求解函数问题时易出现的错误
十一、求解函数问题时易出现的错误及纠错方法
1. (2015四川理9) (共21题10道选择题第9题150分占5分)
如果函数fx的最大值为( )
A. 16 B. 18 C. 25 D.
答案 B
错解 由fx单调递减得 fx0故fxm2xn80在上恒成立。而m2xn8是一次函数在上的图像是一条线段。
故只须在两个端点处f即。当且仅当mn5时等号成立故选C。
错解辨析 mn5只是满足mn取等号但不满足条件
2m2n80。
正解当m2时 fxn8x1 由fx在所以0n8此时mn2n16
当m2时 fx。
①当m2时 fx的图像开口向上 由fx在即2mn12 得到122mn2 2mn所以mn18当且仅当2mn即m3 n6时等号成立。此时mn的最大值为18。
②当m2时 fx的图像开口向下 由fx在
即m2n18得到n9得到mn9m。
综上可得 mn的最大值为18故选B。
点拔本题难度大正解的分类讨论费时费力。错解是用导数求解的方向是对的只是得到关于m,n的不等式组后可以用线性规划的知识求解画出不等式组围成的区域找到两直线的交点A2,8 则曲线kmn经过点A时 kmn取最大值16。
2. (2010湖北文5) (共21题10道选择题第5题150分占5分)
函数y的定义域为( )
A.
答案 A
错解 由4x30解得x。
错因分析只注意了对数的真数为正而没注意分母的二次根式里的数应为正。
正解 由。
点拔在求函数的定义域时要注意自变量x应满足的全部条件。
3. (2009江西文2) (共22题12道选择题第2题150分占5分)
函数y的定义域为( )
A. 4,1 B. 4,0 C. 0,1 D. 4,00,1
答案 D
错解 由x23x40得4x1 故选A。
错因分析只注意了二次根式里的数为正而没注意分母不能为零。
正解 由。
点拔在求函数的定义域时要注意自变量x应满足的全部条件其实选择支已经给考生提供了暗示。
4.函数yx22x0x3的值域是( )
A. 0,3 B. 1,1 C. 1,3 D. 1,15
答案 C
错解 因为x0时 y0 当x3时 y32233。故选A。
错解辨析求函数的值域必须考虑函数的单调性。
正解 因为函数yx22x的对称轴为直线x1 而它的定义域为0x3
可见 x0,1时 函数单调递减 x1,3时 函数单调递增。
所以当x1时 函数取最小值12211
当x3时 函数取最大值32233。故选C。
点拔选择支已经给考生提供了暗示考生在解题时要会注意这种暗示作用。
5.解析式为yx2 值域为4,9的函数其定义域有( )种不同情况。
A. 10 B. 9 C. 8 D. 4
答案 B
错解 由yx24得x2 由yx29得x3
所以定义域有2,3,2,3,2,3,2,3这4种情况故选D。 。
错解辨析犯了考虑问题不周全的错误。
正解定义域有2,3,2,3,2,3,3,2,3,2,3,2,3,3, 2,2,3,2,2,3, 2,2,3,3共9种情况故选B。
点拔解答这类试题要考虑问题的方方面面。这是一道培养学生思维能力的好题。
6.已知函数fxax22ax1 当x1,3时 yfx的图象都在x轴的下方求实数a的取值范围。
错解①当a0时 图象开口向上对称轴为x1 fx在1,3上单调递增要使yfx的图象在x轴的下方应有f315a10得a
注意到a0 此时0a
②当a0时 图象开口向下对称轴为x1 fx在1,3上单调递减
要使yfx的图象在x轴的下方应有f13a10得a
注意到a0 此时a0。
综上所述所求实数a的取值范围是a0或0a。
错解辨析解答中始终把fxax22ax1当作一元二次函数看待但题中只说fxax22ax1是函数并没有说是一元二次函数。所以分类讨论时遗漏了一种情形。正解①当a0时 fx1 图象在x轴的下方
②当a0时 图象开口向上对称轴为x1 fx在1,3上单调递增要使yfx的图象在x轴的下方应有f315a10得a
注意到a0 此时0a
③当a0时 图象开口向下对称轴为x1 fx在1,3上单调递减
要使yfx的图象在x轴的下方应有f13a10得a
注意到a0 此时a0。
综上所述 a的取值范围。
点拔对于最高次项含有变量时必须对这个变量是否为0进行讨论。
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