矩阵q吧大杂烩

Vol.
35(2015)1\)0.
5数学杂志Jof1\1爪h.
(PHC)矩阵方程AX13十CXTD二E自反最佳逼近解的迭代算法杨家稳1.
JtJ\合明2(l.
除川职业技术学院基础部安徽称州239000)(2问沟大学理学院,江苏南京21009B)摘要:本文研究了Sylvester矩阵方程AXB+CXTD=E自反(或反自反)最佳逼近解利用所捉I:H的共税方向法的迭代算法,获得了一个结果不论矩!
埠方程AXB+CXTD=E是否相容'对于任给初始自反(或反自反)矩阵X1,在有限法代步内该算法者j~能够计算11:该矩|埠方程的自反(成反自反):最佳逼近解最后,二二个数值例子验证了该算法是有效性的.
关键词Sylvester矩|埠方程Kronecker积1共!
\方向法;最佳逼近解,自反矩阵MR(2010)主题分类号15B57中图分类号024l.
5文献标识码A文章编号0255-7797(2015)05-1275-121引言首先介绍文中的符号~mxn表示mxη阶实矩阵的集合,1表示单位矩阵'AT表示矩阵A的转置,A②B表示矩阵A与矩阵B的Kronecker积.
(A,B)=trace(BTA),IIAII表示矩阵A的Frobenius范数,IIAI12二(A,A),11α112表示向量α的2范数,11αII~二(αα)若p2=1且pT=P,则称实矩阵P是反射矩阵.
若A=PAP(~A=-PAP),则称矩阵A为关于反射P的自反(或反自反)矩阵记Rrnxn(p)={AεRnxnlPAP=A}若vec(XT)=Q(m,η)vec(X),其中XξRmx口7则称Q(m,η)为置换矩阵7且Q(m,n)=Q(n,m)T=Q仰,m)l矩阵A二(αη)εRmxn的拉伸算子vec(-)为Tvec(A)=[α11,α21αm1,α山α岛,αm2,'",α1n,α2n,'.
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,αrnn]1,\7f(X)表示f(X)关于X的梯度算子7即Vf(X)=(tt7￡z)气的(X)为Hessian矩阵7其中X=(Xij)εRmxn.
我们知道关于反射矩阵的自反矩阵或反自反矩阵在系统与控制理论、工程、科学计算和其他领域都有广泛的应用[1-2]近年来,Sylvester矩阵方程AXB+CXTD=E是计算数学研究的热点之一7并且取得很多成果.
若矩阵方程相容,文献[3]利用Moore-Penrose广义给出了AX+XTC=B解的表达式,文献[4-5]用其牺梯度迭代算法给出矩阵方程AXB+CXTD=E极小范数最小二乘解,2011年文献[6]给出了XA+AXT=O的A般解72012年文献[7]给出AXB+CXTD=E的可解性文献[8]给出求解方程A]X1B1=c,*451:稿日期:2013-06自12接收日期:2013-07-30基金项目:安徽高校省级自然科学基金资助(KJ2011B1l9)作者简介:杨家稳(1972-),男安徽i除外1,副教授硕士,主要研究方向优化算法1271jι\'ul.
:3月112X:2β1二JJ1'1j,{;\η"I'YfjJf'/A)(l3十cx'If),,-E1'j)乏lilil":jùi.
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首先给I:lif面」些走到定理1设F(X)=IIE-AXB-CXTDI12,R二E-AXB-CXTD,其IjlXι町xl(p),则所以(i)存在X*ε叫Xl(p)使得\7F(X~)=0,H\7F(X)二-2V8C(ATRBT+DRTC),(ii)飞72F(X)/'.
l半jE定矩阵.
证(i)令V8C(XT)二Q(l,月vcc(X),A]=BT臼A+(Jf1'ωC)Q(Z,l),F(X)\7F(X)IIE-AXB-CXTDI12=IIV8C(E-AXB-CXTD)II~IIV8C(E)-vec(AXB-CXTD)II~Ilv配(E)-[BT@A+(])T(C)Q(l,l)]vec(X)II~(v8c(E)-A1vec(X),vec(E)-A1v8C(X))[vec(E)fvcc(E)-2[vec(X)]TA1Tvec(E)十[vec(X)]TA]TA1vec(X),2A1TA1V8C(X)-2A1Tvec(E)=2[A1TA1vec(X)-A1Tvec(E)]2vec(ATRBT+DRTC)显然矩阵方程AlTA1vec(X)-A1Tvec(E)二O是相容的则存在X*巳况~Xl(p)使得A1TA1vec(X*)AITvec(E)=0,即\7F(X*)=0,(ii)因为\7F(X)=2A1TA1vec(X)-2A1Tv8c(E),所以\72F(X)=2A1TA1由于对于任意Y巳况12都有IIA1YI12主O二字(A1Y,A1Y):三0二字yTA1TA1Y三0,所以飞72F(X)为半正走矩阵.
定理2[l1J设SC~n为凸集,f:SC~日口→况在S的内点集intS二次连续可做r若f巳intS为f(x)的驻点,1二L\ixεintS,\72f(,:r)半正定,则f为f(x)在intS上的全局极小点.
定理3若{Xi},{gi}和{d;}是算法产生的序列7贝IJg'ild.
i,X,ε町、Xl(p)(-i=1,2,…),证下面用数学归纳法来证明白,出,X'iE叫刀(P)('i=1,2,"')'当i=1B才所拾的初始矩阵X1巳呢~.
Xl(P),显然g1ε1日~XI(P),d1ξ呢;.
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故gi,di,XiεíR~XI(P)(i=1,2,.
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如果gi手0,则di并0(i=1,2,.
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,s),当i=1时(d1,X*-X1)(只+P1气P,X*-X1)(ATAg1BBT十ATCg1TDBT+DBTglTATC十DDTglCTC,X*-X1)+(ATAg1BBT十ATCg1TDBT+DBTglTATC+DDTgrCTC,P(X本Xr)p)2(ATAg1BBT十ATCgrTDBT十DBTgrTATC十DDTgrCTC,X不-Xr)2(ATAgrBBT+DDTgrCTC,X*-Xr)+2(ATCgrTDBT十DBTgrTATC,X*-Xr)2(ATAgrBBT十DDTgrCTC,X*-Xr)+2(BDTg1CTA+CTAg1BD气(X*-X1f)2(gr,ATA(X*→Xr)BBT十DDT(X*-X1)CTC)+2(gl'DBT(X*-x1fATC+ATC(X不-X1fDBT)2(仇,ATA(X*-Xr)BBT+DDT(X*-Xr)CTC十DBT(X不-Xr)TATC十ATC(X*-x1fDBT)(gr,2(ATRrBT+DRrTC))(gr,ATRrBT十DR1TC)+(gr,ATRrBT+DRrTC)(g1,ATRrBT+DRrTC)+(pgrP,ATRrBT+DR1TC)(g1,ATRrBT十DRrTC)+(gr,P(ATRrBT+DRrTC)P)(gl,ATRrBT+DRrTC+p(ATRrBT+DR1TC)P)IIgrll2.
假设当t二k(s>k主2)时,(dk,X*-Xk)=IIgkll2成立.
当i=k十1时IIgk十1112(dk+1,X*-Xk+1)=(Vk十1+P凡+lP+一一一';}--dk,X*-Xk十r)IIgkll"IIgk十1112(凡十1,X*-Xk+1)十(Vk+r,P(X*-Xk十r)P)+一-T(dkX*一Xk+1)IIgkll"(2(ATAgk十rBBT+ATCgk+1TDBT十DBT如+1TATC十DDTgH1CTC),X*-Xk+1)~().
5杨家仰等:j;JI.
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"J故饨,X*-Xi)=IIgil12成立所以当gi并0时'R并o(i二1,2γ,S),1279定理5若gl和d1是算法产生的,VeC(glT)=Q(l,l)vec(gd=Qvec(gd,如果g1并0,则\7F(XdTvec(dd<0i正\7F(XdTvec(dd=(-2vec(ATR1BT+DR1TC),vec(dd)(2vec(ATR1BT+DR1TC),vec(Pd1P))(2vec(ATR1BT+DR1TC),(P(P)vec(dd)一(vec[(ATR1BT+DR1TC)+P(ATR1BT+DR1TC)p],vec(dd)一(vec(gd,(I+P(P)vec(ATAg1BBT+ATCg1TDBT+DBTg1TATC+DDTg1CTC))[vec(gdf(I+P129P)[BT(A+(DT(C)Qf[BT(A+(DT(C)QJvec(gd一{[BT(A+(DT(C)QJ(I+P(P)VeC(g1)}T[BT(A+(DT(C)QJvec(gd{[BT⑧A十(DT③C)QJ2VeC(gl)}T[BT(A+(DT(C)QJvec(gd-211[BT③A十(DT⑧C)QJVeC(g1)11~三O假设11[BT(A+(DT(C)QJVeC(g1)II~二0,则[BT⑧A+(DT②C)QJVeC(g1)=0,从而可得Tvec(dd=(1+P(P)[BT(A+(DT(C)Q]"[BT(A+(DT(C)QJvec(gd=.
因为gl并0,根据定理4可得出并0,这与vec(d1)=0矛盾所以11[BT(A+(DT(C)QJv优(91)II~<0[2:-;01i~.
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9,,11"'fB第-717和第:步可得(gi,gJ=0日(di,dJ=0(i'j=1,2'J并j)成主定理7右:\fX1ξ况~xl(P),其中Pε32:*IJEIB义自反矩15年算法能在有限法代步内得到问题I的自反解.
证假设.
9i并O(i=1,2,'",[2),由定理4可知,di并0(i=1,2、…,[2),因此根据算法能够计算出X12+1和gl2十1.
由定理6可得(.
IJi,g[2+1)=0(i=1,2,'"Y)和(9i,9j)=007j=1727…,l2,i并j)因为{gl'g2gI2}是矩阵空间132:"的正交基7所以gl2十1=0,即可推导出\7F(XI2+d=o.
由定理1定理3可得,Xp十1为问题I的自反解.
定理8[12J假设最小剩余问题IIMx-bl12=min有解x*ER(MT),则f是该剩余问题的极小范数最小二乘解.
定理9在所给算法中『如果取初始矩阵X1二~(ATNBT+DNTC)+~P(ATNBT十DNTC)P,其中Nε~mxη'特别取X1=0,算法能够在有限选代步内获得问题I的极小范数最小二乘自反解.
证如果取初始矩阵X1二~(ATNBT十DNTC)+~P(ATNBT+DNTC)P,出定理7可知'算法能在有限迭代步内得到问题I的自反解X\且X*能表示成X*=~(AT片BT+DTC)十lp(ATlVBT十DTC)P2记vec(XT)=Qvec(X),其中Xε~lxlF面将证明X*是问题I的极小范数最小二乘自反解:同切IIE-(AXB+CXTD)11XEiRγ'(P)ZRP)llE-j(AXB+CXTD)一~(川肌CPXTPD)//J(P)llwc(E)一jtjec[(AXB十CXTD)+(川肌CPXTpD)]//2Jλm机飞引叽h导飞儿(但川P刊)/1←←l卡卡←刊附e创C冉;{hA斟+川ω+叫⑧叫(A♂P川V陀ec(X)川川l川12若Nε~mxn,则vec(X*)=vecd(ATltBT十DTC)+~P(ATBT+DTC)P]2~{BTQ9A十(DT⑧C)Q+(BTP)Q9(AP)+[(DTP)(mε究町叫(生i{BT②川A斟叫+刊(DT②M叫C仍)Q←Q+(川(BT内叫T叩呐P刊)③叫(A川川P刊)+[(DTP)⑧(川Q创旷)γT飞)No.
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5杨家在1等知JI年/if:LAXD十CXTJ)=Ei'J)豆iJ注付:JiJJlifi悍的J主代~;~,~λ12Kl1I企业ilí:z初始女fi问~X]=~(ATNBT+DNTC)+1P(A7八T!
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8可得j算沾获得的l'-j)豆制~X来就是l)乏的根小范数最小-乘角丰田村'I"'JI也I的解集8x)才11二字'集'X是ìíJí给的j国后如!
阵.
Jt1jl豆ιjRYl(PL则吧怦IIE-AXB--CXTDIICE~~,^'(P)Jih)|i(E-A归cxTD)-A(X-X)B-C(X-X叫|令X=X-X及E=E-AXB-CXTD,那么最佳逼近问题II就等价j先求(2.
2)式的自反极小范数最小二乘解.
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切II-A主B-CXTDIIXξ况~^'(P)(2.
2)由算法可得(2.
2)式的自反极小范数最小二乘解X飞从而H算出问题I和II的自反最佳逼近解X=;卡+X.
3数值例子本节用三个数值例子来验证上述算法的可行性.
第-_.
-个例子是当矩阵方程AXB十CXTD二E有自反解且逼近矩阵为零矩阵时.
求该方程的自反最佳逼近解:第二个例子是当矩阵方程AXB+CXTD=E不相容且逼j丘吉1巨阵为零矩I车时7求L衷方程的自反最佳逼近解;最后一个例子是当矩阵方程AXB+CXTD=E有自反解且逼近矩阵为非零矩阵时求AXB+CXTD=E的自反最佳逼近解.
用Matlab2007R进行仿真模拟,取初始自反矩阵X1=0例1考虑下面最小剩余问题·IIE-AXB-CXTDII=min,(3.
1)其中52-64516-7813-5433-62981-2I,B=-14872l'24-3一7115-2-69446-2一12-43-273-1OOOO29一711132、),D=61-252OOOO-675843139x=OOO.
G~l-~3'245一5-3246OOOO-62623-611-11O.
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00004.
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0000相应的余项R29二IIE-AX29B-CX2gTDII=4.
2299()12,相对误差629=IIX29-XII/IIXII=7.
8262e-015吨其中[.
;-标是迭代步数.
例2仍考虑(3.
1)式的最小剩余问题,A,B,C,D,P和X同例1,1-2060-1543E=1261-271一.
I-119-524飞5631059州703门227臼271838-742-1683796\、-t』ttttt』tF/''问Mm∞卫K6附『:4-一可以验证该方程AXB十CXTD=E不相容,利用算法得到1.
00093.
0041-3.
9952-8.
00702.
02781.
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05961.
944212.
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00411.
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4肌0124结论本文利用其辄方向法思想,提出了求矩阵方程AXB十CXTD=E自反最佳逼近解的一个迭代算法.
无论AXB+CXTD=E是否相容任取一个初始自反矩阵X1,所给的算法都能够在有限迭代步内获得其自反最佳逼近解三个数值例子的结果表明该算法是可行性的参考文献[1]Chen'Hsin-Chu.
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α'h山阳uz劝hoω包239ω00ω0,Chinηα叫)(2.
College0/Science,HohaiUnivers句,Nanjing210098,China)Abstract:Inthispaper,westudytheoptimalapproximationsolutinoftheSylvestermatrixequationsAXB+CXTDEoverreflexive(anti-reflexive)matrices.
Byusingtheproposedconjugatedirectionmethod,wegetaresultthatwhatevermatrixequationsAXB+CXTD=Eareconsistentornot,forarbitraryinitialreflexive(anti-reflexive)matrixX1,thereflexive(anti-refìexive)optimalapproximationsolutioncanbeobtainedwi扰t址由hin负岛finit怡巳iterations剖tep归sin1theabsenceofround-offerrors.
The巳ffe臼ctiv巴nessoftheproposedalgorithm丑11Sven且巳dbythreenumericalexamples.
Keywords:syl飞restermatrixequatio口日Kroneckerproduct;conjugatedirectionmethod;optimalapproximationsolution;refìexivematrix2000MRSubjectClassification:15B57