拓扑排序数据结构的课程设计-拓扑排序的算法

数据结构拓扑排序有哪几种序列？

拓扑排序序列有6种。

先找到第一个没有被指的，就是C1，加入序列。

然后擦掉跟C1有关的边，此时C2和C3都满足没有被指，选一个，比如选C2，加入序列，擦掉和C2有关的边，这个时候可以选C3,C4,C5或C6，如此而已。

数据结构拓扑排序实际上是离散数学中的概念。

这里不打算说太多形式化的定义，形式化的定义教科书上或者上面给的链接中就说的很详细。

还是以上面选课的例子来描述这两个概念。

假设我们在学习完了算法这门课后，可以选修机器学习或者计算机图形学。

这个或者表示，学习机器学习和计算机图形学这两门课之间没有特定的先后顺序。

因此，在我们所有可以选择的课程中，任意两门课程之间的关系要么是确定的(即拥有先后关系)，要么是不确定的(即没有先后关系)，绝对不存在互相矛盾的关系(即环路)。

以上就是偏序的意义，抽象而言，有向图中两个顶点之间不存在环路，至于连通与否，是无所谓的。

所以，有向无环图必然是满足偏序关系的。

理解了偏序的概念，那么全序就好办了。

所谓全序，就是在偏序的基础之上，有向无环图中的任意一对顶点还需要有明确的关系(反映在图中，就是单向连通的关系，注意不能双向连通，那就成环了)。

可见，全序就是偏序的一种特殊情况。

回到我们的选课例子中，如果机器学习需要在学习了计算机图形学之后才能学习(可能学的是图形学领域相关的机器学习算法……)，那么它们之间也就存在了确定的先后顺序，原本的偏序关系就变成了全序关系。

? 实际上，很多地方都存在偏序和全序的概念。

比如对若干互不相等的整数进行排序，最后总是能够得到唯一的排序结果(从小到大，下同)。

这个结论应该不会有人表示疑问吧:)但是如果我们以偏序/全序的角度来考虑一下这个再自然不过的问题，可能就会有别的体会了。

拓展到拓扑排序中，结果具有唯一性的条件也是其所有顶点之间都具有全序关系。

如果没有这一层全序关系，那么拓扑排序的结果也就不是唯一的了。

在后面会谈到，如果拓扑排序的结果唯一，那么该拓扑排序的结果同时也代表了一条哈密顿路径。

拓扑排序的应用

一个复杂的工程通常可以分解成一组小任务的集合，完成这些小任务意味着整个工程的完成。

例如，汽车装配工程可分解为以下任务：将底盘放上装配线，装轴，将座位装在底盘上，上漆，装刹车，装门等等。

任务之间具有先后关系，例如在装轴之前必须先将底板放上装配线。

任务的先后顺序可用有向图表示——称为顶点活动（ Activity On Vertex, AOV）网络。

有向图的顶点代表任务，有向边(i, j) 表示先后关系：任务j 开始前任务i 必须完成。

图1 - 4显示了六个任务的工程，边（ 1 , 4）表示任务1在任务4开始前完成，同样边（ 4 , 6）表示任务4在任务6开始前完成，边（1 , 4）与（4 , 6）合起来可知任务1在任务6开始前完成，即前后关系是传递的。

由此可知，边（1 , 4）是多余的，因为边（1 , 3）和（3 , 4）已暗示了这种关系。

在很多条件下，任务的执行是连续进行的，例如汽车装配问题或平时购买的标有“需要装配”的消费品（自行车、小孩的秋千装置，割草机等等）。

我们可根据所建议的顺序来装配。

在由任务建立的有向图中，边（ i, j）表示在装配序列中任务i 在任务j 的前面，具有这种性质的序列称为拓扑序列ological ological sequences)。

根据任务的有向图建立拓扑序列的过程称为拓扑排序ological sorting）。

图1 - 4的任务有向图有多种拓扑序列，其中的三种为1 2 3 4 5 6，1 3 2 4 5 6和2 1 5 3 4 6，序列1 4 2 3 5 6就不是拓扑序列，因为在这个序列中任务4在3的前面，而任务有向图中的边为（ 3 , 4），这种序列与边（ 3 , 4）及其他边所指示的序列相矛盾。

可用贪婪算法来建立拓扑序列。

算法按从左到右的步骤构造拓扑序列，每一步在排好的序列中加入一个顶点。

利用如下贪婪准则来选择顶点：从剩下的顶点中，选择顶点w，使得w 不存在这样的入边（ v,w），其中顶点v 不在已排好的序列结构中出现。

注意到如果加入的顶点w违背了这个准则（即有向图中存在边（ v,w）且v 不在已构造的序列中），则无法完成拓扑排序，因为顶点v 必须跟随在顶点w 之后。

贪婪算法的伪代码如图1 3 - 5所示。

while 循环的每次迭代代表贪婪算法的一个步骤。

现在用贪婪算法来求解图1 - 4的有向图。

首先从一个空序列V开始，第一步选择V的第一个顶点。

此时，在有向图中有两个候选顶点1和2，若选择顶点2，则序列V = 2，第一步完成。

第二步选择V的第二个顶点，根据贪婪准则可知候选顶点为1和5，若选择5，则V = 2 5。

下一步，顶点1是唯一的候选，因此V = 2 5 1。

第四步，顶点3是唯一的候选，因此把顶点3加入V 得到V = 2 5 1 3。

在最后两步分别加入顶点4和6 ，得V = 2 5 1 3 4 6。

1. 贪婪算法的正确性 为保证贪婪算法算的正确性，需要证明： 1) 当算法失败时，有向图没有拓扑序列； 2) 若 算法没有失败，V即是拓扑序列。

2) 即是用贪婪准则来选取下一个顶点的直接结果， 1) 的证明见定理1 3 - 2，它证明了若算法失败，则有向图中有环路。

若有向图中包含环qj qj + 1.qk qj , 则它没有拓扑序列，因为该序列暗示了qj 一定要在qj 开始前完成。

定理1-2 如果图1 3 - 5算法失败，则有向图含有环路。

证明注意到当失败时| V |<n, 且没有候选顶点能加入V中，因此至少有一个顶点q1 不在V中，有向图中必包含边（ q2 , q1）且q2 不在V中，否则， q1 是可加入V的候选顶点。

同样，必有边（q3 , q2）使得q3 不在V中，若q3 = q1 则q1 q2 q3 是有向图中的一个环路；若q3 ≠q1，则必存在q4 使（q4 , q3）是有向图的边且q4 不在V中，否则，q3 便是V的一个候选顶点。

若q4 为q1 , q2 , q3 中的任何一个，则又可知有向图含有环，因为有向图具有有限个顶点数n，继续利用上述方法，最后总能找到一个环路。

2. 数据结构的选择 为将图1 - 5用C + +代码来实现，必须考虑序列V的描述方法，以及如何找出可加入V的候选顶点。

一种高效的实现方法是将序列V用一维数组v 来描述的，用一个栈来保存可加入V的候选顶点。

另有一个一维数组I n D e g r e e，I n D e g r e e[ j ]表示与顶点j相连的节点i 的数目，其中顶点i不是V中的成员，它们之间的有向图的边表示为（ i, j）。

当I n D e g r e e[ j ]变为0时表示j 成为一个候选节点。

序列V初始时为空。

I n D e g r e e[ j ]为顶点j 的入度。

每次向V中加入一个顶点时，所有与新加入顶点邻接的顶点j，其I n D e g r e e[ j ]减1。

对于有向图1 - 4，开始时I n D e g r e e [ 1 : 6 ] = [ 0 , 0 , 1 , 3 , 1 , 3 ]。

由于顶点1和2的I n D e g r e e值为0，因此它们是可加入V的候选顶点，由此，顶点1和2首先入栈。

每一步，从栈中取出一个顶点将其加入V，同时减去与其邻接的顶点的I n D e g r e e值。

若在第一步时从栈中取出顶点2并将其加入V，便得到了v [ 0 ] = 2，和I n D e g r e e [ 1 : 6 ] = [ 0 , 0 , 1 , 2 , 0 , 3 ]。

由于I n D e g r e e [ 5 ]刚刚变为0，因此将顶点5入栈。

程序1 3 - 2给出了相应的C + +代码，这个代码被定义为N e t w o r k的一个成员函数。

而且，它对于有无加权的有向图均适用。

但若用于无向图（不论其有无加权）将会得到错误的结果，因为拓扑排序是针对有向图来定义的。

为解决这个问题，利用同样的模板来定义成员函数AdjacencyGraph, AdjacencyWGraph，L i n k e d G r a p h和L i n k e d W G r a p h。

这些函数可重载N e t w o r k中的函数并可输出错误信息。

如果找到拓扑序列，则Topological 函数返回t r u e；若输入的有向图无拓扑序列则返回f a l s e。

当找到拓扑序列时，将其返回到v [ 0 :n- 1 ]中。

3. Network:Topological 的复杂性 第一和第三个f o r循环的时间开销为(n )。

若使用（耗费）邻接矩阵,则第二个for 循环所用的时间为(n2 )；若使用邻接链表,则所用时间为(n+e)。

在两个嵌套的while 循环中，外层循环需执行n次，每次将顶点w 加入到v 中，并初始化内层while 循环。

使用邻接矩阵时，内层w h i l e循环对于每个顶点w 需花费(n)的时间；若利用邻接链表，则这个循环需花费dwout 的时间，因此，内层while 循环的时间开销为(n2 )或(n+e)。

所以，若利用邻接矩阵，程序1 3 - 2的时间复杂性为(n2 )，若利用邻接链表则为(n+e)。

程序13-2 拓扑排序 bool Network::Topological(int v[]) {// 计算有向图中顶点的拓扑次序 // 如果找到了一个拓扑次序，则返回t r u e，此时，在v [ 0 : n - 1 ]中记录拓扑次序 // 如果不存在拓扑次序，则返回f a l s e int n = Ve r t i c e s ( ) ; // 计算入度 int *InDegree = new int [n+1]; InitializePos(); // 图遍历器数组 for (int i = 1; i <= n; i++) // 初始化 InDegree[i] = 0; for (i = 1; i <= n; i++) {// 从i 出发的边 int u = Begin(i); while (u) { I n D e g r e e [ u ] + + ; u = NextVe r t e x ( i ) ; } } // 把入度为0的顶点压入堆栈 LinkedStack<int> S; for (i = 1; i <= n; i++) if (!InDegree[i]) S.Add(i); // 产生拓扑次序 i = 0; // 数组v 的游标 while (!S.IsEmpty()) {// 从堆栈中选择 int w; // 下一个顶点 S . D e l e t e ( w ) ; v[i++] = w; int u = Begin(w); while (u) {// 修改入度 I n D e g r e e [ u ] - - ; if (!InDegree[u]) S.Add(u); u = NextVe r t e x ( w ) ; } } D e a c t i v a t e P o s ( ) ; delete [] InDegree; return (i == n); }

数据结构的课程设计-拓扑排序的算法

#include<stdio.h> int mat[105][105];/*存图的边*/ int indeg[105];/*存入度*/ int ans[105];/*结果*/ =0; void main() { int n;/*图大小*/ int m;/*边个数*/ int i,j; int a,b; scanf("%d%d",&n,&m); for(i=0;i<n;++i)indeg[i]=0; for(i=0;i<m;++i) { scanf("%d%d",&a,&b); /*a到b有一条边,输入范围[0,n-1]*/ indeg[b]++; mat[a][b]=1; } <n) { for(i=0;i<n;++i) if(indeg[i]==0) { indeg[i]=-1; break; } j=i; ++]=j; for(i=0;i<n;++i) if(mat[j][i]) mat[j][i]=0,--indeg[i]; } for(i=0;i&;++i) printf("%d ",ans[i]); puts(""); }