基于协方差理论的最优股票投资组合分析

卢宇蒋太才桂林理工大学管理学院,广西桂林(541004)E-mail:Luyu622@163.
com摘要:我国现在已经进入了一个"全民炒股"的时代,但股市中许多投资者建议:"不要把所有鸡蛋放在一个篮子里".
所以在股市中,对于股民的选股,就存在股票投资组合的问题.
本文采用Markowitz提出的投资组合的基本框架,除了考虑收益率外,还考虑了股票投资的风险.
对于股票投资的风险,本文用收益的方差(或标准差)来衡量.
在求出协方差的前提下,通过线性规划的手段求出在资金限额的约束下的最优投资比例.
为了方便计算,本文给出了MATLAB的计算代码,大大减轻了计算难度,提高了效率.

关键词:股票;投资组合;协方差;MATLAB随着社会经济的发展,人民的生活水平的提高,城镇农村居民的可支配收入不断地增加.
不断增加的可支配收入除了满足人们的基本生活需要之外,剩余的一部分收入人们可以谋求不同的方式使其投资增值.
用这部分收入存入银行或者购买国库券虽然安全可靠,但是投资回报率低,很难满足大部分的投资者的需要,投资基金股票,虽然投资回报率常常高于银行存款或者国库券的收益率,但高收入总伴随着高风险.
本文以股票投资为例,以经济数学中方差,协方差和矩阵的知识为基础,构造出在资金有限的约束下的不同股票投资比例的数学模型.
从理论上讲,在这种约束条件约束下,存在有无数个不同的组合.
根据巴拿赫不动点定理可以得出在这无数种股票投资组合中一定会有一种或多种是最优组合,为此该模型主要是在达到投资者期望收益的前提下风险最小的算法,即在约束条件限制下的最优组合.
在具体的实证运算中本文利用MATLAB进行科学计算,找出最佳的股票投资组合.

1.
模型的构建本文的模型采用Markowitz提出的投资组合的基本框架[1],并对原内容进行了合理地改进.
在不考虑交易费用和单纯投资股票的情况下,该模型秉承"高风险高回报"原则,一方面用收益率来衡量单支股票的收益,另一方面用收益率的方差或者标准差来衡量单支股票的风险.
方差越大,则说明投资该支股票的风险越大,方差越小,则说明投资该股票的风险越小.
一种股票的收益均值衡量的是该股票的平均收益情况,而收益的方差衡量的是这种股票的波动程度,方差越大,则波动越大(收益越不稳定).
两种股票之间的协方差表示的是两种股票之间的相关程度.
协方差为0时两者不相关;协方差为正数时表示两者正相关,协方差越大则正相关越强(在经济上就有可能是一挣俱挣,一赔俱赔);协方差为负数时表示两者负相关,协方差越大则负相关越强(在经济上就有可能是一挣俱赔或者一赔俱挣).

1.
1.
模型条件的设置在模型中,必须包含的原始数据有:N个月或者季度里(N>=3)的M种(M>=2)不同股票的月收益率数据.
目前为了方便起见,本文采用M=3这种情况来建立模型.
设置3种股票分别为ABC股票,收益率列向量分别为R1R2R3,设置X1,X2,X3分别为ABC三种股票的投资比例,且0≤x1,x2,x3≤1,x1+x2+x3=1.
1.
2.
基础数据的处理根据以上的条件,可以求得以上三种股票的平均收益率的数学期望为ER1,ER2,ER3(ERn=).
同样,可以求出股票ABC两两之间的协方差为COV(RiRj)(注:i,j为正整数,1≤I,j≤M).
由此,我们不难得出所存在的协方差矩阵为:1.
3.
模型的建立约束条件:(1)投资比例的约束0≤x1,x2,x3≤1,x1+x2+x3=1(2)股票投资者所期望的收益率P的约束x1ER1+x2ER2+x3ER3≥P股票总期望收益ER=x1ER1+x2ER2+x3ER3股票投资收益率的方差V=D(x1ER1+x2ER2+x3ER3)=D(x1R1)+D(x2R2)+D(x3R3)+2cov(x1R1,x2R2)+2cov(x1R1,x3R3)+2cov(x2R2,x3R3)=x12DR1+x22DR2+x32DR3+2x1x2cov(R1,R2)+2x1x3cov(R1,R3)+2x2x3cov(R2,R3)优化模型为:2.
运用模型做实证分析为了对以上构造的模型进行运用,随机地在股票投资交易软件中提取了如下几支股票最近5个季度的每股收益和每股净资产,并求出了每股收益率[2](每股收益率=每股收益÷每股净资产*100%).
如下表1所示:表1:基础数据和收益率(纯收益率)Table1:Basicdataandrateofreturn(netyield)为了表示的方便,本文将三一重工,中联重科,浦发银行,贵州茅台,中国船舶,潍柴动力6支股票分别用A,B,C,D,E,F表示,将这6支股票的收益率分别用R1,R2,R3,R4,R5,R6表示.
通过计算能得出季度收益率的数学期望为:ER1=0.
1567ER2=0.
2158ER3=0.
1589ER4=0.
2441ER5=0.
1846ER6=0.
1601因为根据公式D(X)=E(X2)-[E(X)]2可以求出方差为:DR1=0.
0045DR2=0.
0083DR3=0.
0029DR4=0.
0069DR5=0.
0128DR6=0.
0052同样可以计算出股票A,B,C,D,E,F的季度收益率的协方差矩阵为设股票A,B,C,D,E,F的比例分别为x1,x2,x3,x4,x5,x6,设期望收益率为15%.
具体的目标函数和约束条件如下所示:目标函数:约束条件:0≤x1,x2,x3,x4,x5,x6≤1;x1+x2+x3+x4+x5+x6=1;x1*0.
1567+x2*0.
2158+x3*0.
1589+x4*0.
2441+x5*0.
1846+x6*0.
1601≥0.
15为了计算的方便,本文以MATLAB为主要的计算工具对上述的模型数据进行计算.
具体步骤如下:(1)将已知的6支股票的收益率(注:此处的收益率包括本金和收益,该数据减去1为纯收益率,如上表1所示)数据存入EXCEL文档,如下图1所示:图1:股票收益率Picture1:StockReturns(2)在MATLAB[3]中建立.
M文件,具体的内容为:R=A';COV=cov(R);H=1/2*COV;num=size(R,2);p=1.
15;EX=sum(R)/size(R,1);x0=ones(6,1)*0.
15;A1=[];fori=1:numXi=-1*EX(i);A1=[A1,Xi];endA1;B1=-p;Aeq=ones(1,num);Beq=1;xm=zeros(num,1);xM=ones(num,1);[x,fopt,flag,c]=quadprog(H,zeros(1,6),A1,B1,Aeq,Beq,xm,xM,x0)保存在MATLAB的安装目录下,并命名为Cal.
M.
(3)通过MATLAB的WorkSpace中导入已经建立的"股票收益率EXCEL文档",为了结合代码的需要,将导入的数据名称改为"A".

(4)在MATLAB的CommendWindows中输入cal,并回车,得到如下结果:x=0-0.
00000.
6437-0.
00000.
10410.
2522通过计算可以得出6支股票中第三支股票浦发银行占总买入量的64.
37%,第五支股票中国船舶占总买入量的10.
41%,第六支股票潍柴动力占总买入量为25.
22%时的风险最小.

3.
模型的特点与不足本模型的最大特点是通过以往的股票行情数据之间的关系来分析来达到对股票投资决策的科学规划.
其主要特点如下:(1)该模型摆脱了传统的股票预测模型的以时间维度为主要的计算标准的方法,而是从已知的多支股票行情数据的关联性出发,以两两股票之间的关联性(协方差)为主要参考量来确定两两股票之间的买入数量比例.
所以该模型并不能确定"选股"的问题,而只是确定备选股票的买入比例的问题.

(2)该模型是建立在大于或等于预期收益率的前提下,所求的股票投资收益率的方差最小的原则,有效地结合概率统计和矩阵计算的有关知识辅助股票投资管理者的投资决策.

(3)从形式上来讲,备选的股票并不是都会占有一定的比例,该模型只是根据备选股票的关联性来确定投资比例.

虽然该模型有着避开时间序列并采用方差来确定风险的方法来研究股票的投资组合问题,但模型本身存在的不足和缺陷也不容忽视,该模型的具体缺陷主要体现在如下几个方面:(1)该模型的基本假设是在不考虑交易费用和单纯投资股票的前提下进行的一种投资组合的比例分配的确定,所以忽略了很多相关费用,而主要讨论投资组合的比例分配的问题.

(2)该模型只是从数理统计的角度上对股票投资组合进行科学研究,但主要的出发点并不是来自对股票交易实质和本身股票所在行业所属企业真实的经营业绩的研究,本文的模型主要是借助以往数据来判断股票投资合理的组合方式.

(3)该模型重要的是解决不同股票投资比例的问题,而不是解决"选股"的问题.

4.
模型的哲学思维和改进之处在投资中,风险和收益存在着辩证统一的关系,这就意味着风险和收益是密切相关的.
高的风险意味着高的收益,低的风险意味着低的收益.
一方面,在该模型中,通过利用统计学中的"期望"这一参数合理地对股票投资收益进行反映,通过利用"方差"、"协方差"这些参数对股票投资风险进行科学的衡量.
在模型中由同一组数据,反映出风险和收益正反两个方面的参数,充分体现了唯物辩证法矛盾的观点,也增加了模型的科学性和合理性,提高了模型解决股票科学投资组合的效率.

另一方面,模型是在确定期望收益率的前提下通过线性规划求得方差最小的原则.
在实际运用中,可以根据数学中的德摩根律的思路,在方差较好确定的前提下,先根据需要确定好最大方差,再根据线性规划的方法求得最大的收益率已达到风险确定的情况下收益最大的原则.
这不但提供了新的解决问题的方法,而且体现了"矛盾在一定情形下可以相互转化"的观点,在具体的决策过程中,决策者应该参考信息量充足的信息作为约束条件,而不是固定思路和方法导致决策的科学性和合理性下降.

针对上述问题,对该模型还有如下改进措施,以利于提高决策的合理性和科学性.

(1)若是要考虑交易费用从而使得该模型更加贴近实际,不妨从统计的收益率出发,剔除交易费用在收益率中所占部分,从而使得收入和费用更贴近实际,有利于决策和对未知风险的预测能力.

(2)在投资活动中,往往存在股票、基金、银行存款、国库券等等多种不同风险程度的投资,除了银行存款、国库券一类的接近于"0"风险的投资行为外,其他投资行为均可以用方差这一指标来表示投资行为的风险,用协方差来表示不同投资行为的关联性,从而合理科学地确定不同投资项目的投资比例.

5.
该模型在经济管理中的其他运用该模型一个主要的思路是注意两两变量之间的联系,通过这两两变量之间的关系确定变量(资源)之间的数量关系.
在管理的实际运用过程中,一方面管理者要通过一些分析方法(诸如:敏感性系数分析方法、主成分分析法)来抓住主要资源,决定性因素;另一方面,要注重各种资源以不同的比例在资源配置中发挥最大的效益,而这种比例可以通过该模型确定.

在管理实际中,投融资管理方面,决策者可以通过该模型一方面降低投融资风险,另一方面可以提高收益或者降低成本,达到最优决策的目的.
通过在管理学中融入类似此类的形式的数学模型,在管理学中类似投融资研究、人力资源管理、项目管理、物流管理等相关方面的计划、组织、指挥、决策中把握不同资源要素在项目中所占的比例来达到资源最优配置的目的.

该模型的另一特色是合理恰当地运用了线性规划的方法.
在操作层面上,有很多软件(诸如:LINGO/LINDO.
MATLAB等)能对线性规划问题实现科学计算,大大减轻了计算难度.
在技术经济和项目评价中线性规划的解题方法有十分广泛的运用,如:在多目标决策中,在约束条件的约束下,决策者能够达到目标函数的最优解,从而从理论上实现最佳决策.
而在生产运作管理的实际操作过程中,管理者只有将各种资源按照最优配置的比例进行资源控制,以求达到最大产出或者最小的消耗.
在物流管理、项目管理中合理科学地利用线性规划的理论和线性规划的各种工具软件也能达到成本最小化和收益最大化的目的.

不管是协方差理论还是线性规划的思路,该模型的主要思想就是通过将经济管理类问题数理模型化,通过将经济管理的信息数模话求得最优解,通过最优解来指导经济管理的实践,以达到科学计划、组织、指挥和决策,实现科学管理.

参考文献[1]谢金星,薛毅.
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8.
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10.