率降到任意给定正数以下所要求的基因的近似方法.
3.
BrindelHorelickandSinan,UMAP73,给出"传染病(Epidemid)".
这个单元提出两个问题:(1)感染者以什么比率从人群隔离开来以保证传染病得到控制(2)哪一部分人在流行病期间容易感染讨论阈值移出率,并且在移出率稍低于阈值时讨论疾病会发展到什么程度.
4.
BrindellHorelickandSinan,UMAP74,给出"渗透性追踪方法(TracerMethodsinPermeability)".
该教学单元用放射性追踪描述了度量红血球表面K42离子渗透性的技术.
学生们学习到如何用放射性追踪来监视体内的物质,并学到本单元所述模型的某些限制和加强.
5.
BrindellHorelickandSinan,UMAP67,给出"神经系统建模".
反应时间与中央神经系统(ModelingtheNervousSystem.
ReactionTimeandtheCentralNervousSystem)".
该教学单元对中央神经系统对刺激的放应过程建立模型,并把模型的预测与实验数据进行比较.
学生们学习到如何从关于反应时间的模型中提取结论,并有机会讨论关于兴奋强度与刺激强度之间关系的各种假设的优点.
10.
3习题1.
(a)利用估计db=0.
05v2,其中0.
054的量纲是英尺小时2/英里2,证明方程(10-29)中的常数k值为19.
9英尺/秒2.
(b)利用表4-4中的数据,画出db(ft)关于v2/2(英尺/秒2)的图形,进而直接估计1/k.
2.
考虑用单级火箭发射卫星到轨道.
火箭的质量连续减少,这些物质被高速推出.
我们关注的是预测火箭能达到的最大速度.
(a)假设质量为m的火箭以速度v运动.
它在一个很小的时间增量t内减少了一个很小的质量pm,这些质量的物体以速度u沿v的反方向离开火箭.
这里,pm是推进燃料的质量.
火箭的后来速度变为v+v.
忽略所有外力(重力、大气阻力等),并且假设牛顿第二运动定律成立:力=dtd(系统的动量)其中动量等于质量乘以速度.
请推导模型dtdv=mcdtdm其中c=u+v是排气的相对速度(燃料气体相对于火箭的速度).
(b)假设初始时刻t=0时速度v=0,且火箭质量为m=M+P,其中P是承载卫星的质量,而M=εM+(1-ε)M(00习题6~9中的自治微分方程代表了一些种群增长的模型.
对每道练习题选择不同的值P(0),利用相直线法分析法画出曲线P(t)(如例3中).
哪些平衡点是稳定的,哪些是不稳定43的6.
dtdP=1-2P7.
dtdP=P(1-2P)8.
dtdP=2P(P-3)9.
dtdP=3P(1-P)(P-21)10.
例3的灾变续篇设有一些物种中有一群健康物种生长在有限的环境中,其当前数量P0非常接近容纳量M0.
可以想象是一群生活在野外纯净湖中的鱼.
突如其来的灾变,如圣希伦斯火山爆发,使湖水受到污染,鱼失去了所依赖的食物和氧气的主要来源.
结果导致了新环境的容纳量M1远小于当前数量P0.
从灾变前某个时刻开始,画出"前后"曲线,以表明鱼的数量是如何受环境变化影响的.
11.
种群控制某地区渔猎部门决定发放捕猎许可证,用以控制鹿的数量(一张许可证只能捕猎一头鹿).
已知如果鹿的数量降到一定量级m以下,鹿就会灭绝.
又知如果鹿的数量超过了容纳量M,它们的数量就会由于疾病和缺乏营养而降回到M.
(a)将鹿的增长率看成时间的函数,讨论下面模型的合理性dtdP=rP(M-P)(P-m)其中P是鹿的数量,r是正的比例常数.
包括相直线.
(b)解释该模型与逻辑斯蒂模型dP/dt=rP(M-P)有什么不同.
它比逻辑斯蒂模型好还是差(c)证明若对所有的t,P>M,则P(t)->M(t->∞)(d)若对所有的t都有P∞时的极限.
v)(1+0.
1/n)n(n->∞)的极限时多少10.
5研究课题完成所指UMAP教学单元的要求:1.
BrindellHorelickandSinanKoon,"Feldman模型(Feldman'sModel),"UMAP75.
本单元发展了G.
A.
Feldman关于生产工具都归国家所有的计划经济增长模型.
Feldman最初提出的模型是与前苏联经济的计划有关.
请对于产出量率、国民收入、它们的变化率及对储蓄的倾向做出数值计算,并讨论模型参数与度量单位的改变造成的影响.
2.
BrindellHorelickandSinanKoont,"羊的消化过程(TheDigestiveProcessofSheep),"UMAP69.
本单元对羊的消化过程引进微分方程模型.
该模型利用收集到的数据与最小二乘法判据进行测试和拟合.
第11章11.
1习题在习题1-4验证所给的函数对是一阶防方程组的解1.
x=-te,y=tedxdt=-y,dydt=-x2x=-2122te+,y=-22333488ttee++21dxxdt=+,32dyxydt=32,txe=y=te22dxydt=,dyydt=4x=btanhbt,y=bsechbt,b=任何实数2dxydt=,dyxydt=在习题5-8中,找出所给自治系统的静止点并进行分类52,3dxdyyxdtdt==6(1),2dxdyyxdtdt7(1),(1)(1)dxdyyyxydtdt811,dxdydtydtx==9做出下列自治系统相应的轨线,并标出随t增加的运动方向.
确定静止点,并按稳定的,渐进稳定的或不稳定进行分类45(a)/,/dxdtxdydty==(b)/,/2dxdtxdydty==(c)/,/2dxdtydydtx==(d)/1,/2dxdtxdydty11.
1研究课题完成UMAP教学的要求:RaymondN.
Green,"鲸和磷虾数学模型(WhalesandKrill:AMathematicalModel)"UMAP610.
本教学单元是用微分方程组对于鲸和磷虾的捕食系统进行建模,虽然该方程组不可解,但通过量纲分析和平衡点的研究可以提取有用的信息.
引进可维持的最大产量概念并用于获得关于捕鱼策略的结论.
你将学习构造微分方程组模型,以一组方程中降低维数,寻求微分方程组的平衡点并了解其重要性,以及代数与分析的使用操作技巧.
11.
2习题1列举出本节的竞争狩猎模型讨论中所忽略的三点重要的想法2对方程组(11-7)证明:在单位圆221xy+=上开始的任一轨线会以周期解形式绕单位圆运动.
先引入极坐标,再将方程组改写为2/(1)drdtrr=和/1ddtθ=3扩展鳟鱼和鲈鱼的增长模型,假设鳟鱼在孤立的情况下呈指数衰减(故方程(11-6)中a时,指向(m/n,a/b)的解轨线是唯一的11.
2研究课题完成所指的UMAP教学单元的要求1.
ThomasW.
Likens"预算过程:渐进主义(TheBudgetaryProcess:Incrementalism),"UMAP332;"竞争(competitive),"UMAP333.
预算政策的中心议题是如何将有限的资源分配给竞争的部门和集团.
UMAP332叙述的模型解释了如何议会或联邦机构通过对现状做边际调整来决定新的预算,则应以何种程度才能从一个阶段适当转变到下个阶段.
该模型假设由一个部门获得的份额将不影响或不倚赖于另一个机构获得的份额.
在UMAP333中的模型做了改进,着重处理政策的冲突性质和在预算决策方面必要的相互倚赖性问题.
2.
CarolWeitzelKohfeld,"党派支持的增长I:模型与评价(TheGrowthofPartisanSupport:ModelandEstimation),"UMAP304;"党派支持的增长II:模型分析学(TheGrowthofPartisanSupportII:ModelAnalytics,)"UMAP305,UMAP304提出了政治动员的一个简单模型,并改进为包括党派的支持者与可吸收的非支持者之间的作用.
UMAP305研究了一阶四次查分方程模型的数学性质.
该模型通过美国三个县的数据来验证,要求懂得系数线性一阶查分方程3.
RonBarnes"随机散步:随机过程引论(RandomWalks:AnIntroductiontoStochasticProcesses),"UMAP520该模型通过一个赌博的例子引进随机散步,在引进期望增益的同时叙述并解决了相关的有限查分方程.
讨论对马尔科夫链和连续过程的推47广.
注意对生命科学和遗传学的应用11.
3习题1.
用一阶和二阶导数来判别函数f(y)=/abyye证明:y=a/b是产生相应最大值f(a/b)的唯一的临界点.
再证明当y趋于无穷时f(x)趋于02.
证明用Lotka-Volterra系统(11-10)建模确定的关于被捕者数量的平均值x是m/n3.
1968年,从澳大利亚进入到美国的棉蚜虫几乎毁掉了美国的柑橘产业.
为了缓解这种情况,一种来自澳大利亚的天然捕食者---瓢虫被引进美国,瓢虫使得棉蚜虫数量减少到一个相对低的程度,当DDT的发明用来杀死棉蚜虫后,农民们希望用它来消灭更多的棉蚜虫,但是,DDT对瓢虫也有致命的伤害,结果是使用沙虫剂反而使棉蚜虫的数量增加了.
改进了Lotka-Volterra模型,使得农民在(继续)使用沙虫剂造成捕食者和被捕食者的现有数量都以相同的比率减少时,该模型能够反映出这两种昆虫组成的捕食系统情况.
考虑使用沙虫剂的影响,你能从中得到什么样的结论用图形分析法来确定使用沙虫剂的作用.
4.
1969年,E.
R.
Leigh在研究中发现,由于Hudson海湾公司在1847至1903年圈养的加拿大山猫及其主要食饵野兔,它们的数量波动是周期性的.
这两个物种的实际数量与用Lotka-Volterra捕食模型预测的有很大的不同.
通过完整的建模过程来改进L-V模型,以得到一个关于这两个物种增长率的更真实的模型.
在建模过程中回答下列问题(a)你是如何改进捕食模型基本假设的(b)为什么你的改进是对基本模型的一种完善(c)你的模型的平衡点是什么(d)能否对每个平衡点按其是否稳定来分类若能,分几类(e)根据你的平衡分析,当t趋于无穷时,山猫和野兔的数量会是多少(f)如何用你改进的模型来考虑加拿大山猫与野兔的狩猎政策提示:在系统中引入人做第二个捕食者.
5.
考虑两个倚赖于相互合作而生存的物种,比如一种蜜蜂主要以某种植物的花蜜为食,同时也为该植物传播花粉.
下面的自治系统给出了这种互利共生的简单模型dxaxbxydtdymynxydt=+=+(a)在没有合作的情况下,对物种的增长而言隐含着要做出什么样的假设(b)解释常数a,b,m,n的物理意义(c)平衡状态是什么(d)运用图形分析,并在相平面上标出轨线方向(e)求出解析解,并在相平面上画出典型的轨线(f)通过图形分解解释你所预测的结果,你认为该模型是否真实为什么11.
3研究课题1.
完成UMAP教学要求的单元:MartinEisen,"生物学中一些查分方程的图形分析(GraphicalAnalysisofsomeDifferenceEquationsinBiology),"UMAP553.
用查分方程对多种生物种群的增长建立模型.
本模块用图形方法预测某些方程解的性质2.
就本节所列的进一步的阅读材料中选一篇May等人的论文,并写出综述4811.
4习题1.
验证函数(11-23)满足微分方程(11-22)(a)从方程(11-29)解出y,并把结果带入模型(11-27)中的微分方程/dxdtgxy=中(b)对(a)小题中得到的微分方程分离变量并用部分分式积分给出方程(11-31)确定的战斗力水平.
2.
在Lanchester基本战斗力模型(11-26)中,假设两支部队的效能是一样的,故a>b,Y部队最初有50000个士兵,X部队的士兵在地理位置上分成40000人和30000两部分.
利用基本模型与结果(11-20)证明:如果Y部队的指挥官与X的两部分部队分别作战的话,他将会获得一场平局.
3.
设X表示一支游击队,Y表示一支正规部队,自治方程组dxgxydtdybxdt==是关于正规---游击部队战斗的Lanchestrian模型,其中没有运作失误,也没有援车(a)讨论评判这个模型所需的假设和相关关系,这个模型合理吗(b)解这个微分方程组,并给出抛物线律22gybxM=+其中2002Mgybx=(c)正规部队要获胜的话,初始战斗力水平0x和0y必须满足什么条件如果Y部队确实赢了,那么它能剩下多少人4.
(a)假设方程组(11-26)中的单个武器磨损率a和b与时间无关,讨论子模型yyarp=和xxbrp=,其中yr和xr分别是Y部队和X部队的射击率(每个战士每天的射击数)yp和xp分别是每次射击消灭一个对手的概率.
(b)你怎样建立模型(11-27)中的磨损率系数g和h模型把方程组看成是对游击队之间的战斗进行建模会有所帮助.
5.
在军备竞赛模型(11-36)中,假设an-bmf(a,b),同时也存在定义域内的点使f(x,y)在闭区域上求以下函数的绝对极值32(,)483224fxyxyxy=方形区域01,01xy≤≤≤≤5某公司每天制造x个落地灯和y个台灯,制造和销售这些灯得到的利润(美圆)为22(,)1820.
050.
030.
02100pxyxyxyxy求每天每种灯的生产数量使公司利润最大6设x和y分别表示劳动力和资金的数量,生产的产品件数为2323(,)0.
540.
021.
890.
09Qxyxxyy=+求x和y的值,使Q最大.
7生产一件A产品的总成本为3美圆,而B产品为2美圆,如果x和y分别表示产品A,B的零售价格,市场研究表明:27507002002400150800ABQxyQxy=+=+是每种产品每天销售出的数量,请用函数P(x,y)表示每日的利润,并求最大利润.
8某发电公司对居民和商业用电应用不同的收费费率(你可以考虑下这么做的原因),发电的成本对不同的用户用电量来说是一样的,等于1000美圆的固定成本,加上每单位用量200美圆.
如果居民拥护使用了x个单位的电量,他们对每个单位的用电量付费P=1200-2x美圆,另一方面,如果商业用户使用了y个单位的电量,他们对每个单位的用电量付费q=1000-y美圆,为了使利润最大,发电公司对每种用户的用电应该如何定价最大利润是多少12.
2研究课题1使用本节中讨论过的乘子技术1kkλδλ+=,写一个执行最速上升梯度算法的计算机代码,用你的代码解本节中的1,5,6,72写一个执行最速上升梯度算法的计算机代码,使用7,6节中讨论过的黄金分割法最大化函数:kkgfxfxλλ=+从而的到每步的kλλ=,再按照式(12-4)确定新的点11(,)kkxy++用你的代码解本节中的习题6.
712.
3习题1假设储存能力为25立方英尺,再次求解石油公司的问题,并将这一结果与我们多估计的结果进行比较.
2当表面积限定为500平方英尺,半径限定为9英尺时,再次求解水箱的问题.
用Lagrange乘子法求解习题3~63求曲面2221xyz+=到原点的最小距离.
4求三个数,使它们和为9,而平方和尽可能小.
5求如下椭圆形轨道上的最热点2224416xyz++=其中温度函数为:2(,,)8416600Txyzxyzz=++536最小二乘平面.
给定四个点(,,)kkkxyz如下;(0,0,0),(0,1,1),(1,1,1),(1,0,-1),如果这些点应该在平面z=Ax+By+C上,求A,B,C的值使以下的误差平方和尽可能小:421()kkkkAxByCz=++∑7假设公司新进了储存能力为30立方英尺的第二储存容器,再次求解石油公司的问题(提示:你可能需要用四个决策变量ijx来建模,分别表示第i类石油储存在第j台容器中的数量)12.
3研究课题1"Lagrange乘子与多级火箭的设计"AnthonyL.
Peressini,UMAP教学单元517.
用Lagrange乘子法计算多级火箭的最小总质量,使该火箭能将指定的有效载荷送入地球上空指定高度的预测轨道.
需求读者熟悉多变量函数极小化的基本技巧.
Lagrange乘子法以及线性动量和动量守恒的概念.
2"Lagrange乘子法在经济学中的应用"ChristopherH.
Nevison,UMAP教学单元270.
Lagrange乘子法被解释为效用函数的边际变化率,需要读者具备微积分和Lagrange乘子的知识.
3研究Lagrange乘子的充分必要条件,并准备一份10分钟的讲稿.
12.
4习题1.
假设环境的供养能力为N,原则上是由食物的供应量决定的,在这样的假设下,当N越来越接近uN时,鱼生存的平均物理条件会随着食物供应的激烈竞争而越来越坏,当自然灾害(如暴风,严冬或类是的情形)进一步限制了食物的供应时,物种生存的状况会如何自然资源保护主义者希望维持的种群水平是多少2在1981和1982年的美国佛罗里达湿地,鹿群的数量很大,虽然鹿群资源很丰富,但他们出于饥饿的边缘,为了使得鹿群便的稀疏,发布了狩猎许可证,这一行为激怒了部分环境学家和自然资源保护主义者.
根据种群的增长子模型和种群的数量子模型,请解释鹿群的饥饿状态和以及允许狩猎的目的.
3请说明对于许多物种来说,最小的种群数量对于物种的生存来说是必须的.
记者个最小的生存数量为sN,请给出一格满足图12-19中的要求的简单的三次增长模型,并用你的图形子模型回答习题1中问题.
4假设ulNN<,就捕猎该鱼种的可行性而言,这个不等式暗示了什么请给出一些例子.
习题5,6与渔猎规则有关5在本杰所建立的模型中,一个关键的假定是,对可持续的产量来说,捕捞率等于增长率,在图12-16和12-29的在生产子模型中,如果当前的种群水平是已知的,对增长率进行估计是有可能的.
这一知识的含义是,如果根据所估计的增长率设定每个季节的捕捞限额,那么鱼群的规模就可以按照我们的愿望维持不变,增加或减少.
这一限额系统也许可以通过如下方式实现:让每个渔猎企业每天上报他们的捕捞量,当达到限额时就停止本季度的渔猎活动.
请讨论在这种情形下,建立足够精确的再生产模型的困难在什么地方如何估计种群水平如果所设定的限额年年发生变化,由什么不足之处讨论在实际实施这一措施时的政治上的困难.
6在一个自由的企业系统里从事渔业管理的一个困难是:过量的投资可能会导致过量的生产能力.
这种情况在1970年的秘鲁凤尾鱼的生产中就发生过,捕捞和加工能力在不到3个月的时间就达到了凤尾鱼的最大增长率.
如果达到限额时就停滞本季度的54渔猎活动,不足之处在于过多的生产能力将会闲置起来,这从政治上和经济上来说都不能让人满意.
另一种方法是采取某种方式控制生产能力.
请你给出一些控制生产能力的恶措施,在实施这些措施(如对商业渔猎牌照的颁发数量进行限制)的时候,会有一些什么样的困难习题7-9与税收有关7图12-13说明市场的力量倾向于将种群数量"驱赶"到LN,请用该图说明,如何用税收和补贴方法控制LN的位置,税收和补贴的形式应该是怎样的(提示:渔民的成本是他所付出的各种税赋)将你的想法用到鲸鱼捕捞上.
8从理论的角度来看,税收方法是很吸引人的,因为通过设计合理的税收政策可以达到期望的目标,而且这种方式是通过正常的市场力量,而不是其他人的方式(如对商业渔猎牌照的数量进行限制)假定当前与群水平是bN而且你希望在捕捞量为()bgN时维持这一水平,应该如何确定捕获的每条鱼的税赋,使,LbpNNN一致(提示:考虑(12-8)式以及bpNN=的条件)9本节中的所有模型均假定价格是常数,假设这一假定在现实中对某些种类的鱼捕成立,你如何改变假设条件如何确定大致的税赋水平