单元网格计算

有限元法雷晓燕编著中国铁道出版社2000年·北京(京)新登字063号内容简介本书介绍了有限元法的基本概念和原理,讨论了弹性力学平面问题、空间问题、薄板弯曲、壳体问题、结构动力学问题的各种单元,以及求解塑性、弹塑性耦合、应变软化、粘塑性和蠕变问题的有限元法.
本书还介绍了当前国内外通用的大型有限元程序系统.
最后给出了平面问题有限元计算程序FEMTWO的使用说明、算例及源程序,可用于教学.
本书可作为工科院校非力学专业本科生及研究生的教材,也可作为工程技术人员和教师的参考书.
图书在版编目(CIP)数据有限元法/雷晓燕编著.
-北京:中国铁道出版社,2000.
10ISBN7-113-03823-9Ⅰ.
有…Ⅱ.
雷…Ⅲ.
有限元法Ⅳ.
0241.
82中国版本图书馆CIP数据核字(2000)第39165号书名:有限元法作者:雷晓燕出版发行:中国铁道出版社(100054,北京市宣武区右安门西街8号)责任编辑:江新锡封面设计:马利印刷:中国铁道出版社印刷厂开本:850*11681/32印张:10.
25字数:262千版本:2000年10月第1版2000年10月第1次印刷印数:1~1000册书号:ISBN7-113-03823-9/O·77定价:25.
00元版权所有盗印必究凡购买铁道版的图书,如有缺页、倒页、脱页者,请与本社发行部调换.
FINITEELEMENTMETHODXiaoyanLeiDepartmentofCivilEngineering,EastChinaJiaotongUniversity,330013,Nanchang,P.
R.
CHINAChinaRailwayPublishingHouse2000BeijingChinaRailwayPublishingHouseAllrightsreserued.
Nopartofthispublicationmaybereproduced,storedinaretrievalsystemortransmittedbyanymeans,electronic,mechanical,photocopyingorotherwisewithoutthepriorpermissionofthepublisher.
FirstpublishedinOctober2000byChinaRailwayPublishingHouse(100054,8,You′anmenWeststreet,XuanwuDistrict,Beijing,P.
R.
China)ISBN:7-113-03823-9/O·77ExecutiveEditor:XinxiJiangRMB:25.
00Yuan前言有限元技术的巨大进展同计算机硬件和软件的迅速发展相结合,为通用有限元程序的研制提供了一个广阔的基础.
科学家经过多年的开发工作,目前已有大量有限元程序问世.
有限元法已广泛地应用于研究、生产和设计单位,成为解决工程实践中各种复杂问题必不可少的工具.
到80年代中期,大约有500个面向用户及几千个面向研究的有限元程序系统.
前、后处理软件包超过200个.
全世界估计有20000多个有限元用户,他们每年大约花费5亿美元,用于有限元分析.
有限元法仍在发展和完善之中,未来的几年对有限元分析来说是激动人心的.
如今,《有限元法》已成为工科大学本科和研究生的必修课,且出版了相应的教科书.
但作者在长期的教学实践中感到,目前的教材要么太深太专业化以致使学生望而生畏,要么过于简单而不能解渴.
为非力学专业高年级本科生和研究生提供深度适中的教科书正是作者编写本书的目的.
在阐述有限元法的基本概念和原理时尽量采用熟知的力学方法,而避免深奥的数学推导.
但书中对收敛性、Wilson非协调元、剪切锁死、零能模式、弹塑性耦合、应变软化和粘塑性等一些深层次的问题也作了较详细的讨论.
书中各章末尾附有大量习题,这是本·1·书的另一特色.
本书内容包括有限元法的基本概念和原理,弹性力学平面问题,空间问题,薄板弯曲,壳体,结构动力学,塑性,弹塑性耦合,应变软化,粘塑性和蠕变问题的有限元法.
本书还介绍了当前国内外通用的大型有限元程序系统.
最后给出了平面问题有限元计算程序FEMTWO的使用说明、算例及源程序,可用于教学.
全书内容约需60学时,如删除"壳体问题"和"非线性有限元法"中的部分内容作为本科教学,则需48学时.
本书可作为工科院校非力学专业本科生及研究生的教材,也可作为工程技术人员和教师的参考书.
书中内容取材力求新颖、适中、联系实际.
希望能给读者一些启发.
尽管如此,限于作者水平,错误和不当之处还请读者批评指正.
雷晓燕2000.
1·2·PrefaceThegreatprogressoffiniteelementtechnologyhasgonealongwiththerapiddevelopmentofcomputerhardwareandsoftware,whichoffersawidefieldfortheresearchofauniversalfiniteelementprogram.
Aftermanyyearsofdevelopment,alargenumberoffiniteelementprogramshavebeenmade.
Thefiniteelementmethodhasbeenwidelyappliedinthefieldsofresearch,constructionanddesignandhasbecomeanecessarytooltosolvecomplicatedproblemsinen-gineeringpractice.
Uptothemid1980s,therewereabout500fi-niteelementprogramsystemsservingusers,andthousandsservingresearch.
Theydealtwithmorethan200packagesofpriorandpostprocessing.
Byestimate,thereareabout20,000usersoffiniteele-ment,whospendabout500millionUSdollarseachyearinfiniteel-ementanalyses.
Finiteelementmethodisstillunderdevelopmentandimprovement.
Itwillbeexcitingforfiniteelementanalysesinfutureyears.
Now"FiniteElementMethod"hasbecomearequiredcourseforundergraduateandpostgraduatestudentsintheuniversi-tiesoftechnology.
Sometextbookshavebeenpublishedaswell.
Butfrommanyyearsofteaching,theauthorthinksthatpresentteach-ingmaterialsareeithertooabstruseforstudentstounderstand,ortoosimpletosatisfystudents'needs.
Themainpurposeofcompilingthisbookistoprovideapropertextbookforseniorundergraduateandpostgraduatestudentswhosemajorsarenotmechanics.
Toachievethis,theauthoradoptswellknownmechanicalmethodsinexplainingthegeneralconceptsandprinciplesoffiniteelementmethod,andavoidsabstrusemathematicalreasoning.
However,·1·somedifficultpointssuchasconvergence,Wilsonnon-consistentelement,shearlocking,zeroenergymode,couplingofelasticityandplasticity,strainsoftening,andvisco-plasticityhavebeendis-cussedcomprehensivelyinthistreatise.
Therearemanyexercisesattheendofeachchapter,whichisanotherdistinguishingfeature.
Thisbookincludesthesecontents:thegeneralconceptsandprinciplesoffiniteelementmethod,planeproblemofelasticityme-chanics,spatialproblem,thinplatewithbending,shell,structuraldynamics,plasticity,couplingofelasticityandplasticity,strainsoftening,visco-plasticityandfiniteelementmethodofcreepprob-lem.
Italsointroduceslargefiniteelementprogramsystems,whicharebeingusedcurrentlyathomeandabroad.
Attheend,thebookgivesinstructionsoffiniteelementprogramFEMTWOforplaneproblems,calculatingexamplesandsourceprograms,whichcanbeusedinteaching.
Itneedsabout60classhoursforteachingthewholecontents.
Ifdeletingpartofthecontentfrom"ShellProb-lem"and"Non-linearfiniteelementmethod"forundergraduateteachingonly,itneeds48classhours.
Thebookcanbeusedasatextbookforundergraduateandpost-graduatestudentsmajoringinengineeringintheuniversitiesandcol-legesoftechnology.
Engineers,techniciansandteacherscanalsouseitasareferencebook.
Theauthortriestoadoptnewandappropriatematerialscon-nectedwithpracticeforthebook,hopingtogivesomeinspirationtoreaders.
Evenso,beingduetoauthor'slimitation's,theauthorwelcomecriticalcomments.
XiaoyanLeiJanuary.
1,2000·2·目录第一章有限元法的基本概念11.
1引言11.
2弹性力学基本量和基本方程的矩阵表示2……………1.
3平面问题3结点三角形单元71.
4变温应力的计算211.
5有限元解的收敛性和误差估计23习题28第二章平面问题的较精密单元302.
1面积坐标302.
2确定插值函数的几何方法342.
36结点三角形单元402.
44结点矩形单元492.
5等参数单元572.
6等参数单元的数学分析632.
7等参数单元的力学分析672.
8Wilson非协调元712.
9高斯积分法752.
10等参数单元计算中数值积分阶次的选择81…………习题86第三章空间问题及轴对称问题903.
1四面体单元903.
2空间等参数单元973.
3轴对称问题107习题121·1·第四章薄板弯曲问题1234.
1薄板弯曲理论1234.
2基于薄板理论的非协调板单元127……………………4.
3位移和转动分别独立插值的板单元139………………习题145第五章壳体问题1465.
1平板单元1465.
2超参数壳体单元157习题166第六章结构动力学问题1676.
1动力问题有限元法的基本概念167……………………6.
2质量矩阵和阻尼矩阵1716.
3直接积分法1746.
4振型叠加法1826.
5解的稳定性190习题195第七章非线性有限元法1967.
1非线性有限元方程组的解法1967.
2塑性问题2017.
3弹塑性耦合与应变软化2127.
4粘塑性蠕变问题2167.
5算例221习题223第八章有限元软件系统概述2258.
1引言225·2·8.
2评价有限元程序的因素2258.
3大型有限元程序系统介绍226第九章平面问题有限元计算程序FEMTWO252………………9.
1平面问题有限元计算程序TWO使用说明252………9.
2算例256附录:平面问题有限元计算源程序FEMTWO.
FOR269…………内容索引303参考文献309·3·ContentsChapter1.
Elementaryconceptsoffiniteelementmethod1……1.
1Introduction11.
2Matrixexpressionsforbasicvariablesandelementaryequationsofelasticitymechanics2…………1.
3Triangularelementsofplaneproblemswith3nodes71.
4Computationofstressesresultedfromtemperaturechanging211.
5Convergenceanderrorestimationoffiniteelementsolutions23Exercises28Chapter2.
Moreaccurateelementsofplaneproblems30………2.
1Areacoordinates302.
2Geometricschemeofdetermininginterpolationfunctions342.
3Triangularelementswith6nodes40…………………2.
4Rectangularelementswith4nodes49…………………2.
5Isoparametricelements572.
6Mathematicsanalysesofisoparametricelements63……2.
7Mechanicsanalysesofisoparametricelements67………2.
8Wilsonnon-consistentelement71……………………2.
9Gaussintegration752.
10Determiningorderofnumericalintegrationincomputationofisoparametricelements81……………Exercises86·4·Chapter3.
Spatialandaxisymmetricproblems90………………3.
1Tetrahedralelements903.
2Spatialisoparametricelements973.
3Axisymmetricproblem107Exercises121Chapter4.
Problemofthinplatesinbending123………………4.
1Theoryofthinplatesinbending123…………………4.
2Non-consistentplateelementsbasedontheoryofthinplates1274.
3Plateelementswithindependentlyinterpolatingdisplacementandrotation139Exercises145Chapter5.
Shellproblem1465.
1Elementsofplaneplates1465.
2Superparametricshellelements157……………………Exercises166Chapter6.
Structuraldynamicsproblem167……………………6.
1Elementaryconceptsoffiniteelementmethodofdynamicproblems1676.
2Massmatrixanddampingmatrix171…………………6.
3Directintegrationformulation1746.
4Modalsuperpositionformulation182……………………6.
5Stabilityofsolutions190Exercises195Chapter7.
Nonlinearfiniteelementmethod196…………………7.
1Algorithmofsolvingnonlinearfiniteelementequations1967.
2Plasticproblems2017.
3Couplingofelasticitywithplasticityandstrainsoftening212·5·7.
4Viscoplasticandcreepproblems216……………………7.
5Examples221Exercises223Chapter8.
Layoutofsoftwaresystemoffiniteelements225……8.
1Introduction2258.
2Evaluationoffactorsonfiniteelementprograms225……8.
3Introductionoflargerfiniteelementprograms226……Chapter9.
FiniteelementprogramFEMTWOforplaneproblems2529.
1InstructionsoffiniteelementprogramTWOforplaneproblems2529.
2Examples256Appendix:SourcefileoffiniteelementprogramFEMTWOforplaneproblems269SubjectIndex303References309·6·主要符号ae单元结点位移向量a,a,¨a系统结点位移、速度和加速度向量p体力向量B应变矩阵c(k)粘性系数C系统阻尼矩阵dε,dεe,dεp,dεvp应变增量、弹性应变增量、塑性应变增量、粘塑性应变增量dσ应力增量D,Dep,Dp弹性矩阵、弹塑性矩阵、塑性矩阵E弹性模量Et切线模量f=-Q系统结点荷载向量f(ε,εp,wp)应变空间屈服函数F(σ,εp,κ)屈服函数Fe单元结点力向量G剪切模量H′=dσsdεp塑性模量i迭代步珒i,珒j,珗k笛卡尔坐标系单位向量I单位矩阵J2第二应力不变量J3第三应力不变量ke单元刚度矩阵·1·K系统总刚度矩阵KT切线刚度矩阵li,mi,ni方向余弦分量m荷载增量步M系统总质量矩阵N插值函数矩阵珔p面力向量Q塑性势函数Qe单元结点荷载向量Q系统结点荷载向量sx,sy,sz偏应力分量T转换矩阵u,v,w位移分量u单元内任意一点的位移向量wp塑性功x,y,z笛卡尔坐标系x域内任一点坐标向量λ坐标转换矩阵Г边界Δa,Δε,Δσ增量位移、增量应变、增量应力向量Δtcrit临界时间步长Δtm=tm+1-tm时间增量珋εp等效塑性应变εe单元应变向量ε,εc,εe,εvp应变率、蠕变应变率、弹性应变率、粘塑性应变率向量θ(0θ1)欧拉法系数κ硬化参数ξ,η,ζ局部坐标系П系统总位能·2·ρ质量密度σm=13(σx+σy+σz)平均应力σs材料单向屈服应力珋σ有效应力σ0初应力向量σe单元应力向量σ应力率μ泊松比φ(κ)内摩擦角i固有振型向量Φ固有振型矩阵ψ有限元方程误差向量Ω域内·3·第一章有限元法的基本概念1.
1引言在工程际问题抽象成它们应遵循的基本方程(常微分方程或偏微分方程)和相应的边界条件.
对于大多数的工程技术问题,由于物体的几何形状和载荷作用方式是很复杂的,除了少数方程性质比较简单、且几何边界相当规则的少数问题之外,试图按经典的弹性力学和塑性力学方法获得解析解是十分困难的,甚至是不可能的.
为了克服这种困难,有两条解决途径:一是引入简化假设,将方程和边界条件简化为能够处理的问题,从而得到它在简化状态下的解答.
这种方法只在有限的情况下是可行的,因为过多的简化将可能导致不正确的甚至错误的解答.
另一条解决途径就是数值解法,如有限差分法,边界元法,有限元法和离散元法等.
对于非线性问题,有限元法更为有效,且已经出现了许多通用程序.
有限单元法的理论基础是变分原理.
最常用的变分原理有最小势能原理、最小余能原理和混合变分原理.
采用不同的变分原理,将得到不同的未知场变量.
当采用最小势能原理时,必须假设单元内位移场函数的形式.
这种以位移作为基本未知量的分析方法称作位移法.
当采用最小余能原理时,必须假设应力场的形式.
这种方法称为应力法.
当采用混合变分原理,例如基于Hellinger-Reissner变分原理的混合板单元,就必须同时假设某些位移和某些应力,因而这种方法称为混合法.
当用有限元法处理瞬态问题时,常用的变分原理是Hamilton原理.
进行静力分析时,对大多数问题,应用位移法较简单.
因此,这种方法得到了广泛的应用.
·4·有限单元法处理弹性力学问题的基本思路是:(1)离散化将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体.
单元之间只在结点上互相联系,亦即只有结点才能传递力.
(2)单元分析根据弹性力学的基本方程和变分原理建立单元结点力和结点位移之间的关系.
(3)整体分析根据结点力的平衡条件建立有限元方程、引入边界条件、解线性方程组以及计算单元应力.
有限元法的主要优点是:①概念浅显,易于掌握,既可以从直观的物理模型来理解,也可以按严格的数学逻辑来研究;②适应性强,应用范围广,不仅能成功地分析具有复杂边界条件、非线性、非均质材料、动力学等难题,而且还可以推广到解答数学方程中的其它边值问题,如热传导、电磁场、流体力学等问题;③已经出现了许多大型结构分析通用程序,如SAP,NASTRAN,ASKA,ADINA,ANSYS,ABAQUS等,可以直接应用.
这些优点,使有限单元法得到了广泛的应用和发展.
1.
2弹性力学基本量和基本方程的矩阵表示弹性体在载荷作用下,体内任意一点的应力状态可用应力分量来表示,用向量的形式可写成[6]平面问题:σ={σxσyτxy}T轴对称问题:σ={σrσzτrzσθ}T空间问题:σ={σxσyσzτyzτzxτxy}T弹性体在载荷作用下,还将产生位移和变形,即弹性体位置的移动和形状的改变.
弹性体内任一点的位移可由沿坐标轴方向的位移分量来表示.
它的向量形式是平面问题:u={uv}T轴对称问题:u={uw}T空间问题:u={uvw}T弹性体内任意一点的应变,可以用应变分量来表示.
应变的·5·向量形式是平面问题:ε={εxεyγxy}T轴对称问题:ε={εrεzγrzεθ}T空间问题:ε={εxεyεzγyzγzxγxy}T弹性体的基本方程有平衡方程、几何方程与本构方程,此外还有边界条件.
1.
平衡方程LTσ+p=0在Ω域(1.
1)其中L是微分算子.
平面问题:L=x00yyx(1.
2a)轴对称问题:L=r00zzr1r0(1.
2b)·6·L=x000y000z0zyz0xyx0(1.
2c)p为体积力向量平面问题:p={XY}T轴对称问题:p={XZ}T空间问题:p={XYZ}T2.
几何方程在小位移和小变形的情况下,略去位移导数的高次幂,则应变向量和位移向量间的几何关系有ε=Lu在Ω域(1.
3)3.
本构方程弹性力学中应力—应变之间的转换关系也称本构方程.
对于各向同性的线弹性材料,应力应变关系的矩阵形式为σ=Dε(1.
4)其中平面应力问题:D=E1-μ21μ010对称1-μ2(1.
5a)轴对称问题:·7·D=E(1-μ)(1+μ)(1-2μ)1μ1-μ0μ1-μ10μ1-μ1-2μ2(1-μ)0对称1(1.
5b)空间问题:D=E(1-μ)(1+μ)(1-2μ)·1μ1-μμ1-μ0001μ1-μ00010001-2μ2(1-μ)00对称1-2μ2(1-μ)01-2μ2(1-μ)(1.
5c)D称为弹性矩阵.
本构方程的另一种形式是ε=Cσ(1.
6)其中,C是柔度矩阵.
弹性体Ω的全部边界为Г.
其中在一部分边界上作用着已知的外力,这部分边界称为力的边界,用Гσ表示;另一部分边界上弹性体的位移已知,这部分边界称为位移边界,用Гu表示.
这两部分边界构成弹性体的全部边界,即Гσ+Гu=Г.
4.
面力边界条件设弹性体边界外法线为珗n,其方向余弦为nx,ny,nz,则面力·8·边界条件可表示为珔p=nσ在Гσ上(1.
7)其中,n为方向余弦矩阵平面问题:n=nx0ny0nynx(1.
8a)空间问题:n=nx000nzny0ny0nz0nx00nznynx0(1.
8b)珔p为面力向量珔p={X珡Y珔Z}T5.
位移边界条件已知弹性体边界上的位移为珔u,则用矩阵形式表示的位移边界条件为u=珔u在Гu上(1.
9)6.
虚功方程虚功方程,或位移变分方程,或最小势能原理(等价于平衡微分方程和应力边界条件),反映了物体处处满足静力平衡的要求.
而虚余功方程,或应力变分方程,或最小余能原理(等价于几何微分方程和位移边界条件),它反映了物体处处满足位移连续的要求.
在位移法中,用到的是虚功方程.
虚功方程用矩阵表示的形式为∫ΩδεTσdΩ=∫ΩδuTpdΩ+∫ГσδuT珔pdГ(1.
10)式中Ω———弹性体的内部区域;Гσ———面力已知的边界;δu———虚位移,δu={δuδvδw}Tδε———虚应变δε={δεxδεyδεzδγyzδγzxδγxy}T在有限元法中,常以虚功相等为条件找出一组作用在若干个结点上的等效集中荷载Q去代替体力p和面力珔p的作用,即·9·δaTQ=∫ΩδuTpdΩ+∫ГσδuTpdГ(1.
11)其中δa={δu1δv1δw1δu2δv2δw2…}TQ={X1Y1Z1X2Y2Z2…}T7.
最小位能原理最小位能原理的泛函总位能П采用矩阵表达形式为П=∫Ω12εTσdΩ-∫ΩuTpdΩ-∫ГσuT珔pdГ(1.
12)最小位能原理告诉我们,在所有区域内满足几何关系(1.
3)式,在边界上满足给定位移条件(1.
9)的可能位移中,真实位移使系统的总位能取驻值.
进一步还可证明在所有可能位移中,真实位移使系统的总位能取最小值.
泛函总位能П取驻值的条件是它的一次变分为零,即δП=0(1.
13)1.
3平面问题3结点三角形单元由于三角形单元对复杂边界有较强的适应能力,因此很容易将一个二维域离散成有限个三角形单元,如图1.
1所示.
1.
3.
1单元位移模式及插值函数典型的3结点三角形单元结点编码为i,j,m,以逆时针方向编码为正向.
每个结点有2个位移分量,如图1.
2所示.
ai=uivi(i,j,m)每个单元有6个结点位移,即6个结点自由度.
单元结点位移向量为ae=aiajam={uiviujvjumvm}T·01·图1.
1二维域离散图1.
23结点三角形单元在第1.
2节中已经看到,如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数,就可以用几何方程求得应变分量,从而用本构方程求得应力分量.
但是,如果只是已知弹性体中某几个点(例如结点)位移分量的数值,是不能直接求得应变分量和应力分量的.
因此,为了能用结点位移表示应变和应力,首先必须假定一个位移模式,也就是假定位移分量为坐标的某种简单函数.
3结点三角形单元位移模式选取一次多项式u=α1+α2x+α3yv=α4+α5x+α6y(1.
14)在i,j,m三点,有ui=α1+α2xi+α3yivi=α4+α5xi+α6yiuj=α1+α2xj+α3yjvj=α4+α5xj+α6yjum=α1+α2xm+α3ymvm=α4+α5xm+α6ym运用克来姆法则求解上述线性方程组可求得α1,α2,…α6,再代回(1.
14),整理以后,得u=Niui+Njuj+Nmumv=Nivi+Njvj+Nmvm(1.
15)其中Ni=12A(ai+bix+ciy)(i,j,m)(1.
16)·11·称插值函数,ai,bi,ci为与坐标有关的系数,ai=xjym-xmyjbi=yj-ymci=-xj+xm(i,j,m)(1.
17)A为三角形ijm的面积A=121xiyi1xjyj1xmym插值函数Ni还可写成Ni=1xy1xjyj1xmym1xiyi1xjyj1xmym(i,j,m)从上式可以看出(Ni)i=1,(Ni)j=0,(Ni)m=0(i,j,m)或Ni(P)=δiP=1i=P0i≠P图1.
3插值函数Ni(x,y)的几何意义还可证明Ni+Nj+Nm=1Ni(x,y)的几何意义可从图1.
3看出.
由此容易得到∫∫ANidxdy=A∫ijNids=12lij(1.
14)式的矩阵形式为·21·u=Nae(1.
18)其中,N为插值函数矩阵或形函数矩阵N=Ni0Nj0Nm00Ni0Nj0Nm(1.
19)确定了单元位移后,利用(1.
3)式即可求得单元的应变ε=Lu=LNae=〔BiBjBm〕ae=Bae(1.
20)B为应变矩阵,其分块子矩阵是Bi=12Abi00cicibi(i,j,m)(1.
21)单元应力可以根据本构方程求得,将(1.
20)式代入(1.
4)式中,则有σ=Dε=DBae=sae(1.
22)其中s=DB=D〔BiBjBm〕=〔sisjsm〕(1.
23)s称为应力矩阵.
将平面应力或平面应变的弹性矩阵代入(1.
23),可以得到计算平面应力或平面应变问题的单元应力矩阵.
s的分块矩阵为si=DBi=E02(1-μ20)Abiμ0ciμ0bici1-μ02ci1-μ02bi(i,j,m)(1.
24)其中,E0、μ0为材料常数,对于平面应力问题:E0=Eμ0=μ(1.
25)对于平面应变问题:E0=E1-μ2,μ0=μ1-μ(1.
26)应力矩阵s和应变矩阵B都是常量矩阵,由此而计算出的单·31·元中各点的应力是相同的.
1.
3.
2单元刚度矩阵为了获得单元刚度矩阵,现在来导出用结点位移表示结点力的表达式.
假想在单元ijm中发生了虚位移,相应的结点虚位移为δae,引起的虚应变为δε.
因为每一个单元所受的荷载都已经移置到结点上,所以该单元所受的外力只是结点力Fe,这时虚功方程(1.
10)成为(δae)TFet=∫∫ΩeδεTσtdxdy(1.
27)其中,t为单元厚度.
将(1.
20)、(1.
22)两式代入(1.
27)式,得(δae)TFet=(δae)T∫∫ΩeBTDBtdxdyae由于虚位移可以是任意的,因此有Fe=keae(1.
28)其中ke=∫∫ΩeBTDBtdxdy(1.
29)称为单元刚度矩阵.
它的元素表明该单元的各结点沿坐标方向发生单位位移时引起的结点力.
将应变矩阵B和弹性矩阵D代入(1.
29)式,即得到平面问题3结点三角形单元刚度矩阵,写成分块形式如下ke=kiikijkimkjikjjkjmkmikmjkmm(1.
30)其中krs=∫∫ΩeBTrDBstdxdy=E0t4(1-μ20)A·41·brbs+1-μ02crcsμ0brcs+1-μ02crbsμ0crbs+1-μ02brcscrcs+1-μ02brbs(r=i,j,m;s=i,j,m)(1.
31)单元刚度矩阵具有如下性质:(1)由krs的表达式可见,krs=kTsr;(2)ke为奇异矩阵;(3)ke的元素取决于单元的形状、大小、方位和弹性常数,而与单元的位置无关,即,不随单元或坐标轴的平行移动而改变;(4)平面图形相似的单元,若材料性质和厚度相同,则他们具有相同的单元刚度矩阵.
1.
3.
3单元等效结点荷载由(1.
11)式得到单元等效结点荷载Qe=Qep+Qe珔p(1.
32)其中Qep=∫ΩeNTptdΩ(1.
33)为由体积力而产生的单元等效结点荷载,Qe珔p=∫ГeσNT珔ptdГ(1.
34)为由面力而产生的单元等效结点荷载.
1.
均质等厚单元的自重单元的单位体积重量为ρ,如图1.
4所示.
根据(1.
33)式,现有p={0-ρ}T自重产生的等效结点荷载是Qep=-13ρtA{010101}T(1.
35)2.
单元ij边上沿x方向作用均布荷载,如图1.
5所示.
这时边界上的面力为·51·珔p={q0}T单元等效结点荷载为Qe珔p=12qlt{101000}T(1.
36)其中,l为ij边的长度.
图1.
4三角形单元作用体积力图1.
5ij边上作用均布荷载1.
3.
4整体平衡方程在位移有限元法中,求解结点位移的方程是平衡方程.
为了说明整体平衡方程的建立,现在来考虑图1.
6所示问题上任意一结点i的平衡.
结点i承受由实际荷载转化过来的等效结点荷载Q,其分量为Xi和Yi.
同时,结点i还承受相邻单元施加给它的结点力,用∑eFe表示.
∑e表示对那些环绕结点i的所有单元求和.
结点力Fe的分量为Ui和Vi,它与结点位移间的关系如(1.
28)式.
由结点i的平衡条件,得Xi=∑eUiYi=∑eVi(1.
37)写成矩阵的形式,则有Qi=∑eFei(i=1,2,…,n)(1.
38)其中,n为结点总数.
将(1.
28)式代入(1.
38)中,并集合所有结点的平衡方程,得到Ka=Q(1.
39)·61·其中K=∑ekeQ=∑eQe(1.
40)K为总刚度矩阵.
我们也可利用最小位能原理建立结构的整体平衡方程,为此,将(1.
20)、(1.
22)两式代入(1.
12)式,则有П=12aTKa-aTQ(1.
41)其中K为总刚度矩阵,Q为总结点荷载向量,见式(1.
40),按下式计算Q=∑eQep+∑eQe珔p(1.
42)离散形式的总位能П的未知变量是结构的结点位移a,由(1.
13)式,δП=Пa=0(1.
43)得到Ka=Q图1.
6三结点三角形单元结点i的平衡1.
3.
5引入边界条件结构的计算模型必须是几何不变的,否则结构的位移状态将是不确定的.
因此任一计算模型都含有一定数量的约束,至少含·71·有消除刚体位移的约束.
在位移有限元法中,位移边界条件是强迫边界条件.
通常结构受位移约束的状态有两种:零位移约束和非零位移约束.
对它们的处理方法有所不同,现分述于下:(1)零位移约束设某一结点沿某约束方向位移为零,用am=0表示.
在程序设计时,只要将总刚度矩阵K中与零结点位移相对应的对角元素改为1,其它元素改为0,在荷载列阵中将与零结点位移相对应的元素改为0,即:k11k12…0…k1nk21k22…0…k2n…………00…1…0…………kn1kn2…0…knna1a2…am…an=Q1Q2…0…Qn(1.
44)用这种方法引入零位移约束,不改变原来方程的阶数和结点未知量的顺序.
(2)非零已知位移约束已知某一结点沿某约束方向位移为珔am,即am=珔am.
在程序中只须对第m个方程作如下修改:一是将主对角线元素kmm乘以大数α(α视计算机表示的大数的能力而定,例如α可取1020左右的量级),二是将Qm用αkmm珔am值取代,即k11k12…k1nk21k22…k2n………km1km2αkmmkmn………kn1kn2…knna1a2…am…an=Q1Q2…αkmm珔am…Qn(1.
45)经过修改后的第m个方程为·81·km1a1+km2a2+…+αkmmam+…+kmman=αkmm珔am由于αkmmmkmj(j≠i),方程左端的αkmm珔am项比其它项要大得多,因此近似得到αkmmam≈αkmm珔am则有am=珔am这个方法使用简单,适用于任何给定位移(给定零位移或非零位移).
方程阶数不变,结点位移顺序不变,程序编制方便,因此在有限元方法中经常采用.
1.
3.
63结点三角形单元的解题步骤3结点三角形单元的解题过程可分为(1)建立由三角形单元组成的离散化模型,网格划分,单元编号,结点编号;(2)形成单元刚度矩阵,一般分两步进行第一步按(1.
17)式计算出各个单元的bi,ci(i,j,m)和A值;第二步按(1.
30)和(1.
31)式形成单元刚度矩阵;(3)形成总刚度矩阵〔12〕.
在获得了各个单元的刚度矩阵ke以后,就可按(1.
40)建立整体刚度矩阵K.
但在实际计算时,则是采用"对号入座"后"同序号迭加"的方法进行.
现结合图1.
7中的结构加以说明.
图1.
7结点的总体编码和局部编码图1.
7表示结点的两种编码:一是结点整体编码,图1.
7(a).
六个结点的整体编码为1,2,3,4,5,6.
·91·二是结点的局部编码,图1.
7(b)、(c).
每个单元的三个角点按反时针方向的顺序各自编码为i,j,m.
由图1.
7看出,四个单元的局部编码与整体编码的对应关系为单元Ⅰ:i,j,m—1,2,3单元Ⅱ:i,j,m—2,4,5单元Ⅲ:i,j,m—5,3,2单元Ⅳ:i,j,m—3,5,6单元刚度矩阵ke是6*6阶矩阵,它的分块形式为(1.
30),其中的子块是按结点局部编码排列的.
总刚度矩阵K是12*12阶矩阵,其中的子块是按照结点整体编码排列的.
形成整体刚度矩阵可分为两步进行:第一步,把单元刚度矩阵ke扩大成单元的贡献矩阵Ke.
这一步又包含两个内容:第一个内容是阶数扩大—由6*6阶的ke扩大为12*12阶的Ke;第二个内容是子块"搬家"—把ke中按局部编码排列的9个子块"搬家",变为Ke中按总码排列的9个子块.
Ke中的其余子块则用零子块来填充.
以单元Ⅱ为例,局部i,j,m对应于总码2,4,5,按照这个对应关系搬家后,可得出单元Ⅱ的贡献矩阵K2如下整体码→123456↓123456k2iik2ijk2imk2jik2jjk2jmk2mik2mjk2mmijm↑(1.
46)ijm←———局部码·02·用同样的方法可得出其它单元的贡献矩阵K1,K3,K4.
第二步,把各个单元的贡献矩阵叠加,即得出整体刚度矩阵K.
K=k1iik1ijk1im000k1jik1jj+k2ii+k3mmk1jm+k3mjk2ijk2im+k3mi0k1mik1mj+k3jmk1mm+k3jj+k4ii0k3ji+k4ijk4im0k2ji0k2jjk2jm00k2mi+k3imk3ij+k4jik2mjk2mm+k3ii+k4jjk4jm00k4mi0k4mjk4mm(1.
47)在实际计算中,以上两个步骤是穿插进行的,即按照"对号入座,边搬家,边累加"的方法集成.
(4)按(1.
32)至(1.
34)式形成单元等效结点荷载向量.
(5)形成总结点荷载向量,方法同步骤(3).
(6)按(1.
44)和(1.
45)式引入位移边界条件.
(7)解线性代数方程组,得到结点位移a.
(8)根据(1.
22)式计算单元应力.
(9)整理计算成果.
1.
3.
7例题图1.
8为一固端深梁受集中力P作用,试用3结点三角形单元求跨中位移(平面应力问题,取E为常量,μ=16,t=1)解:利用对称性,仅需考虑左半部结构.
单元编号、结点编号如图1.
8.
(1)计算bi,ci单元①:bi=yi-ym=0bj=ym-yi=1bm=yi-yj=-1ci=xm-xj=-1cj=xi-xm=0cm=xj-xi=1·12·图1.
8受集中力作用的固端深梁单元②bi=yi-ym=0bj=ym-yi=-1bm=yi-yj=1ci=xm-xj=1cj=xi-xm=0cm=xj-xi=-1(2)计算单元刚度矩阵kekii①=18E35512001kij①=18E350-512-160kim①=18E35-51251216-1kjj①=18E35100512kjm①=18E35-11512-512kmm①=18E351712-712-7121712·22·k①=k②=18E3551200-512-5125121-16016-110-11512512-512对称1712-7121712(3)形成总刚度矩阵K=18E351712-1712-1512-512160017121-512512-100171200-712-5125121712-712016-117120-111712512-512对称1712-7121712(4)形成总结点荷载向量Q=X1Y1X2-P2X3Y3X40T(5)由于u1=v1=u2=u3=v3=u4=0,在考虑了边界条件以后,得到有限元方程如下·32·18E351712-1-11712v2v4=-P20解上述方程,得到v2=-1.
367816PE,v4=-0.
965517PE最后得结点位移为:a=000-1.
367816PE000-0.
965517PET1.
4变温应力的计算在弹性力学中曾经指出,求解变温作用的位移、应变和应力所用到的平衡方程、几何方程和外荷载作用的问题相同,所不同的只是本构方程.
例如在平面应力问题中,当变温为T时,其本构方程为εx=σxE-μσyE+αTεy=σyE-μσxE+αTγxy=2(1+μ)Eτxy也可写成如下矩阵的形式σ=D(ε-ε0)(1.
48)其中ε0=αT{110}T.
由此可见,如果我们以(ε-ε0)取代外荷载作用下的ε,便可得到形式相同的本构方程.
下面用最小位能原理推导变温问题的有限元方法.
按照建立有限元的步骤,首先还是进行区域剖分建立求解结点位移的离散模型;然后分片插值,构造单元的位移模式,并建立相应的单元应·42·变矩阵、应力矩阵和单元的能量泛函;再由能量泛函的极值条件导出求解结点位移的有限元方程;再由单元结点位移求出单元应变,再由变温问题的本构方程(1.
48)式求出单元的变温应力.
单元的位移模式仍可取一般的表示形式u=Nae由于几何方程相同,单元应变与结点位移之间的关系仍为ε=Bae将上式代入(1.
48)式,便可得到单元的本构方程为σ=DBae-Dε0(1.
49)若不考虑外力,则变温作用下单元的位能为ПeP=12∫Ωe(ε-ε0)TD(ε-ε0)dΩ=12(ae)Tke(ae)-(ae)TQet+12∫Ωeε0TDε0dΩ(1.
50)其中ke=∫ΩeBTDBdΩ(1.
51)Qet=∫ΩeBTDε0dΩ(1.
52)总位能为Пp=12aTKa-aTQet+12∑e∫ΩeεT0Dε0dΩ(1.
53)其中K=∑ekeQt=∑eQet根据能量泛函极值条件,有δΠp=Пpa=0即Ka=Q这就是求解变温引起结点位移的有限元方程.
从以上推导过程可·52·以看出,变温问题的有限元计算与外荷载作用问题类似.
如果把变温引起的(ε-ε0)和Qet分别替换外荷载引起的ε和Qe,变温问题的有限元计算过程便和外荷载作用问题完全一样.
为此,Qet在有限元文献中称为变温引起的等效结点荷载.
需要注意,变温作用与结点荷载Qet的作用只是在求结点位移时才等效,而在求单元应力时,应当用变温的本构方程(1.
48)式计算.
对于平面应力问题中的常应变单元,其变温等效结点荷载和应力公式不难从式(1.
52)和(1.
49)得到Qet=α(Ti+Tj+Tm)Et6(1-μ){bicibjcjbmcm}T(1.
54)σ=DBae-EαT1-μ{110}T(1.
55)对于平面应变问题,只须将E(1-μ2)替代E,μ1-μ替代μ和(1+μ)α替代α,便可得到相应的Qet和σ计算公式.
实际工作中,温度因素往往是和外荷载共同作用的,而这两种作用因素引起的位移场的有限元分析过程是相似的,它们所采用的离散化模型、单元位移模式、N、B、s、K的公式和有限元方程完全是一样的,不同的只是对应的等效结点荷载向量的求解.
对于温度作用,还得先求解其变温场,而变温场所采用的网格,单元形态、插值函数又与位移场的相同.
因此,对于结构在变温和荷载两种因素共同作用下的应力分析问题可以采用同一种网格,编写连贯的一套程序,既可求出变温场,又可求出位移场,最后求出两种因素产生的应力.
1.
5有限元解的收敛性和误差估计1.
5.
1有限元解的收敛准则有限元解的精度从表面上看,它取决于离散化模型逼近原结·62·构的程度,而从实质分析,它依赖于有限元所建立的位移模式逼近真实位移形态的状况.
因此要使有限元解收敛于真解,关键在于位移模式的选择.
下面介绍选择位移模式必须满足的准则.
(1)完备性准则如果出现在泛函(1.
12)式中场函数的最高阶导数是m阶,则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式.
或者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为常数的项.
单元的插值函数满足上述要求时,我们称单元是完备的.
(2)协调性准则如果出现在泛函(1.
12)式中的最高阶导数是m阶,则试探函数在单元交界面上必须具有Cm-1连续性,即在相邻单元的交界面上应有函数直至m-1阶的连续导数.
当单元的插值函数满足上述要求时,我们称单元是协调的.
简单地说,当选取的单元既完备又协调时,有限元解是收敛的,即当单元尺寸趋于零时,有限元解趋于真正解.
我们称这种单元为协调单元.
当单元选取的位移模式满足完备性准则但不完全满足单元之间的位移及其导数连续条件时,称为非协调单元.
需要指出的是:当泛函中出现的导数高于一阶(例如板壳问题,泛函中出现的导数是2阶)时,则要求试探函数在单元交界面上具有连续的一阶或高于一阶的导数,即具有C1或更高的连续性,这时构造单元的插值函数比较困难.
在某些情况下,可以放松对协调性的要求,只要这种单元能通过分片试验,有限元解仍然可以收敛于正确的解答.
这种单元就是非协调元.
1.
5.
2收敛准则的物理意义为了从物理意义上加深对收敛准则的理解,我们以平面问题为例加以说明.
在平面问题中,泛函Πp中出现的是位移u和v的一次导数,即εx,εy,γxy,因此m=1.
收敛准则1要求插值函数或位移函数至少是x,y的一次完全多项式.
我们知道位移及其一阶导数为常数的项是代表与单元的刚体位移和常应变状态相应的位移模·72·式.
所以完备性的要求由插值函数所构成的有限元解必须能反映单元的刚体位移和常应变状态.
若不能满足上述要求,那么赋予结点以单元刚体位移(零应变)或常应变的位移值时,在单元内部将产生非零或非常值的应变,这样有限元解将不可能收敛于真正解.
有限单元法中构造位移函数的核心是选择插值函数Ni(x,y),下面讨论要使位移模式满足完备性准则,插值函数Ni(x,y)需要满足一些什么条件对于具有d个结点的单元,位移模式的一般表达式为u=∑di=1Niui(u,v)(1.
56)根据完备性的要求,上式两边的u和ui必须为下列形式u=A+Bx+Cy+…ui=A+Bxi+Cyii=1,2,…,d)将其代入(1.
56)式的两边后,则有u=A+Bx+Cy+…=N1(A+Bx1+Cy1+…)+N2(A+Bx2+Cy2+…)+…Nd(A+Bxd+Cyd+…)=A∑di=1Ni+B∑di=1Nixi+C∑di=1Niyi+…为了使A,B,C为任意常数时上述等式都能成立,则要求∑di=1Ni=1,∑di=1Nixi=x,∑di=1Niyi=y(1.
57)上式就是完备性准则要求插值函数Ni(x,y)必须满足的条件.
其中,第一式是保证位移模式具有刚体位移项的条件,而第二、三式则是保证位移模式具有常应变项的条件.
应该指出,在Bazeley等人开始提出上述收敛准则时,是要求在单元尺寸趋于零的极限情况下满足完备性收敛准则.
如果将此收敛准则用于有限尺寸的单元,将使解的精度得到改进.
对于平面问题,协调性要求是C0连续性,即要求位移函数u,v·82·的零阶导数,也就是位移函数自身在单元交界面上是连续的.
如果在单元交界面上位移不连续,则将发生两相邻单元在公共边界上互相脱离或互相嵌入的现象.
因此,倘若边界上位移不连续,有限元解就不可能收敛于真正解.
可以看到常应变3结点三角形单元的位移模式既满足完备性要求,也满足协调性要求,因此采用这种单元,解是收敛的.
应当指出,对于二、三维弹性力学问题,泛函中出现的导数是一阶(m=1),对近似的位移函数的连续性要求仅是C0连续性,这种只要求函数自身在单元边界连续的要求很容易得到满足.
1.
5.
3收敛速度和误差估计若单元的插值函数是完备而协调的,当单元尺寸不断缩小而趋于零时,有限元解将趋于真正解.
在有些情况下,如果用于有限元场函数近似解的多项式能精确地拟合真正解,则在有限数目的单元划分(甚至仅仅是一个单元)的条件下,也能得到精确的解答.
例如真正解是二次函数,若有限元的插值函数也包括了二次的完全多项式,则有限元解就能得到精确的解答.
以上论述可以帮助我们决定有限元解的收敛速度.
因为精确解总可以在域内一点i的邻域内展开为一个多项式,例如平面问题中的位移u可以展开为u=ui+uxiΔx+uyiΔy+…(1.
58)如果在尺寸为h的单元内,有限元解采用p阶完全多项式,则它能局部地拟合上述Taylor展开式直到p阶.
由于Δx,Δy是h的量级,所以位移解u的误差是0(hp+1).
例如平面问题采用3结点三角形单元,插值函数是线性的,即p=1,所以u的误差是0(h2),并可预计收敛速度也是0(h2)的量级,也就是说将有限元网格进一步细分,使所有单元尺寸减半,则u的误差是前一次网格划分误差的14.
·92·类似的论证可以用于应变和应力误差及收敛速度的估计.
例如应变是由位移的m阶导数给出的,则它的误差是0(hp-m+1),当平面问题采用3结点三角形单元时,p=m=1,则应变的误差估计是0(h).
在上面的讨论中,虽然形式上对误差做出了量级上的估计,但实际上并不能对有限元解的误差做出具体的估计.
而后者往往是实际分析工作所需要的.
为此,一般可以通过两种途径来解决:(1)选择一个已知解析解的相同类型的问题,求解域尽可能和实际分析的问题相近,并采用相同形式的单元和差不多的网格划分,用此问题有限元解的误差可以估计实际问题的误差.
(2)利用以上讨论中关于收敛速度的量级估计,采取外推的方法求解校正的解答.
因为当泛函取极值时,如有限元的插值函数满足完备性和协调性的要求,则单元尺寸h→0时,有限元解应是单调收敛的.
因此,如第一次网格划分的解答是u1,然后将各单元尺寸减半作为第二次的网格划分,得到解答为u2.
若已知收敛速度是0(hr),则可由下式预测精确解u1-uu2-u=0(hr)0((h/2)r)(1.
59)若是平面问题采用3结点三角形单元,则r=2,上式可写作u1-uu2-u=0(h2)0((h/2)2)=4即可推得精确解u=13(4u2-u1)但是需要注意的是,以上所讨论的误差仅是离散误差.
即一个连续的求解域被划分成有限个子域(单元),由单元的试探函数近似整体域的场函数所引起的误差.
另一主要误差是计算机有限的有效位数(字长)所引起的,它包含舍入(四舍五入)误差和截断(原来的实际位数被截取为计算机允许的有限位数)误差.
前者带有概率的性质,主要靠增加有效·03·位数(如采用双精度计算)和减少运算次数(如采用有效的计算方法和合理的程序结构)来控制.
后者除与有效位数直接有关外,还与结构(最终表现为刚度矩阵)的性质有密切关系.
例如结构在不同方向的刚度相差过于悬殊,可能使最后的代数方程组成为病态,从而使解答的误差很大,甚至导致求解失败.
另外还必须指出,位移有限元法得到的位移解总体上不大于真正解,即解具有下限性质〔2〕.
习题1.
1证明3结点三角形单元的插值函数满足∑iNi=1,∑iNixi=x和∑iNiyi=y1.
2写出图1.
9所示三角形单元的插值函数Ni,Nj,Nm及应变矩阵.
1.
3图1.
9中单元在jm边作用有沿x方向线性分布的面荷载,试求等效结点荷载向量.
1.
4以平面问题常应变三角形单元为例,证明单元刚度矩阵的任何一行(或列)元素总和为零.
1.
5证明常应变三角形单元发生刚体位移时,单元中将不产生应力.
1.
6图1.
10为一刚性基础上的三角形水坝,受齐顶水压力图1.
9图1.
10·13·作用,试将它分成四个单元,建立结构的整体有限元方程(按平面应变问题计算,取E为常量,μ=16,t=1).
1.
7为什么有时非协调单元反而比协调单元具有更高的精度·23·第二章平面问题的较精密单元2.
1面积坐标面积坐标是自然坐标系的一种.
自然坐标不同于直角坐标系,它是无因次的有界限的局部坐标,坐标的绝对值不超过1,其形式随描述物体的几何图形不同而不同.
例如,一维直杆单元的自然坐标ξ往往取杆轴为其坐标方向,杆长中点为其原点,该杆单元内任意点k的自然坐标值ξ在-1和+1之间变化,如图2.
1(a)所示.
二维矩形单元的两个自然坐标方向往往分别平行于矩形的两邻边,原点取在矩形的形心,该矩形单元内任意点k的二个自然坐标值ξ和η也是在-1和+1之间变化,如图2.
1(b)所示.
图2.
1一维和二维自然坐标应用这类自然坐标作为离散化模型中单元的局部坐标进行单元分析是很方便的,因为用它去描述单元各种量的公式将适用于任一个同类单元,具有通用化、规格化的特点.
为此,在有限元的单元分析中一般都采用这类自然坐标作为单元的局部坐标〔6〕.
现在的问题是,对于三角形单元,是否也可以用这类自然坐标作为单元的局部坐标呢其自然坐标的形式又是怎样的呢答案是肯定的.
从自然坐标的无因次和其量值不超过±1的特点,可·33·以推知,描述单元内任意点位置的自然坐标是取该点某种几何量在直角坐标系中的表示值与单元内该几何量最大值的比值为量值的.
例如前述的一维杆单元和二维矩形单元的自然坐标是用长度比为其量值.
至于三角形单元,则可取其面积比为其量值.
图2.
2所示某一三角形单元ijm,P为单元内任意一点,它和三个顶点相接构成三个子三角形Pjm,Pmi,Pij.
将这三个子三角形的面积Ai,Aj,Am与整个大三角形ijm面积A的比值就是描述P点的三个自然坐标值,若用记号Li(P),Lj(P),Lm(P)表示,则有Li(P)=ΔPjmΔijm=AiA,Lj(P)=ΔiPmΔijm=AjALm(P)=ΔijPΔijm=AmA(2.
1)这种以面积比为量值的自然坐标称之为面积坐标.
图2.
2三角形单元面积坐标显然,这三个面积坐标并不是完全独立的,由于Ai+Aj+Am=A,所以有关系式Li+Lj+Lm=1(2.
2)因此Li,Lj,Lm中只有两个是独立变量.
这种面积坐标,只限于描述三角形单元内部任意点的位置,因此它只能作为单元的局部坐标.
根据它的定义,就知道它是一种大小不超过1的无因次坐标.
以Li为例,当P点和i点相重时,Ai=A,故Li=1;当P点落在jm边上任一点时,Ai=0,则有Li=0;当P点落在单元内平行于jm边任一条线上时,它将根据P点到jm边的垂矩和i点到jm边垂距的比值决定Li的大小,显然,位于同一条平行于jm边的线上任意点的Li值将相同.
由此可知,Li的等值线将是一组平行于jm边的线,它的大小是从0到1.
正如图2.
2中虚线所示的Li=0,14,12,34和1的等值线.
当·43·然,Li的这些特点也将适用于Lj和Lm.
掌握面积坐标的上述特点,极易写出三个结点的面积坐标值,如结点i:Li(i)=1,Lj(i)=0,Lm(i)=0结点j:Li(j)=0,Lj(j)=1,Lm(j)=0结点m:Li(m)=0,Lj(m)=0,Lm(m)=1若引用Kronecker记号,上面表达式可综合为:Li(P)=δiP(i,j,m)(2.
3)其中,P=i,j,m面积坐标只适合于单元分析而不能用于整体分析,整体离散化模型分析是在整体直角坐标系中进行的,因此还必须建立面积坐标和整体坐标之间的关系.
由式(2.
1)可知Li=Ai/A,其中Ai是三角形Pjm的面积,其三个结点的整体坐标分别为P(x,y),j(xj,yj),m(xm,ym),有Ai=121xy1xjyj1xmym=12〔(xjym-xmyj)+(yj-ym)x+(xm-xj)y〕将式(1.
17)ai,bi,ci公式代入,得Ai=12(ai+bix+ciy)故Li=AiA=12A(ai+bix+ciy)同理得,Lj=AjA=12A(aj+bjx+cjy)Lm=AmA=12A(am+bmx+cmy)(2.
4)若用矩阵表示上式,则有·53·LiLjLm=12Aaibiciajbjcjambmcm1xy(2.
5)这就是用直角坐标表示面积坐标的表示式.
如将式(2.
4)与式(1.
16)相比便可知道3结点三角形单元的插值函数Ni,Nj,Nm就是面积坐标Li,Lj,Lm.
为了得到用面积坐标表示整体直角坐标的关系式,则可由式(2.
5)导出其逆算式:1xy=12Aaibiciajbjcjambmcm-1LiLjLm(2.
6)容易验证2Aaibiciajbjcjambmcm-1=111xixjxmyiyjym再代入式(2.
6),便得1xy=111xixjxmyiyjymLiLjLm(2.
7)或展开为1=Li+Lj+Lm=∑i,j,mLix=Lixi+Ljxj+Lmxm=∑i,j,mLixiy=Liyi+Ljyj+Lmym=∑i,j,mLiyi(2.
8)这就是用面积坐标表示直角坐标的代数算式.
它还表明,在3结点三角形单元中若取面积坐标Li,Lj,Lm为插值函数,则由其构造的位移模式将是满足完备性准则的(见1.
4节).
现在介绍一些面积坐标函数对直角坐标的求导和求积分公式.
·63·当面积坐标函数对直角坐标求导时,可应用下列公式x=LiLix+LjLjx+LmLmx=12AbiLi+bjLj+bmLmy=LiLiy+LjLjy+LmLmy=12AciLi+cjLj+cmLm(2.
9)当求面积坐标的幂函数在三角形单元上的面积分值时,可应用下列积分公式:ALaiLbjLcmdxdy=a!
b!
c!
(a+b+c+2)!
2A(2.
10)从上式可推得ALidxdy=1!
0!
0!
(1+0+0+2)!
2A=A3(i,j,m)(2.
11)AL2idxdy=2!
0!
0!
(2+0+0+2)!
2A=A6(i,j,m)(2.
12)ALiLjdxdy=1!
1!
0!
(1+1+0+2)!
2A=A12(i,j,m)(2.
13)求面积坐标的幂函数在三角形单元某一边界上的线积分值时,可应用下列积分公式∫ijLaiLbjds=a!
b!
(a+b+1)!
lij(i,j,m)(2.
14)其中lij为ij边的长度.
2.
2确定插值函数的几何方法本节介绍一种简便的求插值函数的方法,它先由Ni=δiP的条件用几何方法构造Ni函数,然后再用位移模式的完备性和协调性条件作为校核.
设单元内具有d个结点,P为任意一个结点号(P=1,2,…,·73·i,…,d).
欲求Ni(x,y),可作一组(m条)不通过i结点而通过其它所有结点的不可约代数曲线Fk(x,y)=0(k=1,2,…,m),并按下式确定Ni(x,y):Ni(x,y),=∏mk=1Fk(x,y)∏mk=1Fk(xi,yi)(2.
15)注意到当结点P≠i时,P结点是位于某条(设其编号为k)上述所作代数曲线上,故有Fk(xP,yP)=0;而i结点是不通过上述任一条代数曲线的,故Fk(xi,yi)≠0(k=1,2,…,m),由此可知,式(2.
15)能满足条件:图2.
34结点矩形单元Ni(P)=Ni(xP,yP)=δiP=1当P=i0当P≠i(2.
16)按式(2.
15)求出N1,N2,…,Ni,…Nd后,还应检查位移模式的完备性和协调性条件是否满足.
如果全部满足了,则由这些Ni构造的位移模式是可以采用的.
关于位移模式的完备性条件,曾在第一章1.
4中作过介绍,对于u=∑di=1Niui(u,v)的位移模式,其完备性条件如式(1.
57)所示,即∑di=1Ni=1,∑di=1Nixi=x,∑di=1Niyi=y(2.
17)下面举列说明由上述方法确定插值函数的步骤.
例1求图2.
3所示4结点矩形单元(R4单元)的插值函数.
欲求Ni可作两条直线x-a=0和y-b=0通过·83·其它结点j,m,p,而不通过结点i,代入式(2.
15)得Ni=(x-a)(y-b)(xi-a)(yi-b)=(x-a)(y-b)(-a-a)(-b-b)=14(1-xa)(1-yb)=14(1-1ax-1by+1abxy)同理,可求得Nj,Nm,Np的表达式分别为Nj=(x+a)(y-b)(xj+a)(yj-b)=(x+a)(y-b)(a+a)(-b-b)=14(1+xa)(1-yb)=14(1+1ax-1by-1abxy)Nm=(x+a)(y+b)(xm+a)(ym+b)=(x+a)(y+b)(a+a)(b+b)=14(1+xa)(1+yb)=14(1+1ax+1by+1abxy)Np=(x-a)(y+b)(xp-a)(yp+b)=(x-a)(y+b)(-a-a)(b+b)=14(1-xa)(1+yb)=14(1-1ax+1by-1abxy)用式(2.
17)对上述的Ni(i,j,m,p)作完备性检查,结果表明,上述构造的插值函数是满足完备性准则的.
最后检查一下位移协调条件.
以任一边ij为例进行分析.
根据位移模式u=∑41Niui和v=∑41Nivi有(u)ij=(Ni)ijui+(Nj)ijuj+(Nm)ijum+(Np)ijup(u,v)因(Nm)ij=(Np)ij=0,(Ni)ij=12(1-xa),(Nj)ij=12(1+xa)故(u)ij=(Ni)ijui+(Nj)ijuj=12(1-xa)ui+12(1+xa)uj(u,v)·93·图2.
43结点三角形单元由此可得知,ij边上任一点的位移仅仅是x的线性函数.
若ij是两个R4单元的公共边界,由于在连接的结点i和j上具有相同的位移,ij边上位移又是线性变化,则完全可以保证两单元在该边界的位移处处相等、满足位移协调条件.
同理可证单元jm边、mp边、pi边也满足协调条件.
因此上面所求的插值函数是正确的.
例2求图2.
4所示3结点三角形单元(T3单元)的插值函数本例将采用面积坐标分析,因为在三角形单元中用面积坐标建立有关的代数曲线方程最为简单.
欲求Ni,作一根直线Li=0通过其它结点j,m而不通过结点i,由式(2.
15)有Ni=Li(Li)i=Li1=Li同理有Nj=Lj(Lj)j=Lj1=LjNm=Lm(Lm)m=Lm1=Lm注意到∑i,j,mNi=∑i,j,mLi=Li+Lj+Lm=1,∑i,j,mNixi=∑i,j,mLixi=x,∑i,j,mNiyi=∑i,j,mLiyi=y,和u=∑i,j,mNiui(u,v)是线性模式,则其完备性准则和位移协调条件均得到满足,故上面求得的插值函数是正确的.
例3求图2.
5所示6结点三角形单元(T6单元)的插值函·04·图2.
56结点三角形单元数.
本例仍采用面积坐标分析.
设单元的六个结点中,三个在角点,三个在三边的中点,极易得到它们的面积坐标值,如图中括号内的数值所示.
欲求Ni,作两条直线Li=0和(Li-12)=0通过其它结点j,m,1,2,3而不通过结点i,由式(2.
15)有Ni=Li(Li-12)(Li)i(Li)i-12=Li(Li-12)1(1-12)=Li(2Li-1)同理可得,Nj=Lj(2Lj-1),Nm=Lm(2Lm-1).
欲求N1,可作出两条直线Lj=0和Lm=0通过其它结点i,j,m,2,3而不通过结点1,由式(2.
15)有N1=LjLm(Lj)1·(Lm)1=LjLm12·12=4LjLm同理可得N2=4LmLi,N3=4LiLj.
现在用式(2.
17)检查一下其是否满足完备性准则.
∑Ni=Ni+Nj+Nm+N1+N2+N3=〔Li(2Li-1)+Lj(2Lj-1)+Lm(2Lm-1)+4LjLm+4LmLi+4LiLj〕=2(Li+Lj+Lm)2-(Li+Lj+Lm)=2-1=1∑Nixi=∑i,j,mNixi+∑3i=1Nixi=∑i,j,mLi(2Li-1)xi·14·+(4LjLmx1+4LmLix2+4LiLjx3)将x1=xj+xm2x2=xm+xi2x3=xi+xj2代入上式,得∑Nixi=xi〔Li(2Li-1)+2LmLi+2LiLj〕+xj〔Lj(2Lj-1)+2LjLm+2LiLj〕+xm〔Lm(2Lm-1)+2LmLi+2LjLm〕=xi〔2L2i-Li+2Li(1-Li)〕+xj〔2L2j-Lj+2Lj(1-Lj)〕+xm〔2L2m-Lm+2Lm(1-Lm)〕=∑i,j,mLixi=x类似可推证∑Niyi=∑i,j,mLiyi=y这说明所求的插值函数符合完备性要求.
最后分析一下由这些插值函数构造的位移模式是否满足协调条件.
以jm边为例,按u=∑Niui(u,v)有(u)jm=(Ni)jmui+(Nj)jmuj+(Nm)jmum+(N1)jmu1+(N2)jmu2+(N3)jmu3注意到(Ni)jm=(N2)jm=(N3)jm=0,故有(u)jm=(Nj)jmuj+(Nm)jmum+(N1)jmu1=(2L2j-Lj)jmuj+(2L2m-Lm)jmum+(4LjLm)jmu1(u,v)显然,这是面积坐标的二次函数式,也是整体直角坐标的二次式.
若jm是两个T6单元的公共边,由于在连接的结点j,m,1上具有相同的位移,jm边上位移又是二次式,则完全可以保证两单元在该边界上位移处处相等,满足位移协调条件.
·24·同理可证得单元mi边、ij边也满足协调条件.
以上例题说明,用这种几何的方法去构造插值函数比较简单,广泛应用于求解仅以结点位移本身(不包括其偏导数)为基本未知量的各类单元的插值函数.
这种方法也称"划线法".
2.
36结点三角形单元在2.
2中我们已经导出了T6单元的插值函数公式为Ni=Li(2Li-1)(i,j,m)N1=4LjLm(1,2,3;i,j,m)(2.
18)其位移模式为:u=∑Niui=∑i,j,mNiui+∑3i=1Niui(u,v)或用矩阵表示为:u=uv=Nae(2.
19)其中ae=〔uiviujvjumvmu1v1u2v2u3v3〕T(2.
20)N=Ni0Nj0Nm0N10N20N300Ni0Nj0Nm0N10N20N3(2.
21)这个位移模式是面积坐标的二次式,也是直角坐标的二次式.
它与真实位移函数的泰勒多项式相比,缺少了三次及其以上的多项式,其误差为0(h3),这比T3单元的误差小,故其精度较高.
此外,它满足完备性准则和位移协调条件,所以用它分析平面问题时,其解答的收敛性是有保证的.
现在讨论这种单元的各种基本矩阵的形成.
(1)单元的等效结点荷载向量对于T6单元,由于位移模式是非线性的,推导荷载向量时不能用简单的方法(如将分布荷载所作虚功用其合力所作虚功代替,运用力矩等效求等效荷载)直接得到,而应严格地按普遍公式(1.
33)、(1.
34)进行计算.
例如,计算单元的自重W所对应的等效荷载,可将其体力向量·34·p=〔XY〕T=0,-WAtT代入公式(1.
33),得Qep=ANTptdxdy=ANi0Nj0Nm0N10N20N300Ni0Nj0Nm0N10N20N3T·0-WAttdxdy=-WAA〔0Ni0Nj0Nm0N10N20N3〕Tdxdy利用积分公式(2.
11)、(2.
12)、(2.
13),可求得:ANidxdy=ALi(2Li-1)dxdy=2*A6-A3=0(i,j,m)AN1dxdy=A4LjLmdxdy=4*A12=A3(1,2,3)代入上面求Qep的算式,即得:Qep=-W3〔000000010101〕T(2.
22)也就是Xi=Xj=Xm=X1=X2=X3=Yi=Yj=Ym=0,Y1=Y2=Y3=-W3这就表明和T6单元自重W对应的等效荷载是作用在结点1,2,3的竖向集中荷载,大小均为单元重量W的三分之一,方向沿y轴负向(与自重同向).
又例如,计算单元任一边(如ij边,设其边长为l)上受线性面力荷载所对应的等效荷载,则可将其面力向量写成p=〔XY〕T=〔qLi0〕T(见图2.
6).
代入式(1.
34)可得Qep=∫ijNi0Nj0Nm0N10N20N300Ni0Nj0Nm0N10N20N3T·qLi0tds·44·图2.
66结点三角形单元受线性面力荷载作用=qt∫ij〔Ni0Nj0Nm0N10N20N30〕TLids在ij边上,(Lm)ij=0,则由(2.
18)式可知,(Nm)ij=(N1)ij=(N2)ij=0故Qep=qt∫ij〔Ni0Nj0000000N30〕TLids根据积分公式(2.
14),可求得:∫ijNiLids=∫ijL2i(2Li-1)ds=2*3!
0!
(3+0+1)!
l-2!
0!
(2+0+1)!
l=l6,∫ijNjLids=∫ijLiLj(2Lj-1)ds=2*1!
2!
(1+2+1)!
l-1!
1!
(1+1+1)!
l=0∫ijN3Lids=∫ij4L2iLjds=4*2!
1!
(2+1+1)!
l=l3代入求Qep式中,即得Qep=qtl213000000000230T(2.
23)这就表明,和T6单元ij边上线性水平面力荷载对应的等效荷载是结点i和3的x向集中荷载,其大小分别为该面力荷载合·54·力qtl2的13和23,方向同面力荷载,沿x正向.
(2)单元的应变和应力矩阵将单元的位移模式u=∑Niui(u,v)代入应变的公式,便可得到:ε=εxεyγxy=uxvyuy+vx=∑Nixui∑Niyvi∑Niyui+Nixvi=Bae(2.
24)其中B=〔BiBjBmB1B2B3〕Bi=Nix00NiyNiyNix(i,j,m,1,2,3)(2.
25)B的元素利用式(2.
9)可得,如Nix=12A〔bi(4Li-1)+bj·0+bm·0〕=bi(4Li-1)2A(i,j,m)Niy=12A〔ci(4Li-1)+cj·0+cm·0〕=ci(4Li-1)2A(i,j,m)N1x=12A〔bi·0+bj·4Lm+bm·4Lj〕=4(bjLm+bmLj)2A(1,2,3;i,j,m)N1y=12A〔ci·0+cj·4Lm+cm·4Lj〕=4(cjLm+cmLj)2A(1,2,3;i,j,m)代入式(2.
25)得·64·Bi=12Abi(4Li-1)00ci(4Li-1)ci(4Li-1)bi(4Li-1)(i,j,m)(2.
26)B1=12A4(bjLm+bmLj)004(cjLm+cmLj)4(cjLm+cmLj)4(bjLm+bmLj)(1,2,3;i,j,m)(2.
27)上式表明,应变矩阵B元素是面积坐标的一次式,因而也是直角坐标的一次式,故T6单元有线性应变元之称.
将应变公式代入求应力公式,可得:σ=〔σxσyτxy〕T=Dε=DBae=sae(2.
28)其中s=〔sisjsms1s2s3〕(2.
29)si=DBi(i,j,m;1,2,3)对于平面应力问题,将D的公式(1.
5a)和Bi的公式(2.
26)和(2.
27)代入可得si=E4(1-μ2)A(4Li-1)2bi2μci2μbi2ci(1-μ)ci(1-μ)bi(i,j,m)(2.
30)si=E4(1-μ2)A·8(bjLm+bmLj)8μ(cjLm+cmLj)8μ(bjLm+bmLj)8(cjLm+cmLj)4(1-μ)(cjLm+cmLj)4(1-μ)(bjLm+bmLj)(1,2,3;i,j,m)(2.
31)上式表明,应力矩阵s元素都是面积坐标的一次式,因而也是直角坐标的一次式,所以T6单元中的应力沿任何方向都是线性变化的.
·74·(3)单元刚度矩阵在1.
3中已导出了单元结点力和结点位移的普遍关系式Fe=keae(1.
28)和单元刚度矩阵普遍式ke=ABTDBdxdyt(1.
29).
它们也适用于T6单元,只须明确式中各个矩阵所表示的具体内容就可,如Fe=〔UiViUjVjUmVmU1V1U2V2U3V3〕Tae如式(2.
20)所示,ke为12*12方阵,它可用下式计算:ke=ABTsdxdyt(2.
32)将B的表达式和s的表达式代入(2.
32)式并用积分公式(2.
10)进行积分.
即可直接导出T6单元ke的公式.
鉴于其形式过于冗长,不便于应用,这里就不予列出.
下面介绍一种利用T3单元的刚度公式来表示T6单元刚度的方法,为了区别"两类单元的B、s、k记号,我们约定,这些记号在右上端带撇的(即B′、s′、k′)对应于T3单元,而不带撇的对应于T6单元.
将式(2.
26)、(2.
27)的Bi,、B1公式和式(1.
21)表示T3单元的B′i公式对比,可得:Bi=(4Li-1)B′i(i,j,m)(a)s1=(4LmB′j+LjB′m)(1,2,3;i,j,m)(b)将式(2.
30)、(2.
31)的si,s1公式和式(1.
24)表示T3单元的si′公式对比,可得:si=(4Li-1)s′i(i,j,m)(c)s1=4(Lms′j+Ljs′m)(1,2,3;i,j,m)(d)设T3单元刚度矩阵的子矩阵公式记为k′rs=B′TrDB′stA(r,s=i,j,m)(e)将式(a)、(b)、(c)、(d)代入(2.
32),利用积分公式(2.
10)和关系式(e)便可得到6结点三角形单元的刚度矩阵·84·ke=k′ii-kji′3k′jj对-k′mi3-k′mj3k′mm称04k′mj34k′jm343(2k′ii-k′mj-k′jm)4k′mi304k′im343(k′ji+k′ij)43(2k′jj-k′im-k′mi)4k′ji34k′ij3043(k′mi+k′im)43(k′mj+k′jm)43(2k′mm-k′ji-k′ij)(2.
33)式中的k′rs(r,s=i,j,m)是T3单元刚度矩阵的子矩阵,见式(1.
31).
图2.
7简支梁受均布荷载在单元分析的基础上,容易进行整体分析,其方法完全象1.
3所述的那样,将单元的有关矩阵集合为结构总刚度矩阵,建立整体的结点平衡方程组,然后求解结点位移.
下面分析几个算例.
一般地讲,在结点数目大致相同的情况下,用T6单元计算平面问题的精度远高于T3单元,因此在满足大致相同的精度条件下采用T6单元的数目可比T3单元数目少得多.
另一方面,用T6单元计算的成果也比较容易整理,在用绕结点平均法整理应力时,对边界结点处的应力无须进行推算,表征性就很好.
当然T6单元也有缺点,即列出一个结点的平衡方程将牵涉到较多的结点,因而造成总刚度矩阵K元素分布具有较大的带宽,将占用较大的计算机的容量和耗费较多的机时.
例1简支梁受均布荷载考察如图2.
7所示的简支梁,计算右边的一半.
采用如图2.
7所示的网格.
用绕结点平均法整理了x=0截面处的弯曲应力σx和挤压·94·应力σy.
整理的结果分别见表2.
1及2.
2.
可见精度是非常高的.
表2.
1在x=0截面处的σx(N/m2)结点坐标y(m)1.
51.
00.
50-0.
5-1.
0-1.
5有限单元解-272.
7-180.
5-89.
2-0.
689.
1179.
6271.
2函数解-272.
0-179.
5-89.
20.
089.
2179.
5272.
0误差-0.
7-1.
00.
0-0.
6-0.
10.
1-0.
8表2.
2在x=0截面处的σy(N/m2)结点坐标y(m)1.
51.
00.
50-0.
5-1.
0-1.
5有限单元解-10.
0-9.
1-7.
7-5.
0-2.
5-0.
80.
6函数解-10.
0-9.
3-7.
4-5.
0-2.
6-0.
70误差0.
00.
2-0.
30.
00.
1-0.
10.
6例2对心受压的圆筒图2.
8(a)示一圆筒,内半径为0.
3m,外半径为0.
6m,弹性模量E=2*1010N/m2,泊松比μ=0.
167,每米长度内的荷载如图所示,作为平面应变问题进行计算.
由于对称,只计算四分之一,网格如图2.
8(b)所示.
用绕结点平均法整理了y=0截面上的σy,结果列于表2.
3.
表2.
3在y=0截面上的σy(N/m2)结点坐标x(m)0.
300.
350.
400.
450.
500.
550.
60有限单元解-43.
6-27.
0-14.
0-5.
02.
89.
516.
0函数解-47.
5-27.
3-14.
2-5.
22.
49.
313.
9误差3.
90.
30.
20.
20.
40.
22.
1例3对心受压圆柱图2.
9(a)中的圆柱,半径为6cm,弹性模量E=2*l06N/cm2,泊松比μ=0.
167,每厘米长度内承受的荷载如图所示,作为·05·图2.
8对心受压圆筒平面应变问题进行计算.
由于对称,只计算四分之一,网格如图2.
9(b)所示.
用绕结点平均法整理了y=0的截面上的σy,结果如表2.
4所示.
图2.
9对心受压圆柱·15·表2.
4在y=0截面上的σy(N/cm2)结点坐标x(cm)00.
601.
201.
852.
503.
254.
005.
006.
00有限单元解-31.
6-30.
8-28.
9-24.
6-20.
4-14.
8-9.
8-4.
30.
4函数解-31.
9-31.
0-28.
8-24.
7-20.
4-14.
8-9.
7-4.
20.
0误差0.
30.
2-0.
10.
10.
0-0.
0-0.
1-0.
10.
42.
44结点矩形单元在2.
2中已导出了R4单元的插值函数为Ni=14(1-xa)(1-yb),Nj=14(1+xa)(1-yb)Nm=14(1+xa)(1+yb),Np=14(1-xa)(1+yb)综合为一式,可改写为Ni=14(1+ξixa)(1+ηiyb)(2.
34)其中ξi=xi|xi|,ηi=yi|yi|(i,j,m,p)其位移模式为:u=∑i,j,m,pNiui(u,v)(2.
35)用矩阵表示为u=uv=Nae(2.
36)其中ae=〔uiviujvjumvmupvp〕T(2.
37)N=Ni0Nj0Nm0Np00Ni0Nj0Nm0Np(2.
38)这个位移模式形式上包含了二次项xy,但在x为常量或y为常量的情况下位移却是线性变化的.
它与真实的位移函数泰勒多项式相比,缺少了x2、y2二次项以及二次以上的多项式,故其位移误差粗略估计为O(h2),形式上似乎与T3单元的精度一样,但·25·图2.
104结点矩形单元实际上它的精度要比T3单元高.
此外,它满足完备性条件和位移协调条件,所以用它进行平面问题分析是能够保证解的收敛性的.
现在讨论这种单元的各种基本矩阵.
(1)单元的等效结点荷载向量对于R4单元,Qe=〔XiYiXjYjXmYmXpYp〕T,其计算公式仍用求Qe的普遍公式(1.
33和1.
34),建议读者自行推导下列结果:(i)对应于单元自重W的等效结点荷载为Qep=-W〔014014014014〕T上式表明,和R4单元自重W对应的单元等效荷载是四个结点的竖向集中荷载,大小均为单元重量W的四分之一,方向沿y轴负向,而与重力同向.
(ii)如果R4单元在任一边界上受有按三角形分布的面力(在该边界上的一个结点处集度为零而在另一个结点处为最大),则其对应的等效荷载为该边界两端结点的集中荷载,大小分别为该边界面力合力的三分之一(前一结点)和三分之二(后一结点),方向与面力同向.
(2)应变和应力矩阵应变公式为:ε=Bae其中B=〔BiBjBmBp〕(2.
39)而Bi=Nix00NiyNiyNix(i,j,m,p)因为·35·Nix=x14(1+ξixa)(1+ηiyb)=14abξi(b+ηiy)Niy=y14(1+ξixa)(1+ηiyb)=14abηi(a+ξix)故Bi=14abξi(b+ηiy)00ηi(a+ξix)ηi(a+ξix)ξi(b+ηiy)(i,j,m,p)(2.
40)应力公式为σ=DBae=sae其中s=〔sisjsmsp〕而si=DBi(i,j,m,p)将式(1.
5a)的D和式(2.
40)的Bi代入上式,得si=E4ab(1-μ2)ξi(b+ηiy)μηi(a+ξix)μξi(b+ηiy)ηi(a+ξix)1-μ2ηi(a+ξix)1-μ2ξi(b+ηiy)(i,j,m,p)(2.
41)上式表明,R4单元内应力呈线性变化,它比T3元精度高.
整理应力成果时,常常需要求出R4单元的四个结点上的应力,而这得先求出四个结点上的应力矩阵值si,sj,sm,sp,.
我们分别将i,j,m,p四个结点的坐标值xi,yi和ξi,ηi(i,j,m,p)代入式(2.
41)可以得到:si=E4ab(1-μ2)·-2b-2μa2b00002μa-2μb-2a2μb00002a-(1-μ)a-(1-μ)b0(1-μ)b00(1-μ)a0(2.
42)sj=E4ab(1-μ2)·45··-2b02b-2μa02μa00-2μb02μb-2a02a000-(1-μ)b-(1-μ)a(1-μ)b(1-μ)a000(2.
43)sm=E4ab(1-μ2)·000-2μa2b2μa-2b0000-2a2μb2a-2μb000-(1-μ)a0(1-μ)a(1-μ)b0-(1-μ)b(2.
44)sp=E4ab(1-μ2)·0-2μa002b0-2b2μa0-2a00-2μb0-2μb2a-(1-μ)a0000(1-μ)b(1-μ)a-(1-μ)b(2.
45)以上公式(2.
41,42,43,44,45)适用于平面应力问题,对于平面应变问题,则需将式中的E换为E(1-μ2),μ换为μ(1-μ).
(3)单元刚度矩阵R4单元ke为一个8*8方阵,其计算公式仍为k=BTDBdxdyt·55··65·对于平面应力问题可将式(1.
5a)的D和式(2.
39)、(2.
40)的B代入上式进行积分,便有(2.
46)式.
对于平面应变问题,其中E和μ值必须分别换为E(1-μ2)和μ(1-μ).
用R4单元分析平面问题时,其整体结点平衡方程组的建立仍是在集合单元的有关矩阵变成整体对应的矩阵的基础上进行的,即Q=∑eQeK=∑eke逐个结点考察平衡,得Ka=Q这就是用R4单元分析平面问题的有限元方程,解此方程组求得结点位移后,就可逐个单元求解应力.
由应力公式σ=sae和(2.
41)式可见,矩形单元中的应力分量都不是常量.
正应力分量σx的主要项(即不与μ相乘的项)沿着y向按线性变化,而它的次要项(即与μ相乘的项)沿着x方向按线性变化.
正应力分量σy与此相反.
剪应力分量τxy则沿着x及y两个方向都按线性变化.
因此,在弹性体中采用同样数目的结点时,矩形单元的精度高于简单三角形单元.
虽然相邻的矩形单元在公共边界处的应力也有差异,但差异是较小的.
在整理应力成果时,可以采用绕结点平均法,即,将环绕某一结点的各单元在该结点处的应力加以平均,用来代表该结点处的应力,其表征性是较好的.
对于边界结点处的应力,除了对于浅梁的挤压应力外,一般都无须从内结点处的应力推算得来.
但是,矩形单元有其明显的缺陷:一是不能适应斜交边界和曲线边界,二是不便于在不同部位采用不同大小的单元.
为弥补这些缺陷,可以把矩形单元和简单三角形单元混合使用.
例如,在图·75·2.
11中,在一般部位,都采用如ijmp所示的矩形单元;在靠近曲线边界AB的部位,改用若干个三角形单元;在CD部分,估计到应力变化比较剧烈,就改用较小的矩形单元,而以若干个三角形单元作为过渡之用.
由于三角形单元和矩形单元的位移在单元的边界上都是线性变化的,因而所有的相邻单元在公共边界上的位移都是连续的,从而保证了解答的收敛性.
当然,这样处理,将使计算程序的编制和信息的填写都比较复杂些.
下面列举三个算例.
例1简支梁受均布荷载考察图2.
12所示的简支梁,计算右边的一半,用6*12的矩形网格,图2.
12.
图2.
11矩形单元用三角形单元过渡图2.
12用矩形单元分析受均布荷载作用的简支梁用绕结点平均法整理x=0截面上的弯曲应力σx时,整理结果如表2.
5所示).
梁底及梁顶处弯曲应力σx的有限单元解(未用插值公式推算)为±265N/m2,与函数解±272N/m2相比,误差只有±7N/m2,小于3%,可见精度是很高的.
即使是对于挤压应力σy,用绕结点平均法进行整理时,仍然可以得出表征性很好的结果,但边界结点处的挤压应力须由内部结点处的应力推算得到,例如,对于x=0的各结点处的挤压应力,整理的结果如表2.
6所示,其中,梁底及梁顶处的应力是分别由3个内部结点处的应力推算得来的.
·85·表2.
5在x=0截面上的σx(N/m2)结点坐标y(cm)1.
51.
00.
50-0.
5-1.
0-1.
5有限单元解-265-174-85085174265函数解-272-180-89089180272误差7640-4-6-7表2.
6在x=0截面上的σy(N/m2)结点坐标y(cm)1.
51.
00.
50-0.
5-1.
0-1.
5有限单元解-10.
1-8.
9-7.
2-5.
0-2.
8-1.
0-0.
2函数解-10.
0-9.
3-7.
4-5.
0-2.
6-0.
70误差-0.
10.
40.
20.
0-0.
2-0.
3-0.
2例2深梁问题图2.
13所示的深梁,跨度及高度均为6m,受均布荷载100N/m2,E=2*1010N/m2,μ=0.
17,宽度取为1m,作为平面应力问题,用图示的网格计算了右边的一半.
用绕结点平均法整理中间截面上的σx时,结果如图所示.
如果按照材料力学中的公式进行计算,则梁底及梁顶处的σx为±75N/m2,误差是很大的.
图2.
13受均布荷载作用的深梁例3基础梁问题图2.
14示一平面应变情况下的基础梁,宽度t取为1m,高1.
8m,长10m,支承在10m厚的土层上,受均布荷载20N/m2.
取·95·E=2*l010N/m2,μ=0.
17.
用图示的网格计算右边的一半,而在对称面上的各结点处取u=0.
土层下方的岩基作为刚性支承,取u=0,v=0.
梁端以外弹性土层的范围取为1.
5倍梁长,即15m.
当土层的弹性模量E0取为107N/m2(相应于较松的土壤),泊松比μ0取为0.
3时,基础梁中央截面上梁底处的拉应力算得为32.
2N/m2.
图2.
14基础梁问题2.
5等参数单元前面,我们已讨论过三角形单元和矩形单元.
这两类单元形状简单、规整,单元的各种基本矩阵,如N、B、s、k、Qe等的求解比较容易且有显式表示,单元的特性也好掌握.
三角形单元具有适应性强的长处,能适应曲折的几何边界,分布不匀的材料类型和梯度不等的应力区域,但它的精度较低;而矩形单元有精度较高、形状规整、便于实现计算自动化等优点,但适应性较差,遇到曲线边界或非正交直线边界时就很难模拟,对于材料分布不匀的结构或是应力梯度不等的区域难以布置大小不等的网格,这是矩形单元的致命弱点.
能否寻找一种新的单元兼有精度较高而适应性强的单元呢人们很容易想到任意四边形单元,它的形状任意,极易适应各种复杂的边界,也可根据变化不匀的材料性质和应力梯度布置疏密相间的网格,且可保留较高的精度,但也因为它的几何形状不规整,没有统一的单元形态,给单元特性的分析带来了困难;·06·人工手算固然不行,即使用计算机去逐个单元按照不同公式进行计算,也因其工作量过于庞大而无法胜任.
如何对任意四边形单元进行单元分析呢首先要解决的问题是如何去构造这类单元的位移模式,让我们以4结点任意四边形单元为例进行分析(见图2.
15(a)).
图2.
154结点任意四边形单元4结点任意四边形单元(简称为Q4单元)同4结点矩形单元(R4单元)一样,具有四个结点和八个自由度.
为此,人们极易产生这种错觉,对于Q4单元,也可采用和R4单元相同的位移模式,即u=a1+a2x+a3y+a4xyv=a5+a6x+a7y+a8xy进一步的分析表明,这种想法是行不通的,其理由是:(1)它不能满足位移协调条件.
取任一边界23来考察,设23边的直线方程为y=Ax+B,代入上述位移模式以后可得(u)23=a1+a2x+a3(Ax+B)+a4x(Ax+B)=(a1+a3B)+(a2+a3A+a4B)x+a4Ax2同理(v)23=(a5+a7B)+(a6+a7A+a8B)x+a8Ax2由此可知23边界上的位移呈二次曲线分布.
若23边为某两单元的·16·公共边界,仅仅在该边两端结点保持相连的条件下是不可能保证其边界上位移处处相等的,亦即不能满足位移在单元边界的协调条件.
(2)应用这种位移模式求Qe和ke时,其积分的上下限难于确定.
因此,直接对Q4单元进行单元分析是不行的,只好另找出路.
有一种想法是进行图象变换,即把不规整的任意四边形变成规整的正方形,或是把Q4单元视为正方形单元的映象,这就要引入坐标变换,原来是xy平面内的Q4单元,要把它变换为另一坐标系(如ξη坐标系)平面内正方形单元(取最简单的2*2正方形单元),如图2.
15(b)所示.
这里的ξ、η坐标是从-1到+1变化的,这种单元在有限元中叫做基本单元或母单元;而xy平面内的Q4单元看作是基本单元的映象,称它为实际单元.
实际单元和基本单元之间存在有一一对应的关系,实际单元任一点P(x,y)对应着基本单元内一点P′(ξ,η),如图中所示.
显然,x,y和ξ,η之间存在着一定的变换关系,如果找到这种变换关系式,那么实际单元(Q4单元)的特性分析就可借用其基本单元进行单元分析了,而后者是规整单元,它的特性类同于R4单元,位移模式完全可以利用2.
4所导出的成果,求Qe和ke积分式的上下限也好确定.
这样,应用Q4单元去分析平面问题就可以行得通了.
现在的问题是如何确立两套坐标系之间变换的关系式,这个问题实际上是一个描述坐标向量场的问题,亦即在ξη坐标系中去描述实际单元中任一点坐标(x,y)的问题.
从数学知识可知,场的描述均可以象位移场那样用插值函数来表示,那么对坐标向量场的描述也可以如此进行.
拿Q4单元来说,可取四个结点的坐标值(xi,yi)为参数,引用插值函数(ξ,η为其变量),建立用ξ,η坐标变量确定实际单元中任一点坐标(x,y)的关系式:x=N1(ξ,η)x1+N2(ξ,η)x2+N3(ξ,η)x3+N4(ξ,η)x4y=N1(ξ,η)y1+N2(ξ,η)y2+N3(ξ,η)y3+N4(ξ,η)y4(2.
47)·26·其中Ni(ξ,η)(i=1,2,3,4)可参照R4单元位移模式中的插值函数公式(2.
34),将a=b=1代入、并用ξ,η分别替换x,y便可得到:Ni(ξ,η)=14(1+ξiξ)(1+ηiη)(i=1,2,3,4)(2.
48)展开后的形式为N1(ξ,η)=14(1-ξ)(1-η)N2(ξ,η)=14(1+ξ)(1-η)N3(ξ,η)=14(1+ξ)(1+η)N4(ξ,η)=14(1-ξ)(1+η)(2.
49)不难看出,式(2.
47)是用ξ,η表示x,y的关系式,一旦知道图2.
16畸变的四边形单元基本单元某一点的局部坐标ξ,η值,便可找到实际单元对应点的整体坐标x,y值.
鉴于式(2.
47)表示的x,y是ξ,η的连续光滑函数,只要Q4单元不是畸变的四边形(见图2.
16),就可以保证基本单元和实际单元之间存在有一一对应的关系(严格地讲,只有在J=D(x,y)D(ξ,η)≠0时才成立).
这就保证在结点处能得到正确的实际坐标值(如结点1:x=x1,y=y1;结点2:x=x2,y=y2…)和在单元公共边界上的坐标值处处相同,从而使变换后的实际图形依然保持单元之间完全贴合的形态.
式(2.
47)是针对Q4单元构造的坐标变换式,其道理也适用于建立任意形状单元的变换关系,如果写成一般式,即为:x=∑di=1Ni(ξ,η)xiy=∑di=1Ni(ξ,η)yi(2.
50)·36·或x=xy=Nxie其中N=N10N20…Nd00N10N2…0Ndxei=〔x1y1x2y…xdyd〕T例如,图2.
17所示的8结点曲边形单元的坐标变换式可写为x=Nxei图2.
178结点曲边形单元插值函数为Ni=14(1+ξiξ)(1+ηiη)(ξiξ+ηiη-1)(i=1,2,3,4)Ni=12(1+ηiη)(1-ξ2)(i=5,7)Ni=12(1+ξiξ)(1-η2)(i=6,8)(2.
51)解决了坐标变换式后,单元各种基本矩阵的表达式便可转换用ξ,η坐标变量进行计算,对于单元的位移模式可取单元的结点位移为参数,用插值函数Ni(ξ,η)表示,即u=∑di=1Ni(ξ,η)uiv=∑di=1Ni(ξ,η)vi(2.
52)·46·或u=uv=Nae(2.
53)其中Ni(ξ,η)(i=1,2,…,d)可以取与坐标变换式(2.
50)中所用的插值函数相同的公式.
对Q4单元来说,其具体形式为式(2.
48),由于这种插值函数还满足∑di=1Ni(ξ,η)=1所以由它组成的位移模式是满足完备性准则的.
另外,还可证明,它能满足位移协调条件.
仍取图2.
15所示Q4单元中23边为例,进行分析.
该边位移算式为:(u)23=(N1(ξ,η))23u1+(N2(ξ,η))23u2+(N3(ξ,η))23u3+(N4(ξ,η))23u4因为23边上ξ=+1,故(N1(ξ,η))23=(N4(ξ,η))23=0(N2(ξ,η))23=12(1-η)(N3(ξ,η))23=12(1+η)代入上式后得,(u)23=12(1-η)u2+12(1+η)u3同理有(v)23=12(1-η)v2+12(1+η)v3由此可见,23边界上的位移是η的一次式,当23边为某两单元公共边界时,由于该边两端结点处皆有各自相同的位移,就可以完全保证两单元在公共边界上的位移处处相等,从而满足位移协调条件.
单元的位移模式一旦确定,其它的基本矩阵就不难建立,其推演过程和规整单元(如R4单元)大致相同,不同的只是坐标变量的变换,包括x,y变换为ξ,η,对x,y的偏导数变换为对ξ,η的偏导数,对x,y的积分式变换为对ξ,η的积分式等.
其细则见下·56·一节内容.
总结一下以上讨论的内容,可以知道有限元在解平面问题时所采用的单元类型有三大族.
一类是三角形单元族,如T3单元,T6单元等;另一类是矩形单元族,如R4单元、R8单元等;第三类是参数型单元族,其单元的几何轮廓可为任意曲边组成的三角形或四边形,棱边上结点的位置也可以是任意分布的,如4结点任意四边形、8结点曲边四边形等.
对于前两族单元,可以直接建立位移模式,形成单元的各个基本矩阵,后一族单元则要进行图象变换(坐标变换),借用规整的基本单元进行单元特性的分析.
多数情况下,为了简便,在建立坐标变换式和构造位移模式时采用相同结点上的对应值为参数和完全相同的插值函数.
对于这种单元,在有限元中称之为等参数单元.
如果在坐标变换式中采用结点参数的个数和插值函数不同于位移模式中结点参数的个数和插值函数,则根据两者取用结点参数个数的差值符号分别命名为亚参数单元和超参数单元.
本章只讨论等参数单元.
2.
6等参数单元的数学分析前面提到,在进行等参数单元的基本矩阵计算时,需要用到两个坐标系中变量、偏导数和积分变量各自之间的变换关系.
现在来导出这些变换关系式.
(1)坐标变量的变换式,前已导出用ξ,η表达的x,y的关系式为:x=∑di=1Ni(ξ,η)xiy=∑di=1Ni(ξ,η)yi其中d为单元结点的个数,一般情况下,要写出用x,y表示ξ,η的显式是十分困难的,这就给等参数单元某些矩阵的计算增加了麻烦,这将在下面的讨论中看到.
(2)插值函数对两套坐标系变量偏导数之间的变换式·66·在单元分析中,B、s、ke等都和插值函数对整体坐标的偏导数Nix,Niy(i=1,2,…,d)有关,根据复合函数的求导规则,有Nix=Niξ·ξx+Niη·ηxNiy=Niξ·ξy+Niη·ηy(2.
54)由于不能列出用x,y表示ξ,η的显式,故也无法求得ξx,ξy,ηx,ηy的算式,因此用式(2.
54)式求Nix,Niy是行不通的,只好改用求逆的办法.
将Niξ=Nix·xξ+Niy·yξ(ξ,η)或NiξNiη=xξyξxηyηNixNiy求逆后便可得到NixNiy=xξyξxηyη-1NiξNiη(2.
55)或简写为:Nix=J-1Niξ(2.
56)其中J=xξyξxηyη(2.
57)通常称J为雅可比(Jacobi)矩阵,将式(2.
50)代入上式得:·76·J=∑di=1Niξxi∑di=1Niξyi∑di=1Niηxi∑di=1Niηyi=N1ξN2ξ…NdξN1ηN2η…Ndηx1y1x2y2xdyd(2.
58)其中Ni(ξ,η)对ξ,η的偏导数是易求的,代入上式后便可求出J,再求其逆阵J-1,即可代入(2.
55)式求得各个插值函数对x,y的偏导数.
(3)积分变量的变换在计算Qe和ke时,需要用到对x,y的面积分或对单元边界s的线积分,在等参数单元中由于被积函数很难用x,y表示和积分上下限无法确定的原因,只能把被积函数和积分变量改用ξ,η表示,这样,其积分上下限明确从而解决了积分式的计算.
被积函数用ξ,η表示是容易的,而积分变量的变换需要推导,其中包括微分面积dA和微分弧长ds如何用dξ,dη表示.
根据高等数学知识,可以得到微分面积dA和微分弧长ds用dξ,dη表示的公式如下:(a)微分面积dA按下式计算dA=|J|dξdη(2.
59)其中|J|=xξyξxηyη因为它的元素和雅可比矩阵J中的元素相同,故将|J|称为雅可比行列式.
对照一下图2.
18(a)中pqrs围成的微分面积dA和图2.
18(b)中对应的p′q′r′s′围成的微分面积·86·图2.
18两种坐标中的微分面积dA′(dA′=dξdη),可以得到dA=|J|dA′,所以|J|好比是面积放大系数.
式(2.
59)的推导过程和实际单元的形态毫无关系,因此它是微分面积变换的一般式.
(b)微分弧长ds的计算在求解面力荷载对应的单元等效结点荷载Qep的公式中,需要用到单元受载边界上的微分弧长作为积分变量.
为了便于运用公式,我们约定,对应ξ=±1的边界,分别命名为ξ的正、负面,而对应η=±1的边界分别命名为η的正、负面.
当ξ=±1面受有面力荷载时,微分弧长ds按下式计算dsξ=xη2+yη2ξ=±1dη(2.
60)当η=±1面受有面力荷载时,微分弧长dsη的计算公式为dsη=xξ2+yξ2η=±1dξ(2.
61)式(2.
60)、(2.
61)两式与实际单元的形态无关,因此,它们也是一般式.
(4)单元边界的法线方向余弦的计算在求解法向面力荷载(如静水压力一类荷载)对应的等效结点·96·荷载Qep时,需要用到受载边界的法线方向余弦,为此必须导出用ξ,η变量表示的单元各类边界上法线方向余弦.
这里约定,对应ξ面的单元边界上的法线nξ沿ξ正向为正,对应η面的单元边界上的法线nη沿η正向为正.
也可以这么说,和ξ正面,η正面对应的边界上的法线是以外法线为正向,而和ξ负面,η负面对应的边界上的法线是以内法线为正向.
和ξ面对应的单元边界上任意点法线nξ的方向余弦公式:lξ=cos(nξ,x∧)=yηxη2+yη2mξ=cos(nξ,y∧)=-xηxη2+yη2(2.
62)和η面对应的单元边界上任意点法线nη的方向余弦公式:lη=-yξxξ2+yξ2mη=xξxξ2+yξ2(2.
63)显然,式(2.
62)、(2.
63)两式也适用于平面问题中任何形态的等参数单元.
2.
7等参数单元的力学分析现在来对d个结点的平面等参数单元进行力学分析,从而导出这种单元的荷载向量,应变应力矩阵和刚度矩阵.
(1)单元的等效荷载向量当单元在任意一点受有集中荷载P=Px,PyT时,其等效·07·结点荷载向量计算公式为QeP=NTP(2.
64)或Xi=Ni(ξP,ηP)PxYi=Ni(ξP,ηP)Py(i=1,2,…,d)(2.
65)其中ξp、ηp为集中荷载P作用点的局部坐标.
当单元受有体力作用p=XYT时,利用(2.
64)的积分求得Qep=ANTpdA·t应用式(2.
59),上式可表示为Qep=∫1-1∫1-1NTpJdξdη·t(2.
66)对于非均匀分布的体力,须将体力分量X,Y表示为局部坐标ξ,η的函数,使被积函数NTpJ全变为ξ,η的函数.
(前已导出N,J是ξ,η的函数),再进行积分.
当单元在某一边界面上,例如在ξ=±1面上,受有面力p=X珡YT时,也可利用式(2.
64)的积分求得Qe珔pξ=±1=∫1-1NTξ=±1珔pξ=±1xη2+yη2ξ=±1dη·t(2.
67)对于非均匀分布面力,须将面力分量X,珡Y表示为局部坐标η的函数,使被积函数NTξ=±1珔pξ=±1xη2+yη2ξ=±1全变为η的函数,再进行积分.
对于η=±1面上的分布面力的等效荷载向量算式只须将式(2.
67)中ξ=±1换为η=±1,η换为ξ就可得到.
如上述分布面力为静水压力q,鉴于其方向总是与受载边外法线方向相反,而ξ=1面的外法线是正向,ξ=-1面的外法线是·17·负向,故对ξ=±1面上的水压力集度向量可写为珔pξ=±1=êqlξqmξTξ=±1=êqlξmξTξ=±1将上式代入式(2.
67),并利用式(2.
62),可得Qepξ=±1=ê∫1-1NTξ=±1qyη-xηTξ=±1dη·t(2.
68)类似地可以得到作用在η=±1面上的水压力所对应的单元等效结点荷载向量公式为Qepη=±1=ê∫1-1NTη=±1q-yξxξTη=±1dξ·t(2.
69)对式(2.
68)、(2.
69)进行积分时,还须将被积函数中的q用变量ξ,η来表示.
例如,图2.
18上23边受有水压力作用,设其在结点2和3的集度分别为q2和q3,则该边界上任意一点p上的q可用下式计算.
q=N2(ξ,η)ξ=1q2+N3(ξ,η)ξ=1q3(2)单元的应变和应力矩阵求应变的一般式为ε=Bae其中B=〔B1B2…Bd〕Bi=Nix00NiyNiyNix(i=1,2,…,d)Nix=J-1Niξ上式表明等参数单元的应变公式是用单元的局部坐标ξ,η为变量表示的.
求应力的一般式为·27·σ=DBae=sae其中s=〔s1s2…sd〕si=DBi(i=1,2,…,d)同样地,单元的应力公式也是用局部坐标ξ,η为变量表示的,因此欲求单元内的应力,必须指定应力点的局部坐标值才能求出应力值.
因此在计算应力成果的同时,还必须根据坐标变换式(2.
50)由应力点的局部坐标算出它的整体坐标值,以便知道应力点的实际位置.
(3)单元的刚度矩阵根据第一章导出的求ke的普遍公式(1.
29)为ke=ABTDBdA·t应用式(2.
59),上式可表示为ke=∫1-1∫1-1BTDBJdξdη·t(2.
70)将ke写成分块的形式:ke=k11k12…k1dk21k22…k2dkd1kd2…kdd其中的子矩阵krs=∫1-1∫1-1BTrDBsJdξdη·t(r,s=1,2,…,d)(2.
71)注意到式(2.
70,71)中的被积函数均为ξ,η的函数,便可对ξ,η进行积分.
但是由于B中的Nix,Niy含有J-1项,使被积函数不是一般的多项式,而是分子和分母均有多项式的函数,(分母项为J),故要得出积分的显式是很困难的,常常需要用数值积分法去求其近似值.
这在2.
9节将要作详细介绍.
·37·有了单元的荷载向量Qe和刚度矩阵ke,便可用集合的方法形成整体荷载向量Q和整体刚度矩阵K,从而建立起整体的结点平衡方程Ka=Q在引入边界条件、解上面方程求出结点位移后,便可逐个单元求应力.
由于等参数单元应力点的位置不能按整体坐标值指定而只能按局部坐标值确定,迫使人们常常选用那些局部坐标值简单的点为应力点.
单元结点的局部坐标最为简单,不外乎0,±1,±12,±13,…等等,因此,常常先求出单元结点的应力,然后用绕结点平均法整理应力成果.
近年来,有些文献指出,各类等参数单元内部具有应力精度较高的点(称为应力佳点),建议选这些点为应力点;而工程单位又提出希望得到结构表面的应力.
因此,现行求解单元应力的程序,除含有求结点应力的内容外,还具有求单元内应力佳点处应力和单元表面上的应力等的功能.
2.
8Wilson非协调元等参元有良好的适应性和表达格式的简明性,因而得到了广泛的应用.
但是它的精度和效率仍是不高的.
以二维单元为例,双线性单元有4个结点,对应的插值函数中包含下列四项:1,ξ,η,ξη,二次单元有8个结点,对应的插值函数中包含下列八项:1,ξ,η,ξ2,ξη,η2,ξ2η,ξη2.
这些插值函数中所包含的完全多项式分别只是一次和二次,它们所要求的自由度分别是3和6.
就构成单元精度的完全多项式而言只需要3和6个结点数.
从这个意义上讲,二维等参元中有四分之一的结点自由度对计算精度是不起作用的.
一般来说,插值函数中非完全的高次项非但不能改善精度,而且还可能起相反的作用.
所以,等参元的精度在给定自由度的条件下是不够理想的.
上述缺点对三维问题更加突出.
因为在三维单元中,一次完全多项式是四项:1,ξ,η,ξ;二次完全多项·47·式是十项:1,ξ,η,ζ,ξ2,η2,ζ2,ξη,ηζ,ζξ,而三维线性单元和二次单元却分别具有8个和20个结点,也即三维等参元中有二分之一的结点自由度对计算精度是无贡献的.
基于上述原因,E.
Wilson提出了二维和三维非协调元.
下面讨论二维双线性单元在分析纯弯曲应力状态时出现的问题.
由于二维双线性单元的插值函数中包含有非完全的二次项ξη,因此用它表示纯弯曲应力时,出现明显的误差.
图2.
19表示受纯弯作用的矩形单元,其精确位移解如图2.
19(b)所示,并可表达如下:u=α1xyv=12α1a2-x2+12α1μb2-y2(2.
72)图2.
19受纯弯作用的矩形单元如果我们用一个线性矩形单元去模拟上述受力状态,得到的位移将如图2.
19(c)所示,即u=α1xyv=0(2.
73)所以(2.
72)式的第二式位移v的表达式实际上表示了利用一个双线性单元模拟纯弯曲应力状态时出现的误差.
为了改善二维线性单元的性质,提高其精度,Wilson提出在单元的位移插值函数中增加内部无结点的位移项.
当单元是等参元,采用自然坐标时,此附加项为α1(1-ξ2)和α2(1-η2).
从形式上看,这两项和(2.
72)式第二式所包含的项次相同.
而它们正是利用二维双线性单元模拟纯弯曲应力状态时出现误差的原因所在.
从数学上看,是通过引入ξ2和η2项,使插值函数中的二次式·57·趋于完全,从而达到提高计算精度的目的.
附加项α11-ξ2和α21-η2的位移,在二维线性单元的四个结点上都取零值,即它对结点位移没有影响,只对单元内部的位移起了调整作用.
包含附加的无结点位移项的单元位移插值可表示如下u=∑4i=1Niui+α11-ξ2+α21-η2v=∑4i=1Nivi+α31-ξ2+α41-η2(2.
74)其中Ni(ξ,η)=141+ξ01+η0,ξ0=ξiξ,η0=ηiη(i=1,2,3,4).
α1,α2,α3,α4为内部自由度.
将(2.
74)式写成矩阵形式u=Nae+Nαe(2.
75)其中u=uvT,ae=u1v1…υ4T,αe=α1α2α3α4TN=N10N20…N400N10N2…0N4N=1-ξ21-η200001-ξ21-η2代入几何关系可以得到ε=Bae+Bαe(2.
76)利用虚功方程,则有keuukeuαkeαukeααaeαe=QeuQeα(2.
77)其中keuu=∫ΩeBTDBdΩ是原四结点线性单元的刚度矩阵;keuα=keαu=∫ΩeBTDBdΩ(2.
78)·67·keαα=∫ΩeBTDBdΩ(2.
79)Qeu=∫ΩeNTpdΩ+∫ΓeσNTpdΓ(2.
80)Qeα=∫ΩeNTpdΩ+∫ΓeσNTpdΓ(2.
81)从(2.
77)式的第二式可解出αe=keαα-1Qeα-keαuae(2.
82)利用上式消去(2.
77)式的第一式中的内部自由度α,则得到凝聚后的单元求解方程keae=Qe(2.
83)其中ke=keuu-keuαkeαα-1keαu,Qe=Qeu-keuαkeααQeα上式即为包含附加位移项的单元刚度矩阵和荷载向量.
它是在原单元刚度矩阵和荷载向量内增加了修正项而得到的.
消去内部自由度以及修正单元刚度矩阵和荷载向量都是在单元分析过程中进行的,此过程称为内部自由度的凝聚.
经凝聚后,单元的自由度仍是原四边形单元的自由度,以后的分析和计算步骤也和标准的解题步骤相同.
顺便指出,在不计体力的情况下,(2.
81)式中的第二项也可一并略去,以减少计算工作量,而计算结果表明,对精度没有什么影响.
Wilson还将上述4结点平面非协调元推广到了三维元和厚壳元.
例如8结点三维非协调元的位移插值表示式是u=∑8i=1Niui+α11-ξ2+α21-η2+α31-ζ2v=∑8i=1Nivi+α41-ξ2+α51-η2+α61-ζ2w=∑8i=1Niwi+α71-ξ2+α81-η2+α91-ζ2(2.
84)其中Ni=181+ξ01+η01+ζ0,ξ0=ξiξ,η0=ηiη,·77·ζ0=ζiζ(i=1,2,3,…8).
2.
9高斯积分法在等参数单元推求荷载向量或刚度矩阵时,需要进行如下形式的积分:∫1-1f(ξ)dξ,∫1-1∫1-1f(ξ,η)dξdη其中被积函数一般比较复杂,有的可以积分出结果,但式子很繁;有的甚至得不到它的显式(如刚度矩阵的积分式).
因此,一般都用数值积分代替函数积分,即,在单元内选出某些点,称为积分点,算出被积函数在这些积分点处的函数值,然后用对应的加权系数乘上这些函数值,再求出总和,将其作为近似的积分值.
数值积分有好几种方法,其中高斯(Gauss)求积法的精度比较高,因此本节只介绍它的求积公式.
首先介绍一维高斯求积公式:I=∫1-1f(ξ)dξ=∑ng=1Hgf(ξg)(2.
85)其中g为积分点号,n为所取积分点的数目,fξg是被积函数f在积分点g处(坐标为ξg)的函数值,Hg是积分点g的加权系数.
当积分点数目n、每一积分点的坐标ξg及对应的加权系数Hg确定时,就可求出I的积分值.
下面讨论n、ξg及Hg的确定方法设f(ξ)是m次多项式,即f(ξ)=a0+a1ξ+a2ξ+…+amξm(a)则积分点g处坐标为ξg的函数值为f(ξg)=a0+a1ξg+a2ξ2g+…+amξmg(g=1,2,…,n)(b)将式(a)、(b)分别代入式(2.
85)中等号的左、右边项,得:I左=∫1-1f(ξ)dξ=∫1-1a0+a1ξ+a2ξ2+…+amξmdξ·87·=2a0+0+23a2+0+25a4+…+amm+11m+1-(-1)m+1I右=∑ng=1Hgfξg=H1a0+a1ξ1+a2ξ21+…+amξm1+H2a0+a1ξ2+a2ξ22+…+amξm2…+Hna0+a1ξn+a2ξ2n+…+amξmn为了使ai为任意数值时,I左=I右成立,则两边ai(i=0,1,…,m)前面的系数必须一一对应相等,据此可建立m+1个方程式:H1+H2+…+Hn=2H1ξ1+H2ξ2+…+Hnξn=0H1ξ21+H2ξ22+…+Hnξ2n=23H1ξ31+H2ξ32+…+Hnξ3n=0H1ξ41+H2ξ42+…+Hnξ4n=25H1ξ51+H2ξ52+…+Hnξ5n=0…H1ξm1+H2ξm2+…+Hnξmn=1m+11m+1-(-1)m+1(2.
86)这组方程式中含有2n个未知数(ξ1,ξ2,…,ξn,H1,H2,…,Hn)要使方程有解,应使2n=m+1.
由此可知,对于m次多项式被积函数,高斯积分点的数目n应取m+12,或者说对于n个积分点的高斯求积公式的精确度,可达到m=2n-1次(即对f(ξ)为(2n-1)次及其以下的多项式用式(2.
85)求积均可求得精确的数值).
这种用式(2.
86)求解ξg和Hg(g=1,2,…,n)的方法叫·97·做待定系数法.
一旦确定了积分点的个数n,便可从式(2.
86)中取出2n个方程解出相应的n个ξg值和n个Hg值.
例如,n=2,待求的有ξ1,ξ2和H1,H2,可由式(2.
86)的前面四个方程联立求解,它们是:H1+H2=2,H1ξ21+H2ξ22=23H1ξ1+H2ξ2=0,H1ξ31+H2ξ32=0这个方程组虽然是非线性的,但不难用消去法求得:ξ1=-ξ2=-13=-0.
57735……H1=H2=1这里我们约定积分点g的编号是按其ξ值从小到大排列的.
那么,n=2的高斯求积公式可以写为:∫1-1f(ξ)dξ=H1f(ξ1)+H2f(ξ2)如果f(ξ)是多项式,则这个求积公式的代数精确度为m=2n-1=3,也就是说对于被积函数为四次以下的多项式时,取二个积分点的求积公式是精确的.
图2.
20表示高斯求积法是怎样计算上述定积分的积分值的.
图中f(ξ)是一根三次曲线,它和ξ轴围成的面积便是∫1-1f(ξ)dξ.
两个积分点的位置在图中用*表示.
H1f(ξ1)可以看成是以H1为底,f(ξ1)为高所形成的矩形面积(即图上第二象限中虚线和ξ轴所包围的面积).
同理,H2f(ξ2)也可看成是以H2为底,f(ξ2)为高所形成的矩形面积(即图上第一象限中虚线和ξ轴所围的面积).
从图形比较中可大致看出,这两块面积(H1f(ξ1)+H2f(ξ2))与∫1-1f(ξ)dξ所表示的面积正好相等,如f(ξ)是二次或一次曲线,同样也可得到相同的结论.
但f(ξ)若是四次或更高次曲线,这个结论就不适用了,这就是二个积分点的求积公式的精确度为3的含义.
另外还可以看到加权系数Hg(g=1,2)好比是积分点g(g=1,2)控制的范围,它们互·08·不重迭,正好把积分的上下限区域(总是等于2)全部瓜分掉,即H1+H2=2.
这个结论将适用于n个积分点的一般情况,正如式(2.
86)中第一式所表示的那样,H1+H2+…+Hn=2.
又如,n=3,待求的有ξ1,ξ2,ξ3,H1,H2,H3.
它可由式(2.
86)中前面的六个方程联立求解,它们是H1+H2+H3=2,H1ξ31+H2ξ32+H3ξ33=0H1ξ1+H2ξ2+H3ξ3=0,H1ξ41+H2ξ42+H3ξ43=25H1ξ12+H2ξ22+H3ξ32=23,H1ξ51+H2ξ52+H3ξ53=0不难求出:ξ1=-ξ3=-0.
6=-0.
774596…,ξ2=0H1=H3=59=0.
55555…,H2=89=0.
88888…那么,n=3的高斯求积公式可写为:∫1-1f(ξ)dζ=H1f(ξ1)+H2f(ξ2)+H3f(ξ3)这个求积公式的精确度为m=2n-1=5,也就是说,当f(ξ)为六次以下的多项式时,取3个积分点的求积公式是精确的.
图2.
21表示三点求积公式是怎样计算上述定积分的积分值的.
图中f(ξ)是5次曲线,它与ξ轴所围成的面积(即∫1-1f(ξ)dξ的值)是用三块矩形面积(如图中虚线与ξ轴所包围的面积)求和的方法计算的.
其中的三块矩形分别是取f(ξ1),f(ξ2),f(ξ3)为高和H1,H2,H3为底构成的.
而H1,H2,H3好比是三个积分点的控制范围,正好占满积分的上下限范围.
图形比较表明,三块矩形面积之和是等于∫1-1f(ξ)dξ所表示的面积.
当n=4,5,…时,同样利用式(2.
86)可以获得ξg和Hg(g=1,2,…,n)数值,现将其结果列于表2.
7中.
·18·图2.
20用2个积分点计算数值积分时的几何意义图2.
21用3个积分点计算数值积分时的几何意义表2.
7高斯求积公式中的积分点坐标与加权系数∫1-1f(ξ)dξ=∑ni=1Hif(ξi)±ξiHin=20.
5773502691896261.
000000000000000n=30.
7745966692414830.
5555555555555560.
0000000000000000.
888888888888889n=40.
8611363115940530.
3478548451374540.
3399810435848560.
652145154862546n=50.
9061798459386640.
2369268850561890.
5384693101056830.
4786286704993660.
0000000000000000.
568888888888888·28·续上表±ξiHin=60.
9324695142031520.
1713244923791700.
6612093864662650.
3607615730481390.
2386191860831970.
467913934572691n=70.
9491079123427590.
1294849661688700.
7415311855993940.
2797053914892770.
4058451513773970.
3818300505051190.
0000000000000000.
417959183673469现在来介绍二维情况的高斯求积公式.
对于形如∫1-1∫1-1f(ξ,η)dξdη的高斯求积公式极易从一维求积公式(2.
85)导出,先对ξ进行积分,此时把η当作常量,于是有∫1-1f(ξ,η)dξ=∑n1i=1Hif(ξi,η)=Φ(η)(a)再对η进行积分,得∫1-1∫1-1f(ξ,η)dξdη=∫1-1Φ(η)dη=∑n2j=1HjΦ(ηj)(b)将式(a)代入(b),即得∫1-1∫1-1f(ξ,η)dξdη=∑n1i=1∑n2j=1HiHjf(ξi,ηj)(2.
87)这里的i和j是同一积分点g在ξ向和η向的编码号;ξi和ηj是同一积分点g在ξ向和η向坐标(也就是ξg和ηg);Hi和Hj是积分点g在ξ向和η向的一维加权系数.
二维高斯求积公式的精确度可由一维公式推出,如果f(ξ,η)是ξ的m1次和η的m2次多项式,当m1≤2n1-1和m2≤2n2-1时,式(2.
87)的求积公式将是精确的.
或者说,对于被积·38·函数为ξ的m1次,η的m2次多项式,欲使其求积得到精确值,必须沿ξ向取n1≥m1+12个积分点和沿η向取n2≥m2+12个积分点才行.
2.
10等参数单元计算中数值积分阶次的选择当在计算中必须进行数值积分时,如何选择数值积分的阶次将直接影响计算的精度和计算工作量.
如果选择不当,甚至会导致计算的失败.
选择积分阶次的原则如下:1.
保证积分的精度对于分布体力的等效结点荷载向量公式(2.
66),若用高斯求积公式表示,则有Qep=∫1-1∫1-1NTpJdξdηt=∑n1i=1∑n1j=1HiHjNTpJt(2.
88)首先要确定积分点的个数,这就需要分析被积函数的结构,现以4结点四边形的等参数单元为例进行分析.
由式(2.
48)可知,插值函数Ni对每个局部坐标ξ或η说来都是一次式,故NT的元素中将含有ξ和η的一次幂;设p为常量,则它的元素含有ξ和η的零次幂;至于J,由于整体坐标x,y是ξ和η的一次式,所以它的元素xξ和yξ含有ξ的零次幂和η的一次幂,xη和yη含有ξ的一次幂和η的零次幂,而J=xξ·yη-xη·yξ,则它便是ξ或η的一次式.
那么,被积函数NTpJ将是ξ和η的二次式,也就是被积函数中含有ξ或η的最高幂次均为2,即m1=m2=m=2,那么为了保证求积公式(2.
88)获得精确值,必须使积分点个数满足n1=n2≥m+12=32,这就要求n1=n2=n=2.
根据n1=n2=n=2可查表2.
7获得ξi(=ξg),ηj(=ηg)·48·和Hi,Hj数值,再将其和ξg,ηg值一道代入式(2.
88),便可得到Qep.
利用同样的方法可分析分布面力等效结点荷载运用高斯求积公式时所需积分点的个数.
对于二维、三维单元刚度矩阵的数值计算,则需要对被积函数作进一步的分析.
例如二维4结点双线形单元,它的插值函数中包含1、ξ、η、ξη项,在假设单元的|J|是常数(单元形状为矩形或平行四边形)的情况下,刚度矩阵的被积函数中包含1、ξ、η、ξ2、η2、ξη项.
由于被积函数在ξ和η方向的最高方次为2,所以要达到精确积分,应采用2*2阶高斯积分,如果单元的J≠常数,则需要选取更多的积分点.
对于二维8结点单元也可作类似的分析.
结论是:为精确积分单元刚度矩阵,在J=常数条件下,应采用3*3阶高斯积分.
如果J≠常数,则需要采用更高阶的高斯积分.
正如前面已指出的,在对单元刚度矩阵进行精确积分的条件下,将保证当单元尺寸h不断减小时,有限元解单调地收敛于精确解.
但是在很多情况下,实际选取的高斯积分点数低于精确积分的要求.
例如按单元插值函数中完全多项式的阶数p来选取,仍以上述二维4结点和8结点单元为例,它们的插值函数中完全多项式阶数p分别等于1和2.
保证这部分被积函数积分的精度,只需要分别采用1*1和2*2的高斯积分.
这种高斯积分阶数低于被积函数所有项次精确积分所需要阶数的积分方案称之为减缩积分.
实际计算表明:采用减缩积分往往可以取得较完全精确积分更好的精度.
这是由于:(1)精确积分常常是由插值函数中非完全项的最高方次而定的,而决定有限元精度的是完全多项式的方次.
这些非完全的最高方次项往往不能提高精度,反而可能带来不好的影响.
取较低阶的高斯积分,使积分精度正好保证完全多项式方次的要求,而不包括更高次的非完全多项式的要求,其实质是相当用一种新的插值函数替代原来的插值函数,从而一定情况下改善了单元的精度.
这种积分方案又称为优化积分方案,是减缩积分的一种.
·58·(2)基于最小位能原理基础上建立的位移有限元,其解答具有下限性质.
即有限元的计算模型具有较实际结构偏大的整体刚度.
选取减缩积分方案将使有限元计算模型的刚度有所降低,因此可能有助于提高计算精度.
另外,这种减缩积分方案对于泛函中包含罚函数的情况也常常是必须的,用以保证和罚函数相应的矩阵的奇异性(见4.
3节),否则将可能导致完全歪曲了的结果.
2.
保证结构总刚度矩阵K是非奇异的求解系统方程Ka=Q,要求方程有解则必须系数矩阵的逆矩阵K-1是存在的,即在引人强迫边界条件后K必须是非奇异的.
系数矩阵K非奇异的条件K≠0,或称K是满秩的.
如果K是N阶方阵,则要求它的秩为N.
数值积分应保证K的满秩,否则将使求解失败.
关于矩阵的秩,有下面两个基本规则:(1)矩阵相乘的秩规则若A=BCD(2.
89)则秩A≤min(秩B,秩C,秩D)秩A就是矩阵A的秩,它必然小于最多等于相乘矩阵中秩最小者.
(2)矩阵相加的秩规则若A=B+C则秩A≤秩B+秩C(2.
90)即矩阵和的秩必然小于最多等于矩阵秩的和.
现在再来考察单元刚度矩阵的计算公式ke=∫1-1∫1-1BTDBJdξdη·t=∑n1i=1∑n2j=1HiHj(BTDBJ)t(2.
91)其中弹性矩阵D是d*d方阵,秩D=d.
d是应变分量数(或独立关系数).
对于二维平面问题d=3,轴对称问题d=4,三维问·68·题则d=6.
应变矩阵B是d*nf矩阵,nf是单元的结点自由度数.
在一般情况下d0,所以K必然是正定的,也即K是非奇异的.
而在采用减缩积分时,情况就不一样,系统的应变能并未被精确计算.
对于某些除刚体运动而外的位移模式,在减缩积分点的应变可能正好等于零,则该点的独立关系式实际上就不能对K的秩作出贡献,因而最后导致K非奇异性的必要条件(2.
93)式不能满足,图2.
22所示给出了这样一个例证.
对于二维8结点单元,给定如下结点位移模式:-u1=u3=u5=-u7=v1=v3=-v5=-v7=1-u4=u8=-v2=v6=12u2=u6=v4=v8=0可以验证,在单元减缩积分方案的2*2高斯点上对应于上述位移模式的应变正好等于0.
这时如利用2*2高斯积分计算单元的应变能则有·78·∫Ωe12εTDεdΩ=12∑2i=1∑2j=1HiHjεTDεJ=12aeT∑2i=1∑2j=1HiHjkeae=12aeTkeae=0上式表明通过2*2积分计算得到的单元刚度矩阵ke必然是奇异的.
这是由于采用减缩积分导致的结果,如果采用3*3的精图2.
22给定位移模式下的二维8结点单元确积分,则有12aTkea>0,也即ke是非奇异的.
这种由于采用减缩积分导致的使应变能为零,而自身有别于刚体运动的位移模式称为零能模式.
它的存在将使解答失真,甚至求解无法进行,因此在实际分析中,必须防止零能模式的出现.
也即在采用减缩积分时,必须注意检查K的非奇异性条件是否得到保证.
以上分析的原则同样适用于其它二维单元以及三维单元.
综合以上关于选择数值积分阶次的讨论,在表2.
8中给出了二维等参元的高斯数值积分的推荐阶次.
它也可以推广用于一维或三维单元刚度矩阵的计算.
表2.
8二维等参元推荐采用的积分阶次单元优化积分阶数最高积分阶数4结点矩形单元2*22*24结点任意四边形单元2*23*38结点矩形单元2*23*38结点曲边单元3*34*4最后再次强调,(2.
93)式给出的仅是保证系统刚度矩阵非奇异性的必要条件.
这是由于所有高斯点的应变分量所提供的Mngd个关系式可能不是完全独立的,所以即使(2.
93)式成立,系统刚度矩阵仍可能是奇异的.
这时系统的解答中可能包含虚假的零能位移模式,从而使整个解答失去意义,或者求解过程因K奇异而不可·88·能继续.
保证系统非奇异性的严格证明是求解系统K的特征值问题,如果系统不出现对应于除刚体运动而外位移模式的0特征值,则系统K的非奇异性得到保证.
关于通过求解系统特征值问题检查刚度矩阵是否奇异问题可以指出,实际上只要求解仅给以刚体运动约束的一个单元刚度矩阵的特征值问题就可以回答.
习题2.
1构造图2.
23中9结点单元的插值函数.
2.
2构造图2.
24所示10结点三角形单元的插值函数.
图2.
23图2.
242.
3验证四结点矩形单元的完备性和协调性.
2.
4验证8结点等参元的插值函数N1~N8满足∑Ni=1.
2.
5证明形状为平行四边形的二维单元的雅可比矩阵是常数矩阵.
2.
6证明:若在(-1,1)区间内的任意二次、三次曲线在±13两点和一平行于横坐标的直线相交,则曲线下的面积和直线下的面积相等.
2.
7试用4结点矩形单元求图2.
25的结点位移(平面应力问题,E为常数,μ=0,t=1,不计体力).
2.
8已知4结点矩形单元的厚度为t,密度为ρ,绕y轴以角速度ω旋转,如图2.
26.
试求在离心力的作用下单元等效结点荷载.
·98·图2.
25图2.
262.
9在4结点四边形单元中,位移模式能否取为:(1)u(x,y)=α1+α2x2+α3xy+α4y2v(x,y)=α5+α6x2+α7xy+α8y2(2)u(x,y)=α1+α2x+α3y+α4x2v(x,y)=α5+α6x+α7y+α8y22.
10试分析下列平面单元中的位移和应力的误差量级:(1)3结点三角形单元;(2)4结点矩形单元;(3)6结点三角形单元;(4)4结点四边形等参数单元;(5)8结点曲线四边形等参数单元2.
11对于如图2.
27所示的6结点矩形单元,应取什么样的插值函数来表示位移模式试写出位移模式,并检验是否满足收敛性条件.
2.
12试证明图2.
28中的5结点正方形母单元,其位移模式中的插值函数可以取为包含ξ,η的一次式,ξη及ξ2+η2项的插值函数,即u=∑5i=1Niuiv=∑5i=1Nivi·09·图2.
27图2.
28其中N1=14(-ξ-η+ξη)+18(ξ2+η2)N2=14(ξ-η-ξη)+18(ξ2+η2)N3=14(ξ+η+ξη)+18(ξ2+η2)N4=14(-ξ+η-ξη)+18(ξ2+η2)N5=1-12(ξ2+η2)2.
13设有图2.
29所示的平面问题4结点单元的插值函数图2.
29Ni(ξ,η)=14(1+ξ0)(1+η0)其中ξ0=ξiξ,η0=ηiη(i=1,2,3,4)试考虑单元在下列不同的位移形式时,有否刚体位移或变形能为零的情况:·19·(1)如果用一个高斯点积分形式的刚度矩阵,8个模式中哪一个是刚体位移模式哪一个是变形能为零的变形模式(2)设采用2*2个高斯点积分,重做(1).
2.
14证明取消图2.
30中4结点四边形单元的1—2边可得到常应变三角形单元.
图2.
30·29·第三章空间问题及轴对称问题用有限元法计算弹性力学空间问题时,和计算平面问题时相似,也是把一个连续的空间弹性体变换成为一个离散的空间结构物.
作为模拟这个结构物的单元,我们可以采用四面体、六面体砖块、曲面体、棱柱体等.
本章将介绍四面体单元,等参元及空间轴对称单元.
3.
1四面体单元3.
1.
1四面体单元的位移模式及等效结点荷载向量〔7〕最简单的空间有限单元是具有四个结点的四面体单元,图图3.
14结点四面体单元3.
1.
对于这种单元,可以取线性位移模式,即,把单元中的位移分量取为坐标x、y、z的线性函数:u=α1+α2x+α3y+α4zv=α5+α6x+α7y+α8zw=α9+α10x+α11y+α12z(a)在i、j、m、p四个结点,分别有ui=α1+α2xi+α3yi+α4ziuj=α1+α2xj+α3yj+α4zjum=α1+α2xm+α3ym+α4zmup=α1+α2xp+α3yp+α4zp(b)·39·用克来姆法则由式(b)求出α1,α2,α3,α4再代回式(a)得u=16V〔(ai+bix+ciy+diz)ui-(aj+bjx+cjy+djz)uj+(am+bmx+cmy+dmz)um-(ap+bpx+cpy+dpz)up〕(3.
1)其中V=161xiyizi1xjyjzj1xmymzm1xpypzp(3.
2)是四面体ijmp的体积,系数aibicidi是ai=xjyjzjxmymzmxpypzp(i、j、m、p)(3.
3)bi=-1yjzj1ymzm1ypzp(i、j、m、p)(3.
4)ci=-xj1zjxm1zmxp1zp(i、j、m、p)(3.
5)di=-xjyj1xmym1xpyp1(i、j、m、p)(3.
6)为了使四面体的体积V不致成为负值,也就是(3.
2)右边的行列式不致成为负值,单元的四个顶点的标号i、j、m、p必须遵循右手螺旋规则:即,右手螺旋按照i,j,m顺序转动时,大姆指应指向p.
用同样的方法,可以得出其余两个位移分量分别为·49·v=16V〔(ai+bix+ciy+diz)vi-(aj+bjx+cjy+djz)vj+(am+bmx+cmy+dmz)vm-(ap+bpx+cpy+dpz)vp〕(3.
7)w=16V〔(ai+bix+ciy+diz)wi-(aj+bjx+cjy+djz)wj+(am+bmx+cmy+dmz)wm-(ap+bpx+cpy+dpz)wp〕(3.
8)结合表达式(3.
1)、(3.
7)、(3.
8),可以把位移分量表示成为u=〔uvw〕T=Nae=〔INiINjINmINp〕ae其中I是三阶的单位阵,而各个插值函数为Ni=(ai+bix+ciy+diz)/6V(i,m)Nj=-(aj+bjx+cjy+djz)/6V(j,p)参照方程(1.
14),可见式(a)中的系数α1、α5、α9代表刚体位移u0、v0、w0;系数α2、α7、α12代表常量的正应变;其余6个系数反映了刚体转动ωx、ωy、ωz和常量的剪应变.
这就是说,12个系数充分反映了单元的刚体运动和常量应变.
另一方面,也极易证明:由于位移模式是线性的,两个相邻单元的共同边界面可以保持贴合,代替连续弹性体的那个离散结构物仍然保持为连续弹性体.
这就保证了有限单元法的解答收敛于正确解答.
通过与平面问题中相同的推导,可以得出结点荷载的普遍公式.
对于集中荷载P=〔PxPyPz〕T普遍公式为Qe=NTP(3.
9)但这里的荷载向量Qe是Qe=〔XiYiZiXjYjZjXmYmZmXpYpZp〕T对于分布体力·59·p=〔XYZ〕T将有Qep=∫NTpdΩ(3.
10)其中dΩ是单元中的微分体积.
在直角坐标系中,上式成为Qe=NTpdxdydz(3.
11)对于单元的某一边界面上的分布面力珔p=〔X珡Y珔Z〕T将得到Qe珔p=∫NT珔pdA(3.
12)图3.
2四面体单元受自重作用其中dA是该边界面上的微分面积.
上述普遍公式只宜应用于较复杂的单元.
在四结点四面体单元中,由于位移是线性的,用直接计算虚功的办法来求出结点荷载,要比较简单一些.
下面针对单元的自重和静水压力的作用导出结点荷载的表达式.
设图3.
2所示均质四面体单元ijmp的自重为W.
作pa=12pm,ab=13aj,bc=14bi,则c点就是该单元的重心.
为了求得结点荷载Xi或Yi,假想发生δui=1或δvi=1的虚位移.
这时,单元的所有各点都没有z方向的位移,重力W不做功,因而由虚功的计算可见Xi=0,Yi=0.
为了求得结点荷载Zi,假想发生δwi=1的虚位移.
这时,a点和b点都没有位移,所以c点的位移是δwc=1/4,因而由虚功的计算得到Zi=-W4.
对于其余三个结点处·69·的结点荷载,也必然得出同样的结论.
于是得Zi=Zj=Zm=Zp=-W4(3.
13)这就是说,只须向每个结点移置1/4自重.
当单元的ijm面受有静水压力时,根据虚功的计算,极易看出,结点p处没有结点荷载,而且i、j、m三结点处只有与水压力同方向的结点荷载.
于是荷载的等效成为静定问题,即,只须将总压力P向i、j、m处分解,即得结点荷载Pi、Pj、Pm.
为简单起见,首先考虑这样的情况:静水压力在i处为qi,而在j处及m处为零.
按照水力学,这时总压力的大小为P=qi3Aijm,而压力中心至ij及im的距离分别为m至ij及j至im的距离的1/4.
于是,分别对im及ij求矩,就得出Pj=Pm=P4=qi12Aijm从而得出Pi=P-Pj-Pm=P2=qi6Aijm然后,再依次考虑静水压力在j处为qj,而在m及i处为零的情况,以及在m处为qm而在i及j处为零的情况,其结果必然与上相似,并可由i、j、m的轮换得来.
将上述三种情况相迭加,即得出ijm面受任意静水压力时的结点荷载Pi=16qi+12qj+12qmAijm(i,j,m)(a)式(a)所示的结点荷载是沿着水压方向的,也就是垂直于ijm面而指向结点的.
要得出坐标方向的结点荷载,还须再乘以ijm面的法线方向余弦.
最后可得直角坐标系中的结点荷载为:〔XiYiZi〕=-112qi+12qj+12qm〔bpcpdp〕(i,j,m)(3.
14)·79·3.
1.
2四面体单元的应力矩阵及刚度矩阵将四面体单元的位移表达式(3.
1)、(3.
7)、(3.
8)代入几何方程(1.
3),即得出单元中的应变,用结点位移表示成为ε=Bae=〔Bi-BjBm-Bp〕ae(3.
15)其中ε是应变分量εx、εy、εz、γyz、γzx、γxy六个元素构成的向量,而Bi等是如下的6*3矩阵:Bi=16Vbi000ci000di0dicidi0bicibi0(i,j,m,p)(3.
16)显然,在每一个单元中,应变是常量,因为B中的元素都是常量.
据此,四面体单元也称为常应变单元.
将表达式(3.
15)代入(1.
4),得出将单元的应力用结点位移表示的表达式σ=Dε=DBae(3.
17)令s=DB将(1.
5c)中的D及(3.
15)中的B代入,然后再将(3.
16)代入,得应力矩阵s=〔si-sjsm-sp〕(3.
18)其中s=E(1-μ)6(1+μ)(1-2μ)VbiA1ciA1diA1biciA1diA1biA1cidi0A2diA2ciA2di0A2biA2ciA2bi0(i,j,m,p)·89·而A1=μ1-μ,A2=1-2μ2(1-μ)显然,在每一个单元中,应力也是常量,因而四面体单元也称为常应力单元.
现在来导出刚度矩阵.
假想该单元发生某种虚位移,相应的结点虚位移为δae.
将(3.
17)以及由(3.
15)得来的δε=Bδae代入虚功方程(1.
10),得δaeTFe=δaeTVBTDBaedxdydz通过与平面问题中一样的处理,并注意矩阵B的元素也是常量,可以得出Fe=BTDBVae=keae其中ke=kii-kijkim-kip-kjikjj-kjmkjpkmi-kmjkmm-kmp-kpikpj-kpmkpp(3.
19)而krs=E(1-μ)36(1+μ)(1-2μ)Vbrbs+A2(crcs+drds)A1crbs+A2brcsA1drbs+A2brdsA1brcs+A2crbsA1brds+A2drbscrcs+A2(brbs+drds)A1crds+A2drcsA1drcs+A2crdsdrds+A2(brbs+crcs)(r=i,j,m,p;s=i,j,m,p)有了表达式(3.
19),就可得到结构的整体平衡方程Ka=Q由平衡方程解出结点位移以后,即可根据每个单元上的结点位移·99·ae,求得该单元中的应力.
四面体单元对边界拟合能力强,但划分单元复杂,容易出错.
3.
2空间等参数单元3.
2.
1插值函数第二章讨论了二维等参元,我们不难将其推广到三维情况,等参元的基本思想是利用坐标变换将三维空间中的任意六面体(实际单元)变成规整的正方体(基本单元),或者把实际单元看作基本单元的映象.
实际单元用笛卡尔坐标(x、y、z)表示,基本单元则用局部坐标(ξ、η、ζ)表示.
把位移和坐标变换式取为u=∑di=1Niuiv=∑di=1Niviw=∑di=1Niwi(3.
20)x=∑di=1Nixiy=∑di=1Niyiz=∑di=1Nizi(3.
21)其中d为单元结点数.
在三维等参元中,常用的基本单元有8结点块体单元,20结点立方体单元,三角形棱柱单元及8-21变结点单元.
下面分别给出这四种单元的插值函数.
8结点块体单元,如图3.
3(a)Ni=18(1+ξ0)(1+η0)(1+ζ0)(i=1,2,…,8)(3.
22)其中,ξ0=ξiξ,η0=ηiη,ζ0=ζiζ20结点立方体单元,如图3.
3(b)Ni=18(1+ξ0)(1+η0)(1+ζ0)(ξ0+η0+ζ0-2)(i=1,2,…,8)Ni=14(1+ξ0)(1-η2)(1+ζ0)(i=9,11,13,15)(3.
23)Ni=14(1-ξ2)(1+η0)(1+ζ0)(i=10,12,14,16)·001·Ni=14(1+ξ0)(1+η0)(1-ζ2)(i=17,18,19,20)15结点三角形棱柱单元,如图3.
3(c).
在三角形棱柱单元中,沿棱柱方向用局部坐标ζ表示,在与棱柱方向垂直的三角形平面中则采用面积坐标L1,L2和L3.
这时,插值函数为图3.
3三维问题基本单元(a)8结点块体单元;(b)20结点立方体单元;(c)15结点三角形棱柱单元;(d)8-21变结点单元Ni=12Li(2Li-1)(1-ζ)-12Li(1-ζ2i=1,2,3)Ni=12Li-3(2Li-3-1)(1+ζ)-12Li-3(1-ζ2)(i=4,5,6)N7=2L1L2(1-ζ)N8=2L2L3(1-ζ)N9=2L3L1(1-ζ)N10=2L1L2(1+ζ)N11=2L2L3(1+ζ)N12=2L3L1(1+ζ)·101·Ni=2Li-12(1-ζ2)(i=13,14,15)(3.
24)8-21变结点单元,如图3.
3(d),其中8-20结点布置与20结点立方体单元相同,第21号结点布置在单元形心处.
由第一章1.
4知,对插值函数的要求是,必须使位移插值函数满足收敛条件,而且尽可能是完备多项式,即由低次到高次的完全多项式.
此外插值函数还有如下性质Ni(P)=δiP(3.
25)根据以上原则,可得到8-21变结点单元插值函数.
当结点数等于8时,插值函数为Ni=18(1+ξ0)(1+η0)(1+ζ0)(i=1,2,…,8)(3.
26)当结点数大于8个时,插值函数为N′i=Ni-12(Ni+8+Ni+11+N17)-18N21(i=1,5)N′i+4j=Ni+4j-12(Ni+4j+7+Ni+4j+8+Ni+16)-18N21(i=2,3,4;j=0,1)Ni=14(1+ξ0)(1-η2)(1+ζ0)-14N21(i=9,11,13,15)Ni=14(1-ξ2)(1+η0)(1+ζ0)-14N21(i=10,12,14,16)Ni=14(1+ξ0)(1+η0)(1-ζ2)-14N21(i=17,18,19,20)N21=(1-ξ2)(1-η2)(1-ζ2)(3.
27)其中,N1,…,N8即为(3.
26)中的值.
当取21结点时,必须修改N1,…,N8式,代之以式(3.
27)中的N′1,…,N′8值,而其余的N9,…,N21就直接写出.
对少于21结点的情况可从式(3.
27)中舍去相应项即可.
例如,对9结点元,只需对N′1,N′2修改,其余N3,…,N8,N9仍用(3.
27)所示表达式.
容易验证,(3.
22)、(3.
23)、(3.
24)、(3.
26)、(3.
27)表示的插值函数是满足完备性和协调性准则的.
·201·3.
2.
2空间等参数单元的数学分析在进行空间等参数单元的力学分析时,需要用到各个插值函数对于整体坐标的导数,局部坐标系中微分体积及微分面积的表达式,以及局部坐标面的法线方向余弦.
现在来导出这些表达式.
1.
函数对于整体坐标的导数根据复合函数的求导规则,有Niξ=Nix·xξ+Niy·yξ+Niz·zξ等等,所以有NiξNiηNiζ=xξyξzξxηyηzηxζyζzζNixNiyNiz=JNixNiyNiz(3.
28)并从而有NixNiyNiz=J-1NiξNiηNiζ(3.
29)这里的J=xξyξzξxηyηzηxζyζzζ(3.
30)称为雅可比矩阵,为了求得这个矩阵,只须将(3.
21)式代入,于是得·301·J=∑ni=1Niξxi∑ni=1Niξyi∑ni=1Niξzi∑ni=1Niηxi∑ni=1Niηyi∑ni=1Niηzi∑ni=1Niζxi∑ni=1Niζyi∑ni=1Niζzi=N1ξN2ξ…NnξN1ηN2η…NnηN1ζN2ζ…Nnζx1y1z1x2y2z2xyynzn(3.
31)图3.
4局部坐标系中的微分体积求出各个插值函数Ni对于局部坐标的导数,代入上式,求出矩阵J,再求出逆阵J-1,即可由(3.
29)求得各个插值函数对于整体坐标的导数.
2.
局部坐标系中的微分体积试在单元内的任意一点P,图3.
4,沿局部坐标ξ,η,ζ的方向作微分矢量珔a,珔b,珋c.
由于在ξ方向只是ξ坐标变化,而η及ζ保持不变,所以微分矢量珔a在整体坐标轴上的投影为ax=xξdξ,ay=yξdξaz=zξdξ同样可得珔b及珋c在整体坐标轴上的投影为·401·bx=xηdη,by=yηdη,bz=zηdη,cx=xζdζ,cy=yζdζ,cz=zζdζ由此得出三个微分矢量所成平行六面体的体积为Vabc=axayazbxbybzcxcycz=xξdξyξdξzξdξxηdηyηdηzηdηxζdζyζdζzζdζ这也就是局部坐标系中的微分体积dV.
于是由上式可得dV=xξyξzξxηyηzηxζyζzζdξdηdζ或利用(3.
30)式把它简写为dV=|J|dξdηdζ(3.
32)其中|J|是雅可比矩阵的行列式,即|J|=xξyξzξxηyηzηxζyζzζ(3.
33)3.
局部坐标面上的微分面积根据上面导出的微分矢量的投影表达式,极易求得a2=a2x+a2y+a2z=Eξdξ2(a,b,c;ξ,η,ζ)(a)其中Eξ=xξ2+yξ2+zξ2(ξ,η,ζ)(3.
34)·501·也极易求得珔a·珔b=axbx+ayby+azbz=Eξηdξdη(a,b,c;ξ,η,ζ)(b)其中Eξη=xξ·xη+yξ·yη+zξ·zη(ξ,η,ζ)(3.
35)由此得出三个微分矢量两两所成的平行四边形的面积为Aab=a2b2-(珔a·珔b)2=EξEη-E2ξηdξdη(a,b,c;ξ,η,ζ)而这也就是各个局部坐标面上的微分面积.
于是由上式得出各个微分面积的表达式dAξη=EξFη-E2ξηdξdη(ξ,η,ζ)(3.
36)4.
局部坐标面的法线方向余弦微分矢量珔a与珋b所成平面的法线方向,即珔a*珋b的方向,也就是局部坐标面ξη的法线方向(但一般并不是ζ坐标轴的方向,因为ξ、η、ζ一般并不是正交坐标).
珔a与珋b所成平面的法线方向余弦为lab=aybz-azbyAab=yξ·zη-zξ·yηEξEη-E2ξηmab=azbx-axbzAab=zξ·xη-xξ·zηEξEη-E2ξηnab=axby-aybxAab=xξ·yη-yξ·xηEξEη-E2ξη而这些也就是局部坐标面ξη的法线方向余弦lξη、mξη、nξη,于是得出各个局部坐标面的法线方向余弦的表达式:lξη=yξ·zη-zξ·yηEξEη-E2ξηmξη=zξ·xη-xξ·zηEξEη-E2ξη·601·nξη=xξ·yη-yξ·xηEξEη-E2ξη(ξ,η,ζ)(3.
37)3.
2.
3空间等参数单元的力学分析现在来对n个结点的空间等参数单元进行力学分析,从而建立这种单元的荷载向量、应力矩阵和刚度矩阵.
1.
荷载向量当单元在任意一点受有集中荷载P=〔PxPyPz〕T时,荷载向量的普遍公式仍然取如下的形式:Qe=NTP(3.
38)但在这里,Qe=〔X1Y1Z1X2Y2Z2…Zn〕T(3.
39)而矩阵N系用三阶单位阵I及各个插值函数表示成为N=〔IN1IN2…INn〕(3.
40)当单元受有分布体力p=〔XYZ〕T时,可利用(3.
38)式的积分求得荷载向量:Qep=∫ΩNTpdΩ应用(3.
32)式,可将上式表示成为Qep=∫1-1∫1-1∫1-1NTP|J|dξdηdζ(3.
41)对于变量的分布体力,须将体力分量X、Y、Z表示成为局部坐标ξ、η、ζ的函数,再进行积分.
当单元在其某一边界面上,例如在ξ=±1的ηζ面上,受有分布的面力珔p=〔XY珔Z〕T时,可利用(3.
38)式的积分式求得荷载向量:Qe珔p=∫NTξ=±1珔pdAηζ应用(3.
36)式,可将上式表示成为Qe珔p=∫1-1∫1-1NTξ=1珔p(EηEζ-E2ηζ)12ξ=±1dηdζ(3.
42)·701·对于变量的分布面力,须将面力分量X、珡Y、珔Z表示成为局部坐标η及ζ的函数,再进行积分.
如上述分布面力为静水压力q,则珔p=ê〔qlηζqmηζqnηζ〕Tξ=±1=êq〔lηζmηζnηζ〕Tξ=±1将(3.
37)式代入,然后代入(3.
42),得Qe珔p=ê∫1-1∫1-1NTξ=±1qyη·zζ-zη·yζ,zη·xζ-xη·zζ,xη·yζ-yη·xζTξ=±1dηdζ(3.
43)当η=±1的ζξ面上或ζ=±1的ξη面上受有分布面力时,为了得出荷载向量的表达式,只须在上列各式中对ξ、η、ζ进行轮换.
2.
应力矩阵将位移模式的表达式(3.
20)代入空间问题的几何方程(1.
3),可得单元内应变的表达式:ε=Bae=〔B1B2…Bn〕ae(3.
44)其中ae是单元结点位移向量,即ae=〔u1v1w1u2v2w2…wn〕T(3.
45)而Bi=Nix000Niy000Niz0NizNiyNiz0NixNiyNix0(i=1,2,…,n)(3.
46)·801·和以前一样,单元内的应力可以表示成为σ=DBae=sae(3.
47)将应力矩阵s写成分块的形式s=〔s1s2…sn〕(3.
48)则有si=DBi(i=1,2,…,n)(3.
49)3.
刚度矩阵将单元上的结点力表示成为Fe=〔U1V1W1U2V2W2…UnVnWn〕T(3.
50)则由虚功原理可以得出和以前一样的公式Fe=keae(3.
51)其中的刚度矩阵ke为ke=∫ΩBTDBdΩ=∫1-1∫1-1∫1-1BTDB|J|dξdηdζ(3.
52)将刚度矩阵ke写成分块的形式:ke=k11k12…k1nk21k22…k2nkn1kn2…knn(3.
53)其中的子矩阵为kij=∫1-1∫1-1∫1-1BTiDBj|J|dξdηdζ(3.
54)(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n)(3.
54)式需要用数值积分计算.
一旦有了单元的荷载向量和刚度矩阵,即可按照以前多次用过的方法,建立求解结点位移时所需的结点平衡方程,在求出结点位移之后,再按(3.
47)式求单元内·901·的应力.
注意,对于等参数单元中的任意一点,由它的局部坐标求出它的整体坐标时,只须直接应用(3.
21)式;但是,要由整体坐标算出局部坐标,则须利用(3.
21)式求解三元非线性联立方程,这是比较繁的.
因此,在计算单元中的应力时,只能设定一组局部坐标,代入应力矩阵以求出应力;另一方面,根据这一组局部坐标算出相应的整体坐标,从而得知算出的应力是单元中哪一点处的应力.
对于单元中以整体坐标明确标定的一点,要计算应力是不现实的.
计算结点处的应力,则比较简单,只须把结点的局部坐标代入应力矩阵即可求得,而且结点局部坐标的数值都非常简单,不外乎0,±1以及简单的分数±12,±13,等等.
因此,在整理应力成果时,一般都宜用绕结点平均法.
但也应当指出:如果单元的形态比较差,则算出的结点处的应力,其表征性就比较差,通过平均以后,可能表征性仍然不够好.
对于这样的单元,就宜整理单元中若干内点处的应力,例如高斯点处的应力.
3.
3轴对称问题工程问题中经常会遇到一些实际结构,它们的几何形状、约束条件以及作用的载荷都对称于某一固定轴,我们把它称为对称轴,则在载荷作用下产生的位移、应变和应力也对称于此轴.
这种问题称为轴对称问题.
在轴对称问题中,通常采用圆柱坐标(r,θ,z).
以对称轴作为z轴,所有应力、应变和位移都与θ方向无关,只是r和z的函数.
任一点的位移只有两个方向的分量,即沿r方向的径向位移u和沿z方向的轴向位移w.
由于轴对称,θ方向的位移v等于零.
因此轴对称问题是二维问题.
离散轴对称体时,采用的单元是一些圆环.
这些圆环单元与rz平面正交的截面可以有不同的形状,例如3结点三角形、6结点三角形或其它形状.
单元的结点是圆周状的铰链,各单元在r,·011·图3.
5三角形环状单元z平面内形成网格.
图3.
5所示为3结点三角形环状单元.
对轴对称问题进行计算时,只需取出一个截面进行网格划分和分析,但应注意到单元是圆环状的,所有的结点载荷都应理解为作用在单元结点所在的圆周上.
本章主要讨论3结点三角形环状单元.
这种单元适应性好、计算简单,是一种常用的最简单的单元.
其它单元有限元格式的建立,途径是一样的.
3.
3.
13结点三角形环状单元1.
位移模式和插值函数取出环状单元的一个截面ijm如图3.
6所示.
单元结点位图3.
63结点三角形环状单元移为a=aiajam=uiwjujwjumwm选择线性位移模式u=uv=Φβ(3.
55)其中Φ=00=〔1rz〕β=〔β1β2…β6〕T与平面问题类同,可以用6个结点位移表示6个广义坐标β1-β6,代回(3.
55)式可以得到与平面问题类似的表达式·111·u=Niui+Njuj+Nmumw=Niwi+Njwj+Nmwm(3.
56)式中,Ni,Nj,Nm是插值函数Ni=12A(ai+bir+ciz)(i,j,m)(3.
57)2A=1rizi1rjzj1rmzm,是环状三角形单元截面积的2倍ai=rjzm-rmzjbi=zj-zmci=-(rj-rm)(3.
58)或(3.
56)式的矩阵表达式是u=uw=Nae=Ni0Nj0Nm00Ni0Nj0Nmae(3.
59)2.
单元应变和应力将位移(3.
59)式代入几何关系则得到单元应变ε=εrεzγrzεθ=urwzuz+wrur=Bae=〔BiBjBm〕ae(3.
60)其中Bi=12Abi00cicibifi0(i,j,m)(3.
61)fi=air+bi+cizr(i,j,m)(3.
62)·211·由上二式可见,单元中的应变分量εr,εz,γrz都是常量;但环向应变εθ不是常量,fi,fj,fm与单元中各点的位置(r,z)有关.
图3.
7应力分量单元应力可用应变代入弹性关系得到σ=σrσzσrzσθ=Dε=DBae=sae=〔sisjsm〕ae(3.
63)弹性矩阵D见(1.
5b)式.
轴对称体的应力分量见图3.
7.
每个应力矩阵分块为si=E(1-μ)2A(1+μ)(1-2μ)bi+A1fiA1ciA1(bi+fi)ciA2ciA2biA1bi+fiA1ci(i,j,m)(3.
64)A1=μ1-μA2=1-2μ2(1-μ)(3.
65)由(3.
64)式可见,单元中除剪应力τrz外其它应力也非常量.
3.
3.
2单元刚度矩阵单元刚度矩阵在轴对称的情况下有ke=BTDBrdθdrdz=2πBTDBrdrdz(3.
66)为了简化计算和消除在对称轴上r=0所引起的麻烦,把单元中随点而变化的r,z用单元截面形心处的坐标珋r和珔z来近似,即·311·r≈珋r=13(ri+rj+rm)z≈珔z=13(zi+zj+zm)(3.
67)这样(3.
62)式就近似为fi≈珔fi=ai珋r+bi+ci珔z珋r(i,j,m)作了这样的近似后,应变矩阵B和应力矩阵s都成了常量阵,根据(3.
66)式很快可以积出单元刚度矩阵的显式ke=2π珋rBTDBA=kiikijkimkjikjjkjmkmikmjkmm(3.
68)式中A是环状三角形单元的截面积.
对于(3.
68)式中每一子块krs=2π珋rBTrDBsA(3.
69)代入B和D后可以得到krs=πΕ(1-μ)珋r2A(1+μ)(1-2μ)K1K3K2K4(r、s=i,j,m)(3.
70)式中K1=brbs+frfs+A1(brfs+frbs)+A2crcsK2=A1cr(bs+fs)+A2brcsK3=A1cs(br+fr)+A2crbsK4=crcs+A2brbs(3.
71)A1=μ1-μ,A2=1-2μ2(1-μ)3.
3.
3等效结点荷载现在的等效结点力是由作用在环状单元上的体积力、分布面力等引起的.
对于轴对称问题有·411·Qep=2π∫∫NTpdrdzQe珔p=2π∫NT珔prdsQeσ0=-2π∫∫BTσ0rdrdzQeε0=-2π∫∫BTDε0rdrdzQeP=2πP(3.
72)P=r1P1r2P2riPiPi=pirpiz集中力应是作用在一圈结点上集中力的总量.
式中ri是结点i的r坐标,Pir,Piz是作用在结点i圆周每单位长度上的集中载荷在r和z方向的分量乘以所在结点的周长得到的总量.
下面我们推导几种常见载荷的等效结点荷载.
1.
自重若旋转对称轴z垂直于地面,此时重力只有z方向的分量.
设单位体积的重量为ρ,则体积力p=prpz=0-ρ代入(3.
72)式的第一式Qep=2π∫∫NT0-ρrdrdz对于结点i有Qeip=2π∫∫Ni0-ρrdrdz(i,j,m)(3.
73)利用面积坐标建立关系r=riLi+rjLj+rmLm(3.
74)·511·则有∫∫Nirdrdz=∫∫Li(riLi+rjLj+rmLm)drdz(3.
75)利用面积坐标的积分公式可以计算(3.
75)式的积分∫∫Nirdrdz=A12(2ri+rj+rm)=A12(3珋r+ri)(i,j,m)(3.
76)代入(3.
73)式即得到Qeip=PirPiz=0-16πρΑ(3珋r+ri)(i,j,m)(3.
77)2.
旋转机械的离心力若旋转机械绕z轴旋转的角速度为ω,则离心力载荷p=prpz=ρgω2r0Qeip=QirQiz=2π∫∫Niρgω2r0rdrdz(i,j,m)(3.
78)式中积分∫∫Nir2drdz=∫∫Li(riLi+rjLj+rmLm)2drdz=A30〔(ri+rj+rm)2+2r2i-rjrm〕=A30〔9珋r2+2r2i-rjrm〕(i,j,m)(3.
79)代入(3.
78)式得到离心力的等效结点载荷Qeip=QirQiz=πρω2A15g(9珋r2+2r2i-rjrm)0(i,j,m)(3.
80)·611·图3.
8三角形环状单元均布侧压3.
均布侧压假设单元的i-m边作用有均布侧压q,以压向单元边界为正,如图3.
8.
面积力为珔p=珔pr珔pz=qsinα-qcosα=qzm-zilimqri-rmlim(3.
81)式中ri,zi,rm,zm为结点i和结点m的坐标,lim为i-m边的边长.
根据(3.
72)式的第二式Qe珔p=QipQjpQmpe=∫NT珔pr珔pzrdsQei珔p=∫Niqzm-zilimqri-rmlimrds(3.
82)式中积分∫Nirds=∫Li(riLi+rjLj+rmLm)ds注意到沿边界i-m积分时Lj=0,上式积分有∫Nirds=16(2ri+rm)lim(3.
83)代入(3.
82)式得到Qei珔p=QirQiz=13πq(2ri+rm)zm-ziri-rm(3.
84)同理可得·711·Qem珔p=QmrQmz=13πq(ri+2rm)zm-ziri-rm(3.
85)由于沿i-m边Lj=0,所以Qej珔p=04.
温度变化引起的等效结点荷载由于温度变化,体内将产生应变,可被作为初应变来处理.
假如温度改变为T,产生的初应变是ε0=αT〔1101〕T(3.
86)其中α是材料的线膨胀系数.
根据(3.
72)式中第4式Qeε0=Qiε0Qjε0Qmε0e=2π∫∫BTDε0rdrdz(3.
87)Qeiε0=2π∫∫BTiDε0rdrdz(i,j,m)上式中代入(3.
61)式的Bi和(1.
5b)式的弹性矩阵D以及(3.
86)式的ε0可得QeiT=πΕαA(1-2μ)∫∫(bi+fi)Trdrdz∫∫ciTrdrdz(i,j,m)(3.
88)上式可用数值积分,亦可简单地取近似值.
即取fi≈珔fi=ai珋r+bi+ci珔z珋rr≈珋r=13(ri+rj+rm)T≈Tav=13(Ti+Tj+Tm)这样就得到(3.
88)的近似表达式:·811·QeiT=πEα珋rTav1-2μbi+珔fici(3.
89)3.
3.
4单元刚度矩阵的精确积分〔3〕由计算单元刚度矩阵的(3.
66)式可以得到应变矩阵B不是常量阵时,与(3.
69)式相应的分块矩阵的计算公式为krs=2π∫∫BTrDBsrdrdz(r,s=i,j,m)(3.
90)在3.
3.
2节中我们把Br、Bs中的r和z用单元形心处的珋r和珔z来近似,得到了单元刚度矩阵的近似积分.
这一节将讨论它的精确积分.
把应变矩阵分成两部分Br=Br+B′r(r=i,j,m)(3.
91)其中Br是用单元形心的珋r和珔z代入Br中得到的应变矩阵中的不变部分,就是计算近似单元刚度矩阵时用的应变矩阵;B′r是应变矩阵的变化部分B′r=12Aar+crzr-ar+cr珔z珋r00000010(r=i,j,m)(3.
92)将(3.
91)式代入(3.
90)式可以得到krs=2π∫∫(BTrDBs+BTrDB′s+B′TrDB′s+B′TrDB′s)rdrdz(3.
93)上式中,Br,Bs,D都是常量阵,可以提到积分号的外面;B′r或B′s的积分包含下面关系∫∫ar+crzr-ar+cr珔z珋rrdrdz=(ar+cr珔z)A-ar+cr珔z珋r珋rA=0(3.
94)因此(3.
93)式中第二、三两项积分为零,即·911·∫∫BTrDB′srdrdz=∫∫B′TrDBsrdrdz=0于是(3.
93)式可以写作krs=krs+k′rs(3.
95)其中krs就是(3.
70)式中给出的近似单元刚度矩阵,k′rs是它的修正部分k′rs=2π∫∫B′TrDB′srdrdz=2π(2A)200010000D00000010·∫∫ar+crzr-ar+cr珔z珋ras+cszr-as+cs珔z珋rrdrds=πE(1-μ)2A(1+μ)(1-2μ)K′1000(3.
96)在2*2的分块矩阵中只需修正一个元素.
考虑到(3.
94)式,修正项K′1为K′1=∫∫1r〔aras+(arcs+ascr)z+crcsz2〕drdz-A珋r(ar+cr珔z)(as+cs珔z)=aras(I1-1r)+(arcs+ascr)(I2-珔z珋r)+crcs(I3-珔z2珋r)(r,s=i,j,m)(3.
97)式中I1、I2、I3代表积分In=1A∫∫zn-1rdrdz(n=1,2,3)(3.
98)上述积分需在三角形ijm上进行,具体积分时,可以在三个梯形(见图3.
9),i1imm1,m1mjj1以及i1ijj1上进行,由前面二个梯形·021·面积积分和中减去第三个梯形面积上的积分.
经运算、整理并采用下列符号图3.
9利用梯形面积计算积分I1、I2、I3li=lnriAmj=-aiciBmj=-bici(i,j,m)(3.
99)(3.
98)式的积分是I1=1A∑ijm〔(Aji-Aim)li+Bmj(rj-rm)〕I2=1A∑ijm12(A2ji-A2im)li+AmjBmj(rj-rm)+14B2mj(r2j-r2m)I3=1A∑ijm13(A3ji-A3im)li+A2mjBmj(rj-rm)+12AmjB2mj(r2j-r2m)+19B3mj(r3j-r3m)(3.
100)(3.
100)式中∑ijm表示对括号中的各项i,j,m指标轮换后再求和.
(3.
100)式可合并写作In=1A∑ijm1n(Anji-Anim)li+An-1mjBmj(rj-rm)+n-14An-2mjB2mj(r2j-r2m)+(n-1)(n-2)18·B3mj(r3j-r3m)(n=1,2,3)(3.
101)·121·采用(3.
97)及(3.
101)式计算修正的刚度系数时,有两种情况会出现奇异性:(1)单元的某个结点i位于旋转对称轴上(即ri=0)时,(3.
101)式中包含对数的项(Anji-Anim)li=(rizj-rjzi)n(ri-rj)n-(rmzi-rizm)n(rm-ri)nlnri图3.
10单元两个结点径向坐标相等的情况将成为0*∞.
这项极限可由罗彼塔法则来确定,事实上这个极限总是零.
因此如果单元某个结点的r为零时,只要将其对应的对数项去除即可.
(2)当单元的两个结点的径向坐标相等时,例如rj=rm,见图3.
10,此时ci=-(rj-rm)=0,相应的Amj,Bmj都成为无穷大,计算中将产生困难.
然而,在此情况下,梯形jjmm1的面积为零,因此对于j-m部分无需进行积分,只需令Ajm=Bjm=0即可.
以上两种情况在网格划分时通常都会出现.
综合以上讨论,可以将(3.
99)式作如下修改即可消除计算中的奇异性:li=0lnri当ri=0当ri≠0(i,j,m)Amj=0-ai/ci当ci=0当ci≠0(i,j,m)(3.
102)Bmj=0-bi/ci当ci=0当ci≠0(i,j,m)(3)对于有两个结点在对称轴上的单元,例如结点i和j,则有ri=rj=0,此时除了分块矩阵k′mm=0外,其它分块矩阵的积分均发散,但是此时应有ui=uj=0,引入此位移条件修正刚度矩阵是将第2i-1行和2i-1列以及2j-1行和2j-1列划掉.
其结果·221·就是令在此情况下单元刚度矩阵的修正项k′rs=0.
即采用常应变的刚度矩阵krs而不必引入修正项k′rs,因为这时krs就是精确积分的结果.
如果稍作分析以上结论是不难理解的.
因为3结点三角形单元的径向位移u可表示成u=α1+α2r+α3z当引入对称轴上二个结点(ri=rj=0)的位移条件(ui=uj=0)以后,显然得到α1=α3=0,所以此单元的径向位移最后可表示成u=α2r进一步可以得到εθ=ur=α2=常数既然εθ为常数,由εθ的非常数部分引起的刚度矩阵修正项k′rs自然就消失了,因此常应变的刚度矩阵krs这时就是精确积分的结果.
实际计算也表明,采用近似积分不仅计算方便,而且其精度也是足够满意的.
因此对于3结点三角形环状单元一般多采用近似积分来计算刚度矩阵.
3.
3.
5算例厚壁圆球受外压.
圆球外壁半径R0=10.
4cm,内壁半径R1=9.
1cm,外压p=1500N/cm2.
由于对称可取1/4球体进行计算,网格划分及对称面条件见图3.
11(a).
沿球壁厚度划分8个三角形单元,全部共计160个单元.
计算结果见图3.
11(b).
取相邻单元的平均值则达到相当满意的计算精度,对于主要应力σθ最大相对误差小于2%.
习题3.
1试验证在四面体单元中二次插值函数为:Ni=Li(2Li-1)(i=1,2,3,4)·321·图3.
11厚壁球壳受外压N5=4L1L2N6=4L2L3N7=4L1L3N8=4L1L4N9=4L2L4N10=4L3L43.
2验证三维8结点等参元插值函数的完备性和协调性.
3.
3三维8结点等参元,在x,y,z坐标系中单元各边与坐标轴x,y,z平行,边长分别为a,b,c.
若在ξ=1的面上作用有均布荷载q,方向指向单元,求等效结点荷载向量.
3.
4三维8结点等参元在y方向作用有线性变化体力,若·421·用高斯积分法计算结点荷载Qe=∫1-1∫1-1∫1-1NTp|J|dξdηdζ的精确值,试求所需要的最少积分点数.
3.
5承受轴对称荷载的回转体,若取3结点三角形回转环单元时,试求:(1)以转速ω旋转时结点的等效荷载,(2)若回转轴方向有az的加速度时,结点的等效荷载.
3.
6证明取消图3.
12中8结点三维块体单元形成的三维四面体单元是常应变单元.
图3.
123.
7在轴对称问题中,刚体位移有几个在什么方向如何限制刚体运动·521·第四章薄板弯曲问题平板结构主要承受两种形式的荷载,即面内拉、压荷载和垂直于板面的法向荷载,前者靠板面内刚度以拉伸和压缩的变形来承载,此时平板的变形仍保持平面状态,这类问题就是平面应力问题.
后者靠板的弯曲刚度以弯曲、扭转的变形来承载,此时平板变形后不再保持平面形状而象梁一样产生弯曲和扭转.
这类问题称薄板弯曲问题.
薄板在土木、航空和造船等工业部门中应用非常广泛,例如,钢桥、机身和机翼壁板、船舱隔板等都可近似作为薄板来处理.
薄板的特点是两个平行面之间的距离(称为板的厚度)远较其它几何尺寸为小,而相对厚度较大(例如厚度和板面的最小尺寸之比超过1/5)的板称为厚板.
薄板弯曲理论建立在一个重要的假定,即克希霍夫假定(Kirchhoff)之上.
应用这个假定,薄板弯曲问题就简化为一个二维问题,并由此导出关于板的挠度函数的重调和微分方程.
于是,求解薄板弯曲问题就归结为在各种边界条件下求解重调和方程的问题.
早期的解法主要是级数解法,以后发展了数值解法,如差分法、有限元法和边界元法等.
本章讨论薄板弯曲问题的有限元法,主要介绍基于经典薄板理论的非协调板单元和位移、转动分别独立插值的板单元,也称Mindlin板单元.
4.
1薄板弯曲理论平板在工程实际中有很多应用,在受到垂直于板面的载荷作用以后,平板将产生弯曲.
基于板的厚度比其它两个方向尺寸小得多,以及挠度比厚度又小得多的假设,弹性薄板理论在分析平板·621·弯曲问题时,认为:①薄板中面的法线在变形后仍保持为法线;②薄板中面内的各点没有平行于中面的位移;③垂直于中面的正应图4.
1薄板弯曲的坐标和广义力力远小于平行于中面的应力分量,故可以忽略.
其中①和②称为Kirchhoff假定.
利用上述假设将平板弯曲问题简化为二维问题,且全部应力和应变可用板中面的挠度w表示.
取板的中面为xy平面,z轴垂直于中面,如图4.
1所示,则广义应变为κ=-2wx2-2wy2-22wxy=Lw(4.
1)其中L=-2x2-2y2-22xyκ中各个分量分别代表薄板弯曲后中面在x方向的曲率,y方向的曲率以及在x和y方向的扭率.
薄板的广义内力是M=MxMyMxy(4.
2)其中Mx,My分别是垂直x轴和垂直y轴的截面上单位长度的弯矩,Mxy(=Myx)是垂直于x(y)轴截面上单位长度的扭矩.
根据·721·应力沿z方向成线性分布的性质,由Mx,My,Mxy可以计算板内任一点的应力,设板的厚度为t,则σx=12Mxt3z,σy=12Myt3z,τxy=τyx=12Mxyt3z(4.
3)广义的应力应变关系是M=Dκ(4.
4)其中弹性关系矩阵D,对于各向同性材料是D=Et312(1-μ2)1μ0μ10001-μ2(4.
5)为建立平板弯曲问题的能量泛函,还要考虑荷载和边界条件.
关于后者有三种情况:1.
在边界S1上,给定位移w和截面转动θ,即w|S1=w,wnS1=θ(4.
6)其中n表示边界的法线方向.
特例情况下,S1为固支边,则w|S1=0,wnS1=0.
2.
在边界S2上,给定位移w和力矩Mn,即w|S2=w,Mn|S2=Mn(4.
7)特例情况下,S2为简支边,则w|S2=0,Mn|S2=0.
3.
在边界S3上给定力矩Mn和横向荷载Vn,即Mn|S3=Mn,Qn+MnssS3=Vn(4.
8)式中s表示边界的切线方向,Qn是边界截面上单位长度的横向剪力Qn=Mnn+Mnss=-Et312(1-μ2)n2wn2+2ws2(4.
9)·821·特例情况下,S3为自由边,则Mn|S3=0,Qn+MnssS3=0.
如平板的表面上还作用有z方向的分布荷载q,则从以上各式可以得到经典薄板理论的系统总位能表达式Πp=∫∫Ω12κTDκ-qwdxdy-∫S3VnwdS+∫S2+S3MnwndS(4.
10)在平板弯曲问题的有限元分析中,我们将挠度w表示成通常的插值形式w=Nae其中插值函数N是直角坐标或自然坐标的函数,ae是单元的结点参数.
进一步执行有限元分析的标准化了的步骤,可以得到求解系统结点参数a的矩阵方程Ka=Q其中K和Q分别为系统的刚度矩阵和荷载向量.
需要着重指出的是,现在泛函Πp中出现的w的导数最高阶次是2.
根据收敛准则,在单元交界面上必须保持w及其一阶导数的连续性,即要求插值函数具有C1连续性.
关于具有C1连续性的插值函数的构造,除在一维问题(如梁弯曲问题,轴对称壳问题)中还比较简单外,在二维问题中,要比构造具有C0连续性的插值函数复杂得多.
基于平板弯曲问题的这种固有特性,从有限单元法最早发展开始,大量的工作投入了构造板、壳单元的研究.
根据所要分析结构的特点、分析的要求,发展了基于不同方法或不同变分原理的各式各样的板壳单元.
尽管板、壳单元的研究工作仍在吸引着很多有限元工作者的注意和精力,但是从迄今为止的发展情况来看,平板单元大体上可以分为三类[3]:·921·(1)基于经典薄板理论的板单元,即基于(4.
10)式所表述的位能泛函的、以w为场函数的板单元.
(2)基于保持Kirchhoff直线假设的其他薄板变分原理的板单元,如基于Hellinger-Reissner变分原理的混合板单元和基于修正的Hellinger-Reissner变分原理或修正余能原理的应力杂交板单元等.
(3)挠度w和法线转动θx和θy为各自独立场函数的板单元.
如果w和θx,θy之间的约束是通过罚函数引入位能泛函的,则这种单元是考虑剪切变形的板单元.
还有在板单元边界上的若干点强迫w和θx,θy之间满足Kirchhoff假设的,则称为离散的Kirch-hoff板单元.
上述第二、三类板单元的共同特点是将构造C1连续性的插值函数转化为构造C0连续性的插值函数,使问题得到简化.
特别是第三类板单元,表达格式比较简单.
并由于结点参数中只包含位移和转动,与其他实体单元联结也比较方便,易于组织在统一的计算程序中,因此近年来受到人们更多的注意,特别是在动力分析和非线性分析中,更加强调单元矩阵计算的简洁性,这种单元的优点更具有吸引力.
4.
2基于薄板理论的非协调板单元4.
2.
1矩形单元考虑图4.
2所示矩形单元,每个结点有3个参数:挠度w、法线绕x轴的转动θx和绕y轴的转动θy,即ai=wiθxiθyi=wiwyi-wxi(i=1,2,3,4)(4.
11)单元的结点位移向量为·031·图4.
2矩形板单元ae=a1a2a3a4(4.
12)可以用含有12个待定系数的多项式来定义位移函数,这时4次完全多项式必须略去某些项,为保持对于x,y的对称性,可以方便地采用下式w=α1+α2x+α3y+α4x2+α5xy+α6y2+α7x3+α8x2y+α9xy2+α10y3+α11x3y+α12xy3(4.
13)或w=Pα其中P=〔1xyx2xyy2x3x2yxy2y3x3yxy3〕α=〔α1α2…α12〕T为了确定待定系数α1,α2,…α12,可将结点1,2,3,4的坐标代入w及其导数的表达式,则可得到下列方程组wi=α1+α2xi+α3yi+α4x2i+α5xiyi+α6y2i+…wyi=θxi=α3+α5xi+2α6yi+…-wxi=θyi=-α2-2α4xi-α5yi+…(i=1,2,3,4)(4.
14)·131·将上列方程组表示成矩阵形式,则有Cα=ae(4.
15)其中C是依赖于结点坐标的12*12矩阵,通过求逆可以决定待定参数α=C-1ae(4.
16)将上式代回到(4.
13)式,则可以得到w的插值表示形式w=Pα=PC-1ae=Nae(4.
17)其中插值函数N可表示成N=〔N1N2N3N4〕(4.
18)而Ni=18〔(ξ0+1)(η0+1)(2+ξ0+η0-ξ2-η2)bηi(ξ0+1)(η0+1)2(η0-1)-aξi(ξ0+1)2(ξ0-1)(η0+1)〕式中ξ=(x-xc)/aη=(y-yc)/bξ0=ξξiη0=ηηixc、yc是单元中心的坐标.
前面已阐明薄板的变形可以完全由中面挠度w所表征.
(4.
13)式中的前三项α1+α2x+α3y代表薄板的刚体位移,其中α1代表薄板在z方向的移动,-α2和α3分别代表薄板单元绕y轴及x轴的刚体转动.
式中α4x2+α5xy+α6y2代表薄板弯曲的常应变(常曲率和常扭率)项,因为将它们代入(4.
1)式可以得到-2wx2=-2α4-2wy2=-2α6-22wxy=-2α5从以上分析可见,(4.
13)式所表达的w是满足完备性要求的,因为它包含了刚体位移及常应变.
现在来分析相邻单元之间的位移连续性,从(4.
13)式可以看到x=常数或y=常数的边界上,w是三次变化曲线,它可以由两端结点的4个参数唯一地决定.
例如边界1-2上w可由w1,·231·(w/y)1,w2,(w/y)2惟一地决定,所以单元交界面上w是连续的.
但从(4.
13)式还可以看到在单元边界上w的法向导数也是三次变化的.
仍以边界1-2为例,w/x是y的三次式,现在只有二个参数,即,(w/x)1,和(w/x)2不能惟一地决定边界1-2三次变化的w/x,因此单元之间法向导数的连续性要求一般是不能满足的.
也就是说这种单元是非协调的.
但是可以验证这种非协调单元是能够通过分片试验的,所以当单元划分不断缩小时,计算结果还是能收敛于精确解答,实际计算证实了这一点.
在得到w的插值表示(4.
17)式以后,其余步骤是标准化的.
首先将它代入(4.
1)式得到广义应变向量κ=Lw=LNae=Bae(4.
19)再将上式代入(4.
4)式得到广义内力向量M=Dκ=DBae(4.
20)利用以上两式形成单元刚度矩阵ke=∫∫ΩBTDBdxdy(4.
21)式中Ω是单元的面积,Ω=4ab,当单元厚度t是常数时,上式可以显式积分,因为公式比较冗长,这里从略.
当单元上作用分布荷载q时,单元荷载向量可按下式计算Qe=∫∫ΩNTqdxdy(4.
22)下面给出q是常数时Qe的具体结果Qe=4qab〔1/4b/12-a/121/4b/12a/121/4-b/12a/121/4-b/12-a/12〕T上列结果表明,此时荷载向量的所有分量都不等于零,其中1,4,7,10分量是作用于结点的z方向集中力,各等于1/4的总载荷4qab,这从直觉上也是可以预计的.
其余分量是分别作用于结点的集中力矩,对于结构内部的结点,如果周围的四个单元面积相同,则各个单元在此结点的相应分量之和仍为零.
·331·例1四边支承的方形薄板,支承包括四边固支和四边简支两种情况,承受均布荷载q或中央集中荷载.
因为对称,只取1/4用不同密度的网格进行计算,用有限元法求得的中心点挠度和Timoshenko精确解的比较列于表4.
1.
其中L是板的边长,D=Et3/12(1-μ2),计算中取μ=0.
3.
对于四边固支承受均布荷载q的情况,沿中线的w及弯矩Mx的结果如图4.
3所示.
图4.
3均匀荷载作用下四周固支方板的挠度和弯矩表4.
1正方形薄板的中点挠度(矩形单元)网格结点数四边简支四边固支均布荷载集中荷载均布荷载集中荷载wmaxD/qL4wmaxD/PL2wmaxD/qL4wmaxD/PL22*290.
0034460.
0137840.
0014800.
0059194*4250.
0039390.
0123270.
0014030.
0061348*8810.
0040330.
0118290.
0013040.
00580316*162890.
0040560.
0116710.
0012750.
005672精确解0.
0040620.
011600.
001260.
00560·431·例2角点用柱子支承的方形薄板承受均布荷载q.
由于对称,取其1/4进行有限元分析.
此问题已有很多试验或解析研究结果.
用有限元法求得的挠度和弯矩与差分解的比较见表4.
2表4.
2角点支承正方形薄板的挠度和弯矩(矩形单元)网格板中心边中点wD/qL4M/qL2wD/qL4M/qL22*20.
01760.
0950.
01260.
1394*40.
02320.
1080.
01650.
1496*60.
02440.
1090.
01730.
150差分解0.
02650.
1090.
01700.
140从以上算例的结果可见,利用此种矩形板单元计算薄板弯曲问题,收敛性是很好的.
甚至在角点支承的情况,角点附近存在应力集中,有限元的解答也是比较好的.
其次,从算例还可看到,虽然非协调矩形单元收敛性得到证实,但是收敛并非一定是单调的,即不一定是真实解的下界或上界.
需要指出,上述矩形单元不能推广到一般的四边形单元,虽然图4.
4平行四边形单元和斜坐标第二章所述的坐标变换可以进行,但经变换得到的一般四边形单元不能满足常应变准则,即单元不能通过分片试验,所以收敛性是很差的,不能用于实际计算.
惟一能满足常应变准则的是平行四边形,这时总体坐标x,y和局部坐标ξ,η的关系是(参见图4.
4)ξ=(x-yctgα)/aη=ycscα/b(4.
23)其它所有计算公式也可导出,这里不一一列出.
·531·4.
2.
2三角形单元三角形单元能较好地适应复杂的边界形状,在实际分析中得到较多的应用.
图4.
53结点三角形板单元考虑3结点三角形单元,如图4.
5所示,每个结点有3个位移参数,即wi,θxi,θyi(i=1,2,3),单元共有9个结点位移参数.
如果位移函数仍取x,y的多项式,其中应包含9项,而一个完全三次多项式包含10项,即α1+α2x+α3y+α4x2+α5xy+α6y2+α7x3+α8x2y+α9xy2+α10y3所以必须从上式中删去一项.
如前所述,前6项代表刚体位移和常应变,是保证收敛所必需的.
而三次方项删去任何一项,都不能保持对于x和y的对称性,因此有人建议令α8=α9,以达到减少一个待定系数并保持对称性的目的.
可惜在此情况下,对于二个边界分别平行于x轴和y轴的等腰三角形单元,确定α的代数方程系数矩阵C是奇异的,因此α不能确定,所以令α8=α9的方案是行不通的.
还有一种方案是将单元中心挠度w也作为一个参数,但此方案导出的单元是不收敛的.
上述困难可用引入面积坐标的方法加以克服.
我们在2.
1节已介绍了面积坐标Li=12A(ai+bix+ciy)(i=1,2,3)(4.
24)并有L1+L2+L3=1其中ai,bi,ci是由三角形单元几何形状决定的常数,见(1.
17)式.
反之·631·x=∑3i=1Lixiy=∑3i=1Liyi(4.
25)其中xi,yi是三角形单元顶点的坐标值.
面积坐标的一次、二次、三次式分别有以下各项一次式:L1,L2,L3(4.
26)二次式:L1L2,L2L3,L3L1,L21,L22,L23(4.
27)三次式:L31,L32,L33,L21L2,L22L3,L23L1,L1L22,L2L23,L3L21,L1L2L3(4.
28)由(4.
25)式可见x,y的一次完全多项式可用(4.
26)式中三项的线性组合表示为α1L1+α2L2+α3L3(4.
29)x,y的二次项完全多项式应至少包含(4.
27)中的三项及(4.
26)和(4.
27)二式中的其它任取三项、共六项的线性组合.
例如α1L1+α2L2+α3L3+α4L1L2+α5L2L3+α6L3L1(4.
30)这表面上的任意性是由于L1,L2,L3中只有两个是独立的而引起的,它不影响x,y的二次完全多项式的实质.
同理,x,y的三次完全多项式应至少包含(4.
28)式中的四项以及(4.
26)、(4.
27)和(4.
28)三项式中的六项、共十项的线性组合.
现在来研究构造3结点三角形板单元的插值函数,为此了解一下(4.
26)、(4.
27)以及(4.
28)式中某些项的几何性质,并表示于图4.
6中.
图4.
6(a)表示w=L2,单元绕边1-3作刚体转动,w2=1,w1=w3=0.
所以L1,L2,L3的线性组合可以表示单元的任意给定的刚体位移.
如w=L22L3,则沿边1-2和1-3,w=0,当然也包括w的所有结点值w1=w2=w3=0.
再利用关系式·731·图4.
6用面积坐标多项式表示的某些基本函数x=12A(b1L1+b2L2+b3L3)y=12A(c1L1+c2L2+c3L3)可以证明在边1-3(包括结点1和3)上,w/x=w/y=0,而在结点2上,w/x≠0,w/y≠0(w=L22L1具有相同的性质),所以由L22L3和L22L1的组合可以给出(w/x)2和(w/y)2的任意指定值.
再如w=L1L2L3,它在三个结点上,函数值及偏导数都等于0,即wi=(w/x)i=(w/y)i=0(i=1,2,3),所以它不能由结点参数决定,因之在构造单元插值函数时不能单独应用.
但它和L22L3等项结合使用,如写成L22L3+CL1L2L3(C是某个常数)形式,可增加函数的一般性.
L1L2L3和L22L3+12L1L2L3表示在图4.
6(c)和(b)中.
L22L3+CL1L2L3形式的函数共有6项.
对于现在要构造的三角形单元的位移函数可以先取为w=α1L1+α2L2+α3L3+α4(L22L1+CL1L2L3)·831·+…+α9(L21L3+CL1L2L3)(4.
31)其中α1,α2,…,α9是待定系数,上式对于自然坐标L1,L2,L3在形式上是对称的.
但是由于它只包含9项并不能代表x,y的完全三次式,所以一般情况下不能保证w满足常应变要求,即当结点参数赋以和常曲率或常扭率相对应的数值时,w不能保证给出和此变形状态相对应的挠度值.
幸好,(4.
31)式还有常数C可以调整,可以证明,当C=1/2时,(4.
31)所表示的w正好满足常应变的要求.
(4.
31)式中C=1/2,并以结点的坐标代入其中以及它的导数表达式,应得到各个结点参数值wi,θxi=wyi,θyi=-wxi(i=1,2,3)利用以上方程可以决定α1,α2,…,α9.
再回代到(4.
31)式,就可最后得到w的插值表示式w=Nae(4.
32)或w=〔N1N2N3〕a1a2a3其中NT1=N1Nx1Ny1=L1+L21L2+L21L3-L1L22-L1L23b2(L3L21+12L1L2L3)-b3(L21L2+12L1L2L3)c2(L3L21+12L1L2L3)-c3(L21L2+12L1L2L3)N2,N3可通过轮换下标1-2-3→←而得到.
将(4.
32)式代入(4.
1)式,可得到B,并进而按标准化的步骤·931·计算单元刚度矩阵ke.
应当指出,因为ke的积分表达式是用面积坐标表示的,所以可利用公式(2.
10)显式积出.
也可以简单地利用数值积分计算ke,因为ke中仅包含面积坐标的二次项,故对于一个三角形单元,仅需三点积分就可以给出精确积分的结果.
可以指出此种单元的协调性情况,在单元边界上,w是三次变化,可由两端结点的w,w/s值惟一地决定,所以w是协调的.
但是由于单元边界上w/n是二次变化,不能由二端结点的w/n惟一地决定,所以单元边界上w/n是不协调的图4.
7方板的三角形单元划分Irons等已证明如果单元网格是由三组等间距直线产生的(如图4.
7中的4*4,4*4A网格),此种单元能够通过分片试验,则有限元解能收敛于精确解.
而4*4B网格,虽然解也收敛,但位移值大约有1.
5%的误差.
对于大多数工程问题,用非协调元得到的解的精度是足够的,常常还可给出比协调元更好一些的结果.
这是因为利用最小位能原理求得的近似解一般使结构呈现过于刚硬,而非协调元实质上是未精确满足最小位能原理的要求,在单元交界面上有较多的适应性,使结构趋于柔软,正好部分地抵消上述过于刚硬带来的误差.
例不同支承条件的方板承受分布荷载或集中荷载,按图4.
7所示不同网格划分进行计算.
沿板中心线的挠度和Mx的结果以及和精确解的比较表示于图4.
8中.
图中Mx取自单元中心的结果.
结果表明精度和收敛性都是比较好的.
·041·图4.
8不同支承方板的有限元结果·141·4.
3位移和转动分别独立插值的板单元4.
3.
1罚函数法考虑在Ω域内具有附加条件C(u)=0的泛函Π的驻值问题,利用罚函数法可将附加条件以乘积的形式引入泛函Π*=Π+α∫ΩCT(u)C(u)dΩ(4.
33)其中α称为罚函数,若Π本身是解的极小值问题,α取正数.
由修正泛函得到的近似解只是近似地满足附加条件,α值越大,附加条件的满足就越好.
利用罚函数法求解条件驻值问题不增加未知参量的个数,并且不改变驻值的性质.
若原来的泛函取极值,那么用罚函数法构造的修正函数仍取极值.
在应用罚函数法求解实际问题时,也出现一定困难.
首先,约束泛函(4.
33)式变分后将导致下列形式的求解方程(K1+αK2)a=Q(4.
34)其中K1是从原泛函导出的,而αK2是从附加的罚函数项导出的.
当α无穷增大时,上列方程将退化成K2a≈Qα→0除非K2是奇异的,否则只能得到零解,即a=0.
但是这种奇异性并非总是自然出现的.
例如在下面4.
3.
2的(4.
35)式表示的泛函中,若w和θ采用同阶的插值函数,同时与罚函数项相关的积分采用精确积分,则最后求解方程中的K2矩阵就是非奇异的.
因此在利用罚函数法求解问题时,为保证K2的奇异性必须采用专门的措施,例如下面要讲的减缩积分.
其次,企图将α→∞以得到精确解也是不可能的.
因为当α增至相当大但仍保持为有限值时,已造成方程的病态,所以在实际计算中只能将α控制在一定的范围内.
如何恰当地选择罚数α的大小是利用罚函数法将附加条件引入泛函时的一个不易掌握的·241·问题.
原则上是应使由于罚数为有限值导致附加条件未能精确满足所引起的误差与计算中的其它误差(如离散误差、截断误差等)结合起来为最小.
实际上通常需要根据具体问题的特点和计算机字长等因素通过试算来决定,一般情况下使αK2的主元比K1的主元大104~105量级,常可取得较好的结果.
4.
3.
2位移和转动分别独立插值的板单元[2,3]当位移和转动是各自独立的场函数时,系统的总位能可以表示为Πp=Πp+∫∫Ωα1wx-θx2dxdy+∫∫Ωα2wy-θy2dxdy(4.
35)其中Πp就是(4.
10)式所表示的系统总位能.
如果没有给定的边界外力作用,则Πp=12∫∫ΩκTDbκdxdy-∫∫Ωqwdxdy(4.
36)上式内Db即(4.
5)式表示的弹性关系矩阵D,κ在位移和转动各自独立的情况下应表示为κ=-θxx-θyy-θxy+θyx(4.
37)在(4.
35)式中,可令α1=α2=α=Gt2k(4.
38)其中G是材料剪切模量,t是板厚,k是考虑实际的剪应变沿厚度方向非均匀分布而引入的校正,按能量相当,应取k=6/5.
这样一来,(4.
35)式表示的就是考虑剪切变形的Mindlin平板理论的泛函,根据它构造的板单元以及建立的有限元格式将可用于分析·341·较厚的平板弯曲问题,而用于薄板时,(4.
35)式的后两项起罚函数作用,使Kirchhoff直法线假设,即约束条件C=wx-θxwy-θy=0(4.
39)得到实现.
由于位能表达式中w和转动θx,θy是各自独立插值的,所以它们的插值函数只要求C0的连续性.
可以利用第二章中所介绍的各种C0型的二维插值函数将w,θx,θy表示为θxθyw=Nae(4.
40)其中N=〔N1IN2I…NnI〕I是3*3单位矩阵,n是单元结点数ae=a1a2anai=θxiθyiwi(i=1,2,…,n)将(4.
40)式代入(4.
37)式和(4.
39)式,可得κ=BbaeC=Bsae(4.
41)其中Bb=〔Bb1Bb2…Bbn〕Bs=〔Bs1Bs2…Bsn〕Bbi=-Nix000-Niy0-Niy-Nix0Bsi=-Ni0Nix0-NiNiy将上式及(4.
40)式代入泛函(4.
35)式,则由泛函的变分为0·441·可以得到Ka=(Kb+αKs)a=Q(4.
42)其中Kb=∑ekbe,Ks=∑ekes,Q=∑eQe而keb=∫∫ΩeBTbDbBbdxdykes=∫∫ΩeBTsBsdxdyQe=∫∫ΩeNT00qdxdy选择数值积分方案的原则应保证Ks的奇异性及K的非奇异性.
但是由于平板弯曲问题相对比较复杂,选择不同的积分方案时,判断K和Ks是否奇异要比较仔细.
在2.
10节曾经指出,对于等参实体单元的数值积分,保证K的非奇异性的必要条件是Mngd≥N(4.
43)式中M———单元数;ng———每个单元的高斯点总数;d———独立关系数,即应变和位移的关系数;N———系统的独立自由度数,N=结点总数*每个结点自由度-给定的约束数.
对于Mindlin板单元,保证K非奇异性的必要条件是Mnbdb+Mnsds≥N(4.
44)式中M———单元数;nb、ns———分别是计算keb和kes时所采用的高斯积分点数;db、ds———分别是弯曲应变和剪切应变的分量数,对于Mindlin板单元,db=3,ds=2;N———系统的独立自由度数.
关于保证Mindlin板单元所形成系统刚度矩阵中与剪切应变·541·能相关的部分Ks的奇异性,参照(4.
43)式,可以给出它的充分条件如下Mnsds0(4.
47)分别代替(4.
44)式和(4.
45)式对K的非奇异性和Ks的奇异性作出估计.
其中j是在已形成部分网格的基础上再增加一个单元所增加的自由度数,S称为奇异性指数,S愈大表示Ks的奇异性愈高.
应该指出,以上两式所提供的仅是关于K非奇异性和Ks奇异性条件的一种估计,即(4.
46)式已不像(4.
44)式那样是K非奇异性的必要条件,(4.
47)式也不像(4.
45)式那样是Ks奇异性的充分条件.
因为用以上两式中的自由度数j去推算具有不同网格和边界约束情况的系统自由度N既可能小于M*j,也可能大于M*j.
判断一矩阵是否奇异的严格方法是计算它的零特征值的数目.
现在利用(4.
46)式和(4.
47)对一些常见的几种四边形板单元作一些分析,其结果列于表4.
3.
文[2]中利用表4.
3中所列的几种单元,同时采用减缩积分和精确积分,以不同疏密的网格,对不同支承条件、不同厚度-边长比的承受均布荷载的方板进行了大量计算,结果表明:(1)对于厚板,两种积分方案都能得到较好的结果;而对于薄板,只有减缩积分才能给出正确的解答.
(2)一次、二次、三次的拉格朗日(Lagrange)减缩积分单元,即LR,QLR,CLR,比等参(Serendipity)减缩积分单元表现出更好的性能,这是因为三次等参单元CSR的Ks一般都是非奇异的,QSR单元有时也会产生剪切"锁死"(ShearLocking)现象.
在板单元中,当板很薄时,由于Ks的非奇异而造成问题只能是零解,这种现象称为剪切"锁死".
·641·综合上述,文[2]建议在实际中采用LR,QLR,CLR这几种单元.
图4.
8中给出了利用各种单元计算简支方板承受均匀荷载的比较.
从图4.
8中可见,二种三角形单元性能是不好的.
表4.
3减缩积分单元的奇异性指数单元型式jKb+αKsKsnb,nsnbdb+nsdsnsnsds31*1kes2*2keb14非奇异1*12奇异92*2kes2*2keb20非奇异2*28奇异122*2kes2*2keb20非奇异2*28奇异153*3kes3*3keb45非奇异3*318非奇异273*3kes3*3keb45非奇异3*318奇异采用位移和转动各自独立插值的三角形板单元,需补充指出,即使采用减缩积分方案,用于薄板情况,也将发生剪切"锁死".
这点只要按表4.
3的方法稍加分析就可以清楚.
·741·习题4.
1导出矩形非协调板单元刚度矩阵(4.
21)式的显式表达图4.
9式.
4.
2四边固定的方形板,如图4.
9,边长为l,厚度为t,泊松比μ=16.
板上受有法向均布荷载q0,试利用对称条件,只取1/4板(一个单元)进行分析,求板中点的最大挠度(解析解w1=0.
00126q0l4D).
4.
3上题四边固定的正方形板,板中心点处受集中荷载P,试利图4.
10用对称条件,只取1/4板(一个单元)进行分析,求板中点的最大挠度.
4.
4四边简支正方形薄板,如图4.
10,边长为l,厚度为t,泊松比μ=16.
板上受有法向均布荷载q0,试利用对称条件,只取1/4板(一个单元)进行分析,求板中点的最大挠度(解析解w1=0.
00406q0l4D).
·841·第五章壳体问题按照对壳体几何形状的描写和简化,基于壳体理论的壳体单元可以分为深壳单元、扁壳单元和平板单元.
深壳、扁壳、平板三者之间,内力的定义和弹性关系是相同的,而位移和应变关系则是不同的.
在进行有限元分析时,应根据结构的形式,选择不同的单元类型进行分析.
对于扁壳结构,可采用平板单元和扁壳单元,对于深壳问题可采用深壳单元.
由于深壳问题的几何关系比较复杂,计算工作量较大,常采用从三维实体单元蜕化而来的超参单元,而较少使用深壳单元.
本章主要介绍用平板单元的组合体去代表曲面壳体的方法及超参数壳体单元.
5.
1平板单元5.
1.
1局部坐标系内的单元刚度矩阵平板壳体单元可以看成是平面应力单元和平板弯曲单元的组合,因此其单元刚度矩阵可以由这两种单元的刚度矩阵组合而成〔3〕.
以3结点三角形平板单元为例,如图5.
1所示,局部坐标系Oxy建立在单元所在平面内.
对于平面应力状态,由1.
3节可知uv=∑3i=1N(m)ia(m)i,a(m)i=uivi(5.
1)ε=∑3i=1B(m)ia(m)iε=εxεyγxyT(5.
2)k(m)ij=(B(m)i)TD(m)B(m)jdxdy(5.
3)·941·图5.
1三角形平板薄壳单元的结点力和结点位移式中N(m)i,B(m)i,D(m)见(1.
19),(1.
21),(1.
5a)等式,现加上标(m),表示属于薄膜应力状态的.
对于平板弯曲状态,由4.
2节可知w=∑3i=1N(b)iabia(b)i=wi,θxi,θyiTθxi=wyiθyi=-wxi(5.
4)式中N(b)i见(4.
32)式.
并进而可得到κ=∑3i=1B(b)ia(b)i,κ=-2wx2-2wy2-22wxyT(5.
5)k(b)ij=(B(b)i)TD(b)B(b)jdxdy(5.
6)上标(b)表示属于平板弯曲状态的.
组合上述两种状态就可得到平板壳元的各个矩阵表达式.
需要指出,在局部坐标系中,结点位移参数不包含θzi.
但是为了下一步将局部坐标系的刚度矩阵转换到总体坐标系,并进而进行集成,需要将θz也包括在结点位移参数中.
这样一来结点位移向量·051·表示为ai=uiviwiθxiθyiθziT(5.
7)同时平板单元的刚度矩阵可表示为kij=k(m)ij0000000000000k(b)ij0000000000(5.
8)5.
1.
2单元刚度矩阵从局部坐标系到总体坐标系的转换上面导出了平板单元在局部坐标系(即x,y轴在单元的中面图5.
2平板单元的总体坐标系与局部坐标系内,z轴垂直于中面的坐标系)中的单元刚度矩阵,为建立系统的刚度矩阵,需要确定一总体坐标系,并将各单元在局部坐标系内的刚度矩阵转换到总体坐标系中去.
现用x′,y′,z′表示总体坐标系,局部坐标系仍以x,y,z表示,参见图5.
2.
仍以上节讨论的3结点三角形单元为例,局部坐标系内的结点位移向量是ai=uiviwiθxiθyiθziT总体坐标系内的结点位移向量是a′i=u′iv′iw′iθ′xiθ′yiθ′ziT(5.
9)结点位移向量在两个坐标系之间按下式进行转换a′i=Lai,ai=LTa′i(5.
10)其中·151·L=λ00λλ=λx′xλx′yλx′zλy′xλy′yλy′zλz′xλz′yλz′z(5.
11)式内λx′x=cos(x′,x)等是x,y,z轴在x′y′z′坐标系的各个方向余弦.
单元结点位移向量的转换关系是a′e=Taeae=TTa′e(5.
12)其中T=L000L000L单元刚度矩阵和荷载向量的转换关系是k′e=TkeTTke=TTk′eTQ′e=TQeQe=TTQ′e(5.
13)对于它们的每一子块,有k′ij=LkijLTkij=LTk′ijLQ′i=LQiQi=LTQ′i(5.
14)集成总体坐标系内的各个单元刚度矩阵和荷载向量,就可以得到系统的求解方程.
解之得到总体坐标系内的位移向量a′以后,再转换回到局部坐标系的位移向量a,并进而计算单元内的应力等.
在集成总体刚度矩阵时,需要注意一特殊情况,即如果汇交于一个结点的各个单元在同一平面内.
由于在(5.
8)式中已令θzi方向的刚度系数为0,在局部坐标系中,这个结点的第六个平衡方程(相应于θzi方向)将是0=0.
如果总体坐标系与这一局部坐标系方向一致,显然总刚度矩阵的行列式|K|=0,因而系统方程将不能有惟一的解,如果总体坐标与局部坐标方向不一致,经变换后,在此结点得到表面上正确的六个平衡方程,但它们实际上是线性相关的,仍然导致|K|=0.
为克服这一困难,有两种方法可供选·251·择.
(1)在局部坐标系内建立结点平衡方程,并删去θzi方向的平衡方程0=0,于是剩下的方程组满足惟一解的条件.
但此法在程序处理上比较麻烦.
(2)在此结点上,给以任意的刚度系数Kθz,这时在局部坐标系中,此结点在θzi方向的平衡方程是Kθzθzi=0.
经变换后,总体坐标中的系统方程满足惟一解的条件,即|K|≠0.
在解出的结点位移中包括θzi.
由于θzi与其它结点平衡方程无关,并且也不影响单元应力,所以实际上给定任意的Kθz值都不影响计算结果.
此法在程序处理上比较方便.
以上讨论的是对于图5.
1所示三角形平板单元,实际上,上述各个矩阵或向量的转换公式完全是一般的.
对于其他形式的平板单元也适用,只是根据单元结点数目和结点参数向量的具体定义,转换矩阵(5.
11)式和(5.
12)式可能有所不同.
5.
1.
3局部坐标的方向余弦1.
三角形单元三角形单元三个角点的坐标在总体坐标和局部坐标中分别表示为(参见图5.
2).
X′i=x′iy′iz′iXi=xiyizi(i=1,2,3)(5.
15)局部坐标系的原点X′0可以选择在单元内的任一点,例如选在1点,即X′0=X′1(5.
16)如前所述,x,y轴放在单元平面内,所以z轴垂直于此平面,按角点1→2→3右螺旋指向z的正方向,如令X′12=X′2-X′1=x′2-x′1y′2-y′1z′2-z′1=x′12y′12z′12(5.
17)·351·X′13=X′3-X′1=x′3-x′1y′3-y′1z′3-z′1=x′13y′13z′13(5.
18)则z轴的方向余弦是λz=λx′zλy′zλz′z=X′12*X′13X′12*X′13=1SABC(5.
19)其中λx′z=cos(x′,z)等A=y′12z′13-y′13z′12B=z′12x′13-z′13x′12C=x′12y′13-x′13y′12S=A2+B2+C2局部坐标系的x轴除了应保持在单元平面内以外,具体方向是可以选择的.
如选择在沿单元边界1-2方向,则x轴的方向余弦是λx=λx′xλy′xλz′x=1l12x′12y′12z′12(5.
20)其中λx′x=cos(x′,x)等,l12=(x′12)2+(y′12)2+(z′12)2为以后比较方便地表示应力计算结果,x轴还可以选择和总体坐标系Ox′y′面平行,即x轴是单元平面和z′=z′1平面的交线.
从而可以得到x轴的方向余弦λx=λx′xλy′xλz′x=1A2+B2-BA0(5.
21)y轴的方向余弦可由x,y,z三个轴构成右螺旋的要求决定,即λy=λx′yλy′yλz′y=λz*λx=λz′yλz′x-λz′zλy′xλz′zλx′x-λx′zλz′xλx′zλy′x-λy′zλx′x(5.
22)·451·这样一来,我们就得到两个坐标系之间的转换矩阵λ=λxλyλz=λx′xλx′yλx′zλy′xλy′yλy′zλz′xλz′yλz′z(5.
23)并有λT=λ-1两个坐标系之间的坐标转换可表示为X′=X′0+λXX=λT(X′-X′0)(5.
24)其中X′=x′y′z′X=xyz2.
矩形单元现讨论矩形单元用于柱壳情况,这时局部坐标选择比较方便;原点可放在单元的中心,x轴和x′轴(柱壳的母线)平行,如图5.
3所示.
这样一来,可将X′0和x,y,z轴的方向余弦表示如下X′0=x′0y′0z′0=14∑4i=1x′i∑4i=1y′i∑4i=1z′i(5.
25)λx=100λy=1s140y′14z′14λz=1s140-z′14y′14(5.
26)其中y′14=y′4-y′1z′14=z′4-z′1s14=(y′14)2+(z′14)2·551·5.
1.
4单元和插值函数的具体考虑以上各小节的讨论中,虽然涉及一、二种单元和插值函数,但是应当指出,那只是为了阐述的方便,表达格式和分析方法具有一般性,原则上以前讨论过的各种平面应力单元和平板弯曲单元都可以用来组合成平板壳元.
需要考虑的是单元交界面上的位移协调性问题.
图5.
3矩形单元的总体坐标和局部坐标对于平板单元,因为切向位移u,v和法向位移w分别出现在薄膜应变εx,εy,γxy和弯曲应变κx,κy,κxy当中,所以在单元内这两种应变是互不耦合的,表现于单元刚度矩阵实际上是平面应力单元和平板弯曲单元的简单叠加.
它们的耦合仅出现在单元的交界面上,这是由于采用平板单元离散壳体结构时,相邻单元一般不在同一平面内,亦即在交界面的垂直方向一般不具有连续的切线,所以在一个单元平面内的薄膜内力传递到相邻单元时将有横向分量,从而引起弯曲效应.
反之,一个单元的横向内力传递到相邻单元时将有切向分量,从而引起薄膜效应.
正是由于上述特点,尽管组成平板壳元的平面应力单元和平板弯曲单元满足协调性条件,如果u,v和w在交界面上的插值函数不相同,则平板壳元在交界面上的位移仍是不协调的.
例如通常的3结点三角形平面应力单元在交界面上u,v是线性函数,而基于经典薄板理论的3结点三角形板单元,w在交界面上是三次或五次函数.
因此为使交界面上位移协调,u,v也应是三次或五次函数.
确实也有u,v,w同是三次函数的平板壳元用于实际分析.
但是在这种单元中,和w相仿,u,v的一阶导数也将包括在结点位移参数当中.
这样做将增加系统的自由度和表达格式的复杂性.
另外,由于u,v的导数也即薄膜应变作为结点参数时,·651·如果相邻单元的厚度不同,将导致内力的不平衡,从而使解产生较大的误差.
由于以上原因,平板壳元仍较多地采用u,v为线性函数的形式,如上所述,如果平板弯曲单元是基于经典薄板理论的,单元交界面上的位移协调条件将不能满足.
但是这种位移不协调性将随着单元的划分不断精细而减小,因为这时垂直于交界面的切线趋于连续.
在极限情况、相邻单元处于同一平面,平面应力单元和平板弯曲单元互不耦合.
如果它们各自的位移原来是满足协调条件的,则平板壳元在交界面上位移也是协调的.
从上述意义来看,位移和转动各自独立插值的减缩积分的板单元用来和平面应力单元组合成平板壳元是有利的,因为此单元中w是采用C0型插值函数,和u,v的插值函数是相同的.
平板壳元的另一问题是由于相邻单元在交界面上的切线不连续可能给局部的应力以一定的扰动,克服此缺点的方法也是需要将单元划分得比较细.
例图5.
4所示为圆柱壳屋顶,两端由隔板支持,承受自重作用.
因为很多壳体单元的研究工作都以此例进行相互校核,所以它是有限元板壳分析中的一个经典问题,以后还将不止一次的用它来检验不同单元的效率和可靠性.
现在我们引用三种单元的计算结果.
(1)平面应力单元是3结点三角形常应变元(1.
3节)、平板弯曲单元是三结点九个位移参数的非协调元(4.
2.
2节).
(2)平面应力单元是六结点三角形二次元,平板弯曲单元是12个结点参数的三角形协调元,每个角结点的参数是w,w/x,w/y,边中结点的参数是w/n.
(3)平面应力单元是双线性的四边形单元,平板弯曲单元是4.
3节表4.
3所列的LR单元.
因为结构的对称性,只取其1/4作有限元分析,在图5.
4的(b)、(c)和图5.
5(a)、(b)上分别表出单元(1),(2)和(3)在不同网格划分情况下,中央截面(y=1/2)的垂直方向位移和支承截面(y=0)·751·图5.
4(a)圆柱壳屋顶;(b)自重作用下中央截面的垂直位移;(c)端部支承处的纵向位移的纵向位移.
从结果可见,当网格比较精细时,这几种单元的结果和扁壳理论的解析结果比较,符合得相当好.
单元(2)采用6*6网格时有限·851·元结果和解析解几乎不能区别,所以在图上未能表示出.
图5.
5(a)圆柱壳屋顶中央截面的垂直位移(b)端部支承处的纵向位移5.
2超参数壳体单元5.
2.
1几何形状的规定〔3,13〕图5.
6所示为两种典型的厚壳单元,它由上、下两个曲面及周·951·边以壳体厚度方向的直线为母线的曲面所围成.
给定每一对结点i顶和i底的总体直角坐标,即可近似地规定单元的几何形状,为此令ξ,η为壳体中面上的曲线坐标,ζ为厚度方向的直线坐标,且-1≤ξ,η,ζ≤1.
于是壳体单元内任一点的总体坐标可近似地表示为.
图5.
6不同形状的厚壳单元xyz=∑ni=1Ni(ξ,η)xiyizi中面+∑ni=1Ni(ξ,η)ζ2V3i(5.
27)其中xiyizi中面=12xiyizi顶+xiyizi底(5.
28)是中面结点的总体直角坐标.
V3i=V3ixV3iyV3iz=xiyizi顶-xiyizi底=ΔxiΔyiΔzi(5.
29)是从结点i底到结点i顶的向量.
为适应以后描写位移的要求,V3i应·061·选择在中面的法线方向,这时|V3i|即为i点的厚度,亦即ti=|V3i|=Δx2i+Δy2i+Δz2i(5.
30)V3i的单位向量v3i的方向余弦l3i,m3i,n3i如下:v3i=l3im3in3i=1tiΔxiΔyiΔzi(5.
31)5.
2.
2位移函数根据壳体理论的基本假设,变形前中面的法线变形后仍保持为直线,因此壳体内任一点的位移可由中面对应点沿总体坐标x,y,z方向的三个位移分量u,v,w及法线绕与它相垂直的两个正交向量的转动α,β所确定.
在壳体单元中,中面上任一点的上述5个量还应表示为它们的结点值(结点位移参数)的插值形式.
现在用v3i表示结点的法线向量,用v1i和v2i表示与v3i垂直并相互正交的单位向量,v3i绕它们的旋转分别是βi和αi,如图5.
7所示,则单元内的位移最后可表示成uvw=∑ni=1Ni(ξ,η)uiviwi中面+∑ni=1Ni(ξ,η)ζti2l1i-l2im1i-m2in1i-n2iαiβi(5.
32)其中l1i,m1i,n1i和l2i,m2i,n2i分别是v1i和v2i的方向余弦,即v1i=l1im1in1iv2i=l2im2in2i(5.
33)为简单起见,(5.
32)式的下标"中面"今后省去.
并将该式写成标准形式·161·图5.
7超参元的坐标和位移uvw=N1N2…Nna1a2an(5.
34)其中ai=uiviwiaiβiT(i=1,2,…,n)Ni=Ni00Niζti2l1i-Niζti2l2i0Ni0Niζti2m1i-Niζti2m2i00NiNiζti2n1i-Niζti2n2i(5.
35)单位向量v1i,v2i可按下式定义,v1i=i*V3ii*V3iv2i=V3i*v1iV3i*v1i(5.
36)即v1i=l1im1in1i=1Δy2i+Δz2i0-ΔziΔyi·261·v2i=l2im2in2i=1tiΔy2i+Δz2iΔy2i+Δz2i-ΔxiΔyi-ΔxiΔzi式中,i是x轴方向的单位向量,如果V3i和i平行,则上式中i用y轴方向的单位向量j代替.
5.
2.
3应变和应力的确定为引入壳体理论中法线方向应力为零的假设,应在以法线方向为z′轴的局部坐标系x′y′z′中计算应变和应力.
首先在ζ=常数的曲面上确定两个切向向量,例如rξ=xξi+yξj+zξkrη=xηi+yηj+zηk(5.
37)其中i,j,k是x,y,z方向的单位向量.
利用上述两个向量,可以得到法线方向的向量V3=rdξ*rdη=ijkxξyξzξxηyηzη(5.
38)或V3=xξyξzξ*xηyηzη=yξzη-yηzξxηzξ-xξzηxξyη-xηyξ(5.
39)当V3确定以后,x′,y′方向的单位向量可以按照和以前相同的规则确定,即v1=i*V3i*V3v2=V3*v1V3*v1(5.
40)·361·同时可有v3=V3V3(5.
41)这样就得到总体坐标系x,y,z和局部坐标系x′,y′,z′之间的转换关系X=θX′X′=θTX(5.
42)其中X=xyzTX′=x′y′z′Tθ=v1v2v3=l1l2l3m1m2m3n1n2n3(5.
43)若u′,v′,w′是局部坐标x′,y′,z′方向的位移分量,根据壳体理论σz′=0的假设,在计算壳体变形能时,涉及的应变是ε′=εx′εy′γx′y′γy′z′γz′x′=u′x′v′y′u′y′+v′x′v′z′+w′y′u′z′+w′x′(5.
44)为了最后以结点参数ai表示ε′,需要进行两次坐标转换.
首先是利用转换矩阵θ,将上式中局部坐标系内位移的偏导数转换为总体坐标系内位移偏导数,它们之间的关系是·461·u′x′v′x′w′x′u′y′v′y′w′y′u′z′v′z′w′z′=θTuxvxwxuyvywyuzvzwzθ(5.
45)其次是将u,v,w对x,y,z的偏导数转换为对自然坐标ξ,η,ζ的偏导数,这在第三章中已讨论过,转换关系是uxvxwxuyvywyxzvzwz=J-1uξvξwξuηvηwηuζvζwζ(5.
46)其中J=xξyξzξxηyηzηxζyζzζ(5.
47)将(5.
27)式代入上式可计算J,再利用(5.
34)、(5.
35)和(5.
46)、(5.
47)等式,最后可将ε′表示成ε′=B′1B′2…B′na1a2an(5.
48)局部坐标系x′,y′,z′中的应力利用弹性关系可以表示成σ′=σx′σy′τx′y′τy′z′τz′x′T=Dε′(5.
49)其中·561·D=E1-μ21μ00010001-μ200对1-μ2k0称1-μ2k(5.
50)式中E、μ是材料弹性模量和泊松比,最后二个与剪应力τy′z′,τz′x′有关项中的系数k=1.
2,这是为了考虑剪应力沿厚度方向不均匀分布的影响而引入的修正.
最后可以指出,本小节开始提出的确定V3的方法是一般的.
可以用于(5.
29)式所定义的V3i不是沿法线方向和壳体厚度不是常数的情况.
如果V3i是沿法线方向且壳体厚度是常数的情况,则壳体中面上各点的V3可以较方便地利用各结点的V3i插值得到,即V3=∑ni=1Ni(ξ,η)V3i(5.
51)显然,上式的计算量要比(5.
39)式少很多.
5.
2.
4单元刚度矩阵和结点荷载向量单元刚度矩阵可直接在自然坐标中用下式计算,ke=∫1-1∫1-1∫1-1B/TDB/|J|dξdηdζ(5.
52)具体计算可用数值积分进行,这里需要指出的是数值积分点的选择.
在ζ方向,应变是线性变化,所以可以采用2个高斯点.
至于在ξ,η方向,在此种单元发展的初期,对于二次插值函数用3*3高斯点;对于三次插值函数用4*4高斯点.
应用于厚板和厚壳得到比较好的结果、但后来发现用于薄板和薄壳情况,得到的计算结果不好.
其原因和上一章将θx,θy作为独立函数的考虑剪切的板单元情况相同(可以指出:对于平板情况,可方便地证明这二种单元是等·661·价的).
当厚度t很小时,将发生剪切"锁死"现象.
解决此问题方法,也是采用减缩积分.
具体做法是,对于二次插值函数,用2*2高斯点;对于三次插值函数,用3*3高斯点.
由此可以改善精度和节省计算时间.
结点荷载的计算完全和三维等参元的情况相同,这里就不重复了.
5.
2.
5应力的计算当解出位移以后,利用(5.
48)和(5.
49)式可以计算ε′和σ′.
σ′通常是工程实际感兴趣的,因为它有清晰的物理意义.
但是应当指出,由(5.
49)式算出的σ′中,横向剪应力τx′z′和τy′z′是壳体截面上的平均剪应力,而实际剪应力是抛物线分布的.
在壳体内外表面上τx′z′=τy′z′=0.
在中面上它们的数值为平均剪应力的1.
5倍,所以应按此对(5.
49)计算出的σ′进行修正.
然后可根据需要计算主应力或总体坐标系中的应力σ.
后者的计算公式是σxτxyτxzτxyσyτyzτxzτyzσz=θσx′τx′y′τx′z′τx′y′σy′τy′z′τx′z′τy′z′σz′θT(5.
53)5.
2.
6算例1.
图5.
8所示为一简支方板,承受均匀荷载,由于对称,取出1/4,用二次厚板单元进行计算.
对于不同的厚度跨度比(t/a),图中列出了3*3和2*2高斯点的计算结果.
当板较厚时,两种积分方案给出的计算结果比较接近,并和薄板理论解相比较,显示出考虑横向剪切的修正效果.
但当板比较薄时,3*3积分由于引起虚假的剪切应变能,使计算位移偏小.
但用2*2减缩积分,给出的计算结果与理论解符合得很好.
2.
图5.
4所示的圆柱壳屋顶,现用二次厚壳单元进行计算.
图5.
9列出采用不同网格划分时并分别用3*3积分和2*2积分的结·761·图5.
8简支方板在均匀载荷作用下中央截面挠度(a)3*3积分(b)2*2积分图5.
9圆柱壳屋顶在自重作用下的位移果,为进行比较,图中还表示出利用扁壳理论得到的精确解.
左边3*3积分的结果和精确解相差较大,而右边2*2减缩积分的结果,由于消除了虚假的剪切应变能,和精确解十分接近,甚至只用一个单元也得到较好的结果.
此例不仅说明超参壳元对于弹性薄壳(此·861·例中t/R=0.
01)也能给出很好的结果,而且有较高的计算效率.
习题5.
1导出4结点Mindlin板单元和平面应力单元组成的平板壳元的刚度矩阵和荷载向量,并比较它和以薄板单元与平面应力单元组成的平板壳元的各自特点.
5.
2推导超参单元的等效结点荷载向量.
5.
3壳体单元有哪三种选择方法·961·第六章结构动力学问题6.
1动力问题有限元法的基本概念结构对于动力荷载的响应分析近一二十年有了很大的进展.
这一方面是由于实际的需要,例如原子能电站、水坝、高层建筑在地震荷载作用下的动力分析、海洋平台在风、浪、流等荷载作用下的动力分析,以及各种机械设备在高速运转过程或冲击荷载作用下的动力分析等,这都是保证结构或机械良好工作性能和安全可靠性所必不可少的步骤.
另一方面是由于电子计算机以及相应数值分析方法、特别是有限单元法的发展,使得各种复杂结构或机械的动力分析成为可能[3].
结构在随时间而变化的荷载作用下,位移、速度、加速度、应变、应力将都是时间的函数.
以三维实体有限元动力分析的一般情况为例,其分析步骤可以表述如下:1.
连续区域的离散化在动力分析中,因为引入了时间坐标,我们所处理的是四维(x,y,z,t)问题.
在有限元分析中一般采用部分离散的方法,即只对空间域进行离散,这样一来,此步骤和静力分析相同.
2.
构造插值函数由于只对空间域进行离散,所以单元内位移u,v,w的插值表示是u(x,y,z,t)=∑ni=1Ni(x,y,z)ui(t)v(x,y,z,t)=∑ni=1Ni(x,y,z)vi(t)(6.
1)w(x,y,z,t)=∑ni=1Ni(x,y,z)wi(t)·071·或u=Nae(6.
2)其中u=u(x,y,z,t)v(x,y,z,t)w(x,y,z,t)N=〔N1N2…Nn〕Ni=NiI3*3(i=1,2,…,n)ae=a1a2anai=ui(t)vi(t)wi(t)(i=1,2,…,n)上述各符号的意义与静力分析情况相同,只是结点参数ae或ai现在是时间的函数.
3.
形成单元特性矩阵和特性向量由(6.
2)式,可以得到应力和应变向量ε=Bae(6.
3)σ=Dε=DBae(6.
4)位移对时间微分,可以得到速度u(x,y,z,t)=ddtu(x,y,z,t)=N(x,y,z)dae(t)dt=N(x,y,z)ae(t)(6.
5)其中ae代表结点的速度向量.
为建立结构的动力学方程,可以依据Hamilton原理,也可直接利用Lagrange方程,后者可表示为ddtLa-La+Ra=0(6.
6)其中L是Lagrange函数L=T-Пp(6.
7)T,Пp,R,a和a分别是系统的动能、位能,耗散函数,结点位移向量和结点速度向量.
单元的动能和位能可分别表示为·171·T(e)=12∫ΩeρuTudΩ(6.
8)П(e)p=12∫ΩeεTDεdΩ-∫ΩeuTpdΩ-∫ГσuT珔pdГ(6.
9)(6.
8)式中的ρ代表材料的物质密度,(6.
9)式右端第一项代表单元的应变能,第二、第三项代表外力的位能,其中p和珔p分别是作用于单元的体积力和面积力.
至于单元的耗散函数,如果阻尼力比例于各质点的速度,则可表示为R(e)=12∫ΩeμuTudΩ(6.
10)其中μ代表阻尼系数.
如果将(6.
2)式引入(6.
8)、(6.
9)和(6.
10)式,则得到T(e)=12(ae)TM(e)aeП(e)p=12(ae)Tk(e)ae-(ae)TQ(e)R(e)=12(ae)TC(e)ae(6.
11)其中M(e)=∫ΩeρNTNdΩ,k(e)=∫ΩeBTDBdΩ,C(e)=∫ΩeμNTNdΩ(6.
12)分别是单元的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵.
Q(e)=∫ΩeNTpdΩ+∫ГσNT珔pdГ(6.
13)是单元荷载向量.
4.
集合各个单元的矩阵和向量,以形成整个系统的运动方程集合各单元的T(e),П(e)p,R(e)即得到系统的T,Пp,RT=∑eT(e)=12aTMa·271·Пp=∑eП(e)p=12aTKa-aTQR=∑eR(e)=12aTCa(6.
14)其中M=∑eM(e),K=∑ek(e)C=∑eC(e)Q=∑eQ(e)(6.
15)分别是系统的质量矩阵,刚度矩阵,阻尼矩阵和荷载向量.
进一步将(6.
14)式代入Lagrange方程(6.
6)式,就得到系统的运动方程M¨a(t)+Ca(t)+Ka(t)=Q(t)(6.
16)这是一个二阶常微分方程组,其中¨a(t)是系统的结点加速度向量.
如果忽略阻尼的影响,则运动方程简化为M¨a(t)+Ka(t)=Q(t)(6.
17)如果上式的右端项为零,则上式表达的是系统的自由振动方程.
5.
求解运动方程运动方程(6.
16)或(6.
17)式的求解方法是本章着重讨论的内容.
详见6.
3、6.
4等节.
6.
计算结构的应变和应力一经从(6.
16)式或(6.
17)式解得结点的位移向量a(t),则可利用(6.
3)和(6.
4)式计算所需要的应变ε(t)和应力σ(t).
从以上各步骤可以看出,和静力分析相比较,在动力分析中,由于动能和耗散出现在能量方程中,因此引入了质量矩阵和阻尼矩阵,最后得到的求解方程不是代数方程组,而是常微分方程组.
其它计算步骤和静力分析是完全相同的.
(6.
12)式表达的质量矩阵和阻尼矩阵只是实际分析中可采用的形式之一,其他表达形式以及一般性质将在下一节进一步讨论.
关于二阶常微分方程组的解法,原则上可利用常微分方程组的常用方法(例如Runge-Kutta方法)求解,但是在有限元动力分析中,因为矩阵阶数很高,用这些常用算法一般是不经济的,所以只对少·371·数有效的方法有兴趣.
这些方法可以分为两类:直接积分法和振型叠加法.
直接积分法是直接对运动方程进行积分.
而振型叠加法是首先求解一无阻尼的自由振动,即求解右端为零的(6.
17)式,从数学上看这是一矩阵特征值问题,然后用解得的特征向量,即固有振型对运动方程(6.
16)式进行变换,如果是振型阻尼矩阵,变换后的运动方程,各自由度是互不耦合的.
最后对各个自由度的运动方程进行积分并进行叠加,从而得到问题的解答.
这两类方法本质上是等价的,究竟采用何种方法主要取决于具体问题的计算效率.
在本章中,关于直接积分法着重研究不同数值积分方案的特点和步骤.
并适当讨论解的稳定性问题.
6.
2质量矩阵和阻尼矩阵6.
2.
1协调质量矩阵和集中质量矩阵上节(6.
12)式所表达的单元质量矩阵M(e)=∫∫∫ΩeρNTNdΩ称为协调质量矩阵或一致质量矩阵,这是因为从单元的动能导出它时,质量分布按照实际分布情况,同时位移插值函数和从位能导出刚度矩阵时所采用的形式相同.
此外,在有限元法中还经常采用所谓集中(或团聚)质量矩阵.
它假定单元的质量集中在结点上,这样得到的质量矩阵是对角线矩阵.
现以两种典型单元为例,讨论上述两种不同质量矩阵的具体表达式以及它们之间的区别.
1.
平面应力和应变单元:单元形式采用1.
3节所讨论的3结点三角形单元协调质量矩阵:位移插值函数是N=〔N1N2N3〕I(6.
18)其中I是2*2单位矩阵.
·471·Ni=(ai+bix+ciy)/2A(i=1,2,3)系数ai,bi,ci见(1.
17)式,A是三角形单元面积.
按(6.
12)式可以算得单元的协调质量矩阵M(e)=W3120140140012014014140120140014012014140140120014014012(6.
19)其中W=ρtA是单元的质量,t是单元的厚度.
集中质量矩阵:单元的每个结点上集中三分之一的质量,这样就得到单元的集中质量矩阵M(e)=W3100000010000001000000100000010000001(6.
20)2.
梁弯曲单元协调质量矩阵:位移插值函数是N=〔N1N2N3N4〕其中N1=1-3l2x2+2l3x3N2=x-2lx2+1l2x3N3=3l2x2-2l3x3N4=-1lx2+1l2x3(6.
21)·571·按(6.
12)式可以算得单元的协调质量矩阵M(e)=W420156-22l5413l4l2-13l-3l2对15622l称4l2(6.
22)其中,l是单元长度,W=ρlA是单元的质量,A是梁单元截面面积.
集中质量矩阵:每个结点集中二分之一的质量,并略去转动项,得到单元的集中质量矩阵为Me=W21000000000100000(6.
23)在实际分析中,这两种质量矩阵都有应用,一般情况下,两者给出的结果也相差不多.
从(6.
12)式可以看到质量矩阵积分表达式的被积函数是插值函数的平方项,而刚度矩阵则是其导数的平方项,因此在相同精度要求条件下,质量矩阵可用较低阶的插值函数,而集中质量矩阵从实质上看,正是这样一种替换方案.
替换的好处是使计算得到简化,特别是采用直接积分的显式方案(见6.
3节)求解运动方程时,如果阻尼矩阵也采用对角矩阵,可以省去等效刚度矩阵的分解步骤,这点在非线性分析中将有更明显的意义.
另外从(6.
23)式可以看到、对于结点参数中包含转动的梁、板、壳一类单元,由于集中质量矩阵中略去了转动项,如果采用显式直接积分方法求解运动方程,还可使方程的自由度数进一步减少.
采用集中质量矩阵遇到的困难是对于高次单元、恰当地分配质量是比较麻烦的.
另外,如果单元位移是协调的,同时单元刚度矩阵的积分也是精确的,则采用协调质量矩阵时,求得结构的频率将代表真实频率的上限,这点对设计工作是有意义的.
·671·6.
2.
2振型阻尼矩阵(6.
12)式所表示的单元阻尼矩阵C(e)=∫ΩeμNTNdΩ基于和协调质量矩阵的同样理由称为协调阻尼矩阵.
它是假定阻尼力正比于质点运动速度的结果,通常均将介质阻尼简化为这种情况.
这时单元阻尼矩阵比例于单元质量矩阵.
除此而外,还有比例于应变速度的阻尼,例如由于材料内摩擦引起的结构阻尼通常可简化为这种情况,这时耗散函数可表示成R(e)=12∫ΩeμεTDεdΩ(6.
24)这样一来,可以得到单元阻尼矩阵.
C(e)=μ∫ΩeBTDBdΩ(6.
25)该单元阻尼矩阵比例于单元刚度矩阵.
在实际分析中,精确地决定阻尼矩阵是相当困难的,通常允许将实际结构的阻尼矩阵简化为以上两种形式的线性组合,即C=αM+βK(6.
26)这种阻尼称为比例阻尼、或振型阻尼,因为利用结构的振型矩阵对运动方程进行坐标转换时,振型阻尼矩阵经转换后和质量矩阵及刚度矩阵的情况相同,将是对角矩阵.
这样一来,经转换后运动方程的各自由度之间将是互不耦合的(见6.
4节),因此每个方程可以独立地求解,这对计算将带来很大方便.
6.
3直接积分法直接积分是指在积分运动方程之前不进行方程形式的变换,而直接进行逐步数值积分.
通常的直接积分是基于两个概念,一是在求解域00.
显示算法的上述优点在非线性分析中将更有意义.
因为非线性分析中,每个增量步的刚度矩阵是被修改了的.
这时采用显示算法,避免了矩阵求逆的运算,计算上的好处更加明显.
中心差分法的缺点是时间步长必须小于某个临界值Δtcr,这是因为中心差分法是有条件稳定的算法,解的稳定性条件是Δt≤Δtcr=Tnπ(6.
34)其中Tn是有限元系统的最小固有振动周期.
原则上可以用一般矩阵特征值的求解方法得到Tn,或者简便地利用矩阵的范数做出估计.
需要指出,Tn和min(Mii)成比例,即Mii中的最小值愈低,则Tn的数值愈低,亦即Δtcr愈小,从而使得计算费用愈高.
这点在划分单元和形成M时应该加以注意,不要因个别的很小的Mii而使得计算费用不合理的增加.
由于中心差分法是有条件稳定的算法,常常要求时间步长过小,除非问题(如波动问题)本身需要很小的时间步长,否则实际使用受到限制,因此人们更多地研究无条件稳定的数值积分方法,以下讨论的Newmark方法就是其中应用最广泛的一种.
6.
3.
2Newmark方法Newmark积分方法实质上是线性加速度法的一种推广.
它采用下列假设at+Δt=at+〔(1-δ)¨at+δ¨at+Δt〕Δt(6.
35)at+Δt=at+atΔt+12-α¨at+α¨at+ΔtΔt2(6.
36)其中α和δ是按积分精度和稳定性而决定的参数.
当δ=1/2和α=1/6时,(6.
35)和(6.
36)式相应于线性加速度法,因为这时它们可以从下面时间间隔Δt内线性假设的加速度表达式的积分得到·081·¨at+τ=¨at+(¨at+Δt-¨at)τ/Δt(6.
37)式中0≤τ≤Δt.
Newmark方法原来是从平均加速度法这样一种无条件稳定积分方案提出的,那时δ=1/2和α=1/4.
Δt内的加速度为¨at+τ=12(¨at+¨at+Δt)(6.
38)和中心差分法不同,Newmark方法中时间t+Δt的位移解答at+Δt是通过满足时间t+Δt的运动方程M¨at+Δt+Cat+Δt+Kat+Δt=Qt+Δt(6.
39)而得到的.
为此首先从(6.
36)式解得¨at+Δt=1αΔt2(at+Δt-at)-1αΔtat-12α-1¨at(6.
40)将上式代入(6.
35)式,然后再一并代入(6.
39)式,则得到从at,at,¨at计算at+Δt的公式K+1αΔt2M+δαΔtCat+Δt=Qt+Δt+M1αΔt2at+1αΔtat+12α-1¨at+CδαΔtat+δα-1at+δ2α-1Δt¨at(6.
41)至此,我们可将利用Newmark方法逐步求解运动方程的算法步骤归结如下:1.
初始计算(1)形成刚度矩阵K,质量矩阵M和阻尼矩阵C.
(2)给定a0,a0和¨a0(3)选择时间步长Δt,参数α和δ,并计算积分常数δ≥0.
50,α≥0.
25(0.
5+δ)2c0=1αΔt2,c1=δαΔt,c2=1αΔt,c3=12α-1c4=δα-1,c5=Δt2(δα-2),c6=Δt(1-δ),c7=δΔt(4)形成有效刚度矩阵^K:^K=K+c0M+c1C·181·(5)三角分解^K:^K=LDLT2.
对于每一时间步长(1)计算时间t+Δt的有效荷载^Qt+Δt=Qt+Δt+M(c0at+c2at+c3¨at)+C(c1at+c4at+c5¨at)(2)求解时间t+Δt的位移LDLTat+Δt=^Qt+Δt(3)计算时间t+Δt的加速度和速度¨at+Δt=c0(at+Δt-at)-c2at-c3¨atat+Δt=at+c6¨at+c7¨at+Δt从Newmark方法循环求解方程(6.
41)式可见,有效刚度矩阵^K中包含了K,而一般情况下K总是非对角矩阵,因此在求解at+Δt时,^K的求逆是必须的(当然,在线性分析中只需分解一次).
这是由于在导出(6.
41)时,利用了t+Δt时刻的运动方程(6.
39)式.
这种算法称为隐式算法.
在6.
5节中将证明,当δ≥0.
5,α≥0.
25(0.
5+δ)2,时,Newmark方法是无条件稳定的,即时间步长Δt的大小可不影响解的稳定性.
此时Δt的选择主要根据解的精度确定,具体说可根据对结构响应有主要贡献的若干基本振型的周期来确定,例如Δt可选择为Tp(对应若干基本振型周期中的最小者)的若干分之一.
一般说Tp比结构系统的最小振动周期Tn大得多,所以无条件稳定的隐式算法以^K求逆为代价换得了比有条件稳定的显式算法可以采用大得多的时间步长Δt.
而且采用较大的Δt,还可滤掉高阶不精确特征解对系统响应的影响.
6.
3.
3算例1.
考虑一两自由度系统,其运动方程是2001¨a+6-2-24a=010(a)初始条件是:t=0,a0=0,a0=0已知此系统自由振动的周期T1=4.
45,T2=2.
8,现用中心差分法求解系统的响应.
时间步长·281·(1)Δt=T2/10=0.
28,(2)Δt=10T2=28.
首先利用(a)式于t=0,可以计算得到¨a0=010现在按中心差分法所列步骤,进行计算:(1)Δt=0.
28,初始计算:c0=1(0.
28)2=12.
8,c1=12*0.
28=1.
79c2=2c0=25.
5,c3=1c2=0.
0392a-Δt=00-0.
2800+0.
0392010=00.
392^M=12.
82001+1.
790000=25.
50012.
8对于每一时间步长,先计算有效荷载^Qt=010+45.
02221.
5at-25.
50012.
8at-Δt(b)再从下列方程计算t+Δt时间的位移25.
50012.
8at+Δt=^Qt(c)由上式得到的每一时间步长的位移结果如下:时间Δt2Δt3Δt4Δt5Δt6Δt7Δt8Δt9Δt10Δt11Δt12Δtat00.
03070.
1680.
4871.
021.
702.
402.
913.
072.
772.
041.
020.
3921.
452.
834.
145.
025.
264.
904.
173.
372.
782.
542.
60此结果将在6.
4.
4节中与精确解进行比较.
(2)Δt=28,按相同的步骤计算,发现aΔt=03.
83*103a2Δt=3.
03*106-1.
21*107再计算下去,位移将继续无限的增大,这是不稳定的典型表现.
·381·其原因是在条件稳定的中心差分方法中、采用了远大于Δtcr(=T2/π)的时间步长Δt(=28),现在的Δt是10T2.
所以不可能得到有意义的结果.
2.
采用Newmark方法计算上述系统的响应,给定α=0.
25,δ=0.
5.
(1)Δt=0.
28,初始计算:a0=00a0=00¨a0=010c0=51.
0,c1=7.
14,c2=14.
3,c3=1.
00,c4=1.
00,c5=0.
00,c6=0.
14,c7=0.
14^K=6-2-24+51.
02001=108-2-255对于每一时间步长计算有效荷载^Qt+Δt=010+2001+(51at+14.
3at+1.
0¨at)然后求解at+Δt:^Kat+Δt=^Qt+Δt并计算¨at+Δt=51.
0(at+Δt-at)-14.
3at-1.
0¨atat+Δt=at+0.
14¨at+10¨at+Δt按上述步骤,得到每一时间步长的位移结果如下:时间Δt2Δt3Δt4Δt5Δt6Δt7Δt8Δt9Δt10Δt11Δt12Δtat0.
006730.
05040.
1890.
4850.
9611.
582.
232.
763.
002.
852.
281.
400.
3641.
352.
684.
004.
955.
345.
134.
483.
642.
902.
442.
31此结果将在6.
4.
4节中与精确解进行比较.
(2)Δt=28,按相同步骤可得结果如下:·481·时间Δt2Δt3Δt4Δt5Δt6Δt7Δt8Δt9Δt10Δt11Δt12Δtat0.
3931.
440.
6321.
290.
7821.
170.
8751.
090.
9291.
050.
9601.
031.
094.
331.
893.
892.
323.
522.
603.
312.
773.
182.
862.
11由于现在Newmark方法的参数α、δ满足无条件稳定条件,所以尽管ΔtmT2,解仍是稳定的.
当然由于Δt过大,也不能期望所得结果有很好的精度.
这点用6.
4.
4节中所给出的精确解就可以检验出来.
6.
4振型叠加法分析直接积分法的计算步骤可以看到,对于每一时间步长,其运算次数和半带宽b与自由度数n的乘积成正比.
如果采用有条件稳定的中心差分法,还要求时间步长Δt比系统最小的固有振动周期Tn小得多(例如Δt=Tn/10).
当b较大,且时间历程TmTn时,计算将是很费时的.
而振型叠加法在一定条件下正是一种好的替代,可以取得比直接积分法高的计算效率.
其要点是在积分运动方程以前,利用系统自由振动的固有振型将方程组转换为n个相互不耦合的方程(即b=1的方程组),对这种方程可以解析或数值地进行积分.
当采用数值方法时,对于每个方程可以采取各自不同的时间步长,即对于低阶振型可采用较大的时间步长.
这两者结合起来相对于直接积分法是很大的优点,因此当实际分析的时间历程较长,同时只需要少数较低阶振型的结果时,采用振型叠加法将是十分有利的.
利用它求解运动方程可分为以下三个主要步骤.
6.
4.
1将运动方程转换到正则振型坐标系1.
求解系统的固有频率和固有振型不考虑阻尼影响的系统自由振动方程是M¨a(t)+Ka(t)=0(6.
42)它的解可以假设为以下形式·581·a=sinω(t-t0)(6.
43)其中是n阶向量,ω是向量振动的频率,t是时间变量,t0是由初始条件确定的时间常数.
将(6.
43)式代入(6.
42)式,就得到一广义特征值问题:K-ω2M=0(6.
44)求解以上方程可以确定和ω,结果得到了n个特征解(ω21,1),(ω22,2),…,(ω2n,n),其中特征值ω1,ω2,…,ωn代表系统的n个固有频率,并有0(2-g)2亦即pi4α-12+δ2>-4(6.
81)当pi很大时,即Δt不受限制时,仍要求上式成立,必须是α≥1412+δ2(6.
82)2.
稳定的解必须不是无限增长的,因此必须有|λ|=1+h≤1,亦即-1≤h≤0(6.
83)同样,当pi很大时,仍要求上式成立,必须是δ≥1/2(6.
84)12-δ+α≥0(6.
85)综合以上分析可以得到Newmark方法无条件稳定的条件是·691·δ≥12α≥1412+δ212-δ+α≥0(6.
86)如果不满足上述条件,要得到稳定的解,时间步长Δt必须满足Δt1/4时,解是无条件稳定的,而且从(6.
80)和(6.
83)式可见,这时|λ|=1.
这符合无阻尼自由振动的实际情况.
但是如果在计算中,取δ>1/2,则得到|λ|1/2这一人为因素而引入的一种"人工"阻尼,称为"数值阻尼".
图6.
2中给出了在不同的δ、α情况下,|λ|随Δt/T的变化.
这种数值阻尼在一定条件下是有用的.
因为在直接积分法中,我们采用的Δt通常均远大于系统最高固有频率所对应的周期.
对此频率的响应将是不可靠的,并将产生数值上的干扰.
如果通过取δ>1/2而引入数值阻尼,则高频的干扰可迅速衰减,而对低频的响应影响甚微,这点从图6.
2也是可以看到的.
·791·习题6.
1试求矩形非协调板单元(第四章4.
2节)的协调质量矩阵和集中质量矩阵.
6.
2分别用协调质量矩阵和集中质量矩阵求图6.
3所示变截面均质杆的固有频率和振型.
6.
3用中心差分法、集中质量矩阵求题6.
2变截面杆在图6.
4所示外载作用下的频率响应(初始条件:u(x,0)=u(x,0)=0).
图6.
3图6.
46.
4用Newmark方法求解题6.
3.
6.
5用振性叠加法求解题6.
3.
·891·第七章非线性有限元法7.
1非线性有限元方程组的解法离散化的非线性方程组一般可写成如下形式〔1〕K(a)a=Q(7.
1)或Ψ(a)≡P(a)+f≡K(a)a+f=0(7.
2)其中,f=-Q.
该方程的具体形式通常取决于问题的性质和离散的方法.
上式中参数a代表未知函数的近似解.
在以位移为未知量的有限元分析中,它是结点位移向量.
对于线性方程组Ka+f=0可以没有困难地直接求解.
但对于非线性方程组则不可能.
但非线性方程组的各种解法,仍以反复求解这种线性方程组为基础,直到获得收敛解为止.
7.
1.
1直接迭代法对于方程(7.
2)式K(a)a+f=0(7.
3)假设有某个初始的试探解a=a0,代入(7.
3)式K(a)中,可以求得被改进了的一次近似解a1=-(K0)-1f(7.
4)其中K0=K(a0)重复上述过程,可以得到n次近似解an=-(Kn-1)-1f(7.
5)一直到误差的某种范数小于某个规定的容许小量er,即‖e‖=‖an-an-1‖≤er(7.
6)上述迭代过程可以终止.
·991·从(7.
4)式和(7.
5)式可以看到,要执行直接迭代法的计算,首先需要假设一个初始的试探解a0,其次是每次迭代需要计算和形成新的系数矩阵K(an-1),并对它进行求逆计算.
关于直接迭代法的收敛性可以指出,当P(a)~a是凸的情况(当a是标量,即系统为单自由度,P~a表示如图7.
1,通常解是收敛的.
图7.
1直接迭代法图7.
2Newton—Raphson法7.
1.
2Newton—Raphson法〔2,8〕如果(7.
2)式第n次近似解an已经得到,一般情况下(7.
2)式的解不能精确地被满足,即ψ(an)≠0.
为得到进一步的近似解an+1,可将ψ(an+1)表示成在an附近仅保留线性项的Taylor展开式,即ψ(an+1)≡ψ(an)+dψdanΔan=0(7.
7)且有an+1=an+Δan(7.
8)(7.
7)式中,dψda是切线矩阵,即dψda≡dPda≡KT(a)(7.
9)将(7.
9)式代入(7.
7)中,于是得到Δan=-(KnT)-1ψn=-(KnT)-1(Pn+f)(7.
10)·002·其中KnT=KT(anPn=P(an)由于Taylor展开式(7.
7)仅取线性项,所以an+1仍是近似解,应重复上述迭代求解过程直止满足收敛要求.
Newton-Raphson方法的求解过程可以表示于图7.
2.
一般情况下,它具有良好的收敛性.
从(7.
10)式可以看到,对于每次迭代,New-ton-Raphson方法需要重新形成和求逆一个新的切线矩阵KnT.
为了克服该方法对于每次迭代需要重新形成并求逆一新的切线矩阵所带来的麻烦,常常可以采用一修正的方案,即修正的Newton-Raphson方法.
其中切线矩阵总是采用它的初始值,即令KnT=K0T(7.
11)因此(7.
10)式可以修正为Δan=-(K0T)-1(Pn+f)(7.
12)图7.
3修正的Newton-Raphson法这样一来,每次迭代求解的是一相同方程组.
事实上,在用直接法求解此方程组时,系数矩阵只需要分解一次,每次迭代只进行一次回代即可.
显然计算是比较经济的.
虽然付出的代价是收敛速度较低,但总体上可能还是合算的.
另一种折衷方案是在迭代若干次(例如m次)以后,更新KT为KmT,再进行以后的迭代,在某些情况下,这种方案是很有效的.
修正的Newton-Raphson方法的算法过程可表示如图7.
3.
7.
1.
3增量法前面介绍的几种方法,均不能保证在任何情况下都获得收敛解,虽然在某些具体问题中,解的收敛性可以得到证明.
另一类方·102·法则是利用这样一个事实,即当"荷载"项f为零时,解a常常是已知的.
例如,当f代表作用在结构上的力,则a即为结构的变形.
在问题的起始参照点处,一般两者均为零.
在这种情况下,研究向量a当向量f增加时的性态是很方便的.
这种方法称为增量法.
只要f的增量选得足够小,增量法就能得到收敛解,且得到的解一般总是合理的.
此外,计算的中间结果也提供了"加载"过程中的有用信息.
将有限元方程(7.
2)中的荷载项改写为λf0,即P(a)+λf0=0(7.
13)将上式对λ微分,得到dPdadadλ+f0=KTdadλ+f0=0(7.
14)或dadλ=-K-1T(a)f0(7.
15)其中KT为已经介绍过的切线矩阵.
求解上式有许多方法,欧拉法是最简单的一种,它的表达式为am+1-am=-(KT(am))-1f0Δλm=-(KT)-1mΔfm(7.
16)式中的下标是对λ(或f)的增量而言的,也即λm+1=λm+Δλm或fm+1=fm+Δfm(7.
17)利用改进的积分方案,如各种龙格—库塔(RungeKutte)公式,能够改善解的精度.
"修正的"欧拉法(等价于二阶龙格—库塔公式)特别有用.
通过表达式(7.
16)算出a0m+1之后,再按下式计算改进的am+1am+1-am=-(KT)-1m+θΔfm(7.
18)式中(KT)m+θ≡KT(am+θ)am+θ=(1-θ)am+θa0m+1(00继续塑性加载若F=0,fσdσ0(7.
77)一维情况和一般状态下的加载准则(7.
75)、(7.
76)、(7.
77)式的几何表示分别如图7.
12和图7.
13所示.
这个准则对强化阶段和软化阶段都同时适用,这就是岩石类材料的本构关系需要在应变空间·712·表述的原因之一.
(7.
75)、(7.
76)、(7.
77)式的几何解释是明显的,对于应变空间的屈服面上的状态,加载、卸载和中性变载分别对应于应变增量dε指向屈服面外侧、内侧及与屈服面相切.
图7.
13一般状态下的加载准则在加载(l>0)时,参数dλ的大小可由df=0定出,它是dλ=1A+BfεTdε(7.
78)其中A=-fεpTQσ=fεTQσ=FσTDQσB=-fwpσTQσ=-FσTDwpCσ+FwpσTQσ(7.
79)将(7.
78)式代入(7.
73)式得加载时的本构关系dσ=(D-Dp)dε(7.
80)其中Dp=1A+BD-DwpCσσTQσfεT(7.
81)引用一个阶梯函数H(l)=1l>00l≤0(7.
82)·812·考虑到卸载和中性变载的情况,本构关系可写为dσ=(D-H(l)Dp)dε(7.
83)其中l是fεTdε,塑性变形的不可逆性要求A+B>0,A>0(7.
84)在(7.
84)式的条件下,对于所有可能的应变增量,应力增量的反应是唯一的.
若不考虑弹塑性耦合,即弹性矩阵D以及它的逆矩阵与塑性功wp无关,并利用下列关系FσTD=fεT=-fεpT(7.
85)(7.
80)式就退化成(7.
43).
因此上述公式适用硬化,软化以及弹塑性耦合同时存在的情况.
上面就一般形式的加载函数f给出了弹塑性本构关系.
对于一种具体材料来说,只要知道了F(或f),Q以及D的具体表达式,就可以得到它的相应的本构方程.
各类岩石介质的屈服函数的可能形式可见文献〔4〕、〔5〕.
7.
4粘塑性蠕变问题7.
4.
1粘塑性因为材料能承受的最大应力总是与施加应力的速率有关,所以前面假定的那种固体的纯塑性性态大概只是一种理想的模式.
图7.
14(a)是单轴荷载下纯弹塑性性态的模型.
根据这个模型,在应力低于屈服应力时,塑性应变率为零,即εp=0当σ-σs0时才出现粘塑性流动.
图7.
14弹塑性模型和弹粘塑性模型粘塑性流动法则由下式给出εvp=γQσ(7.
89)其中Q=Q(σ,εvp,κ)是"塑性"势,而γ是控制塑性流动率的流动性参数.
函数定义为·022·=(x)x>00x≤0(7.
90)比较(7.
26)式和(7.
89)式,可以看出传统的非相关联塑性流动法则与现在定义的粘塑性流动的变化率之间的相似性.
当取F≡Q,即为相关联塑性流动法则的情形,这时,表达式(7.
89)式变为εvp=γFσ(7.
91)对于函数,最常用的形式是(F)=eMFY-1(7.
92)和(F)=FYN(7.
93)式中M和N是给定的常数.
7.
4.
1.
1粘塑性应变增量考察时间间隔Δtm=tm+1-tm,假设在时刻tm已求得结点位移am、应力σm,且力向量fm是已知的,则由式(7.
91)表示的应变率法则,用隐式的时间步进方案,可由下式确定在时间间隔Δtm内所产生的应变增量Δεmvp=Δtm〔(1-θ)εmvp+θεm+1vp〕(7.
94)当θ=0时,我们得到了Euler时间积分法,即"全显示法"(或前向差分法).
另一方面,当θ=1时则给出了"全隐式法"(或后向差分法),应变增量由与时间间隔终点相对应的应变率确定.
而θ等于1/2时,可得到通常所说的"隐式梯形法".
利用Taylor级数展开式并取线性项,可将(7.
94)式中的εm+1vp写成εm+1vp=εmvp+HmΔσm(7.
95)式中Hm=εvpσm=Hm(σm)(7.
96)·122·而Δσm是在时间间隔Δtm=tm+1-tm内产生的应力改变量.
于是(7.
94)可重新写为Δεmvp=εmvpΔtm+CmΔσm(7.
97)式中Cm=θΔtmHm(7.
98)7.
4.
1.
2应力增量由式(7.
87)的增量形式得到Δσm=DΔεme=D(Δεm-Δεmvp)(7.
99)用位移增量表示总的应变增量Δεm=BmΔam(7.
100)将(7.
97)式表示的Δεmvp代入(7.
99)式中,得到Δσm=^Dm(BmΔam-εmvpΔtm)(7.
101)式中^Dm=(I+DCm)-1D=(D-1+Cm)-1(7.
102)如用相关联的粘塑性法则时,Cm为对称矩阵.
而对于不相关联的情况,矩阵Cm是非对称的,进行分析时需要求解非对称方程.
用显示法(θ=0)求解线弹性问题时,方程(7.
101)式简化成Δσm=D(BΔam-εmvpΔtm)(7.
103)7.
4.
1.
3平衡方程在任一瞬时tm都要满足平衡方程∫Ω(Bm)TσmdΩ+fm=0(7.
104)式中fm为时刻tm由外荷载所产生的等效结点荷载向量.
在时间增量过程中,必须满足由式(7.
104)的增量形式所给出的平衡方程,即∫Ω(Bm)TΔσmdΩ+Δfm=0(7.
105)式中Δfm表示荷载在时间间隔Δtm内的变化.
工程中大量问题·222·的荷载增量,是按不连续的时间间隔施加的,除了第一次时间间隔有增量变化外,对于其它时间步长都有Δfm=0.
将式(7.
101)代入(7.
105),可以得到在时间步长Δtm的位移增量为Δam=(KmT)-1ΔQm(7.
106)其中ΔQm=∫Ω(Bm)T^DmεmvpΔtmdΩ-Δfm(7.
107)KmT=∫Ω(Bm)T^DmBmdΩ(7.
108)把位移向量Δam回代到(7.
103)式,则得到应力增量Δσm,因此有σm+1=σm+Δσmam+1=am+Δam(7.
109)利用式(7.
99)和(7.
100)可给出Δεmvp=BmΔam-D-1Δσm(7.
110)于是有εm+1vp=εmvp+Δεmvp(7.
111)用检查应变率εvp,见式(7.
89),可以判别是否已达到了稳定条件.
7.
4.
1.
4平衡的修正应力增量是根据增量平衡方程(7.
105)的线性化形式计算的.
因此,累加上述所有增量应力而得到的总应力σm+1不是准确值,它们不能精确地满足平衡方程(7.
104).
有几种方法可用来进行必要的修正.
其中,最简单的方法是按(7.
103)式和(7.
109)式来计算σm+1值,然后计算残余力即不平衡力ψ,而ψm+1=∫Ω(Bm+1)Tσm+1dΩ+fm+1≠0(7.
112)在下一时步上把这个残余力加到外力增量上去.
用这样的方法就免去了一次迭代过程,同时还能减小误差.
·322·可以证明,当θ≥1/2时,用类似于(7.
94)表示的时间积分法,是无条件稳定的,对于θ<1/2时,积分过程只是有条件稳定的,只有当Δtm小于某临界值时,才能进行对时间的数值积分,在这种情况下应选择时间步长〔2〕.
7.
4.
2蠕变"蠕变"现象的特征是,在常应力条件下,变形和时间有关.
因此除了瞬态应变之外,材料还产生蠕变应变εc,εc一般随着荷载作用期的延长而增大.
蠕变本构关系的形式通常是把蠕变应变率定义为应力和总的蠕变应变的某个函数,即εc=dεcdt=β(σ,εc)(7.
113)如不考虑εc对于εc的影响,则有εc=β(σ)(7.
114)容易看出,上式与粘塑性问题(7.
89)式相同.
因此在处理蠕变问题时,只要将7.
4.
1中各公式中的εmvp换成εmc,而Hm=β(σ)mσ即可.
7.
5算例7.
5.
1无应变硬化及有应变硬化材料的带孔平板〔1〕图7.
15给出了带孔拉伸平板的形状和它的简单三角形单元剖分网格.
假设板处于平面应力状态,采用Von.
Mises屈服准则,在应变硬化的情况下,采用单轴硬化曲线的常斜率H′,式(7.
33),得到了理想塑性及应变硬化情况下的解.
图7.
15(b)、(c)示出了不同荷载水平下塑性区的扩展.
7.
5.
2刚性板单轴压缩〔1〕图7.
16表示刚性板单轴压缩问题,采用Mohr-Coulomb定律来描述屈服面.
为了研究非关联流动法则对计算结果的影响,将摩擦角φ=θ取不同值的表达式作为塑性势函数.
计算结果示于图7.
16(b)和(c).
从中可以看出,θ不同时,破坏荷载的变化·422·不大,虽然相应的塑性流动形态的差别很明显.
图7.
15平面应力带孔拉伸板·522·图7.
16刚性板单轴压缩习题7.
1一维弹塑性问题如图7.
17所示,作用于中间截面的轴向力P=30,材料性质如图7.
17(b),分别用直接迭代法,牛顿法·622·和修正的牛顿法求解(A1=A2=1).
图7.
177.
2用增量法求解题7.
1,采用以下两种加载方案(1)0→15→20→25→30(2)0→16→24→30分别用有平衡校正和无平衡校正的Euler法计算.
7.
3已知Von.
Mises屈服函数F=3珋σ-σs其中,珋σ=12(s2x+s2y+s2z)+τ2yz+τ2zx+τ2xy1/2,σs是单轴情况下的屈服应力,求证一般应力状态下的Prandtl-Reuss关系式-FκσTFσ=dσsdεp7.
4证明:H′=EEtE-Et其中,塑性模量H′=dσsdεp,σs(珋εp)可以从材料的单轴拉伸试验σ-ε曲线得到,E为弹性模量,Et=dσdε为切线模量.
·722·第八章有限元软件系统概述8.
1引言有限元技术的巨大进展同计算机硬件和软件的迅速发展相结合,为通用有限元程序的研制提供了一个基础.
经过多年的开发工作,目前已有大量有限元程序应用于研究、生产和设计单位.
到80年代中期,大约有500个面向用户的及几千个面向研究的有限元程序系统.
前、后处理软件包估计超过200个.
全世界估计有20000多个有限元用户,他们每年大约花费5亿美元,用于有限元分析〔9〕.
自70年代初以来,陆续有一些介绍评价商业有限元程序及评估它们的适用性的资料.
本章给出一些有限元软件系统现有功能的一个总貌.
由于篇幅的限制,这一综述只包含14个程序.
这些程序大部分是通用程序,它们具有广泛的求解能力,丰富的单元类型,广大的用户协会和用户支持.
未来的几年对有限元分析来说是激动人心的.
有限元系统发展的趋势是:(1)对用户更加友好;(2)有限元固件的使用(基于VLSI和ULSI技术的低廉微处理器);(3)有限元分析包集合成CAD/CAM系统.
8.
2评价有限元程序的因素评价有限元程序的因素有:分析能力,面向用户的程度,可维护性和可移植性等.
·822·8.
2.
1分析能力分析能力包括程序的应用范围和局限性.
局限性既包括程序所采纳的公式系统和数值求解过程方面的局限性,也包括程序中可用的单元库的局限性.
8.
2.
2面向用户特性的充分程度对有限元分析来说,自动(或半自动)网格(或模型)生成,错误检查,初始模型和不同的中间结果的显示等面向用户的特性,对有效地利用分析时间是必须的.
8.
2.
3可维护性由于计算方法、计算机软件和硬件技术迅速发展,有限元程序的维护是必需的,程序的可维护性通常包括更新计算模块、扩大程序功能和改进程序的性能.
8.
2.
4可移植性(Portability)尽管大多数有限元程序是由标准的ANSI-FORTRAN语言写成,但是,由于不同计算机系统的I/O(输入/输出)设备、操作系统及机器的精度等不同,在一个计算机系统上开发的程序,与另一计算机系统可能不完全兼容(如UNIVAC同CDC等).
一旦用户需要程序在自己的计算机系统上运行,则要求程序系统具有良好的可移植性.
除此之外,下列服务也是必需的:用户手册、培训手册、程序手册、标准问题、算例和简单手册;交互(对话)指令,培训措施,用户会议、现场咨询、数据中心的帮助和咨询等.
8.
3大型有限元程序系统介绍本节将给出14个求解各种工程问题的计算机程序功能的总貌.
·922·8.
3.
1各程序的简介1.
ABAQUS程序标题说明通用有限元系统(General-PurposeFinite-elementSystem)程序开发者Hibbitt,KarlssonandSorensen,Inc,100McdwavStreetProvidence,RI02906(401)861-0820初版推出日期1978.
一般信息ABAQUS是面向生产、应用范围广泛的通用有限元程序.
它的主要优点是具有大型的单元库和广泛的求解非线性问题的能力,使用方便(十分简单、可读的关键字和参数输入、非线性问题的时间步长的自动划分及广泛的图形输出),高效率和高级辅助系统等.
程序功能ABAQUS是作为一种具有最大通用性的生产工具而设计的.
它的主要能力集中在实际应用的可靠性上.
由于此程序的大部分应用集中在非线性领域,因而,它具有广泛的非线性特征库.
只需要很少的来自用户的指导信息,便可求解多种不同参数的问题.
例如,对静力情形(包括不稳定后屈曲响应)、动力问题(包括冲击问题)、完全耦合应力问题、空隙流体流动和多空介质变形问题等,重点都放在自动增量方案上.
程序能模拟近海结构,包括波浪荷载;模拟高弹性体;模拟混凝土结构,其中包括一般钢筋条的确定,单独模拟混凝土材料和钢筋材料和混凝土的开裂及压碎等.
本程序处于积极的、不断的开发当中,每12至18个月推出一个重要的新版本.
用户接口和模拟能力形成ABAQUS用户接口的主要思想有四个:简单输入,细致的文件编制,广泛的画图功能和自动时间剖分.
输入是通过关键字和"串"来组织的.
关键字引导数据段;关键字卡通常包括参数.
串的概念对用户来说是一种有效的数据·032·组织手段,特别对大的模型更是如此.
它允许通过用户定义的名字来对结点或单元集合寻址.
串又可以组装成任何层次的其它串.
大多数说明均采用串的形式,譬如材料性质、外载和边界条件、输出编辑等.
主要特征和局限性ABAQUS是为高级应用,特别是非线性领域里的高级应用而设计的.
由于它的这一特点,因而ABAQUS的其它优点通常认为是当然的:它是最容易学习和使用的大型有限元程序,且它是计算效率最高的程序之一,甚至在简单、线性应用领域也如此.
编程语言硬件和操作系统程序规模分90000句.
2.
ADINA程序标题说明自动动力增量非线性分析(AutomaticDy-namicIncrementalNonlinearAnalysis)程序开发者ADINAEngineering,Inc.
71EltonAvenueWatertown,MA02172,U.
S.
A.
推出日期首版,1975年.
一般信息ADINA计算机程序系统可以对结构和热传导问题及其它场问题进行有效的有限元分析.
本程序是反映线性和非线性分析发展水平的一种分析工具,因而开发的重点主要放在可靠、高效率的有限元技术的使用上,同时也考虑到用户使用本程序模拟和分析复杂工业问题时的方便性.
目前的ADINA系统由下述主要程序组成:ADINA,用于位移和应力分析;ADINAT,用于热传导和场问题的分析;ADINA-IN,用于以命令语言式的自由格式输入、生成和显示输入数据;ADI-NA-PLOT,程序输入和输出的图形显示及字母-数字显示.
程序开发过程中的指导思想是用少量而有效的有限元、广泛·132·的材料模型库和通用而有效的数值算法,为结构和热传导系统的模拟提供最大的能力.
ADINA系统不仅能够进行一般的三维分析,而且能用于很多不同的技术领域,比如,土木、机械和航天技术;核技术;近海技术;汽车技术;岩土力学技术及制造技术等.
用户接口和模拟能力参见表8.
1和ADINA-1N、ADINA-PLOT的使用.
主要特点本程序以高效率、可靠的有限元法为基础,进行线性和非线性分析.
尽管ADINA是一个非线性分析程序,但它在线性方面仍然十分有效.
源程序中包含很多说明语句,所用到的理论也编成了文件.
源程序可提供给具有程序许可证的工业用户.
用户能够理解程序的操作.
如果需要,还可对其加以修改,以满足特定的需要.
编程语言FORTRAN硬件和操作系统CRAY,CDC,IBM,UNIVAC,VAX,PRIME,MASSCOMP,HP9000等.
程序规模整个系统有150000句.
3.
ANSYS程序标题说明结构、热传导和静电磁场分析的通用有限元程序(General-purpose,Finite-elementProgramforStructura1,Heat-transfer,andStatic-electro-magneticAnalysis)程序开发者SwansonAnalysissystem,Inc.
P.
O.
Box65,JohnsonRoadHouston,PA15342初版推出日期ANSYS在1970年就首次作为商品推出.
一般信息ANSYS是设计工程师用于结构分析、热分析、流体分析、电分析和静电磁分析的大规模、通用计算机程序.
从1970年以来,ANSYS一直在包括核工业、航天、交通、医药、钢铁、铁路、包装和土木建筑在内的许多工业部门使用.
ANSYS由设在Pennsylvania的专门用户支持机构支持,且在北美、欧洲、以色列和·232·远东设立了ANSYS技术支持发布网.
程序功能ANSYS用于二维或三维系统的有限元静力、动力、热、线性或非线性分析.
通过把热分析的输出与结构的输入直接相连,ANSYS可进行热应力分析.
除了强大的分析能力外,ANSYS还包含前、后处理部分,并能支持广泛的图形显示设施.
用户接口和模拟能力模型和荷载生成的前处理及其检验包含在ANSYS当中.
网格和外载均可自动生成,而且可通过图形显示加以验证.
每一命令都有主控文件.
ANSYS后处理支持很多图形功能———隐线,截面,XY———绘图、畸变形状和应力及温度的等值图.
ANSYS后处理还包括一种数据库语言,因而能有选择地检查结果.
ANSYS能与很多CAD系统接口.
主要特征及局限性ANSYS能处理的波前处自由度可达3000个.
通过使用一级或多级子结构,模型中可能出现的自由度,仅受计算机资源和时间的限制.
编程语言FORTRAN77硬件和操作系统Alliant,Apollo,Amdahl,CDC,Celebrity,Convex,Computervision,CRAY,DataGenera1,DECVAX,ELXSI,FloatPointSystem,Fujitsu,Harris,Hewlett-Packard,IBM,PRIME,RIDGE,SON,UNIVAC.
程序规模150000句源程序4.
ASKA程序标题说明通用有限元软件系统(General-purpose,Fi-nite-elementSoftwareSystem).
程序开发者InstituteforstaticandDynamic,UniversityofStuttgart,WestGermany.
初版推出时间1969年4月1日一般信息ASKA是个已经证明能够求解大型问题的通用有限元软件系统.
程序的可靠性很高.
程序功能(1)精细的子结构分析;·332·(2)独自的数据库管理;(3)广泛的单元库;(4)由用户提供子程序,输入指定的随时间变化的位移和外载及非线性材料特性.
用户接口及模拟能力(1)与所有主要前、后处理器接口;(2)自由格式输入,与所有内部数据接口,与图形的特殊接口,与外部文件接口.
主要特征和局限性问题规模限制:每个子结构20000个未知量;1000个子结构;2000种荷载情形.
编程语言标准FORTRAN-IV.
硬件和操作系统任何具有不少于300Kbyte的中央内存和连接大于10000个子程序能力的FORTRAN系统(程序总大小超过4Mbyte).
程序规模600000句FORTRAN源程序.
5.
EAL程序标题工程分析语言(EngineeringAna1ysisLanguage).
程序开发者EngineeringInformationSystems,Inc.
(EISI)5120WestCampbellAvenue,Suite240SanJose,CA95130推出日期首版于1976年推出.
一般信息EAL是结构和热有限元分析和设计的大型、综合软件系统.
EAL的先进语言形式和通用数据库管理能力,为用户求解无法求封闭解的复杂非寻常问题,提供了极大的方便性和使用的简单性.
EAL的功能在不断扩充,且周期性地推出新版本.
此外,程序还提供了极为通用的敏感性分析能力.
程序功能下面是用EAL能进行的几种典型分析:(1)线性和非线性静力分析;(2)从任意的静力平衡状态开始的分岔屈曲;(3)相对任意平衡位置的振动模态;·432·(4)复域频率响应;(5)动态流体与结构相互作用;(6)模态动态响应:瞬态、冲击谱、功率谱密度、稳态等;(7)多级子结构和静力、屈曲、动态的一般Rayleigh-Ritz分析;(8)线性和非线性定常及瞬态热分析;(9)流体网络分析;(10)辐射交换分析中的观察因子的计算;(11)一般数组的数值运算,如Z=SUM(X,Y),MV=PROD(M,V),等等;(12)敏感性矩阵的条件数确定和重新设计.
用户接口及模拟能力EAL的构形象一个处理器组,各处理器通过一个随机存取的数据库相互通信,当执行某一个处理器时,所有相关的原始数据均从数据库中取出,计算结果也保存在数据库里.
每一处理器既可交互式执行,也可以批处理方式执行.
重新启动一个分析是全自动的.
用户只需要附上包含数据库的文件,那么以下执行就象没有被中止过一样继续进行.
全部输入为自由格式.
网格生成、数据校对和很多问题的自动定义等广泛的功能,为用户迅速而有效地构造有限元模型提供了方便.
EAL包含广泛的图形功能和表格报告生成器,用户可以多种格式显示数据.
编程语言ANSIFORTRAN66和汇编.
硬件和操作系统EAL尽量设计成为与机器无关系统.
目前,EAL在CRAY,EPS-164,CDCCYBER,VAX,Harris,UNIVAC和PRIME机器上应用于生产领域.
程序规模EAL大约包含150000句源程序.
6.
FENRIS程序标题说明FENRIS(Finite-ElementNonlinearIntegratedSystem,即有限元非线性综合系统)—通用非线性结构分析系统,·532·(GeneralPurposeNonlinearStructural-analysisSystem).
程序开发者PalG.
Bergan,ProjectGroupfromtheNorwe-gianInstituteofTechnology(NTH),theFoun-dationforScientificandIndustrialResearchattheNorwegianInstituteofTechnology(SIN-TEP),andDetnorskeVeritas.
初版推出时间1982年.
一般信息FENRIS是一个通用的非线性有限元程序,其主要应用领域与近海工业有关.
本程序是挪威Trondheim的NTH与SINTEF之间的一个联合项目的产物.
这两个组织在过去的十几年里,对非线性分析方法进行了广泛的研究,而DetnorskeVeritas在开发、维护和应用大型有限元程序方面具有广泛的经验.
FENRIS由OSLO的A.
S.
VERITEC———DetnorskeVeritas的子公司,负责出售和支持.
此外,在伦敦、鹿特丹、休斯敦,神户和新加坡等地有区域性办公室.
程序功能FENRIS由四个模块组成:(1)模块1用于分析三维结构,包括绳索和杆、梁、3及4结点膜、弹簧、接触和带摩擦的连接单元;(2)模块2用于分析平面结构和轴对称问题;(3)模块3用于分析加劲板和壳;(4)模块4用于分析三维立体结构.
通过对单元采用一个旋转坐标系,程序可以考虑大位移和大转角的情况.
保守的或非保守的外载的历程,可以一种灵活而有效的方式输入给程序.
另外,还有一个自动波浪荷载生成模块和一个水静力模块,它们可同阻力的计算和附加质量的计算一块使用,非线性静力分析和动力分析均可由此程序进行.
程序中有各种材料性质库,库中包括线弹性、超弹性和随动强化与等向强化弹-塑性等材料模型.
求解算法包括线性静力和动力分析及非线性动力分析中时间步的自动计算等.
用户接口和模拟能力FENRIS程序具有批处理方式的前、·632·后处理器.
但是,通过与有限元系统SESAM'80的联用,则可以采用高级的交互式、图形前、后处理器生成有限元模型.
参见SESAM'80的条项.
结构模型可以划分成子结构.
具有不同功能的不同模块,可以用于子结构当中.
所有单元均可与结点偏心连接.
主要特征和局限性:(1)处理大转动;(2)包含板和壳;(3)复杂荷载处理;(4)水静力稳定性计算和波浪荷载模块;(5)接触和摩擦单元;(6)自动荷载增量和时间步增量;(7)与SESAM'80系统及其前、后处理器的联结.
FENRIS对所求解的问题的规模不加任何限制.
工作空间的动态分配意味着仅由所用的计算机设备所施加的实际限制.
程序语言FORTRAN77.
硬件和操作系统VAX(UMS),NORD(SINTRAN),IBM(OS/MVS),IBM(VM/SP),FPS.
程序规模程序总长(包括说明语句)=160000句;可执行语句总长=50000句.
7.
FINITE/GP程序标题说明个人计算机上的有限元分析(Finite-elementAnalysisforthePersonalComputer).
程序开发者J.
E.
AkinDepartmentofMechanicalEngineeringRiceUniversityP.
O.
Boxl892Houston,TX77251初版推出日期PC版,1984年6月.
一般信息一个满足大多数线性应力和热分析需要的个人计·732·算机(PC)分析系统.
程序包括交互式图形和对用户友好的自由格式输入.
求解能力主要受PC机的内存容量的限制.
主计算机版本上的附加功能由COADE,Inc.
,Houston,Toxas所支持.
程序功能网格生成、交互式图形、流体、热传导和应力分析;板弯曲;热应力;二维、轴对称和三维单元;曲面等参元及灵活的边界条件选择.
用户接口和模拟能力网格生成器;网格、边界、单元号、结点号、材料类型、边界条件等的交互式图形显示;交互式窗口、放大和旋转;后处理包括交互式变形后网格图、等值线、温度表面、温度梯度、Von.
Mises应力等.
主要特征和局限性目前的PC版本限于线性分析.
使用线性和二次数值积分等参元.
问题规模受PC机内存大小的限制.
一台512K的机器大约可处理2000个自由度.
编程语言FORTRAN.
硬件和操作系统IBMPC、IBMXT及其类似的机器.
512K内存和硬磁盘.
程序规模14000句.
8.
LARSTR'80程序标题说明大应变分析(Large-strainAnalysis).
程序开发者InstitutfurStatikundDynamikderLuft-undRaumfahrtkonstructionenUniversityofStuttgartWestGermany初版推出日期1981年.
一般信息LARSTR'80是为三个层次的用户而编制的非线性有限元系统:工业部门的工程师,希望为一些特殊问题加入他们自己的算法的开发工程师,想发展和试验新方法的科学家.
因此,允许在不同层次上访问系统:(1)标准计算库;(2)有限元库;(3)前、后处理器;·832·(4)标准外存超矩阵操作;(5)数据库管理器;(6)标准内存矩阵操作.
程序功能LARSTR'80是对二维和三维结构进行单精度和双精度非线性分析的通用有限元系统.
目前,采用标准的工具可以求解静力、动力、屈曲、特征频率和特征矢量及粘性流体问题.
材料和几何非线性均包括在其中.
程序具有处理对称和非对称矩阵的工具及支持自动中止和重新起动功能.
此外还有一个数据诊断系统及一个数据库管理系统.
用户接口和模拟能力用户通过使用自动数据生成,为系统提供由可选的关键字标示的自由格式数据.
由用户制定的控制程序监视输入计算和输出.
标准化用户填写子程序允许独立而简单地引入像材料特性等数据.
此外还可连结一些交互式图型系统,以便进行数据检查和结果的表示.
图形后处理器也已提供.
主要特征及局限性本系统是一个"开放式"系统,能够方便地扩充单元库(目前大约80个单元)及用现有的工具,开发特殊的处理器.
编程语言FORTRANIV,FORTRAN77.
硬件和操作系统CDC-CYBERNOS,NOS/BE;IBM3033MVS,CRAY-IM,UNIVAC1100/60,OS1100EXEC38;VAX11/780;PRIME.
程序规模200000句源程序.
9.
MARC程序标题说明通用有限元程序(General-purposeFinite-ele-mentProgram).
程序开发者MARCAna1ysisResearchCorporation260Sheridan,Suite200PaloAlto,CA94306(415)326-7511初版推出日期1970年.
·932·一般信息MARC是以非线性问题为重点的通用有限元系统.
MARC的使用和支持已遍布全世界.
在美国、欧洲和日本的办公室均负责开发、质量保证和用户支持等工作.
MARC广泛用于航天、汽车、制造、能源和建设等工业部门.
简单而有效的输入,使MARC的使用简单,MARC还可随时提供荷载或时间增量的自动生成功能.
输出是由用户控制的,可进入不同的设备.
MARC内部具有前、后处理功能,同时还可通过MENTAT进行全交互式的前、后处理.
MENTAT直接读、写MARC的输入和结果文件,不需要任何转换程序.
程序功能主要特征包括弹塑性、粘弹性、不可压缩和具有温度相关的各向异性等.
有限应变和转动的处理不限于小荷载或小位移增量的情形.
非线性静力、动力和具有自适应性时间或荷载步控制的扩散问题,断裂、结点动力学、后屈曲、耦合分析和子结构也属于程序的求解能力范围.
通过使用用户子程序、重新启动、后处理文件、输出控制和结果的分类及列表等特性,程序的使用十分灵活.
具有各种等参和杂交元的强大单元库,包括接触摩擦和管道弯曲单元,也是程序的一个显著特点.
其它特征包括低拉伸和开裂性能、轴对称固体和壳体的任意荷载、拟静力后屈曲过程的自动荷载分步、响应谱分析、Joule加热和水动力承受能力等.
用户接口和模拟能力MARC提供了网格生成和增量数据生成及程序内部的前、后处理图形能力.
此外,还提供了一个全交互式前、后处理程序~MENTAT.
MENTAT支持交互式模型构成和外载、材料及边界条件的交互式选定.
主要特征和局限性重点是求解制造问题,如金属成型.
处理有限元塑性的更新Lagrange公式系统也已具备.
此外,还具有对严重畸变区重新划分网格的能力.
程序可以模拟沿任意形状、刚性边界的接触和摩擦.
也能模拟不同表面的间歇性接触.
求解过程包括全Newton-Raphson、修正Newton-Raphson和·042·应变-修正算法.
收敛检查是自动的.
但是,用户可以控制收敛的度量及可接受的误差.
编程语言FORTRANIV,与FORTRAN66和FORTRAN77兼容.
硬件和操作系统CRAY:CTSS,COS;DEC/VAX:VMS;IBM:VSI,CMS;PRIME:PRIMOS;CYBER;NOS,NOS/BE;DataGeneral:AOS/VS;UNIVAC:EXEC;HP9000:HP-UX.
程序规模前处理,20000句;分析,55000句;后处理,15000句;内部文件编制,10000句.
10.
PAFEC程序标题自动有限元计算程序(ProgramsforAutomaticFi-nite-elementCalculation).
程序开发者PAFEC,Ltd.
初版推出日期1970年.
一般信息PAFEC是以FORTRAN语言编写的通用有限元系统,它使用共同的工程关键字,提供自由格式输入.
它是在联合国开发和广泛使用的一个程序.
PAFEC对大多数主计算机、小型机和工作站均可使用.
此外,PAFEC具有世界范围内的支持网;在美国咨询机构有:PAFEC,Inc.
,Norcross,Georgia,(404)441-9300.
PAFEC与CAD系统接口,并提供了彩色交互式图形.
程序功能线性应力分析、蠕变、塑性、大挠度、振动、动力学、频域响应、热分析、子结构、周期对称性、网格生成、交互式图形、数据库的交互式编辑、单元的自动编号、具有90多种单元的大型单元族.
用户接口和模拟能力本程序提供了二维和三维区域及表面的广泛的交互式和批处理方式模型生成功能.
手工输入通过具有很多缺省值的自由格式系统进行.
程序包含数字化输入和CAD接口,同时还提供了批处理和交互式广泛的后处理图形选择功能.
主要特征和局限性PAFEC的最显著特征是对用户友好性(使用简单和高质量的文件编制).
·142·编程语言FORTRAN.
硬件和操作系统几乎所有的超级计算机、主计算机、超小型机和工作站.
程序规模400000句源程序.
11.
SAMCEF程序标题说明线性和非线性静力、动力及热分析通用系统(GeneralSystemforLinearandNonLinearStatic,Dynamic,andThermalAnalysis).
程序开发者L.
T.
A.
SAerospaceLaboratoryofUniversityofLiegeBel-gium(比利时)初版推出日期1965年.
一般信息SAMCEF是一个为满足研究人员和设计工程师需要而设计的通用有限元软件系统.
SAMCEF的开发始于1965年,随后的开发工作通过与工业部门的合作不断进行.
SAMCEF有一支20人组成的L.
T.
A.
S工程师队伍,以高度可靠的方式在各种计算机上进行维护.
SAMCEF用户又可得到迅速而有效的服务:每年推出新的版本,并根据需要引进新的特性和派谴分析人员.
新的开发面向复合材料、断裂力学和粘塑性领域.
程序功能SAMCEF是用有限元方法求解结构静力和动力分析、热传导和流体力学等领域的大量问题的通用有限元软件系统.
SAMCEF包括线性和非线性分析.
复合材料的模拟是相当先进的.
流体-结构系统的动力分析也可由程序进行,其中流体既可以是可压的,也可以是不可压的.
对二维和轴对称结构,还可进行形状优化及重量优化.
程序支持交互式和批处理两种方式.
通过子结构手段,可以处理任意大小的问题,求解算法可与新型计算机相适应.
用户接口和模拟能力用户可以一种简洁的语言,交互式或批处理方式指定几何、温度分布、材料性质、单元连接、外载和边界条件.
对输入模型的绘图手段有多种:透射、投影、放大、隐线消·242·除、表皮结构的展开.
大部分输入错误能够自动查出.
输出结果可以采取以下方式:变形后结构、动力模态形状、等值图、主应力.
主要特征及局限性SAMCEF提供了广泛的应用范围.
在SAMCEF与CAD系统之间存在多种接口,能简便地增加新单元.
有些单元十分适合于模拟复合结构.
在热分析中,还包括一维及二维情况下模拟陡度梯度的显式网格变形和模拟相变问题的隐式网格变形.
编程语言FORTRANIV.
硬件和操作系统IBM(OS,DOS,VS,CMS),UNIVAC,CDC,VAX,SIEMENSCRAY.
程序规模300000句12.
SESAM'80程序标题说明通用结构分析系统(超级单元结构分析程序模块)General-purposeStructuralAnalysisSystem(Super-elementStructural-analysisProgramModules).
程序开发者DetnorskeVeritas与挪威技术学院(NTH)、挪威技术学院科学和工业研究基金会(SINTEF)和其它挪威研究机构及公司联合开发.
从1984年起,DetnorskeVeritas的代理机构A.
SVERITEC,取代DetnorskeVeritas负责SESAM'80的工作.
初版推出日期1980年.
一般信息SESAM'80是为满足当今和未来的需要而设计的通用结构分析程序.
开发过程主要朝着两个目标进行:作为DetnorskeVeritas分类协会及其附属机构提供服务的一种工具;通过销售、出租和租赁,使其为世界范围的结构分析者服务.
SESAM'80的销售和支持均由DetnorskeVeritas的代理———Oslo的A.
SVERITEC负责,此外,在伦敦、鹿特丹、休斯敦、神户和新加坡等地有区域性办公室.
程序功能SESAM'80对受静载或动载作用的二维和三维结构进行线性分析.
对于静力分析,可以用多级超单元(子结构)技术.
对动力分析,存在多种可选择的求解方法:Househoulder方·342·法、子空间迭代法和Lanczos法求解自由振动(特征值问题);模态叠加法、直接频率响应和直接时间积分法求解简谐或任意的与时间有关的强迫响应问题.
为缩小动力问题的规模(减少自由度),可以采用主-从缩减积分模态合成缩减方法.
一个广泛的单元库包括各种常用的单元以模拟桁架、梁、膜、壳、块体和轴对称块体.
还有弹簧单元和阻尼器单元.
此外,为模拟壳与块体的耦合,还开发了过渡的单元.
航海结构的环境效应也可以加以考虑,其计算出的外载自动传给分析程序.
所包含的功能还有作用在外壳、半潜式钻机、重力平台、轮船的波浪荷载处理.
最后,框架结构的地震荷载效应也可以计算.
用户接口和模拟能力SESAM'80的前处理器,提供了一个高度自动化的有限元模型的交互式、图形生成功能.
对梁、膜、壳和块体有一个通用的前处理器.
专用前处理器处理桁架和框架结构的模拟、超单元的耦合及复杂管道结点的模拟等.
另有一个通用后处理器提供图形式的和表格形式的结果.
框架结构结果的规范检查,如外壳,由专用后处理器完成.
主要特征和局限性SESAM'80对所求解的问题的规模不加限制.
可以有任意数目的自由度、单元、外载等.
SESAM'80已连接到通用非线性有限元程序FENRIS当中.
这两个系统一起,对实际中任何结构分析问题均可求解.
SESAM'80的模块结构,加速了程序的调试,并能对系统随时加以修改或加进一些全新的功能.
模块结构还使分析者具有只使用所需要的程序段的手段.
编程语言FORTRAN77(ANSIX3.
9,1978).
硬件和操作系统VAX(VMS),PRIME(PRIMOS),NORD(SINTRAN),IBM(OS/MVS),IBM(VM/SP),FPS,CRAY.
程序规模总长度(包括注释行)为800000句;可执行语句总长=400000.
13.
SMART程序标题说明整体结构的热力学分析(Thermos-mechanical·442·AnalysisofMassiveStructures).
程序开发者SMARTGroupatISD/ICAUniversityofStuttgartStuttgart,Germany初版推出时间1976年.
一般信息厚壁结构的有限元分析;全协调的耦合热力学问题.
SMARTI:静力包(非弹性特性、蠕变、开裂、断裂);SMARTII:扩散包(非线性、瞬态热传导和温度流动的耦合;辐射).
程序功能采用子结构方法,对问题规模无限制,可执行整体耦合热应力分析.
一个综合的单元库包含13个点、线、面和块体的等参单元,用于模拟二维、轴对称和三维广泛的材料模型,其中包括热粘弹性和老化、蠕变、三轴强度和变形特性、耦合热与湿度的传输、辐射交换(1985推出).
用户接口和模拟能力SMART包含了高级的坐标、拓扑和关联数据生成,因而使其对前处理器的需求达到最低限度.
交互式图形系统INGA与SMART完全兼容,因而用于后处理,即位移、应力、主应力、温度、等高线、等值线和矢量图的绘制.
主要特征和局限性SMART包含有限元位移法、增量线性化方法、叠代修正法(预测-修正方案)、非弹性特性的初始荷载法、非弹性分析和瞬态扩散分析的无条件稳定算法、重新启动能力.
编程语言FORTRANIV;少量汇编程序.
硬件和操作系统CDC6600/CYBER174,170-835;UNI-VAC1108;IBM370/168;VAX750-780.
程序规模200000句FORTRAN程序.
14.
TUJAP程序标题说明管道接头弹塑性和断裂力学分析程序(TubularJointsAnalysisProgramforElastoplasticsandFractureMechanics).
程序开发者DetnorskeVeritas与挪威技术学院科学与研究·542·基金会(SINTEF)合作开发.
自1984年起,DetnorskeVeritas的代理A.
SVERITEC,取代DetnorskeVeritas负责TUJAP的工作.
初版推出时间1984年5月.
一般信息TUJAP(管道接头分析程序)是对在近海外壳结构中经常使用的管道接头进行弹塑性和断裂力学分析的程序.
TUJAP由DetnorskeVeritas的代理———Oslo的A.
SVERITEC负责销售和支持,此外,在伦敦、鹿特丹、休斯敦、神户和新加坡等地设有地区性办公室.
程序功能TUJAP执行管道接头的弹塑性静力分析.
可以处理高度复杂的含或不含混凝土薄胶泥的管道接头.
接头既可由20结点的块体单元模拟,也可由8节点壳单元模拟,或用两者的组合来模拟.
对于后者,开发了一个专用的过渡单元,用于壳与块体的耦合.
如果出现薄胶泥,则用块体单元模拟它,并由一个专用的缝隙单元(gapelement)将其接到钢管上.
焊接由块体单元模拟,其几何形状根据美国焊接协会的规则确定.
模型中可以嵌入任何形状的裂纹.
椭圆型裂纹在生成裂纹尖端的细化网格和总体结构粗网格的过渡网格时自动嵌入.
程序计算局部应力和裂纹尖端的局部应力强度因子.
对钢管和混凝土薄腹梁均可指定弹塑性材料特性.
多级超单元技术是程序的一个基本特征.
用户接口和模拟能力TUJAP的前处理器,提供了一个高度自动的交互式图形生成法来产生管道接头有限元模型.
借助于少量的用户输入,如管道的半径和厚度及其它们的相对空间位置,各种跨截面曲线和完整的有限元模型便可生成.
通用的后处理器可以给出图形或表格式的结果.
主要特征和局限性TUJAP对所求解问题的大小不加任何限制.
可以使用任意数量的自由度、单元、荷载条件等.
其实,这方面的实际限制仅由可用的计算机设备施加.
TUJAP的最显著的特征有:(1)模型的自动生成.
可以生成多个平面接头.
管道可以互·642·相重叠.
(2)求解弹塑性问题的多种方案.
(3)多级超单元技术的使用.
TUJAP已连接到通用结构分析系统SESAM'80上.
编程语言FORTRAN77硬件和操作系统VAX(VMS)、NORD(SINTRAN),IBM(OS/MVS),IBM(VM/SP),FPS,CRAY.
程序规模总长(包括注释行)=200000句;可执行语句总数=100000句.
8.
3.
2程序功能和比较程序功能示于表8.
1.
·742··842··942··052··152··252··352··452·第九章平面问题有限元计算程序FEMTWO本章介绍平面问题有限元计算程序TWO.
该程序是基于第二章8结点曲边等参元而编制的,可作为教学软件使用,源程序见附录.
平面问题有限元计算程序FEMTWO具有以下特点:(1)平面应力问题;(2)平面应变问题;(3)轴对称问题;(4)波前法求解线性代数方程组.
9.
1平面问题有限元计算程序TWO使用说明运行程序前,请按照下列说明书建立输入数据文件.
文件名可任取,例如TWO.
DAT.
第一段输入:运行检查参数READ(8,*)NSTATc……NSTAT:运行检查参数;NSTAT=1检查数据cNSTAT=0运行程序c第二段输入:控制卡片READ(8,*)NPOIN,NELEM,NVFIX,NCASE,NTYPE,NDOFN,1NMATS,NPROP,NGAUS,NDIME,NSTREc……NPOIN:结点总数;cNELEM:单元总数;cNVFIX:具有约束的结点总数;cNCASE:荷载工况总数;cNTYPE:求解问题类型参数:·552·c1-平面应力问题c2-平面应变问题c3-轴对称问题cNDOFN:每个结点的自由度数(取2或3)cNMATS:不同的材料总数.
cNPROP:材料系数总数(取4);cNGAUS:高斯积分点数(取2或3);cNDIME:问题的维数(取2);cNSTRE:应力分量数(平面问题=3,轴对称问题=4).
c第三段输入:单元信息(对每个单元循环)DO10IELEM=1,NELEMREAD(8,*)IELEM,(MATNO(IELEM,K),K=1,2)READ(8,*)(LNODS(IELEM,INODE),INODE=1,NNODE)10CONTINUEc……IELEM:单元号;cMATNO(IELEM,1):材料类型号;cMATNO(IELEM,2):单元结点总数;cLNODS(IELEM,1):单元第一个结点局部编号(按反时针方向进行);cLNODS(IELEM,2):单元第二个结点局部编号(按反时针方向进行);c……第四段输入:结点坐标(最后一个结点号必须输入)30READ(8,*)IPOIN,(COORD(IPOIN,IDIME),IDIME=1,NDIME),IF(IPOIN.
NE.
NPOIN)GOTO30c……IPOIN:结点号cCOORD(IPOIN,1):x或r方向坐标;cCOORD(IPOIN,2):y或z方向坐标;c第五段输入:约束卡片(对每个约束结点循环)·652·DO60IVFIX=1,NVFIX60READ(8,*)NOFIX(IVFIX),(IFPRE(IVFIX,IDOFN),IDOFN=1,NDOFN),1(PRESC(IVFIX,IDOFN),IDOFN=1,NDOFN)c……NOFIX(IVFIX):约束结点号cIFPRE(IVFIX,1):沿x或r方向约束信息(=0,自由;=1,固定)cIFPRE(IVFIX,2):沿y或z方向约束信息(=0,自由;=1,固定)cPRESC(IVFIX,1):x或r方向位移约束值cPRESC(IVFIX,2):y或z方向位移约束值c第六段输入:材料常数DO100IMATS=1,NMATSREAD(8,*)IMATS,(PROPS(IMATS,IPROP),IPROP=1,NPROP)100CONTINUEc……IMATS:材料数序号;cPROPS(IMATS,1):弹性模量E;cPROPS(IMATS,2):泊松比μ;cPROPS(IMATS,3):单元厚度t(轴对称问题可不填)cPROPS(IMATS,4):质量密度ρc第七段输入:荷载类型READ(8,*)IPLOD,IGRAV,IEDGEc……IPLOD:集中荷载信息(1表示有集中荷载;0无集中荷载);cIGRAV:体力荷载信息(1表示有体力荷载;0无体力荷载);cIEDGE:面力荷载信息(1表示有面力荷载;0无面力荷载);c第八段输入:集中荷载(注:1.
如果IPLOD=0,则不需填;2.
最后一个结点的荷载必须输入)READ(8,*)LODPT,(POINT(IDOFN),IDOFN=1,NDOFN)c……LODPT:集中荷载序号;cPOINT(1):沿x方向的荷载分量;·752·cPOINT(2):沿y方向的荷载分量;c第九段输入:体力荷载(注:如果IGRAV=0,则不需填)READ(8,*)THETA,GRAVYc……THETA:体力与y轴的夹角cGRAVY:重力加速度g(9.
8m/s2或980cm/s2);c第十段输入:面力荷载(如果IEDGE=0,则不需填)READ(8,*)NEDGEc……NEDGE:面力作用荷载总数c以下输入对每一个面力荷载循环:DO160IEDGE=1,NEDGEREAD(8,*)NEASSREAD(8,*)(NOPRS(IODEG),IODEG=1,NODEG)READ(8PRESS(IODEG,IDOFN),IDOFN=1,NDOFN),IODEG=1,NODEG)160CONTINUE图9.
1单元中的法向荷载与切向荷载c……NEASS:面力荷载所在的单元;cNOPRS(1),NOPRS(2),NOPRS(3):面力荷载作用的结点号,按反c时针方向输入·852·c图中为正的面力方向.
cPRESS(1,1):第一个结点的法向荷载分量Pn;cPRESS(1,2):第一个结点的切向荷载分量Pt;cPRESS(2,1):第二个结点的法向荷载分量Pn;cPRESS(2,2):第二个结点的切向荷载分量Pt;cPRESS(3,1):第三个结点的法向荷载分量Pn;cPRESS(3,2):第三个结点的切向荷载分量Pt;c9.
2算例例一:按平面应变问题计算图9.
2结构的位移和应力.
已知:E=100kN/cm2,μ=0.
3,t=1cm,ρ=1图9.
2受均布荷载作用的平面应变问题有限元网格和单元结点编号如图9.
2,输入数据如下:013,2,3,1,2,2,1,4,3,2,31,1,8·952·1,2,3,5,8,7,6,42,1,86,7,8,10,13,12,11,91,2.
0,4.
03,0.
0,4.
06,2.
0,2.
08,0.
0,2.
011,2.
0,0.
013,0.
0,0.
011,0,1,0.
0,0.
012,0,1,0.
0,0.
013,0,1,0.
0,0.
01,100.
,0.
3,1.
0,1.
00,0,1111,2,32.
0,0.
0,2.
0,0.
0,2.
0,0.
01,0,01,0.
0,-6.
282,0.
0,-6.
283,0.
0,-6.
2813,0.
0,0.
0输出数据如下:NPOIN=13NELEM=2NVFIX=3NCASE=1NTYPE=2NDOFN=2NMATS=1NPROP=4NGAUS=3NDIME=2NSTRE=3ELEMENTPROPERTYPOINTNODENUMBER11812358764218678101312119NODALPOINTCOORDINANTES·062·NODEX-COORDY-COORD12.
00004.
000021.
00004.
00003.
00004.
000042.
00003.
00005.
00003.
000062.
00002.
000071.
00002.
00008.
00002.
000092.
00001.
000010.
00001.
0000112.
0000.
0000121.
0000.
000013.
0000.
0000RESTRAINEDNODESNODECODEFIXEDVALUES1101.
000000.
0000001201.
000000.
0000001301.
000000.
000000MATERIALPROPERTIESNUMBEPROPERTIES1100.
0000.
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00001.
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225.
225.
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000.
000-2.
000.
000例二:图9.
3示一简支梁,高3m,长18m,承受均布荷载10kN/m2,E=2*105kN/m2,μ=0.
167,t=1m,按平面应力问题计算结构的位移和应力.
图9.
3受均布荷载作用的简支梁有限元网格和单元结点编号如图9.
4,输入数据如下:0·362·图9.
4有限元网格和单元结点编号33,6,2,1,1,2,1,4,3,2,31,1,81,2,3,15,23,22,21,142,1,83,4,5,16,25,24,23,153,1,85,6,7,17,27,26,25,164,1,87,8,9,18,29,28,27,175,1,89,10,11,19,31,30,29,186,1,811,12,13,20,33,32,31,191,0.
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250-24.
303-40.
297616.
5002.
662-49.
69012.
45122.
97120.
021-57.
259-18.
238717.
662.
33826.
813-100.
85443.
75940.
372-114.
41317.
216817.
6621.
500-13.
909-74.
71831.
155-.
781-87.
84622.
849917.
6622.
662-13.
731-41.
75323.
553-.
337-55.
14729.
626·172·附录:平面问题有限元计算源程序FEMTWO.
FORCC*CFINITEELEMENTPROGROMFOR2-DPROBLEM*C*CCOMMON/CONTRO/NPOIN,NELEM,NDOFN,NDIME,+NSTRE,NTYPE,NGAUS,NPROP,NMATS,NVFIX,ICASE,NCASECOMMON/LGDATA/COORD(200,2),PROPS(10,4),PRESC(200,2),+ASDIS(400),ELOAD(60,18),NOFIX(200),IFPRE(200,2),+LNODS(60,9),MATNO(60,2)COMMON/WORK/ELCOD(2,9),SHAPE(9),DERIV(2,9),DMATX(4,4),+CARTD(2,9),DBMAT(4,18),BMATX(4,18),SMATX(4,18,10),POSGP(3),+WEIGP(3),GPCOD(2,10),ESTIF(18,18)CCHARACTERDATIN*10,DATOUT*10CWRITE(*,1)1FORMAT(//1X,'Finiteelementprogramfor2Dproblem')WRITE(*,2)2FORMAT(1X,WRITE(*,3)3FORMAT(//1X,'Typeinputdatefilename:')READ(*,'(A)')DATINOPEN(8,FILE=DATIN,STATUS='OLD')CWRITE(*,4)·272·4FORMAT(//1X,'Typeoutputdatefilename:')READ(*,'(A)')DATOUTOPEN(9,FILE=DATOUT,STATUS='NEW')COPEN(1,FILE='LEI1',FORM='UNFORMATTED',STATUS='NEW')OPEN(2,FILE='LEI2',FORM='UNFORMATTED',STATUS='NEW')OPEN(4,FILE='LEI4',FORM='UNFORMATTED',STATUS='NEW')REWIND1REWIND2REWIND4CCCALLTHESUBROUTINEWHICHREADSMOSTOFTHEPROBLEMCDATACCALLINPUT(NSTAT)IF(NSTAT.
EQ.
1)STOPCCNEXTCREATTHEELEMENTSTIFNESSFILECCALLSTIFDO10ICASE=1,NCASECCCOMPUTELOADS,AFTERREADINGTHERELEVANTEXTRADATACCALLLOADCCSOLVETHERESULTINGEQUATIONSBYTHEFRONTALSOLVERCCALLFRONTCCCOMPUTETHESTRESSESINALLTHEELEMENTSCCALLSTRESS·372·10CONTINUECCLOSE(1,STATUS='DELETE')CLOSE(2,STATUS='DELETE')CLOSE(4,STATUS='DELETE')STOPENDCCSUBROUTINEINPUT(NSTAT)COMMON/CONTRO/NPOIN,NELEM,NDOFN,NDIME,+NSTRE,NTYPE,NGAUS,NPROP,NMATS,NVFIX,ICASE,NCASECOMMON/LGDATA/COORD(200,2),PROPS(10,4),PRESC(200,2),+ASDIS(400),ELOAD(60,18),NOFIX(200),IFPRE(200,2),+LNODS(60,9),MATNO(60,2)COMMON/WORK/ELCOD(2,9),SHAPE(9),DERIV(2,9),DMATX(4,4),+CARTD(2,9),DBMAT(4,18),BMATX(4,18),SMATX(4,18,10),POSGP(3),+WEIGP(3),GPCOD(2,10),ESTIF(18,18)CCREADTHEFIRSTDATACARDANDECHOITIMMEDIATELYCREAD(8,*)NSTATREAD(8,*)NPOIN,NELEM,NVFIX,NCASE,NTYPE,NDOFN,+NMATS,NPROP,NGAUS,NDIME,NSTREWRITE(9,900)NPOIN,NELEM,NVFIX,NCASE,NTYPE,NDOFN,+NMATS,NPROP,NGAUS,NDIME,NSTRE900FORMAT(//,4X,'NPOIN=',I3,2X,'NELEM=',I3,2X,'NVFIX=',I3,2X,+'NCASE=',I3,2X,'NTYPE=',I3,2X,'NDOFN=',I3,+/,4X,'NMATS=',I3,2X,'NPROP=',I3,2X,'NGAUS=',I3,2X,+'NDIME=',I3,2X,'NSTRE=',I3)CCREADTHEELEMENTNODALCONNECTIONSANDTHEPROPERTYCNUMBERS·472·CWRITE(9,910)910FORMAT(/,3X,'ELEMENT',2X,'PROPERTY',2X,'POINT',10X,'NODENUMBER')DO10JELEM=1,NELEMREAD(8,*)IELEM,(MATNO(IELEM,K),K=1,2)NNODE=MATNO(IELEM,2)READ(8,*)(LNODS(IELEM,INODE),INODE=1,NNODE)WRITE(9,915)IELEM,(MATNO(IELEM,K),K=1,2),+(LNODS(IELEM,INODE),INODE=1,NNODE)10CONTINUE915FORMAT(1X,I5,5X,I1,4X,I1,4X,9I5)CCZEROALLTHENODALCOORDINATES,PRIORTOREADINGSOMECOFTHEMCDO20IPOIN=1,NPOINDO20IDIME=1,NDIME20COORD(IPOIN,IDIME)=0.
0CCREADSOMENODALCOORDINANTES,FINISHINGWITHTHELASTCNODEOFALLCWRITE(9,920)920FORMAT(/,13X,'NODALPOINTCOORDINANTES')WRITE(9,925)925FORMAT(/,4X,'NODE',6X,'X-COORD',7X,'Y-COORD')30READ(8,*)IPOIN,(COORD(IPOIN,IDIME),IDIME=1,NDIME)IF(IPOIN.
NE.
NPOIN)GOTO30CCINTERPOLDTECOORDINANTESOFMID-SIDENODESCCALLNODEXYDO50IPOIN=1,NPOIN·572·50WRITE(9,935)IPOIN,(COORD(IPOIN,IDIME),IDIME=1,NDIME)935FORMAT(1X,I5,2F15.
4)CCREADTHEFIXEDVALUESCWRITE(9,940)940FORMAT(/,10X,'RESTRAINEDNODES')WRITE(9,945)945FORMAT(/,1X,'NODE',4X,'CODE',13X,'FIXEDVALUES')DO60IVFIX=1,NVFIXREAD(8,*)NOFIX(IVFIX),(IFPRE(IVFIX,IDOFN),IDOFN=1,NDOFN),+(PRESC(IVFIX,IDOFN),IDOFN=1,NDOFN)60WRITE(9,950)NOFIX(IVFIX),(IFPRE(IVFIX,IDOFN),IDOFN=1,NDOFN),+(PRESC(IVFIX,IDOFN),IDOFN=1,NDOFN)950FORMAT(1X,I4,3X,2I2,5X,2F15.
6)CCREADTHEAVAILABLESELECTIONOFELEMENTPROPERTIESCWRITE(9,960)960FORMAT(/,15X,'MATERIALPROPERTIES')WRITE(9,965)965FORMAT(/,3X,'NUMBE',25X,'PROPERTIES')DO100JMATS=1,NMATSREAD(8,*)IMATS,(PROPS(IMATS,IPROP),IPROP=1,NPROP)100WRITE(9,970)IMATS,(PROPS(IMATS,IPROP),IPROP=1,NPROP)970FORMAT(1X,I5,5X,5F12.
4)CCSETUPGAUSSIANINTEGRATIONCONSTANTSCCALLGAUSSQRETURNENDC·672·CSUBROUTINENODEXYCOMMON/CONTRO/NPOIN,NELEM,NDOFN,NDIME,+NSTRE,NTYPE,NGAUS,NPROP,NMATS,NVFIX,ICASE,NCASECOMMON/LGDATA/COORD(200,2),PROPS(10,4),PRESC(200,2),+ASDIS(400),ELOAD(60,18),NOFIX(200),IFPRE(200,2),+LNODS(60,9),MATNO(60,2)COMMON/WORK/ELCOD(2,9),SHAPE(9),DERIV(2,9),DMATX(4,4),+CARTD(2,9),DBMAT(4,18),BMATX(4,18),SMATX(4,18,10),POSGP(3),+WEIGP(3),GPCOD(2,10),ESTIF(18,18)DO30IELEM=1,NELEMNNODE=MATNO(IELEM,2)IF(NNODE.
EQ.
4)GOTO30NNOD1=9IF(NNODE.
EQ.
8)NNOD1=7DO20INODE=1,NNOD1,2IF(INODE.
EQ.
9)GOTO50NODST=LNODS(IELEM,INODE)IGASH=INODE+2IF(IGASH.
GT.
8)IGASH=1NODFN=LNODS(IELEM,IGASH)MIDPT=INODE+1NODMD=LNODS(IELEM,MIDPT)TOTAL=ABS(COORD(NODMD,1))+ABS(COORD(NODMD,2))IF(TOTAL.
GT.
0.
0)GOTO20KOUNT=110COORD(NODMD,KOUNT)=(COORD(NODST,KOUNT)++COORD(NODFN,KOUNT))/2.
KOUNT=KOUNT+1IF(KOUNT.
EQ.
2)GOTO1020CONTINUEGOTO3050LNODE=LNODS(IELEM,INODE)·772·TOTAL=ABS(COORD(LNODE,1))+ABS(COORD(LNODE,2))IF(TOTAL.
GT.
0.
0)GOTO30LNOD1=LNODS(IELEM,1)LNOD3=LNODS(IELEM,3)LNOD5=LNODS(IELEM,5)LNOD7=LNODS(IELEM,7)KOUNT=140COORD(LNODE,KOUNT)=(COORD(LNOD1,KOUNT)+COORD(LNOD3,KOUNT)++COORD(LNOD5,KOUNT)+COORD(LNOD7,KOUNT))/4.
0KOUNT=KOUNT+1IF(KOUNT.
EQ.
2)GOTO4030CONTINUERETURNENDCCSUBROUTINEGAUSSQCOMMON/CONTRO/NPOIN,NELEM,NDOFN,NDIME,+NSTRE,NTYPE,NGAUS,NPROP,NMATS,NVFIX,ICASE,NCASECOMMON/LGDATA/COORD(200,2),PROPS(10,4),PRESC(200,2),+ASDIS(400),ELOAD(60,18),NOFIX(200),IFPRE(200,2),+LNODS(60,9),MATNO(60,2)COMMON/WORK/ELCOD(2,9),SHAPE(9),DERIV(2,9),DMATX(4,4),+CARTD(2,9),DBMAT(4,18),BMATX(4,18),SMATX(4,18,10),POSGP(3),+WEIGP(3),GPCOD(2,10),ESTIF(18,18)IF(NGAUS.
GT.
2)GOTO10POSGP(1)=-0.
577350269189626WEIGP(1)=1.
0GOTO2010POSGP(1)=-0.
774596669241483POSGP(2)=0.
0WEIGP(1)=0.
555555555555556WEIGP(2)=0.
888888888888889·872·20KGAUS=NGAUS/2DO30IGASH=1,KGAUSJGASH=NGAUS+1-IGASHPOSGP(JGASH)=-POSGP(IGASH)WEIGP(JGASH)=WEIGP(IGASH)30CONTINUERETURNENDCCSUBROUTINELOADCOMMON/CONTRO/NPOIN,NELEM,NDOFN,NDIME,+NSTRE,NTYPE,NGAUS,NPROP,NMATS,NVFIX,ICASE,NCASECOMMON/LGDATA/COORD(200,2),PROPS(10,4),PRESC(200,2),+ASDIS(400),ELOAD(60,18),NOFIX(200),IFPRE(200,2),+LNODS(60,9),MATNO(60,2)COMMON/WORK/ELCOD(2,9),SHAPE(9),DERIV(2,9),DMATX(4,4),+CARTD(2,9),DBMAT(4,18),BMATX(4,18),SMATX(4,18,10),POSGP(3),+WEIGP(3),GPCOD(2,10),ESTIF(18,18)DIMENSIONNOPRS(3),PRESS(3,2),PGASH(2),DGASH(2),POINT(2)TWOPI=6.
283185307179586NEVAB=NNODE*NDOFNDO10IELEM=1,NELEMDO10IEVAB=1,NEVAB10ELOAD(IELEM,IEVAB)=0.
0READ(8,*)IPLOD,IGRAV,IEDGEWRITE(9,990)990FORMAT(/5X,'LOADINPUTPARAMETERS')WRITE(9,991)IPLOD,IGRAV,IEDGE991FORMAT(/5X,'POINTLOADS',I5/,5X,'GRAVITY',I5/,+5X,'EDGELOAD',I5,/)IF(IPLOD.
EQ.
0)GOTO500WRITE(9,998)·972·998FORMAT(/7X,'NODE',9X,'NODALFORCE'/)20READ(8,*)LODPT,(POINT(IDOFN),IDOFN=1,NDOFN)WRITE(9,933)LODPT,(POINT(IDOFN),IDOFN=1,NDOFN)933FORMAT(5X,I5,5X,2F12.
4)DO30IELEM=1,NELEMNNODE=MATNO(IELEM,2)DO30INODE=1,NNODENLOCA=IABS(LNODS(IELEM,INODE))30IF(LODPT.
EQ.
NLOCA)GOTO4040DO50IDOFN=1,NDOFNNGASH=(INODE-1)*NDOFN+IDOFN50ELOAD(IELEM,NGASH)=POINT(IDOFN)IF(LODPT.
LT.
NPOIN)GOTO20500CONTINUEIF(IGRAV.
EQ.
0)GOTO600READ(8,*)THETA,GRAVYWRITE(9,911)THETA,GRAVY911FORMAT(4X,'THETA=',F12.
4,2X,'GRAVY=',F12.
4)THETA=THETA/57.
295779514DO90IELEM=1,NELEMLPROP=MATNO(IELEM,1)NNODE=MATNO(IELEM,2)THICK=PROPS(LPROP,3)DENSE=PROPS(LPROP,4)IF(DENSE.
EQ.
0.
0)GOTO90GXCOM=DENSE*GRAVY*SIN(THETA)GYCOM=-DENSE*GRAVY*COS(THETA)DO60INODE=1,NNODELNODE=IABS(LNODS(IELEM,INODE))DO60IDIME=1,NDIME60ELCOD(IDIME,INODE)=COORD(LNODE,IDIME)KGASP=0DO80IGAUS=1,NGAUS·082·DO80JGAUS=1,NGAUSKGASP=KGASP+1EXISP=POSGP(IGAUS)ETASP=POSGP(JGAUS)CALLSFR2(IELEM,EXISP,ETASP)CALLJACOB2(DJACB,IELEM,KGASP)DVOLU=DJACB*WEIGP(IGAUS)*WEIGP(JGAUS)IF(NTYPE.
EQ.
1)DVOLU=DVOLU*THICKIF(NTYPE.
EQ.
3)DVOLU=DVOLU*TWOPI*GPCOD(1,KGASP)DO70INODE=1,NNODENGASH=(INODE-1)*NDOFN+1MGASH=(INODE-1)*NDOFN+2ELOAD(IELEM,NGASH)=ELOAD(IELEM,NGASH)+GXCOM*+SHAPE(INODE)*DVOLU70ELOAD(IELEM,MGASH)=ELOAD(IELEM,MGASH)+GYCOM*+SHAPE(INODE)*DVOLU80CONTINUE90CONTINUE600CONTINUEIF(IEDGE.
EQ.
0)GOTO700READ(8,*)NEDGEWRITE(9,912)NEDGE912FORMAT(6X,'NO.
OFLOADEDEDGES=',I5)WRITE(9,915)915FORMAT(6X,'LISTOFLOADEDEDGESANDAPPLIEDLOADS')DO160IEDGE=1,NEDGEREAD(8,*)NEASSNNODE=MATNO(NEASS,2)NODEG=3NCODE=NNODEIF(NNODE.
EQ.
4)NODEG=2IF(NNODE.
EQ.
9)NCODE=8READ(8,*)(NOPRS(IODEG),IODEG=1,NODEG)·182·WRITE(9,913)NEASS,(NOPRS(IODEG),IODEG=1,NODEG)913FORMAT(I10,5X,3I5)READ(8PRESS(IODEG,IDOFN),IDOFN=1,NDOFN),IODEG=1,NODEG)WRITE(9,914)((PRESS(IODEG,IDOFN),IDOFN=1,NDOFN),IODEG=1,NODEG)914FORMAT(6F10.
3)ETASP=-1.
0DO100IODEG=1,NODEGLNODE=NOPRS(IODEG)DO100IDIME=1,NDIME100ELCOD(IDIME,IODEG)=COORD(LNODE,IDIME)DO150IGAUS=1,NGAUSEXISP=POSGP(IGAUS)CALLSFR2(NEASS,EXISP,ETASP)DO110IDOFN=1,NDOFNPGASH(IDOFN)=0.
0DGASH(IDOFN)=0.
0DO110IODEG=1,NODEGPGASH(IDOFN)=PGASH(IDOFN)+PRESS(IODEG,IDOFN)*SHAPE(IODEG)110DGASH(IDOFN)=DGASH(IDOFN)+ELCOD(IDOFN,IODEG)*DERIV(1,IODEG)DVOLU=WEIGP(IGAUS)PXCOM=DGASH(1)*PGASH(2)-DGASH(2)*PGASH(1)PYCOM=DGASH(1)*PGASH(1)+DGASH(2)*PGASH(2)IF(NTYPE.
NE.
3)GOTO115RADUS=0.
0DO125IODEG=1,NODEG125RADUS=RADUS+SHAPE(IODEG)*ELCOD(1,IODEG)DVOLU=DVOLU*TWOPI*RADUS115CONTINUEDO120INODE=1,NNODENLOCA=IABS(LNODS(NEASS,INODE))120IF(NLOCA.
EQ.
NOPRS(1))GOTO130130JNODE=INODE+NODEG-1KOUNT=0·282·DO140KNODE=INODE,JNODEKOUNT=KOUNT+1NGASH=(KNODE-1)*NDOFN+1MGASH=(KNODE-1)*NDOFN+2IF(KNODE.
GT.
NCODE)NGASH=1IF(KNODE.
GT.
NCODE)MGASH=2ELOAD(NEASS,NGASH)=ELOAD(NEASS,NGASH)+SHAPE(KOUNT)*+PXCOM*DVOLU140ELOAD(NEASS,MGASH)=ELOAD(NEASS,MGASH)+SHAPE(KOUNT)*+PYCOM*DVOLU150CONTINUE160CONTINUE700CONTINUEWRITE(9,907)907FORMAT(5X,'TOTALNODALFORCES')DO290IELEM=1,NELEMNEVAB=MATNO(IELEM,2)*NDOFN290WRITE(9,905)IELEM,(ELOAD(IELEM,IEVAB),IEVAB=1,NEVAB)905FORMAT(1X,I4,2X,8E12.
4/(7X,8E12.
4))RETURNENDCCSUBROUTINESFR2(IELEM,EXISP,ETASP)COMMON/CONTRO/NPOIN,NELEM,NDOFN,NDIME,+NSTRE,NTYPE,NGAUS,NPROP,NMATS,NVFIX,ICASE,NCASECOMMON/LGDATA/COORD(200,2),PROPS(10,4),PRESC(200,2),+ASDIS(400),ELOAD(60,18),NOFIX(200),IFPRE(200,2),+LNODS(60,9),MATNO(60,2)COMMON/WORK/ELCOD(2,9),SHAPE(9),DERIV(2,9),DMATX(4,4),+CARTD(2,9),DBMAT(4,18),BMATX(4,18),SMATX(4,18,10),POSGP(3),+WEIGP(3),GPCOD(2,10),ESTIF(18,18)NNODE=MATNO(IELEM,2)·382·S=EXISPT=ETASPIF(NNODE.
GT.
4)GOTO10ST=S*TCSHAPE(1)=0.
25*(1-T-S+ST)SHAPE(2)=0.
25*(1-T+S-ST)SHAPE(3)=0.
25*(1+T+S+ST)SHAPE(4)=0.
25*(1+T-S-ST)CDERIV(1,1)=0.
25*(-1+T)DERIV(1,2)=0.
25*(+1-T)DERIV(1,3)=0.
25*(+1+T)DERIV(1,4)=0.
25*(-1-T)DERIV(2,1)=0.
25*(-1+S)DERIV(2,2)=0.
25*(-1-S)DERIV(2,3)=0.
25*(+1+S)DERIV(2,4)=0.
25*(+1-S)RETURN10IF(NNODE.
GT.
8)GOTO30S2=S*2.
0T2=T*2.
0SS=S*SST=S*TTT=T*TSST=S*S*TSTT=S*T*TST2=S*T*2.
0CSHAPE(1)=(-1.
0+ST+SS+TT-SST-STT)/4.
0SHAPE(2)=(1.
0-T-SS+SST)/2.
0SHAPE(3)=(-1.
0-ST+SS+TT-SST+STT)/4.
0SHAPE(4)=(1.
0+S-TT-STT)/2.
0·482·SHAPE(5)=(-1.
0+ST+SS+TT+SST+STT)/4.
0SHAPE(6)=(1.
0+T-SS-SST)/2.
0SHAPE(7)=(-1.
0-ST+SS+TT+SST-STT)/4.
0SHAPE(8)=(1.
0-S-TT+STT)/2.
0CDERIV(1,1)=(T+S2-ST2-TT)/4.
0DERIV(1,2)=-S+STDERIV(1,3)=(-T+S2-ST2+TT)/4.
0DERIV(1,4)=(1.
0-TT)/2.
0DERIV(1,5)=(T+S2+ST2+TT)/4.
0DERIV(1,6)=-S-STDERIV(1,7)=(-T+S2+ST2-TT)/4.
0DERIV(1,8)=(-1.
0+TT)/2.
0DERIV(2,1)=(S+T2-SS-ST2)/4.
0DERIV(2,2)=(-1.
0+SS)/2.
0DERIV(2,3)=(-S+T2-SS+ST2)/4.
0DERIV(2,4)=-T-STDERIV(2,5)=(S+T2+SS+ST2)/4.
0DERIV(2,6)=(1.
0-SS)/2.
0DERIV(2,7)=(-S+T2+SS-ST2)/4.
0DERIV(2,8)=-T+STRETURN30CONTINUESS=S*SST=S*TTT=T*TS1=S+1.
0T1=T+1.
0S2=S*2.
0T2=T*2.
0S9=S-1.
0T9=T-1.
0C·582·SHAPE(1)=0.
25*S9*ST*T9SHAPE(2)=0.
5*(1.
0-SS)*T*T9SHAPE(3)=0.
25*S1*ST*T9SHAPE(4)=0.
5*S*S1*(1.
0-TT)SHAPE(5)=0.
25*S1*ST*T1SHAPE(6)=0.
5*(1.
0-SS)*T*T1SHAPE(7)=0.
25*S9*ST*T1SHAPE(8)=0.
5*S*S9*(1.
0-TT)SHAPE(9)=(1.
0-SS)*(1.
0-TT)CDERIV(1,1)=0.
25*T*T9*(-1.
0+S2)DERIV(1,2)=-ST*T9DERIV(1,3)=0.
25*(1.
0+S2)*T*T9DERIV(1,4)=0.
5*(1.
0+S2)*(1.
0-TT)DERIV(1,5)=0.
25*(1.
0+S2)*T*T1DERIV(1,6)=-ST*T1DERIV(1,7)=0.
25*(-1.
0+S2)*T*T1DERIV(1,8)=0.
5*(-1.
0+S2)*(1.
0-TT)DERIV(1,9)=-S2*(1.
0-TT)DERIV(2,1)=0.
25*(-1.
0+T2)*S*S9DERIV(2,2)=0.
5*(1.
0-SS)*(-1.
0+T2)DERIV(2,3)=0.
25*S*S1*(-1.
0+T2)DERIV(2,4)=-ST*S1DERIV(2,5)=0.
25*S*S1*(1.
0+T2)DERIV(2,6)=0.
5*(1.
0-SS)*(1.
0+T2)DERIV(2,7)=0.
25*S*S9*(1.
0+T2)DERIV(2,8)=-ST*S9DERIV(2,9)=-T2*(1.
0-SS)20CONTINUERETURNENDCSUBROUTINEJACOB2(DJACB,IELEM,KGASP)·682·COMMON/CONTRO/NPOIN,NELEM,NDOFN,NDIME,+NSTRE,NTYPE,NGAUS,NPROP,NMATS,NVFIX,ICASE,NCASECOMMON/LGDATA/COORD(200,2),PROPS(10,4),PRESC(200,2),+ASDIS(400),ELOAD(60,18),NOFIX(200),IFPRE(200,2),+LNODS(60,9),MATNO(60,2)COMMON/WORK/ELCOD(2,9),SHAPE(9),DERIV(2,9),DMATX(4,4),+CARTD(2,9),DBMAT(4,18),BMATX(4,18),SMATX(4,18,10),POSGP(3),+WEIGP(3),GPCOD(2,10),ESTIF(18,18)DIMENSIONXJACI(2,2),XJACM(2,2)CNNODE=MATNO(IELEM,2)DO2IDIME=1,2GPCOD(IDIME,KGASP)=0.
0DO2INODE=1,NNODEGPCOD(IDIME,KGASP)=GPCOD(IDIME,KGASP)+ELCOD(IDIME,INODE)+*SHAPE(INODE)2CONTINUECDO4IDIME=1,2DO4JDIME=1,2XJACM(IDIME,JDIME)=0.
0DO4INODE=1,NNODEXJACM(IDIME,JDIME)=XJACM(IDIME,JDIME)+DERIV(IDIME,INODE)*+ELCOD(JDIME,INODE)4CONTINUEDJACB=XJACM(1,1)*XJACM(2,2)-XJACM(1,2)*XJACM(2,1)IF(DJACB)6,6,86WRITE(9,600)IELEM,DJACBSTOP8CONTINUEXJACI(1,1)=XJACM(2,2)/DJACBXJACI(2,2)=XJACM(1,1)/DJACBXJACI(1,2)=-XJACM(1,2)/DJACB·782·XJACI(2,1)=-XJACM(2,1)/DJACBCDO10IDIME=1,2DO10INODE=1,NNODECARTD(IDIME,INODE)=0.
0DO10JDIME=1,2CARTD(IDIME,INODE)=CARTD(IDIME,INODE)+XJACI(IDIME,JDIME)*+DERIV(JDIME,INODE)10CONTINUE600FORMAT(//,'PROGRAMHALTEDINSUBROUTINEJACOB2',/,11X,+'ZEROORNEGATIVEAREA',/,10X,'ELEMENTNO.
',I5,+2X,'DJACB=',E12.
4)RETURNENDCCSUBROUTINEMODPS(LPROP)COMMON/CONTRO/NPOIN,NELEM,NDOFN,NDIME,+NSTRE,NTYPE,NGAUS,NPROP,NMATS,NVFIX,ICASE,NCASECOMMON/LGDATA/COORD(200,2),PROPS(10,4),PRESC(200,2),+ASDIS(400),ELOAD(60,18),NOFIX(200),IFPRE(200,2),+LNODS(60,9),MATNO(60,2)COMMON/WORK/ELCOD(2,9),SHAPE(9),DERIV(2,9),DMATX(4,4),+CARTD(2,9),DBMAT(4,18),BMATX(4,18),SMATX(4,18,10),POSGP(3),+WEIGP(3),GPCOD(2,10),ESTIF(18,18)CYOUNG=PROPS(LPROP,1)POISS=PROPS(LPROP,2)DO10ISTRE=1,NSTREDO10JSTRE=1,NSTREDMATX(ISTRE,JSTRE)=0.
010CONTINUEIF(NTYPE.
NE.
1)GOTO4·882·CD-MATRIXFORPLANESTRESSCASECONSE=YOUNG/(1.
0-POISS*POISS)DMATX(1,1)=CONSEDMATX(2,2)=CONSEDMATX(1,2)=CONSE*POISSDMATX(2,1)=CONSE*POISSDMATX(3,3)=(1.
0-POISS)*CONSE/2.
0RETURN4IF(NTYPE.
NE.
2)GOTO6CD-MATRIXFORPLANESTRAINCASECONSE=YOUNG*(1.
0-POISS)/((1.
0+POISS)*(1.
0-2.
0*POISS))DMATX(1,1)=CONSEDMATX(2,2)=CONSEDMATX(1,2)=CONSE*POISS/(1.
0-POISS)DMATX(2,1)=CONSE*POISS/(1.
0-POISS)DMATX(3,3)=(1.
0-2.
0*POISS)*CONSE/(2.
0*(1.
0-POISS))RETURN6IF(NTYPE.
NE.
3)GOTO8CD-MATRIXFORAXISYMMETRICCASECONSE=YOUNG*(1.
0-POISS)/((1.
0+POISS)*(1.
0-2.
0*POISS))CONSS=POISS/(1.
0-POISS)DMATX(1,1)=CONSEDMATX(2,2)=CONSEDMATX(3,3)=CONSE*(1.
0-2.
0*POISS)/(2.
0*(1.
0-POISS))DMATX(1,4)=CONSE*CONSSDMATX(2,4)=CONSE*CONSSDMATX(4,1)=CONSE*CONSSDMATX(4,2)=CONSE*CONSSDMATX(4,4)=CONSE8CONTINUERETURNENDC·982·CSUBROUTINEBMATPS(IELEM,KGASH)COMMON/CONTRO/NPOIN,NELEM,NDOFN,NDIME,+NSTRE,NTYPE,NGAUS,NPROP,NMATS,NVFIX,ICASE,NCASECOMMON/LGDATA/COORD(200,2),PROPS(10,4),PRESC(200,2),+ASDIS(400),ELOAD(60,18),NOFIX(200),IFPRE(200,2),+LNODS(60,9),MATNO(60,2)COMMON/WORK/ELCOD(2,9),SHAPE(9),DERIV(2,9),DMATX(4,4),+CARTD(2,9),DBMAT(4,18),BMATX(4,18),SMATX(4,18,10),POSGP(3),+WEIGP(3),GPCOD(2,10),ESTIF(18,18)CNGASH=0NNODE=MATNO(IELEM,2)DO10INODE=1,NNODEMGASH=NGASH+1NGASH=MGASH+1BMATX(1,MGASH)=CARTD(1,INODE)BMATX(1,NGASH)=0.
0BMATX(2,MGASH)=0.
0BMATX(2,NGASH)=CARTD(2,INODE)BMATX(3,MGASH)=CARTD(2,INODE)BMATX(3,NGASH)=CARTD(1,INODE)IF(NTYPE.
NE.
3)GOTO10BMATX(4,MGASH)=SHAPE(INODE)/GPCOD(1,KGASP)BMATX(4,NGASH)=0.
010CONTINUERETURNENDCSUBROUTINEDBE(IELEM)COMMON/CONTRO/NPOIN,NELEM,NDOFN,NDIME,+NSTRE,NTYPE,NGAUS,NPROP,NMATS,NVFIX,ICASE,NCASECOMMON/LGDATA/COORD(200,2),PROPS(10,4),PRESC(200,2),·092·+ASDIS(400),ELOAD(60,18),NOFIX(200),IFPRE(200,2),+LNODS(60,9),MATNO(60,2)COMMON/WORK/ELCOD(2,9),SHAPE(9),DERIV(2,9),DMATX(4,4),+CARTD(2,9),DBMAT(4,18),BMATX(4,18),SMATX(4,18,10),POSGP(3),+WEIGP(3),GPCOD(2,10),ESTIF(18,18)CCCALCULATESD*BCCNNODE=MATNO(IELEM,2)NEVAB=NNODE*NDOFNDO10ISTRE=1,NSTREDO10IEVAB=1,NEVABDBMAT(ISTRE,IEVAB)=0.
0DO10JSTRE=1,NSTREDBMAT(ISTRE,IEVAB)=DBMAT(ISTRE,IEVAB)+DMATX(ISTRE,JSTRE)*+BMATX(JSTRE,IEVAB)10CONTINUERETURNENDCSUBROUTINESTIFCCOMMON/CONTRO/NPOIN,NELEM,NDOFN,NDIME,+NSTRE,NTYPE,NGAUS,NPROP,NMATS,NVFIX,ICASE,NCASECOMMON/LGDATA/COORD(200,2),PROPS(10,4),PRESC(200,2),+ASDIS(400),ELOAD(60,18),NOFIX(200),IFPRE(200,2),+LNODS(60,9),MATNO(60,2)COMMON/WORK/ELCOD(2,9),SHAPE(9),DERIV(2,9),DMATX(4,4),+CARTD(2,9),DBMAT(4,18),BMATX(4,18),SMATX(4,18,10),POSGP(3),+WEIGP(3),GPCOD(2,10),ESTIF(18,18)TWOPI=6.
283185308C·192·CLOOPOVEREACHELEMENTCDO70IELEM=1,NELEMLPROP=MATNO(IELEM,1)THICK=PROPS(LPROP,3)NNODE=MATNO(IELEM,2)NEVAB=NNODE*NDOFNCCEVALUATETHECOORDINATESOFTHEELEMENTNODALPOINTCDO10INODE=1,NNODELNODE=LNODS(IELEM,INODE)DO10IDIME=1,NDIME10ELCOD(IDIME,INODE)=COORD(LNODE,IDIME)CCINITIALIZETHEELEMENTSTIFFNESSMATRIXCDO20IEVAB=1,NEVABDO20JEVAB=1,NEVAB20ESTIF(IEVAB,JEVAB)=0.
0KGASP=0CCENTERLOOPSFORVOLUMENUMERICALINTEGRATIONCDO50IGAUS=1,NGAUSDO50JGAUS=1,NGAUSKGASP=KGASP+1EXISP=POSGP(IGAUS)ETASP=POSGP(JGAUS)CCEVALUATETHESHAPEFUNCTIONS,ELEMENTALVOLUME,ETC.
CCALLSFR2(IELEM,EXISP,ETASP)·292·CALLJACOB2(DJACB,IELEM,KGASP)DVOLU=DJACB*WEIGP(IGAUS)*WEIGP(JGAUS)IF(NTYPE.
EQ.
3)DVOLU=DVOLU*TWOPI*GPCOD(1,KGASP)IF(THICK.
NE.
0.
0)DVOLU=DVOLU*THICKCCEVALUATETHEBANDDBMATRICESCCALLBMATPS(IELEM,KGASP)CALLMODPS(LPROP)CALLDBE(IELEM)CCCALCULATETHEELEMENTSTIFFNESSESCDO30IEVAB=1,NEVABDO30JEVAB=IEVAB,NEVABDO30ISTRE=1,NSTRE30ESTIF(IEVAB,JEVAB)=ESTIF(IEVAB,JEVAB)+BMATX(ISTRE,IEVAB)*+DBMAT(ISTRE,JEVAB)*DVOLUCCSTORETHECOMPONANTSOFTHEDBMATRIXFORTHEELEMENTCDO40ISTRE=1,NSTREDO40IEVAB=1,NEVAB40SMATX(ISTRE,IEVAB,KGASP)=DBMAT(ISTRE,IEVAB)50CONTINUECCCONSTRUCTTHELOWERTRIANGLEOFTHESTIFFNESSMATRIXCDO60IEVAB=1,NEVABDO60JEVAB=1,NEVAB60ESTIF(JEVAB,IEVAB)=ESTIF(IEVAB,JEVAB)CCSTORETHESTIFFNESSMATRIX,STRESSMATRIXANDSAMPLING·392·CPOINTCOORDINANTESFOREACHELEMENTONDISCFILECWRITE(1)ESTIF,SMATX,GPCOD70CONTINUERETURNENDCCSUBROUTINESTRESSCOMMON/CONTRO/NPOIN,NELEM,NDOFN,NDIME,+NSTRE,NTYPE,NGAUS,NPROP,NMATS,NVFIX,ICASE,NCASECOMMON/LGDATA/COORD(200,2),PROPS(10,4),PRESC(200,2),+ASDIS(400),ELOAD(60,18),NOFIX(200),IFPRE(200,2),+LNODS(60,9),MATNO(60,2)COMMON/WORK/ELCOD(2,9),SHAPE(9),DERIV(2,9),DMATX(4,4),+CARTD(2,9),DBMAT(4,18),BMATX(4,18),SMATX(4,18,10),POSGP(3),+WEIGP(3),GPCOD(2,10),ESTIF(18,18)CDIMENSIONSTRSG(4),ELDIS(2,9),STRSP(3)REWIND1IF(NTYPE.
NE.
3)WRITE(9,905)905FORMAT(//,1X,'G,P.
',2X,'X-COOR',2X,'Y-COOR',2X,+'X-STRESS',2X,'Y-STRESS',2X,'XY-STRESS',2X,+'MAX',2X,'MIN',2X,'ANGLE')IF(NTYPE.
EQ.
3)WRITE(9,906)906FORMAT(//,1X,'G.
P.
',2X,'X-COOR',2X,'Y-COOR',2X,+'r-STRESS',2X,'z-STRESS',2X,'rz-STRESS',2X,'o-STRESS',+2X,'MAX',2X,'MIN',2X,'ANGLE')CCLOOPOVEREACHELEMENTCDO60IELEM=1,NELEMNNODE=MATNO(IELEM,2)·492·CCREADTHESTRESSMATRIX,SAMPLINGPOINTCOORDINANTESFORCTHEELEMENTCREAD(1)ESTIF,SMATX,GPCODWRITE(9,910)IELEMCCIDENTIFYTHEDISPLACEMENTSOFTHEELEMENTNODALPOINTSCDO10INODE=1,NNODELNODE=LNODS(IELEM,INODE)NPOSN=(LNODE-1)*NDOFNDO10IDOFN=1,NDOFNNPOSN=NPOSN+1ELDIS(IDOFN,INODE)=ASDIS(NPOSN)10CONTINUEKGASP=0CCENTERLOOPSOVEREACHSAMPLINGPOINTCDO50IGAUS=1,NGAUSDO50JGAUS=1,NGAUSKGASP=KGASP+1CCCOMPUTERTHECARTESIANSTRESSCOMPONENTSATTHECSAMPLINGPOINTCDO20ISTRE=1,NSTRESTRSG(ISTRE)=0.
KGASH=0DO20INODE=1,NNODEDO20IDOFN=1,NDOFNKGASH=KGASH+1·592·STRSG(ISTRE)=STRSG(ISTRE)+SMATX(ISTRE,KGASH,KGASP)*+ELDIS(IDOFN,INODE)20CONTINUEXGASH=(STRSG(1)+STRSG(2))*0.
5XGISH=(STRSG(1)-STRSG(2))*0.
5XGESH=STRSG(3)XGOSH=SQRT(XGISH*XGISH+XGESH*XGESH)STRSP(1)=XGASH+XGOSHSTRSP(2)=XGASH-XGOSHIF(XGISH.
EQ.
0.
0)XGISH=0.
1E-20STRSP(3)=ATAN(XGESH/XGISH)*28.
647889757CCOUTPUTTHESTRESSESCWRITE(9,915)KGASP,(GPCOD(IDIME,KGASP),IDIME=1,NDIME),+(STRSG(ISTRE),ISTRE=1,NSTRE),(STRSP(I),I=1,3)50CONTINUE60CONTINUE910FORMAT(//,10X,'(ELEMENTNO.
)=',I5)915FORMAT(1X,I2,2F8.
3,2X,7F8.
3)RETURNENDCCSUBROUTINEFRONTCOMMON/CONTRO/NPOIN,NELEM,NDOFN,NDIME,+NSTRE,NTYPE,NGAUS,NPROP,NMATS,NVFIX,ICASE,NCASECOMMON/LGDATA/COORD(200,2),PROPS(10,4),PRESC(200,2),+ASDIS(400),ELOAD(60,18),NOFIX(200),IFPRE(200,2),+LNODS(60,9),MATNO(60,2)COMMON/WORK/ELCOD(2,9),SHAPE(9),DERIV(2,9),DMATX(4,4),+CARTD(2,9),DBMAT(4,18),BMATX(4,18),SMATX(4,18,10),POSGP(3),+WEIGP(3),GPCOD(2,10),ESTIF(18,18)·692·CDIMENSIONFIXED(400),EQUAT(100),VECRV(400),GLOAD(100)DIMENSIONGSTIF(5050)DIMENSIONIFFIX(400),NACVA(100),LOCEL(18),NDEST(18)NFUNC(I,J)=(J*J-J)/2+IMFRON=100MSTIF=5050CCINTERPRETFIXITYDATAINVECTORFORMCNTOTV=NPOIN*NDOFNDO100ITOTV=1,NTOTVIFFIX(ITOTV)=0100FIXED(ITOTV)=0.
0DO110IVFIX=1,NVFIXNLOCA=(NOFIX(IVFIX)-1)*NDOFNDO110IDOFN=1,NDOFNNGASH=NLOCA+IDOFNIFFIX(NGASH)=IFPRE(IVFIX,IDOFN)110FIXED(NGASH)=PRESC(IVFIX,IDOFN)CCCHANGETHESIGNOFTHELASTAPPEARANCEOFEACHNODECDO140IPOIN=1,NPOINKLAST=0DO130IELEM=1,NELEMNNODE=MATNO(IELEM,2)DO120INODE=1,NNODEIF(LNODS(IELEM,INODE).
NE.
IPOIN)GOTO120KLAST=IELEMNLAST=INODE120CONTINUE130CONTINUE·792·IF(KLAST.
NE.
0)LNODS(KLAST,NLAST)=-IPOIN140CONTINUECCSTARTBYINITIALIZINGEVERYTHINGTHATMATTERSTOZEROCDO150ISTIF=1,MSTIF150GSTIF(ISTIF)=0.
0DO160IFRON=1,MFRONGLOAD(IFRON)=0.
0EQUAT(IFRON)=0.
0VECRV(IFRON)=0.
0160NACVA(IFRON)=0CCANDPREPAREFORDISCREADINGANDWRITINGOPERATIONCREWIND1REWIND2REWIND4CCENTERMAINELEMENTASSEMBLY-REDUCTIONLOOPCNFRON=0KELVA=0DO380IELEM=1,NELEMNNODE=MATNO(IELEM,2)NEVAB=NNODE*NDOFNKEVAB=0READ(1)ESTIF,SMATX,GPCODDO170INODE=1,NNODEDO170IDOFN=1,NDOFNNPOSI=(INODE-1)*NDOFN+IDOFNLOCNO=LNODS(IELEM,INODE)IF(LOCNO.
GT.
0)LOCEL(NPOSI)=(LOCNO-1)*NDOFN+IDOFN·892·IF(LOCNO.
LT.
0)LOCEL(NPOSI)=(LOCNO+1)*NDOFN-IDOFN170CONTINUECCSTARTBYLOOKINGFOREXISTINGDESTINATIONSCDO210IEVAB=1,NEVABNIKNO=IABS(LOCEL(IEVAB))KEXIS=0DO180IFRON=1,NFRONIF(NIKNO.
NE.
NACVA(IFRON))GOTO180KEVAB=KEVAB+1KEXIS=1NDEST(KEVAB)=IFRON180CONTINUEIF(KEXIS.
NE.
0)GOTO210CCWENOWSEEKNEWEMPTYPLACESFORDESTINATIONVECTORCDO190IFRON=1,MFRONIF(NACVA(IFRON).
NE.
0)GOTO190NACVA(IFRON)=NIKNOKEVAB=KEVAB+1NDEST(KEVAB)=IFRONGOTO200190CONTINUECCTHENEWPLACESMAYDEMANDANINCREASEINCURRENTCFRONTWIDTHC200IF(NDEST(KEVAB).
GT.
NFRON)NFRON=NDEST(KEVAB)IF(NFRON.
LE.
MFRON)GOTO210WRITE(9,205)NFRON205FORMAT(//,5X,'NFRONLARGERTHANMFRON',5X,I5)·992·STOP210CONTINUECCASSEMBLEELEMENTLOADSCDO240IEVAB=1,NEVABIDEST=NDEST(IEVAB)GLOAD(IDEST)=GLOAD(IDEST)+ELOAD(IELEM,IEVAB)CCASSEMBLETHEELEMENTSTIFFNESSESBUTNOTINRESOLUTIONCIF(ICASE.
GT.
1)GOTO230DO220JEVAB=1,IEVABJDEST=NDEST(JEVAB)NGASH=NFUNC(IDEST,JDEST)NGISH=NFUNC(JDEST,IDEST)IF(JDEST.
GE.
IDEST)GSTIF(NGASH)=GSTIF(NGASH)+ESTIF(IEVAB,JEVAB)IF(JDEST.
LT.
IDEST)GSTIF(NGISH)=GSTIF(NGISH)+ESTIF(IEVAB,JEVAB)220CONTINUE230CONTINUE240CONTINUECCRE-EXAMINEEACHELEMENTNODE,TOENQUIREWHICHCANCBEELIMINATEDCDO370IEVAB=1,NEVABNIKNO=-LOCEL(IEVAB)IF(NIKNO.
LE.
0)GOTO370CCFINDPOSITIONSOFVARIABLESREADYFORELIMINATIONCDO350IFRON=1,NFRONIF(NACVA(IFRON).
NE.
NIKNO)GOTO350·003·CCEXTRACTTHECOFFICIENTSOFTHENEWEQUATIONFORELIMINATIONSCIF(ICASE.
GT.
1)GOTO260DO250JFRON=1,MFRONIF(IFRON.
LT.
JFRON)NLOCA=NFUNC(IFRON,JFRON)IF(IFRON.
GE.
JFRON)NLOCA=NFUNC(JFRON,IFRON)EQUAT(JFRON)=GSTIF(NLOCA)GSTIF(NLOCA)=0.
0250CONTINUE260CONTINUECCANDEXTRACTTHECORRESPONDINGRIGHTHANDSIDESCEQRHS=GLOAD(IFRON)GLOAD(IFRON)=0.
0KELVA=KELVA+1CCWRITEEQUATIONSTODISCORTOTAPECIF(ICASE.
GT.
1)GOTO270WRITE(2)EQUAT,EQRHS,IFRON,NIKNOGOTO280270WRITE(4)EQRHSREAD(2)EQUAT,DUMMY,IDUMM,NIKNO280CONTINUECCDEALWITHPIVOTCPIVOT=EQUAT(IFRON)EQUAT(IFRON)=0.
0CCENQUIREWHETHERPRESENTVARIABLEISFREEORPRESCRIBED·103·CIF(IFFIX(NIKNO).
EQ.
0)GOTO300CCDEALWITHAPRESCRIBEDDEFLECTIONCDO290JFRON=1,NFRON290GLOAD(JFRON)=GLOAD(JFRON)-FIXED(NIKNO)*EQUAT(JFRON)GOTO340CCELIMINATEAFREEVARIABLE-DEALWITHTHERIGHTHANDCSIDEFIRSTC300DO330JFRON=1,NFRONGLOAD(JFRON)=GLOAD(JFRON)-EQUAT(JFRON)*EQRHS/PIVOTCCNOWDEALWITHTHECOEFFICIENTSINCORECIF(ICASE.
GT.
1)GOTO320IF(EQUAT(JFRON).
EQ.
0.
0)GOTO330NLOCA=NFUNC(0,JFRON)DO310LFRON=1,JFRONNGASH=LFRON+NLOCA310GSTIF(NGASH)=GSTIF(NGASH)-EQUAT(JFRON)*EQUAT(LFRON)/PIVOT320CONTINUE330CONTINUE340EQUAT(IFRON)=PIVOTCCRECORDTHENEWVACANTSPACE,ANDREDUCEFRONTWIDTHCIFPOSSIBLECNACVA(IFRON)=0GOTO360C·203·CCOMPLETETHEELEMENTLOOPINTHEFORWARDELIMINATIONC350CONTINUE360IF(NACVA(NFRON).
NE.
0)GOTO370NFRON=NFRON-1IF(NFRON.
GT.
0)GOTO360370CONTINUE380CONTINUECCENTERBACK-SUBSTITUTIONPHASE,LOOPBACKWARDSTHROUGHCVARIABLESCDO410IELVA=1,KELVACCREADANEWEQUATIONCBACKSPACE2READ(2)EQUAT,EQRHS,IFRON,NIKNOBACKSPACE2IF(ICASE.
EQ.
1)GOTO390BACKSPACE4READ(4)EQRHSBACKSPACE4390CONTINUECCPREPARETOBACK-SUBSTITUTEFROMTHECURRENTEQUATIONCPIVOT=EQUAT(IFRON)IF(IFFIX(NIKNO).
EQ.
1)VECRV(IFRON)=FIXED(NIKNO)IF(IFFIX(NIKNO).
EQ.
0)EQUAT(IFRON)=0.
0CCBACK-SUBSTITUTEINTHECURRENTEQUATIONC·303·DO400JFRON=1,MFRON400EQRHS=EQRHS-VECRV(JFRON)*EQUAT(JFRON)CCPUTTHEFINALVALUESWHERETHEYBELONGCIF(IFFIX(NIKNO).
EQ.
0)VECRV(IFRON)=EQRHS/PIVOTIF(IFFIX(NIKNO).
EQ.
1)FIXED(NIKNO)=-EQRHSASDIS(NIKNO)=VECRV(IFRON)410CONTINUEWRITE(9,900)900FORMAT(//,25X,'DISPLACEMENTS')WRITE(9,910)910FORMAT(//,10X,'NODE',7X,'X-DISP',5X,'Y-DISP')DO450IPOIN=1,NPOINNGASH=IPOIN*NDOFNNGISH=NGASH-NDOFN+1450WRITE(9,920)IPOIN,(ASDIS(IGASH),IGASH=NGISH,NGASH)920FORMAT(3X,I10,2X,2F14.
4)WRITE(9,925)925FORMAT(//,20X,'REACTIONS')WRITE(9,935)935FORMAT(//,10X,'NODE',8X,'X-FORCE',4X,'Y-FORCE')DO510IPOIN=1,NPOINNLOCA=(IPOIN-1)*NDOFNDO490IDOFN=1,NDOFNNGUSH=NLOCA+IDOFNIF(IFFIX(NGUSH).
GT.
0)GOTO500490CONTINUEGOTO510500NGASH=NLOCA+NDOFNNGISH=NLOCA+1WRITE(9,945)IPOIN,(FIXED(IGASH),IGASH=NGISH,NGASH)510CONTINUE·403·945FORMAT(3X,I10,2X,2F14.
4)CCPOSTFRONT-RESETALLELEMENTCONNECTIONNUMBERSTOCPOSITITVEVALUESFORSUBSEQUENTUSEINSTRESSCALCULATIONCDO520IELEM=1,NELEMNNODE=MATNO(IELEM,2)DO520INODE=1,NNODE520LNODS(IELEM,INODE)=IABS(LNODS(IELEM,INODE))RETURNEND·503·内容索引二画几何方程(Geometricequation)4二阶微分方程(Secondorderdifferentialequation)175三画三角形单元(Triangularelements)7,40,133三角形棱柱单元(Triangularprismelements)98三角形环状单元(Elementsofcircularringwithtriangularcrosssec-tion)108广义应变(Generalizedstrain)124广义内力(Generalizedinternalforces)124中心差分法(Centraldifferencemethod)191,175广义应力应变关系(Generalizedstressandstrainrelationship)125四画分片试验(Patchtest)24比例阻尼(Proportionaldamping)174无条件稳定(Unconditionallystable)178牛顿—拉夫森法(Newton-Raphsonmethod)197五画平面问题(Planeproblems)2,252平衡方程(Equilibriumequation)3本构方程(Constitutiveequation)4·603·四面体单元(Tetrahedralelements)90,91,93立方体单元(Regularhexahedronelements)97正则振型(Normalization)182正交性(Orthogonality)183平衡校正算法(Equilibriumrectificationalgorithm)201加载、卸载准则(Loadingandunloadingcriterion)205冯.
密赛斯屈服准则(Von.
Misesyieldcriterion)207,209,210,211可维护性(Maintainable)226可移植性(Portability)226六画收敛准则(Convergencecriterion)23,24协调性(Consistency)24,137刚体位移(Rigiddisplacements)129收敛速度(Convergencerate)26自然坐标(Naturalcoordinates)30曲边形单元(Quadrilateralelements)61平板单元(Plateelements)146亚参数单元(Sub-parametricelements)63优化积分(Optimalintegration)83曲率(Curvature)124自由振动(Freevibration)170协调质量矩阵(Consistentmassmatrix)172各向同性硬化(Isotropichardening)204非线性问题(Non-linearproblems)196关联塑性(Associatedplasticity)203七画完备性(Completeness)35位移边界条件(Displacementboundaryconditions)6·703·位移模式(Displacementmodal)7,36应变矩阵(Strainmatrix)10,43,51,69,95,105坐标变换(Coordinatetransformation)60,61,63块体单元(Brickelements)97局部坐标(Localcoordinate)150克希霍夫假定(Kirchhoff'sassumption)124,127扭矩(Momentoftorsion)124应变能(Strainenergy)85阻尼矩阵(Dampingmatrix)170,174质量矩阵(Massmatrix)170,171,172纽马克法(Newmarkmethod)192,177杜哈美积分(DuhamelIntegration)186条件稳定(Conditionallystable)181应变硬化塑性(Strainhardeningplasticity)202运动硬化(Motionhardening)205应力应变关系(Stress-strainrelationship)206应力空间(Stressspace)211,213应变空间(Strainspace)214,215应变软化(Stainsoftening)212八画空间问题(Spatialproblem)4单元刚度矩阵(Elementstiffnessmatrix)11,45,52,70,106,110,130,163单元等效结点荷载(Elementequivalentnodalloads)12,40,67,104,111,163变温(Temperaturechanging)21,115非协调单元(Non-consistentelements)24,127试探函数(Trialfunction)24直角坐标(Rectangularcoordinates)33,34·803·奇异性(Singularity)139,142非奇异性(Non-singularity)83,142变结点单元(Elementwithnodechanging)99明德琳板单元(Mindlinplateelement)140,142拉格朗日函数(Lagrangianfunction)168直接积分法(Directintegrationmethod)174固有频率(Naturalfrequency)184固有振型(Naturaleigenvectors)184直接迭代法(Directiterationscheme)196屈服函数(Yieldfunction)203,208,209非关联塑性(Non-associatedplasticity)203变分原理(Variationalprinciple)126欧拉法(Euler'smethod)199直接法(Directmethod)196固有模态(Naturalmodes)183,184质量矩阵(Massmatrix)171,172,173波前法(Frontalsolution)252九画轴对称问题(Axisymmetricproblem)4,107,252面力边界条件(Pressureboundaryconditions)5误差估计(Errorestimation)26面积坐标(Areacoordinates)30,134矩形单元(Rectangularelements)49,153威尔逊非协调元(Wilsonnon-consistentelement)71罚函数(Penaltyfunction)139哈密顿原理(Hamilton'sprinciple)168显式格式(Explicitformulation)175,176,177修正的牛顿—拉菲森法(ModifiedNewtow-Raphsonmethod)198·903·十画高斯积分(Gaussintegration)75,77,79,142能量泛函(Energyfunction)125,126海琳格—莱森变分原理(Hellinger-Reissnervariationprinciple)127厚壳单元(Thickwalledelements)146,157耗散函数(Dissipationfunction)169振型叠加法(Formulationbymodalsuperposition)182特征方程(Eigenequation)183,187泰勒级数(Taylorseries)197流动法则(Flowrule)203莫尔—库仑屈服准则(Mohr-Coulombyieldcriterion)209,210,211特雷斯卡屈服准则(Trescayieldcriterion)209,210,211十一画虚功方程(Equationofvirtuework)6弹性矩阵(Elasticitymatrix)5超参数单元(Super-parametricelements)56,63减缩积分(Reducedintegration)82,83,143剪切变形(Sheardeformation)143,144剪切锁死(Shearlocking)143,144隐式格式(Implicitformulation)179理想塑性(Idealplasticity)202弹塑性耦合(Couplingofelasticityandplasticity)212弹塑性矩阵(Elasto-plasticitymatrix)207粘塑性(Visco-plasticity)216十二画最小位能原理(Minimumpotentialprinciple)14,83插值函数(Interpolationfunction)9,10,34,49,61,73,92,99·013·等参数单元(Iso-parametricelement)56,97雅可比行列式(Jacobiandeterminant)64,101解的漂移(Shiftofsolutions)200硬化法则(Hardeningrule)203,204,205十三画叠加原理(Superpositionprinciple)186,187数值积分(Numericalintegration)70,87集中质量矩阵(Lumpedmassmatrix)172数值阻尼(Numericaldamping)194塑性矩阵(Plasticitymatrix)215塑性力学(Plasticity)201,214,217塑性位势(Plasticpotential)203,塑性功(Plasticwork)207塑性模量(Plasticmodulus)205,224十四画精确积分(Accuracyintegration)82,84,116稳定性(Stability)190十五画增量法(Incrementalmethod)198德鲁克—普拉格屈服准则(Drucker—Prageryieldcriterion)209,210,211十六画薄板(Thinplate)123薄膜应力(Membranestress)147二十画蠕变(Creep)216·113·参考文献[1]O.
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