zez3superpi

Sulgruppofondamentalediunacurvaalgebrica.
Applicazioniallesuperficiemultipleprivedicurvadiramante.
MemoriadiERMANNOMARCHION~A(a~Kilano),Sunto.
-Siindicaesiapplicaunmstodoperlaricercaeffettivadetgruppofondamentalediunacurvaalgcbricaq~,esimostracome--unavoltatrovatoG--sirisolvanononsoloilproblemadeipianimultipli2'diramatida,maanchealtrsproblemiconncssi,dicuiilprincipale~ladeterminazionedcllefunzionialgebricheprivedicurvadira-mantesopraunacorrispondentcsuperfieie.
Simostratral'altro~concostruzionediretta-comesipossamodificarclacurvadidiramazioncdelpianomultiplogenerale(clodilsuogruppofondamentale)affinchdsorganosudiessociclidiramanti.
INTRODUZIONEInunrecentelavoro[14](~)hoassegnatolecondizioninecessarieesuf-ficientiaffinchbunacurva(semplice)D*,appartenenteadunasuperficiealgebricaFz--z(x,y),siadiramanteperunafunzionealgebricaa~valoriu=u(x,y,z)deipuntidiF.
L'esistenzadiunasiffattafunzioneuimplicaquelladeltiploassociato>)w(~,y)=u(~,y,z(x,y)),,,pianomul.
ilqualehacomecurvadiramantesulpianoxyunacurvaW,compostadallacurvadidiramazioneqbdellafunzionez(w,y)--contata~tvolte--edallaproiezioneDdella~D*eseguitadalpuntoimpropriodell'assez.
L~esistenzadiw~equindidiu,dipendeinsostanzadallapossibilit~tdiassegnareunsistemadisosiituzioni,chegeneriungruppoimprimitivoetransitivoesoddisfilecondizionidiinvarianzad'E~y~IQV:ES,leqoalidipen-donodalgruppofondamentale(diPOINCAR~)dellacurvaW~(I)-4-D.
(t)Inumeriindicatifraparentesiquadresiriferisconoallabibliografia~postaalter-minediquestolavoro.
44E.
M.
~I~CHIONN.
~:Sulgruppofondamentalediunacurva~ecc.
Oraquiosservoinnanzitutto(n.
2)cheilteoremad'esistenzacosterie.
autohacomeeaseparticoiarmentesempticeesigaifieativoquellorelativoasuperfieiemultipleFuprivedieurvadiramante,valeadireafunzionideipuntidi/7'perlequalilaeurvaD*vengaamancare(~).
Lasuaappli-cazionevienealloraadipenderedallaconoscenzadelgruppofondamentaleGdellasolacurva~P.
Indicopot(n.
3,4)unmetodoassaigeneraleperIadeterminazionecffettiva~delgrupp~G(3);esso~basatosult'usedellatreceiaalgebrieadi(I)(treeciadiC~ISt~I)chequisirivelanotevolmenteefficace.
Talemetodopre-sentauncertointeresse,sopratuttosesipensacheilgrupp0diPOINC~relativeadunospazioS,.
bucatolungeunasuaipersuperfieie~P,.
_~siriduce,comehamostratoZARISKI[23],algruppofondamentalediunasezionepiana(Pdi~9,.
~.
Mostroino[~reconesempieonereti(4)come,trovatoG,sipossanocostruirelefuuzioniprivedicurvadiramantesopraunpianomultipleF(n.
5,6,7,9)ecomesipossainuncertosenserisalirealgruppodiPOINCAa~dellasuper-fieieF(n.
11).
Tral'altrodbunanuovadimostrazionedelfattoeheunasuperficiegeueraleF,~5privadiciclidiramanti(n.
7,11),edindicocomequestipossanosorgerefacendoaequistareadFmuneerienumerodipuntidoppi,soddisfaeentiopportunecondizionitopologiche,laqualcosasiottiene--consignificativacostruzionediretta--modificandolastrutt~uradelgruppofondamentaledellacurvadiramante(I)(n.
8).
Infinegiovaeraricordarechelequestionid'esistenzarelativeallesuperfieiemultiple~>privedicurvadiramantesonostrettamentelegatealproblemadeicontattifrasuperficielungel'iuteracurvaeomune(cfr.
[5]).
Lasoluzionediquestoproblemaconmetodieselusivamentealgebricisipresentaalquantoardua,comedimostranoglistudidivariautori(vediades.
[9],[10],[16]).
Orbene,credocheilmetodotopologieousatoinquestanotapossaportare~comeindicanoieasttrattati--uncontributeallasoluzionedetsuddettoproblema;masuquestoargomentomiripromettoditornareeventualmenteinsuccessivilavori.
(e)Teoremiaxlaloghi:limilatamentealcaseparticolare,,ciclico,,,sonostatistabilitiperviatopologicadaM.
DEFRA~CHIS[7]edA.
CO~IESSATTI[5],Dellaquestione,semprenelcaseciclico,s'~occupato(perviaalgebriea,edinnumerosilavori}L.
GODEAUX.
Cfr.
peres.
[11].
(3)Diquestoproblemasisonooccupatianchealtri~.
utori,ades.
O.
ZARISKI[22],[23],G.
ZAPPA[21].
{4}Incutintervienesopratuttolatrecciadellacurvadiramanteunpianomultilologenerale,costruitarecentementedaC.
~ARCHIONNATI:BILETTI[12].
E.
M.
~CrHONN.
~:Sulgruppofondamentalediunaeurva,ecc.
45I.
-Unteoremad'esistenzaperlesuperflclemultipleprivedlcurvadiramante.
i.
SinF(x,y,z)=0unasuperficiealgebrica,corrispondenteaduaafunzioneirriducibileadmvaloriz=z(vc,y),laqu~sleabbiacomecurvadidiramazione(semplice~sulpianoxyunacurv~(z,y)----0d'ordinen,dotatadisolinodiecuspidi.
ConsideriamounasezionediFconunpianogenerico(x--0):otteniamolarettamultiplaz=z(0,y),laqualehacomepuntididiramazioneglinpuntiy~corrispondentialleradicidell'equazioneffP(0,y)~0.
Indichiamocon~deicappire~tilineidelpiano~:u(dellavariabilecom-plessay)uscentidaunpuntogenerico°0edavvolgentiipuntiy~,econz,,z.
2,.
.
.
,z,~ledeterminazionidiz(0,y)in0.
IIgrappodimonodromiadiz(0,y),generatodaglinscambi(5)sullezklegatiaicappi~,dhancheilgrappodimonodromiadellafunzionez(x,y).
Isuddettiseambisonolegatidallecondizionid'invarianzad'ENRrQUES[8],lequaltdipendonodallerelazionitopologiche--traicappi~--thegene-ranoilgruppoGdiPOIlCCAREdiR4~(I)(inerenteallaRicmannianaR4delpianoxyforatolungolacurva(I)),cio~ilgruppofondamentaledi(I)[22].
2.
SopralasuperficieF--z(x,y)consideriamooraunafunzionealgebricairriduvibilea~valoriu---u(~,y,z)]aqualesinpriva(suF)dicurvadiramante.
Consideriamopoiil(),cio~lafunzione(adm~tvatori)w--"w(x,y)~u(~,y,z(x,y));(5)Scambi,enonsostituzionipihcomplicate,perch~abbiamosuppostochelaq~siacurvadidiramazionesempliceperlafunzionez(x~y).
4~;E.
M-+xttctttoN:~+x:SulgrUl+p'c,fo+:+dan+o++,lalcdiun,aeurva+,ece.
lasuacurvadidiramazionesulpianoxyC~costituita,&ilia,curvad)con-~at~lttvolte.
Larettamultiplaw0---w(O.
y)siaunasezionegeuericadiw.
Essa,possiedein0mt~detevmina,zionidistintechcsi~dividouoinm,grupl>i(lince)It'nt1It'~n2.
.
.
l~S~,,i~corrispoudentirispettivamcnteaivaloriz~.
z~.
.
.
.
.
z.
,.
diz(O,y)nellostessopuntoO.
Ovaitgruppo['titmouodromiadelpianomttlti|)low--cltecoincideconqucllodellasuaseziouew0--bgenerateda,llesostituzioniSsuitemiklegateag|i~++cappi~+.
Questegodonodellcscguentitwopvieth:a+ciase+tm+S0++J+insiemediitscam,bifraglielemeJ#ididuetineeh,'.
]dell(+l~bella(I+.
ciobproduceunosea,rublet'raiprimiindicidellemikedttnaso,~titttzioneiuvotutoria(eveutttahneutel'identith)suisecondiindici('+).
b+LPSget,craneua~.
grnppoPim,printilit,o.
ic++i~J+sislemid"impri.
miHcih'tso~o+t#lide+m,liJt,eedellalabell1valoriu=u(~,y,z)privadicurvadiramante.
Cibequivaleadimostrare(perquanto6statedettoneln.
2)chenonesisteunpianomultipleirriducibilea3~valoriw=w(~,y),ilqualesiadiramatodalla4eontata~tvolteeabbiaungruppodimono-dromiaimprimitivo(consistemid~imprimitivit~teorrispondentialvaloriziz.
z3delpianotripleF).
(~6)Unasingolarithdellaeurvadidiramazione~relativaadunpianomultiplecondategruppodimpnodromia~~essenzialequaloraunavariazionecontinuadi7conlaqualesiperdalasingolarit~stessa,mutiinunaq)'nonpilldiramanteunpianomultipleagrupt)or.
UnnodeodunacuspidedivengonoconsideratiessenzialiperFquandoinessiconfluiscanoscambidistintierispettivamentesconcatenatioconcatenati,eio~delripe(ziz2)(z~z4)oppure(ziz~)(zez3).
IntaleaseilnodeelacuspidesonorispettivamentetracciadiunabitangentediFediunatetraaventecontattotripuntoconF(paralleleall'assez).
I1nodeelacuspidesidiconoinveeeinessenzialiquandoviconfluiscanosostituzioniide~-fiche(cio~entrambedeltipo(zize))ecorrispondonoallorarispettivamenteadunpuntodop.
pieconicoeadunpuntobiplanarediF.
(~7)POMPILJ~8uipianitripliconquay'fleadidiramazione,,AnnalidiMatem.
,,serieIV,24(19~5),pug.
73.
Perquelcheriguardaleformuleehedannoiearatteripliieke-rianidellacurvadidiramazionediunpianomultiple,siveda(ancheperilseguito)E~RI-QUES,.
50superficiealgebriche,(Bologna),pug.
182.
56E.
5L~ncr~m~N.
~,:Sulgruppo.
fondamentale,dl~tn,ac~trva,eec.
Infatti,siano~VllIV12,.
.
q211~V21~V22.
.
.
~V2~ledeterminazionidiw(letrerighedellatabellacorrispondanoaisistemid'imprimitivit'~).
Lesostituzionia,b,G,dsullewlegateaicappia,devonosoddi-sfareallerelazioni8,9,10.
Giovainoltreripetereche,seaduneappiolegatoloseambio(ztzh)fraledeterminazionidiF,allostessoeappiodeveeompetereunasostituzione(involutoria)chescambialewdellariga/conquelledellarigak.
Cibpostosideveavere(amenodiinessenzialieambiamentidinomi)a---b:(wllw.
~l)(w12w~2).
.
.
(wl~w2~)c--d:(w2~w81)(w~2w,~).
.
.
(w~rv~)edbevidentecheilgruppogeneratodatalisostituzioni~imprimitiv.
o,manontransitivo(percuiilpianomultiplow(x,y)bridueibile).
Supponiamooratheletreeuspididellaquartiea(I),sianoinessenziali.
Allora(I)4diramailpianodoppioF'corrispondenteallasoluzione(banale(~s))delle8,9,10datada:a=b=c=d:(z~z~).
Com'bnoto,un~wdelloproiettivodiF'~rappresentatodaunasuperficiecubieadotataditrepuntidoppibiplanari(quandolasiproiettidaunsuopnntosemplice).
0rbenesuF'~possibileassegnareuna/unzioneirriducibileu(x,y,z)a3valori,privadicurvadiramante.
Infattiesisteuncorrispondentepianomultiploassoeiatoa2.
3=6valoriW2~V~2t:.
2aileuigruppodimonodromia,imprimitivoetransitivo,bgeneratodalleseguentisostituzioni(soluzionidelle8,9,10):a--=b:(w~jv2,)(w~w~)(w,3w23)(es)Banale.
perchbognicurva(x,y)=0d'ordinepari~diramanteperunpianodoppioze=(x,y}.
E.
M~ncr~m~NA:Sulgrnppo,fondamentalcdictnac~wva,eee.
576.
Casodiunasestieacon9euspidi.
Latreeciadiunatalesestica,theindichiamocon0~,bdatadallafig.
9(~).
Idodicitrattidellatreeeiadiq)s,dannoluogoalleseguentirelazionit2'34'.
~'6"~~,a~oIt12~tg.
9.
delgruppofondamentaleG:1)aya~~'a'~"7)a~a--~a~2)=8)=3)1"~iI,9)4)a~10)l'(r'~)---(s-'~)1,(r~s)6)(~oscz-~)~12)yS~Aquesteoccorreaggiungerelarelazione(triviale)13)~1'~=i.
Indiehiamocona,b,.
.
.
,flesostituzionilegateaieappiL'unicopianotriploFdiramatodallasestiea(nelsensoabitualeindicatoneln.
5)eorrispondeallasoluzionedelle1,.
.
.
,13datadaa=b:(ztz~)0=d:(z,z~)e=f:(z~z~)(~o).
Corn'6notounsuomodelloproiettivo~datodallarigaladelIVordineconduerettesghembedoppie(d'irregolarit'~q-~-1)proiettatadaunsuopuntosempliee.
0rbenesulpianotriploirregolareF(adifferenzadiquantosuceedevaperipianimultiplidelnumeropreeedente,tuttiregolari)~possibileassegnareunafunzioneirriducibileu---u@,y,z)19rivadicurvadiramante,adunqual.
siasinumero~divalori.
Infattibasraprendere-adesempio-comepianomultiploassoeiatow(x,y)a3~valori~/11}Vt2,.
.
~1i~W21T~22.
.
.
~/32t~~V31~V32.
.
.
~V3F(~9)Cfr.
[i8].
(s0)Cibbstatodimostratoin[19]inmodoanalogoaquelloseguitoneltesto.
,4nnalidiMatematica58E.
MARCHIONNA:S'tt~gruppofondamentaledi~tnacurva,ecc.
quellocbecorrispondeallaseguentesoluzionedelleI,.
.
.
,13:a:(w,lw~,)(wl~w22).
.
.
(wl~w2~)b:(wl~w2~.
)(w~w2:wl~w2,)d:(w::w~)(w~ws~).
.
.
(w~wa,~_~)e:(w2~m~)(w~w~w~w~)f:(w~w~)(w~.
W~).
.
.
(w2~w~,).
No~:A:Siverificafacilmentetheitgruppodimonodromiadellasuindi.
camfunzioneu--u@,y,z)deipuntidelpianotriploF~eielicod'ordine~t(~').
SuFsipossonopoidefinitealtrefunzioni(privedicurvadiramanteed)agruppoeiclico,distintedaquellatrovata;illoronumerosiealeolasenzadifficolt~t.
Quellocheeipremeosservare~ehecolmetododanoiadoperatosipossonocostruiretuttelefunzionideipuntidi/7'(anzidiunqualsiasipianomultiplo);inpartieolareanchequelleagruppononeiclico(~).
Ne~unesempiolafunzioneu(x,y,z)a4valoriedagrappodimono-dromiatrirettangolo,chehaperpianomultiploassociato(a12valori)quellodatodallaseguentesoluzionedelle1,.
.
.
,13.
IV.
-Sullanonesistenzadlfunzionialgebrichenondiramatesopraunasuperflciegenerale.
7.
Seguendoilprocedimentoindicatonein.
5,6mostreremoorachesopraunasuperficiegeneraleF,~d'ordinemnonsipossouoassegnarefun-(st)Sulgruppodimonodromiadiunafunzioneudeipuntidiunpianomultiplotot.
neremohe1n.
11.
Quicilimitiamoadosservarequantosegue:a)]asezionepianagonericadelpianotriplo2"inesame(ades.
quellacolpianox~--~0)~ellittica;b)duecieliindipen-dellasezioneuscentidalpunto0*(y---~0,z---~z~)sonorappreseniatisu=~daicicliz~=@,1c.
2==~;c)lesostituzionisullewik(ciobsui"~aloridiuin0*ilegateaviez2generanoilgruppodimonodromiadeliafunzioneu.
(~)Adifferenzadelletrattazionipreeedenti(Co~IESSATTI~DEFRANCHIS~GODEAUX)ehesioecupanosolodelcasociclieo.
(3~)11gruppodellasuindieatafunzioneu~-u(x~y~z)~trirettangoloperchblesostitu-zionisullewiklegateaicicligeneratorivt~u~sonoinvolutorieepermuiabili.
E.
MARCHIONNA:S'~llgruppofondamcntalediunacurva,ecc.
59zioaialgebricheirriducibilia~~1valoriprivedieurvadiramante(3,);neinn.
8,9mostreremotheei6diventainvecepossibilequandoF,nacquistiunnumeroconvenientedipuntidoppi(inposizione-chepreeisiamo-nondeltuttoarbitraria).
RicordiamoinnanzituttotheunasuperficiegeneraleF,,,--proiettatadaunpuntoesterno~d~luogoalcosidetto~pianom-plogenerale>>[15],laeuicurvadiramante(I),,haordinen--m(m--1)ed~dotatadik~m(m--1)(m--2)cuspidiedi1-----~m(m--1)(m--2)(m--3)nodi.
Questipuntidoppisonotuttiessenzialiperilpianom-plo(esonosituatisopraun'aggiuntadi(I)~aventeordine~m--])(m--2)).
Ricordiamoanchethe(I),~pubdegenerareinunacurva~ucompostadam--1componentidoppief~,f~,.
.
.
.
f,n-~(degliordini1,2,.
.
.
.
m--1),echeappuntomuovendodaquestacomodaformalimite(diC]~IsII~I[3])~siamcostruitain[12]latrecciaI',,di(I),,.
Glire(m--1)filidi1~,~sidividonoinm--1gruppi(corrispondenticiascunoadunacomponentedoppiaf~di~))esisusseguononelseguenteordine:unacoppiadifillcheall'iniziodiciaseuntrattoindichiamocon1~,1~';2coppiedifill2~2~';2~2~';3coppiedifili3~3,';3232';333~';hcoppiedifillh~h~';h~h~';.
.
.
;h~hh';(m--1)eoppiedifill(m--1)~(m--1)m--1),~_dm--1)',n_~.
LatreceiaI'~~formata--oltrechecontratticanonicirelativiascambi(dettipo(~e)datedallafig.
1deln.
4)~coneomplessidelripeK(2pureindicatineln.
4;dimodoch~risultafacilescriverelerelazionidelgruppofondamentaleGdi(I),,(thepereiascuneom-plessoditrattisonoappuntoquelleindicateneln.
4).
Adottandolanomenclaturaseguitain[12]indicheremopittsemplice-menteconieomplessiK(hr,hr',i~,is'),N(hr,h,.
',i8,is'),Y'(hr,h,.
',hs,hs')(84)Questat)ropriet~~notissimaedipendedallacircostanzacheFm~regolareeprivaditorsione;lanostradimostrazionefornisceappuntounanuovaverificadiquestofatto.
60E.
MAICCI=IIONNA:S#[gruppofondame~talcdiun,aeurva,etc.
EdinformaancorapifiK~*~=(IV)(h4=~)compattasiporr~iKh~i~,Kh~i,a.
.
.
.
.
Kh,i.
i;Khd~,Kh~i~Kh.
&;I°oKh~,q,Kh~A,.
.
.
,K~,,,.
h,i-'-(IV")(h;>1)Infineindicheremoconuncomplessodistrattiuguali(h,.
h,.
').
(v)iNh~,Nh,Nh,q;Nh~,AThos,,.
.
.
,Nh~i~;,,v~Zh~h,,4~_~,(h,.
h,.
')sconsecutividatidaunoscambiocanonicoCibpostolatrecciaF.
diq).
~rappresentatadalseguenteschemaK***N*1,2N;,~N;t,,~-1;K;*a~*~*o.
.
.
.
Kin-a,m--2,I~--a,m--i;K*1)~-d,"~*[(m--1),(m--1)i']m,m-1)~_,(m-'m~_,(a6).
(a~)/qellavoro[12]icomplessiK*N*'~*h,i,it,i,"hsonoindicatiipiflsemplieementeconKhi,hfhi,XA"(3.
)~ellavoro[12],pag.
194~leultimeduerighedellatabellaVsonosostituitedab1'unieariga[(m--1)i(m--1)i']m,m--1)m_~(m--1)',,--l]ra,~2'*~'.
3'""'~m--i*"Questopereh~ivariscambi[(m--1)(m--1)']sonopermutabiliconicomplessiZ(etradiloro),cfr.
[12],pag.
188.
189,n.
3,b.
E.
M~ICHmN.
WA:Sulgruppo]ondamentalediunacurva~ecc.
61Pernonrenderetroppopesantelanomenelatura,indicheremoconunamede.
simaletterai,.
(oppurei,.
')tantounfilodellatreecia,quantoilcappiop~(di~u)elarelativasostituzionelegatialfilomedesimo(all'iniziodieiascuntratto).
Inbasealleconvenzioniposte,latabellaVfornisceanchelerelazionidelgruppofondamvntaleGdellacurva~,,corrispondentiaivaritrattidellatrec~ia(basrarieordareilsignifieatodeisimbolielerelazionielementariscritteneln.
4).
Oceorreperbtenet.
presente,comealsolito,larelazioneched'~ilprodotto(ordinato)deigeneratoridiG;neleasoinesameessa~datadallarelazione(VI)1,11'2i2/2~2.
m--1),~_,(m--1)'~_,-1(~7).
Cibposto,sivedesubitoche(amenodiuncambiamentodinomi)Funicopianomultiploz-z(x,y)diramatodallacurva(I),(semplice)--eperilqualelekcuspidiedi~nodidiO,,sianoessenziali--@ilpianom-ploeorrispondentealseguentesistemadisostituzioni(compatibileconlerelazioniV,VIdelgruppoG):1t--li':(z~z.
2)(VII)2f=2~'=2~=2~'"(z~z~)(m--1),--(m--1)m--1),.
_i--(m--1)'.
~_1:(z~,.
_iz,~)(~s).
Fraimodelliproiettividiquestopianom-plofiguraappuntolasuper-ficiegenerale/~,,~(d'ordinem).
Dimostriamoora,nelnostroordinediidee,ehesoprailsuddeltopianom-plogenerale,edinpartidolaresopraF,~,non~possibileassegnareunafunzionealgebricairriducibilea~t>1valoriu=u(x,y,z)privadivurvadiramante.
Infattirisultariducibileilcorrispondentepianomultiploassociatoadmt~valoriw----w(x,y)~Omi~m.
mi~(~7)Delgruppofondamentaledi(I)nsiboccupatoancheG.
ZAPPA['2t].
{3s)0ibbstatodimostratoin[12],erientrainunrisultatopifigeneraledamestabilito,peraltravia,nellanora[13].
62E.
MARCHI0~NA:Sulgruppofondamcntalediunacurva,ecc.
Cibperch~l'unicasoluzionedellerelazioniV,VIdiG,ehediaunpianomultipledelripeindicate,~data,amenodiuncambiamentodinomi,dalseguentesistemadisostituzioni:2,=2,'=2.
2=2":(w~,w~,Xw2.
w~w.
~w~)(viii)(m--1),.
--(m--1)m--1)m--1)',~_,:ed~evidenteehetalisostituzionigenerano,ungruppoimprimitivomanontransitive(pereuiwrisultaridueibile).
V.
-Costruzionetopologicadiunasuperflciedoppiad'ordinemdotatadisolinodl.
8.
Vediamoeracome[aeendoaequistareallasuperficiegeneraleF,~deipuntidoppiinnumeroeposizioneconveniente,risultipossibileassegnaresuF.
,dellefunzionialgebricheapillvaloriprivedicurvadiramante.
Ilfattochesullasuperficiegeneralenonsipossaottenereunafunzioneirriducibileuadue(opillvalori)dipendedalnumerotroppoelevateditrattichedannorelazioni(inibenti)diGdeltipoa--b.
0raquandosifen-doneinsiemeduetratticonsecutiviedugualidiquestotipo(edalloraF,,aequistaunnode)leduerelazionivengonosostituitedallaab--ba,relazionemoltomenovincolanteperl'esistenzadellafunzione.
Perraggiungereilnostroscopedobbiamomodificarelatrecciadi@,datadalle(V).
Esaminiamoinnanzituttol'ultimarigadelle(V).
Sviluppalidoilcomplesso~,,_~v*(seeondolaformulaIV"),epostopereomodit~~--i--V,larigasuddetttaacquistalaforma:t(v,v')',+1,(v~v()',+l.
"{ylV9)",'dyly3(ix)(vvyv/)v+1X~ylypX~,~'ly2yyo~,,~-2v-l~~v-2v'~'v-iv*(sg)Lesostit:mioniti,li',corrispondential]oscambio1~jfraiprimiindicidetlew~.
k,sonolesolesosfituzionioperantisulle~:ik;quindiinvirt~ldellaV1esserisultanonecessa-siamenteuguali.
Tenendocontodiquestaosservazioneedelfattothelesostituzionisonoinvolutorie,lerelazionidiG(illmodeparticolarelaVIequellecorrispondentiaivaricomplessi~)mostranochesonougualituttelesostituzioni9,ecosippurele3,ecc.
E.
MABOmONNA:S~tlgruppo]ondamentalcdiunacltrva,ecc.
63Ora6noto(4o)ohe,applicandoaliatrecciaoperazioniPedS(4~),sipubtrasformareilcomplesso(di8tratti)(v,~vh')~(v,v,')~:~p~nelcomplessoequivalente(X)~Pi=(v,,v,)~(v,,'v~)~(v~v,')~(vl,'v,')~"Tenendocontodicibilcomplesso(IX)pubesseresostituitorispettiva.
mentedaiseguenticomplessi(IX')e(IX"):!
2r(v~+~v~v~v~)"22~V~V2'~'ViV3'~V.
2V3(IX')pervdispari(mpari)T'vlvv+1.
Vlv~2~'V.
:,"Iu_i_1V.
2VV2v~22-~~v~+lvy+3".
.
~vv+1Vv22-2-(ix")pervpari(mdispari)(v,v,')(v,v~v~v/)22lvp3.
.
.
.
.
.
:Brayv.
p~-4"i222-~4-I222~VV--IVv(40)Cfr.
[12],pag.
205-206(n.
13,a).
(41)Perilsignificatodiquesteoperazionivedilanota(t9)deln.
4.
64E.
M.
~RemON~A:~11gruppofondamentaled~unae~trva,eve.
Sinotieheilnumero~deicomplessi~contenutiin(IX')e(IX")rispettivamente~----4.
v--iv-+lv~1---m~-2m22vvv~(m1)~.
~=4.
2.
~==--ConsideriamoorauncomplessoEv~,v;datodalla(X),(ilquale~formatoda4coppieditrattiugualirelativiascambi),edinciascunadiqueslecoppieriuniamoiduetrattitogliendoilsettoehelidivide.
Sorgecos~perlacurvarappresentatadallatreccia(lacutesistenzabassicnratadaunreeenteteoremadiC~IsI~I)unaquaternadinodiNv~,v~(4~).
Coneludendo:Sefacciamoacquistarealla(Pninizialelantequalernedinodiquantisonoitratti~che]~gurano~elcomplesso(IX')o(IX"),otteniamounaffP~variatacon~nodinuovi;precisamente--m~-2m,permpart--(m-1)2,permdispart.
Loschemadellatrecciadella(I)~variata,cheindichiamocon~.
,siottienenaturalmentedalloschema(V)conquestemodifiehe:a)Fultimarigadelle(V)vasostituitarispettivamenteconilcomplesso(IX~)o(IX")asecondachemsiapartodispart;b)ciascuncomplessoEvhv~.
(deigruppiIX'oIX")vasostituitoconlacorrispondentequaternadinodiNvhv;.
Ivaritrattidellatrecciasonosempredeltipoindicatoneln.
4;quindiperciascunodiessi~notalacorrispondenterelazionedelgruppofondamen.
taleddi(~,.
:Naturalmente,peravereG,occorrerhaggiungereallerelazionidatedallatreceialarelazione(VI).
9.
Sfruttiamoorairisultatiraggiunti.
Consideriamoinessenzialii~nodidella~,edessenzialileinodiprovenientidalleanaloghesingolariti~dellaffP,,iniziale.
cuspidied(4e)Questoteorema,dimostratoin[4]affermaquantosegue:,Datalatrecciacanonicadiunacurvapianad'ordinen(oppurelatrecciadiunacurva,limitedellaprecedente,edeffettivamenteesistente),sioperisuquestaconoperazioniSeconfusioniditratti~passandoadunanuovatreeeiacon*trattirappresentatividinodiekrappresentatividicuspidi:sottolacondizione~*-}-2k~n(n4-3)latreeeiacost--2oitenuta~rappresentativadiunacurva(ancorad'ordinen)effettivamenteesistente,.
:Nelncstlocaso(5"~+-~)]accndizicnesuindicata~,scddisfatta;quindiblecital'applicazionedelteoroma.
E.
MaRcr~mrcrca:Sulgr,uppo]ondamentaled~unacurva,etc.
65La(I)nrisultaancoradiramanteperunpianom-ploz:z(~,y)datedallesostituzioniVII(questesonocompatibiliconG).
Fraimodelliproiettividelpianom-plo,tuttidotatidi~puntidoppiconicifiguraancoraunasu~erficieff~,d'ordinem(,3).
Orbenesuquestopianom-plo,edinparticolaresuF,,,~possibileassegnareunafunzionealgebricairriducibilea2valoriprivadicurvadiramante.
Infattiesisteuncorrispondentepianomultipleassociatewa2mvaloriL~ml~m2I1suogruppodimonodromia,imprimitivoetransitivo,~generatodalleseguontisostituzioni(compatibilicon~:I:=1,':(w,,w~,)(w,,w,,)2,=2,'=2~=2~':(w.
,ro~,)(w~w~)cuivannoaggiunteleseguentisostituzioni:pervdispari2.
.
.
.
~-(mpari)jv,~+~--v'v~--"v'~"(w~:w~+:,~)(w~2w~+x,~)-S-:/i!
t--ipervpari,~-:(mdispari)!
}v~+~--v'v~---v'~(w,~w~+~,2)(w~2w~PossiamocosienunciareilT~.
oR]~A.
-EsistonosuperficieF,,d'ordinem>2,dotatedi~puntidoppiconici,con--m~-2m,permpari----(m--l)~,permdisparisullequali~possibileassegnareunafunzioneirriducibileaduevalori,privadicurvadiramante.
(4s)EquestoperunteorernadiB.
SEGItE~dimostratoin[15],paragrafoIII.
(44)Sinotiche,mentrenelcasedellaSUl~erficiegeneralelesostituzioni~t.
.
.
vv'eranonecessariamenteuguali,erache~;,haacquisiatodeincdibastachealcunediessesianopermutabiliconlerestanti.
Ed~nppuntequestofattocherendepossibi]%perw,ungruppodimonodromiatransitive.
AnnalidiMatematica966E.
MAacmo~A:Sulgruppo]ondamcntalediunacurva,ecc.
0SSERVAZIONE.
I1teoremasuindicato,tradottointerminiproiettivi,affermal'esistenzadiunaF~con~noditoccatadaunasuperficieWdiuncertoordine1lungo1unacurvaCd'ordine2ml.
(W~lasuperficiedidiramazionedellospaziodoppiou~u(x,y,z)).
Indltre,poich~u~irriducibilesuF,~,Cnonrisultaintersezionecompleta1diF,~conunasuperficied'ordine~l.
I1teoremacostituiscecosiuncontributoalproblemadeicontattifrasuperficietrattatoperviaalgebricadavariAutori(err.
ades.
[9],[10],[16]).
Quisinotichelacostruzionetopologicadirettadanotindicata--laqualeconsisteinun'opportunavariazionedelgruppofondamentaledellacurva4)~diramanteanpianom-plogenerale--simostrafeeondaancheinquestoordinedirieerche.
Essapubesserefacilmenteestesaallesuperficiemultipled'ordine~t~2facendosorgeresu(I).
nonsolonodi,maanehecuspidi(esingolarithpificomplicate).
10.
Facciamooranotarechei8nodidiunaF,~chesoddisfiilteoremanonsonodeltuttoarbitrari;essidevonosoddisfarealcunivincolidiconcate-namentochelatrecciametreinluee.
Adesempioconsideriamoilcasom-----4(cio~v----3),relativoad"unasuperficiegeneraledelIVordinediramatadaunacurva(I)~con24cuspidie12nodisituatisuun'aggiuntadel6°ordine.
I1complesso(IX')dellatrecciadi(I)~,(equivalenteall'ultimarigadellatreeciascrittanellaformaV)~datoda:(IX'")(3~3~')~(3~3y~j3~~a~3:~~3sSe--comenetnn.
8,9--trasformiamoiduecomplessi~,induequaternedinodi,otteniamounasnperficie-~4delIVordinecon8puntidoppiconiei,sullaquale~possibileassegnareannfunzionea2valoriprivadicurvadiramante.
Cibnonrisultainvecepossibilesopraun'altraF4,puredotatadi8nodi,cheoracostruiremo.
0sserviamoinnanzituttocheilcomplesso(IX'")pubesseretrasformatoin~-~3i3~~,-~--"3t3:~*,~:~233cio~(svilappandoi~conlaformulaX)in(3~3.
~)-'(3~'3~)~(3,3~')-~(3~'3:')2(3t33):(3,'3~)~(3~38')~(3,'38')2(3~3J(3/3J(3.
233')~'(3~'33')kE.
MAncmo~.
~:Sulgruppofonclamentalediunacurva,ecc.
67F~cciamosorgereoraunnodoconlacoppia(3~3.
S",edindichiamolocon13~3~t~.
Facciamopoisorgerealtri7nodidallerimanenticoppiechenonoperanosulfito38'.
Oi$eniamounu(I)~con8nodinuovi,ediconse-guenzaunaF4'con8puntidoppiconici.
Orbenesuqaest~superficierisultaimpossibileassegnareunafunzionea,pi~valoripriv~dicurvadiramante,comesipubverificarenelsolitomodo(4~).
VI.
-Determinazionedeiciclidiunasuperficlepotenzialmentediramanti.
11.
Neip~ragrafiprecedentiabbiamomostratochelaconoscenzadelgruppofondamentalediunacurva(I)permettedicostruiresistematicamente:1)ipianimultipliFz:z(~,y)diramati(semplicemente)dallaif);(v')(t~)Latreceiadella~-~~rappresentatadallo-schemaK*N*K*E*t,2t~32~32(3~33')~,(3t'3J)~,(3~38')~,(32'3~')213~3~12,t31'3~1"2,1313~'I~,13~'32'Is13~33I2,13~'3~1~,13'23~I2,132'3~I2.
I1gruppofondamentaledi(Pl2edatodaIlerelazioniindottedalle(V')edallasolitarelazione(particolarizzazionedellaVI)(VI')lili'2i2l'2222'3i3i~3232'333a'=1.
La(P~2diramailpianoquadruplodatodallesostituzioni:1~=1i"(ziz2);2i.
.
.
.
.
22"(z.
2zs);31.
.
.
.
.
3a':(zaz4).
Fraimodelliproiettividiquestopianoquadruplofiguraappuntounasuperfieie/~a'con8nodi,sullaqualerisultaimpossibileassegnareunafunzioneuaduevaloriprivadieurvadiramante.
Infattiilpianomultiplowassoeiatoadun'eventualefnnzioneuhaungruppodimo-nodromia(nontransitivo!
)generateneeessariamente--amenodieambiamentidinomi--dallesostituzioni:iL=ll':(wiiw2i)(wi~w~)2i.
.
.
.
.
2~':(~v2~w3i)(w~2w32)Pergiustifiearequestosiosser~'i:a)le12sostituzioni1t.
.
.
3~'devonoessereinvolute.
tie;b)ilprodottodatedaV]tOevetenerefermelewikedinpartieolarelewtk.
Orapoich~lesolesostituzionicheoperanosuquesteultimeletteresonoIled1t~segueehe1i=li';c)inoltre~perlerelazionidatedaieomplessiK*E~.
.
.
.
1,2esiha2i=2~';d)infine1~secondarigadelleVrelaVI'danno3t38'.
68E.
MAaCmON~A:Sulgruppofondamentatediunac,urva~ecc.
2)lefunzionialgebriche(apiitvalori)deipuntidiFu=u(x,y,~)privesu/7'dicurvadiramante.
PermeglioillustratelaportatadelmetodoindicatevogliamoeramostrarecomesideterminanoiciclidiFchepossanoesserediramantiperqualchefunzioneu.
Ricordiamoinnanzituttocheicielilinearidi/~'uscentidaunpuntogene-rico0*(ehequisupporremoesserequellod{coordinate~c--y--0,z--z~)sipossonoridurreaicicli~*(pureuseentida0")diunagenerieasezionepianapassanteper0*(4~);comealsolitosupporremochetalesezionesialacurvaf:z=z(0,y).
Unqualsiasicicloa*~rappresentato,nelpiano7:vdeliavariabilecom.
plessay,dauncammino~datedaanprodottodicappi~(uscentida0(y--0)edavvolgentiipuntiy~corrispondentialleradicidi(I)(0,y)--0).
Lasostituzionesulledeierminazioniz~,z.
2,.
.
.
,z,~diz(0,y)--nelpunto0legataa~devetenerfermaladeterminazionezt(epertantolaricercadeicammini~richiedelaconoseenzadelgruppodimonodromiadiz(0,y),cherisultadateconF).
Consideriamoeraunadeterminatafunzioneuedilpianomultipleassociatew(x,y)=:u(~,y,z(~,y));sianow~,w,~,.
.
.
,w~l~ledeterminazionidiw(in0)appartenevtialsistemad'imprimitivit'~definitedaz~(cio~ledeterminazionidiuin0").
Uncamminoa*diF~diramanteperu,quandoilcorrispondentecam-mine~diuuproduceuaasostituzionenonidenticasullew,k;lapossibilit~chequestoratiosiverifiehiomenobmessainlueedallerelazionidelgruppofondamentaledellacurvaq).
Adesempio,nelcasedellasuperficiegenerale/~,~(vedin.
7)uricdeivariear,mini~,diciamoloa,~datedalprodottodeicappi1t2~32'434~'3322'l~'(quisiosserviehel'indiceel'aecentodeivaricappinonhannonessunaimportanzaperch~--invirthdelleVIIdeln.
7--lesostituzionisullez~legateaicappiIsonouguali,ecosippurequellelegateaicappi2ecc.
).
0ra,perlerelazioniindottedalgruppofondamentaledellacurvadira-mante(I).
,lesostituzionisullew~klegateaicappi1sononecessariamenteuguali,cosippurequellelegateaicappi2,eec.
,equestoperqualsiasifun.
zioneu(stricordinoleVIIIdeln.
7).
(46)PerunnoteteoremadiPICAD.
E.
MAacnm~v~:Sulgruppofond~tmentalediunacurva,ecc.
69Pertantoileammino~tienefermelewl~(esimilmenteognialtrocam-mino~);eeibeonfermachelasuperficiegenerale~privadicielidiramanti.
Sipresentaoraspontaneoilproblemadideterminareunabaseperivaricieli~*diunpianomultiploF.
Cibsiottienesubitoquandolase-zionef,z--(0,y),haungruppodimonodromiaridottoaltipodiLtlRO~H-CLEBSCH(4~),cio~quandoicappi~di7:usonoordinatiinmodotaleeheesis~ano2p+2cappi2r+~relativialloseambio(z~z~).
2cappi~r÷s,~2p+4relativialloscambio(z~zs),2cappi~p+~,~p.
~relativialloscambio(zsz4),eee.
(quipindicailgeneredif).
Alloraansistemadi2pcicli~*indipendentiperlasezionefi~rappre-sentatosu~,daie/eli~h=~h~+~,conh--1,2,.
.
.
,2p.
Lesostituzionisullewt~:legateaquestieicli(oadunqualsiasialtrosistemadi2pcieliindipendentidif)generanoilgruppodimonodromiadellafunzioneu--u(x,y,z).
0rbenelerelazionidelgruppofondamentaledellavurva@determinanosostanzialmenteanehei~gruppodiPoincarddellasuperficieF:infattiesseindieanononsoloqualieiclia*(rappresentatidaivaria~)consideratisuFsianopotenzialmentediramanti,maanehelerelazionieuiessisoddisfano.
Adesempio,consideriamoilpianodoppioF'diramatodallaquartieatrieuspide(vedilapartefinaledeln.
5).
Lasezionefhagenerep-1;ilsuogruppodimonodromiabgeneratodallesostituzioni,legateaiquattrogeneratoria,~,,8,a---b--c--d:(z~z~).
*dellabase(suf)sonorappresentatisu~udaIeicli~*,~PerlerelazionidelgruppoGdellaquartica(cfr.
lanora(:~)deln.
5)siha,rispettoadF',%=a~,%"-aS,a~.
0rapoichbsullasezionef(equindisuF')alcamminoa~corrispondeuncamminonullo(4s),sihasuF'o*=1,(o:)3=(47)Cfr.
ades.
,ENRIQUES-CHxsIN],Tevriageometricadetleequazioniede~lefunzio~ialgebriche,vol.
III,pag.
~20(4s)Infattiad~ecorrispondesufuncielocompostodiduelineealaertecoincidenti0i*0*--1-0"0"~~che~evidentementehullo.
70E.
MaaCm0NN~:Sulgruppofondamentalediunacurva~ecc.
Pertantoidueciclidellabasesuf,oonsideratisullasuperficie~',nonsonoindipendentin6fradiloro,ni~dalciclozero(esiriseoprecosishe*~undivi-l'irregolarit~diF'~q--=-0):pifipreoisamente~*~nullo,e%soredellozerod'indiee3.
Notiamoinfineche,datounpianomultiploF~z-~z(x,y),mediantelaeurvadiraman~eelesos~ituzionigeneratricidelgruppordimonodromia,risultasemprepossibiletrasformarelatrecciadicpinun'altra(adessaequivalente)percuiI'acquistilaformadiLtlRO~H-CZEBSO~t.
I1metodocheabbiamooraindicatopermetteeosilariceroaeffettivadeiciclipotenzialmentecliramantisttF;pitkprecisamentepermetted'indivi-duare--iraieielisheformanolabasesullasezionef--ivicliindipen-dentisuF(inpartieolare1'irregolarithdiF)edidivisoridellozero(equindiilgruppodellatorsionelinearedellasuperficie).
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