不定积分
1、基本要求
1 . 理解原函数概念理解不定积分的概念及性质。
2. 掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分。
3. 了解有理函数及可化为有理函数的积分方法。
2、 主要内容
基本Ⅰ .原函数与不定积分概念
1.原函数
设在区间Ⅰ上 可导且 或 就称 为 在Ⅰ的一个原函数。
2.不定积分
在区间Ⅰ上函数 的所有原函数的集合成为 在区间Ⅰ上的不定积分
记作 .
其中 为 在Ⅰ上的一个原函数 为任意常数.
Ⅱ.不定积分的性质
1 . (或 )
2. (或 )
3. 其中 为非零常数.
4. .Ⅲ.基本积分公式
1 . ( 为常数)
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1 1.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Ⅳ.换元积分法
1. 第一类换元法.(凑微分法)
( )
(其中 可导 为 的一个原函数).
2. 第二类换元法
( )
(其中 单调可导且 为 的一个原函数)
Ⅴ.分部积分法
(其中 具有连续导数)
Ⅵ.有理函数与三角函数有理式的积分
两个多项式的商所表示的函数称为有理函数有理函数总可以化为多项式与真分式的代数和而真分式总可以分解为部分分式的代数和所以有理函数的积分可化为整式和下列四种部分分式的积分.
(1) (2)
(3) (4)
而求这四种积分也可用凑微分法或第二类换元法.
三角函数有理式的积分总可用万能代换 将原不定积分化为 为积分变量的有理函数的积分但对有些三角有理式的积分有时用三角公式转化再用前所述的基本公式或积分方法求解可能更简便些.
3、 重点与难点
原函数与基本积分公式
换元法、分部积分法等基本积分方法
抽象函数的积分
4、 例题解析
Ⅰ 、选择题
例1若 的导数是 则 有一个原函数为( )
(A) (B) (C) (D)
解应选(B).因为 而
例2设 有原函数 则
(A) (B)
(C) (D)
解
而 故
所以应选(B).
Ⅱ、填空题
例3设 为定义区间上单调连续可微函数 为相应的反函数若则 为
解
Ⅲ、讨论题
例4 解下列各题并比较其解法
(1) (2) (3) (4)
解(1) .
(2)
.
(3)
(4)
比较上述四题发现各小题的被积函数很相似但解法却不尽相同。注意观察被积函数的特点第一题中分子的次数比分母低一次正好可凑微分使变量一致第二题中分子与分母同次需要拆项使分子次数低于分母即被积函数成为多项式与真分式的代数和才可积分第三题中分子次数高于分母一次凑微分后分子分母同次再仿第二题求解第四题中分子次数高于分母二次凑微分则无效只能根据分母情况拆项仿第二题的方法求解。由此可见在不定积分的计算过程中需针对具体情况选择适当方法求解。
例5讨论利用第一类换元法求积的几种类型(设 )
(1)
( )
(2)
( )
如求
解原式
(3)
( )
如求
解原式
(4)
如求
解原式
其它一些类型例如
等请同学们自己加以总结.
V.计算题
例6求
分析此题先把被积函数写成
拆成两项再进行积分较方便.解
例7求
解
例8求
解 令 则
例9求
解令 即 例10求
解令
例1 1求
解
注最后一步等号成立是因为可设 的一个原函数为 于是例12 求 的递推公式
解记 则 .
当 时
即
例13求
解
去分母后再比较两边同次幂的系数得
RAKsmart发布了新年钜惠活动,即日起到2月28日,商家每天推出限量服务器秒杀,美国服务器每月30美元起,新上了韩国服务器、GPU服务器、香港/日本/美国常规+站群服务器、1-10Gbps不限流量大带宽服务器等大量库存;VPS主机全场提供7折优惠码,同时针对部分特惠套餐无码直购每月仅1.99美元,支持使用PayPal或者支付宝等方式付款,有中英文网页及客服支持。爆款秒杀10台/天可选精品网/大...
韩国服务器怎么样?韩国云服务器租用推荐?韩国服务器距离中国近,有天然的地域优势,韩国服务器速度快而且非常稳定!有不少有亚洲市场的外贸公司选择韩国服务器开拓业务,韩国服务器因自身的优势也受到不少用户的青睐。目前的IDC市场上,韩国、香港、美国三个地方的服务器几乎占据了海外服务器的百分之九十以上。韩国服务器相比美国服务器来说速度更快,而相比香港机房来说则带宽更充足,占用市场份额非常大。那么,韩国服务器...
易探云产品限时秒杀&QQ音乐典藏活动正在进行中!购买易探云香港/美国云服务器送QQ音乐绿钻豪华版1年,价值180元,性价比超级高。目前,有四大核心福利产品推荐:福利一、香港云服务器1核1G2M,仅218元/年起(香港CN2线路,全球50ms以内);福利二、美国20G高防云服务器1核1G5M,仅336元/年起(美国BGP线路,自带20G防御);福利三、2G虚拟主机低至58.8元/年(更有免费...