向量蹭网无线路由器密码破解软件

Vol.
14,No.
32003JournalofSoftware软件学报1000-9825/2003/14(03)0569AC分组密码的差分和线性密码分析吴文玲+,马恒太,卿斯汉(中国科学院软件研究所,北京100080)(中国科学院信息安全技术工程研究中心,北京100080)DifferentialandLinearCryptanalysisofACBlockCipherWUWen-Ling+,MAHeng-Tai,QINGSi-Han(InstituteofSoftware,TheChineseAcademyofSciences,Beijing100080,China)(EngineeringResearchCenterforInformationSecurityTechnology,TheChineseAcademyofSciences,Beijing100080,China)+Correspondingauthor:Phn:86-10-62561197ext8004,E-mail:wwl@ercist.
iscas.
ac.
cnhttp://www.
ercist.
iscas.
ac.
cnReceived2001-11-13;Accepted2002-06-12WuWL,MaHT,QingSH.
DifferentialandlinearcryptanalysisofACblockcipher.
JournalofSoftware,2003,14(3):569~574.
Abstract:ThesecurityofACagainstdifferentialandlinearcryptanalysisisdiscussedinthispaper.
Itisshownthat12-roundAChasnodifferentialcharacteristicwithprobabilityhigherthan2-128andnolinearapproximationswithapproximationbiaslargerthan2-67byestimatingthelowerboundofthenumberofactive-boxesin3-rounddifferentialcharacteristicand12-roundlinearapproximation.
Hence,ACissecuretodifferentialandlinearcryptanalysis.
Keywords:differentialcryptanalysis;linearcryptanalysis;differentialcharacteristic;linearapproximation;S-box摘要:讨论AC分组密码对差分和线性密码分析的安全性,通过估计3轮AC的差分活动盒子的个数下界和12轮AC的线性活动盒子的个数下界,本文得到AC的12轮差分特征概率不大于2-128和线性逼近优势不大于2-67.
因此,AC分组密码对差分和线性密码分析是安全的.
关键词:差分密码分析;线性密码分析;差分特征;线性逼近;S-盒中图法分类号:TP309文献标识码:A在世纪交替之际,AES[1]的征集和NESSIE[2]项目的启动引起了世人的广泛关注,推出了Rijndael,RC6,Serpent,NOEKEON和NUSH等分组密码.
这些分组密码各有特色,有的采用"Bit-Slice"技术,有的基于"宽轨迹原理",还有的采用数据相依循环等.
在对这些分组密码进行深入分析和研究之后,我们结合"宽轨迹原理"和"Bit-Slice"技术设计了AC[3]分组密码.
本文讨论AC分组密码针对差分[4]和线性[5]密码分析的安全性,结果显示AC分组密码对差分和线性密码分析是安全的.
SupportedbytheNationalNaturalScienceFoundationofChinaunderGrantNos.
60103023,60083007(国家自然科学基金)第一作者简介:吴文玲(1966-),女,陕西蒲城人,博士,副研究员,主要研究领域为分组密码的设计与分析.
570JournalofSoftware软件学报2003,14(3)1AC的差分密码分析AC中的θ相当于32个4*4S-盒的并置,且S-盒的差分均匀性和最佳线性逼近优势均为22.
定义1.
对,我们称U43220123)()(FXXXXX∈=)|||()(0123XXXXWXH=为X的并汉明重量.
对43224322)()(:FFP→YYYYYXXXXX=→=),,,(),,,(01230123,我们令}))((,)(|)({),(4322jXPUiXUFXjiD==∈=,V.
})(,))((|)({),(14322jYUiYPUFYji==∈=我们试图搞清的分布,但是由于计算能力的限制,仅对P计算了,61),(jiD),(jiD≤≤i123|||XXX),3,100b.
这里,把128比特看成是U个二元向量,每个二元向量的第1个分量表示的非0位置t,第2个分量表示相应的数据.
例如,4322)F0123()(XXXXX∈=)(X][223tX+0X][2][2][0123tXtXtX++,20()(0123XXXXX==,)U=5,X可以表示({0,3},{1,3},{3,1},{5,8},{8,4});把(0,1,3,5,8)称为X的位置向量,记为T;(3,3,1,8,4)称为X的数据向量,记为.
值得注意的是,(X)(X)(XD)(Xθ和X的位置向量必定相同.
如果,则)0(123YYYY)01X=(23XXXP,(3nXP<<<,2nX<<<=<<<,0Xn<<<1X)n,,12YnYn<<<),0nYn<<<(3Y所以在分析计算时,我们仅考虑循环意义下不相等的X.
现在证明任意3轮AC的差分特征至少有16个活动盒子.
对任意一个3轮差分特征:,因为U)()()(ZPZYPYXPXTPPP→→→→→→θθθ)())((YUXP=,U)())((ZUYP=,,所以它的活动盒子的个数为U)()(TUXU=))(())(()(YPUXPUX++.
令iXU=)(,PUjX=))(,YPU))((m=(,+如果+ji16βαθ→对P计算的结果显示:)15,61)(,(≤+≤≤jiijiD中有如下集合是非空的,)12,1(D8,1(D)5,2(D)6,2(D))139)(,2(≤≤jjD,)5,123)(,3(≠≤≤jjjD,)113)(,4(≤≤jjD,)3,102)(,5(≠≤≤jjjD,.
因此,有可能满足i的只可能是下列情况:)92)(,6(≤≤jjD16<),,(mji++mj(1,8,m)(m=1,3,4,5,6);(1,12,m)(m=1,2);(2,5,m)(m=2,4,5,6,7,8);(2,6,m)(m=2,3,4,5,6,7);(2,9,m)(m=2,3,4);(2,10,m)(m=2,3);(2,11,2);(2,12,1);(3,3,m)(m=3,4,6,7,8,9);(3,4,m)(m=3,4,5,6,7,8);(3,6,m)(m=2,3,4,5,6);(3,7,m)(m=3,4,5);(3,8,m)(m=1,3,4);(3,9,m)(m=2,3);(3,10,2);(4,3,m)(m=3,4,6,7,8);(4,4,m)(m=3,4,5,6,7);(4,5,m)(m=2,4,5,6);(4,6,m)(m=2,3,4,5);(4,7,m)(m=3,4);(4,8,m)(m=1,3);(4,9,2);(5,2,m)(m=5,6);(5,4,m)(m=3,4,5,6);(5,5,m)(m=2,4,5);(5,6,m)(m=2,3,4);(5,7,3);(5,8,1);(6,2,m)(m=5,6);(6,3,m)(m=3,4,6);(6,4,m)(m=3,4,5);(6,5,m)(m=2,4);(6,6,m)(m=2,3);(6,8,1);(7,3,m)(m=3,4);(7,4,m)(m=3,4);(7,5,2);(7,6,2);(8,3,m)(m=3,4);(8,4,3);(8,5,2);(9,3,3).
因为P和θ都是自反的,所以如果对,任意),,(mji),(jiV∈α,),(mjD∈β,不存在差分,则对也有相应的结果.
因此,只需证明(不可能为下列形式:βαθ→),,(ijm),m,ji(1)(1,8,m)(m=1,3,4,5,6);(2)(1,12,m)(m=1,2);(3)(2,5,m)(m=2,4,5,6,7,8);(4)(2,6,m)(m=2,3,4,5,6,7);(5)(2,9,m)(m=2,3,4);(6)(2,10,m)(m=2,3);(7)(2,11,2);(8)(3,3,m)(m=3,4,6,7,8,9);(9)(3,4,m)(m=3,4,5,6,7,8);(10)(3,6,m)(m=2,3,4,5,6);(11)(3,7,m)(m=3,4,5);(12)(3,8,m)(m=1,3,4);(13)(3,9,3);(14)(4,3,m)(m=4,6,7,8);吴文玲等:AC分组密码的差分和线性密码分析571(15)(4,4,m)(m=4,5,6,7);(16)(4,5,m)(m=4,5,6);(17)(4,6,m)(m=4,5);(18)(4,7,4);(19)(5,2,m)(m=5,6);(20)(5,4,m)(m=5,6);(21)(5,5,5);(22)(6,2,6);(23)(6,3,6).
下面分别证明不可能为上述的23种情况,也就是当U),,(mjiiX=)(,jXPU=))((,mYPU=))((时,)(XPXP→→()θ)(YPYP→中的""是"NO".
(1)(1,8,m)(m=1,3,4,5,6):令)8,1(DX∈,8))((=XP,5,4,3,2))≠1αθ→U,测试显示V中元素的位置向量不会和中的某个元素的位置向量等价;因此,U.
测试显示V的两个元素和的位置向量不等价,所以不存在差分,且不存在差分和.
因此,,这说明≠)8,1()8,1(2αθ→),8(62iDiU≤≤),,(mji61((YP1α(YP2α≠21ααθ→1α2α))(U(1,8,m)(m=1,3,4,5,6).
(2)(1,12,m)(m=1,2):令)12,1(DX∈,则12))((=XPU,测试显示V中元素的位置向量不会和V中的某个元素的位置向量等价.
因此,2)12,1()12,2())((≠YPUlαθ→.
又可以验证V中的3个元素,和的位置向量互不等价,因此,当时,不存在差分.
由测试可知:当t=1,2或3时,不存在差分.
因此,)12,1(1α2α3αtαtl≠tαtαθ→1))((≠YPU,这说明(≠(1,12,m)(m=1,2).
),,mji(3)(2,5,m)(m=2,4,5,6,7,8):令,则=5,对中的两个元素和分别构造集合.
由测试可知:不存在差分;不存在差分.
又经过测试和的位置向量不等价,所以≠(2,5,m)(m=2,4,5,6,7,8).
)5,2(DX∈)}(tTα≡1α2α))((XPUβ)5,2(V),(1α,,(mji1αθ→2αβ)(,8))((:)({)(43225tXTXPUFXBα≤∈=βαθ→25B∈α1),(25αβB∈)(4)(2,6,m)(m=2,3,4,5,6,7):令,则U=6=j,对V的惟一元素=({0,2},{8,4},{9,1},)6,2(DX∈32))((XP)6,2(1α{15,8},{1c,2},{1d,2})构作集合.
由测试可知:)}()(,7))((:)({)(14216ααTXTXPUFXB≡≤∈=∈β)(16αB,不存在差分.
因此,)≠(2,6,m)(m=2,3,4,5,6,7).
1αβθ→,,(mji)9,2(DX∈))((XPU)9,2((5)(2,9,m)(m=2,3,4):令,则=9=j,测试显示V中元素的位置向量不会和中的某个元素的位置向量等价,因此,m≠3,4.
V中的两个元素和位置向量不等价,由测试可知:不存在差分.
所以m≠1.
因此,)≠(2,9,m)(m=2,3,4).
)9,(4,3iViU=)9,2(12αα1α→θ2α,,(mji)10,2(DX∈))((XPU,2()9,3((6)(2,10,m)(m=2,3):令,则=10=j,测试显示V中元素的位置向量不会和V中的某个元素的位置向量等价.
因此,m≠3.
V中的5个元素)10)10,2(tγ)5,4,3,2,1(=t位置向量互不等价,由测试可知:不存在差分tγ→θtγ)51(≤≤t;所以m≠2.
因此,)≠(2,10,m)(m=2,3).
,,(jim(7)(2,11,2):令,测试显示V中的13个元素)11,2(DX∈)11,2(tγ)131(≤≤t位置向量互不等价,由测试可知:不存在差分tγ→θtγ)131(≤≤t.
所以m≠2.
因此,)≠(2,11,2).
,,(mji(8)(3,3,m)(m=3,4,6,7,8,9):对中的3个元素)3,3(V1α,2α和3α分别构作集合,:)({)(43223FXBt∈=α9))((≤XPUθ)}()(tTXTα≡)31(≤≤t.
由测试可知:),(13αβB∈不存在差分;βαθ→1),(23αβB∈不存在差分;βα→2),(33αβB∈不存在差分.
又βαθ→31α,2α和3α的位置向量互不等价,所以≠(3,3,m)(m=3,4,6,7,8,9).
),,(mji432(9)(3,4,m)(m=3,4,5,6,7,8):对V的惟一元素)4,3(1α构作集合=)}()(,8))((:)({)(1214ααTXTXPUFXB≡≤∈={1α=({0,1},{8,8},{d,2},{f,2})}.
由测试可知:不存在差分→θα11α.
所以≠(3,4,m)(m=3,4,5,6,7,8).
),,(mji(10)(3,6,m)(m=2,3,4,5,6):对V中的3个元素)6,3(1α,2α和3α分别构作集合:)({)(43226FXBt∈=α,6))((≤XPUθ)}()(tTXTα≡)31(≤≤t.
由测试可知:),(13αβB∈不存在差分;βαθ→1),(23αβB∈不存在差分;βα→2572JournalofSoftware软件学报2003,14(3)),(33αβB∈不存在差分.
又βαθ→31α,2α和3α的位置向量互不等价,所以≠(3,6,m)(m=2,3,4,5,6).
),,(mji(11)(3,7,m)(m=3,4,5):中的5个元素)7,3(Vtγ)5,4,3,2,1(=t的位置向量不会和V或V中的某个元素的位置向量等价.
因此,m≠4,5.
又)7,4()7,5(tγ)5,4,3,2,1(=t的位置向量互不等价,由测试可知:不存在差分tγ→θtγ)51(≤≤t.
所以m≠3.
因此,)≠(3,7,m)(m=3,4,5).
,,ji(m(12)(3,8,m)(m=1,3,4):中的8个元素)8,3(Vtγ)81(≤≤t的位置向量不会和V或中的某个元素的位置向量等价.
因此,m≠1,4.
又)8,4()8,1(Vtγ)8≤1(≤t的位置向量互不等价,由测试可知:不存在差分tγ→θtγ)81(≤≤t.
所以m≠3.
因此,)≠(3,8,m)(m=1,3,4).
,,(mji(13)(3,9,3):中的25个元素)9,3(Vtγ)251(≤≤t的位置向量互不等价,由测试可知:不存在差分tγ→θtγ)251(≤≤t.
所以m≠3.
因此,)≠(3,9,3).
,,(mji(14)(4,3,m)(m=4,6,7,8):对V中的惟一元素)3,4(1α构作集合={)}()(,8))((:)({)(1432213ααTXTXPUFXB≡≤∈=1α},由测试可知:不存在差分→θα11α.
所以≠(4,3,m)(m=4,6,7,8).
),,mj(i(15)(4,4,m)(m=4,5,6,7):对V中的惟一元素)4,4(1α构作集合,由测试可知:)}()(,7))((:)({)(1432214ααTXTXPUFXB≡≤∈=),(14αβB∈不存在差分.
所以≠(4,4,m)(m=4,5,6,7).
βθ→α1),,(mji(16)(4,5,m)(m=4,5,6):对中的5个元素)5,4(V)51(≤≤ttα分别构作集合,6))((:)({)(43225≤∈=XPUFXBtα)51)}(()(1≤≤≡tTXTtα,由测试可知:),(55αβB∈不存在差分βαθ→5和.
所以≠(4,5,m))4,3,2,1(=→tttααθ),,(mji(m=4,5,6).
(17)(4,6,m)(m=4,5):对中的15个元素)6,4(V)151(≤≤ttα分别构作集合,5or4))((:)({)(43226=∈=XPUFXBtα)}()(tTXTα≡,由测试可知:151(≤≤tt),),(6tBαβ∈不存在差分;又βαθ→t)151(≤≤ttα的位置向量互不相同,所以,)≠(4,6,m)(m=4,5).
,,(jim(18)(4,7,4):中的28个元素)7,4(Vtγ)281(≤≤t可以按照位置向量分成26个等价类C,其中中都仅有一个元素,且由测试可知:不存在差分)251(≤≤ll)251(≤≤lCltγ→θtγ)251(≤≤t.
},,{28272626γγγ=C={({0,8},{7,2},{8,2},{10,c},{11,1},{17,2},{18,2}),({0,a},{1,2},{7,2},{8,2},{10,4},{17,8},{18,8}),({0,a},{1,2},{7,2},{8,2},{10,c},{17,a},{18,a})}由测试可知:不存在差分.
所以(≠(4,7,4).
)2826(≤≤≤→tltlγγθ),,mji(19)(5,2,m)(m=5,6):对中的2个元素)2,5(V1α和2α构作集合:)({)(43222FXBt∈=α,6or5))((=XPU≡)(XT)}(tTα,)(12αB={1α=({0,4},{1,1})},)(22αB={2α=({0,8},{7,2})},由测试可知:不存在差分和2;又11ααθ→2ααθ→1α和2α的位置向量互不等价,所以,)(≠(5,2,m)(m=5,6).
,,mji(20)(5,4,m)(m=5,6):对中的5个元素)4,5(V)51(≤≤ttα分别构作集合=∈=))((:)({)(43222XPUFXBtαθ)}()(,6or5tTXTα≡,由测试可知:51(≤≤tt),),(2tBαβ∈不存在差分;又βα→t)51(≤≤ttα的位置向量互不相同,所以,)≠(5,4,m)(m=5,6).
,,(jim(21)(5,5,5):的25个元素)5,5(Vtγ)251(≤≤t的位置向量互不相同,且由测试可知:不存在差分tγ→θtγ)251(≤≤t.
所以,)≠(5,5,5).
,,(mji(22)(6,2,6):对中的惟一元素)2,6(V1α构作集合={)}()(,6))((:)({)(1432212ααTXTXPUFXB≡=∈=1α=θ({0,1},{d,2})},由测试可知:不存在差分.
所以,)≠(6,2,6).
11αα→,,(mji(23)(6,3,6):对V中的3个元素)3,6(1α,2α和3α分别构作集合≡=∈=)(,6))((:)({)(43223XTXPUFXBtαθ)}(tTα,3,2,1=t由测试可知:不存在差分(ttαα→,2,1=t),又1α,2α和3α的位置向量互不等价,所以≠(6,3,6).
),,(mji3综上可证任意3轮AC差分特征至少有16个活动盒子,因为S-盒的差分均匀性为22,所以12轮AC的差分概率不大于2128.
吴文玲等:AC分组密码的差分和线性密码分析5732AC的线性密码分析类似差分密码分析,对所有可能的3轮线性逼近,检验活动盒子的个数,结果显示仅有如下4个特殊的3轮线性逼近的活动盒子数小于16,其他的活动盒子的个数均不小于16.
(1)(4,6,4):==10106{)(ααB({0,5},{1,1},{8,9},{d,a},{f,2},{14,2})},)(10αP=β=({0,a},{7,2},{10,1},{1d,2}).
对θ,存在有效线性逼近)(10X10Xθαα=,)(XXθββ=,因此对3轮AC:)()()(ZPZYPYXPXTPPP→→→→→→θθθ存在线性逼近ββ→θ→P10α→θ10α→Pββ→θ→P10α,此逼近的活动盒子的个数为)()(210αβTT+=14<16.
由测试和堆积引理可知:)(10X10Xθαα=的逼近优势为210,)(XXθββ=的逼近优势为28,所以此3轮逼近的优势不大于224,以它为基础构造的12轮的线性逼近的优势不大于293.
(2)(5,5,5):的25个中的两个元素)5,5(V1γ=({0,9},{7,2},{8,a},{d,2},{f,2})和2γ=({0,9},{7,2},{8,2},{d,2},{10,2}),)(1γP=({0,2},{10,9},{17,2},{18,2},{1d,2}),)(2γP=({10,9},{17,2},{18,a},{1d,2},{1f,2}).
对θ存在有效线性逼近:)(1X1Xθγγ=,)()()(11XPXPθγγ=,)(2X2Xθγγ=,=XP)(2γ)()(2XPθγ.
由测试和堆积引理可知:它们的优势均为210,因此,存在如下3轮线性逼近:1γ→θ1γ→P)(1γP→θ)(1γP→P1γ→θ1γ→P)(1γP,)(1γP→θ)(1γP→P1γ→θ1γ→P)(1γP→θ)(1γP→P1γ,2γ→θ2γ→P)(2γP→θ)(2γP→P2γ→θ2γ→P)(2γP,)(2γP→θ)(2γP→P2γ→θ2γ→P)(2γP→θ)(2γP→P2γ.
这4个线性逼近的活动盒子数为15<16,但是它们的逼近优势为228,以它们为基础构造的12轮的线性逼近的优势不大于2109.
(3)(6,2,6):对中的惟一元素)2,6(V1α=({0,1},{d,2}),)(1αP=({0,2},{8,4},{9,1},{15,8},{1c,2},{1d,2}),对θ存在有效线性逼近)(1XX1θαα=,不存在有效线性逼近)()()(11XPXPθαα=.
假设存在β,使得)()(1XPXθαβ=,则活动盒子的个数<16的3轮线性逼近如下:β→θ)(1αP→P1α→θ1α→P)(1αP→θβ→P)(βP.
我们把此3轮逼近扩充为4轮线性逼近:β→θ)(1αP→P1α→θ1α→P)(1αP→θβ→P)(βP→θ2α→P)(2αP.
此4轮线性逼近的活动盒子的个数为+))((1αPT+)(1αT+))((1αPT)(2αT,因为1α→θ1α→P)(1αP→θβ→P)(βP→θ2α→P)(2αP是(2,6,m)的情形,由上述可知,+)(1αT+))((1αPT16)(2≥αT,因此+))((1αPT+)(1αT+))(1(αPT)(2αT≥6+16=22.
这就说明以活动盒子小于16的此3轮线性逼近构造的12轮线性逼近的活动盒子的个数不小于66.
(4)(6,3,6):对V中的)3,6(1α=({0,1},{3,1},{d,2}),由测试可知,存在有效线性逼近)(11XXθαα=,假设存在β,使得)(PX()1Xθαβ=,则活动盒子的个数<16的3轮线性逼近如下:β→θ)(1αP→P1α→θ1α→P)(1αP→θβ→P)(βP.
我们把此3轮逼近扩充为4轮线性逼近:β→θ)(1αP→P1α→θ1α→P)(1αP→θβ→P)(βP→θ2α→P)(2αP.
此3轮线性逼近的活动盒子的个数为+))((1αPT+)(1αT+))((1αPT)(2αT,因为1α→θ1α→P)(1αP→θβ→P)(βP→θ2α→P)(2αP是(3,6,m)的情形,由上述可知,+)(1αT+))((1αPT16)(2≥αT,因此+))((1αPT+)1(αT+))((1αPT)(2αT≥6+16=22.
这就说明以活动盒子小于16的此3轮线性逼近构造的12轮线性逼近的活动盒子的个数不小于66.
因为S-盒的最佳逼近优势为22,所以综上可证12轮AC的线性逼近优势不大于267.
574JournalofSoftware软件学报2003,14(3)3结束语本文讨论了AC分组密码针对差分和线性密码分析的安全性,结果显示:12轮AC的差分特征概率不大于2128,12轮AC的线性逼近优势不大于267.
又因为2轮AC的输出依赖于输入的每一比特,所以AC分组密码对差分和线性密码分析是安全的.
References:[1]AES.
1999.
http://www.
nist.
gov/aes/.
[2]NESSIE.
2000.
http://www.
cryptonessie.
org.
[3]WuWL,MaHT,FengDG,QingSH.
TheACblockcipher.
JournalofChinaInstituteofCommunications,2002,23(5):130~134(inChinesewithEnglishAbstract).
[4]BihamE,ShamirA.
DifferentialcryptanalysisofDES-likecryptosystems.
JournalofCryptology,1991,4(1):3~72.
[5]MatsuiM.
LinearcryptanalysismethodforDEScipher.
In:HellesethT,ed.
ProceedingsoftheAdvancesinCryptology-EUROCRYPT'93.
NewYork:Springer-Verlag,1993.
386~397.
附中文参考文献:[3]吴文玲,马恒太,冯登国,卿斯汉.
AC分组密码.
通信学报,2002,23(5):130~134.
2003年全国理论计算机科学学术年会征文通知由中国计算机学会理论计算机科学专业委员会主办,青岛大学信息工程学院、青岛大学海尔软件学院承办的"2003年全国理论计算机科学学术年会"将于2003年8月在山东青岛召开.
会议录用论文将收录在正式出版的论文集中,欢迎大家积极投稿.
1、应征论文应未在其他刊物或学术会议上正式发表过.
特别欢迎有创见的论文和有应用前景的论文.
2、征文范围(1)程序理论(程序逻辑、程序正确性验证、形式开发方法等)(2)计算理论(算法设计与分析、复杂性理论、可计算性理论等)(3)语言理论(形式语言理论、自动机理论、形式语义学、计算语言学等)(4)人工智能(知识工程、机器学习、模式识别、机器人等)(5)逻辑基础(数理逻辑、多值逻辑、模糊逻辑、模态逻辑、直觉主义逻辑、组合逻辑等)(6)数据理论(演绎数据库、关系数据库、面向对象数据库等)(7)计算机数学(符号计算、数学定理证明、计算几何等)(8)并行算法(分布式并行算法、大规模并行算法、演化算法等)3、征文截止日期:2003年4月1日4、论文投寄地址:(266071)山东青岛大学信息工程学院郭振波收联系电话:05325953151(郭振波)05325952834(王彬、李涛)电子信箱:gzb@qdu.
edu.
cn或gzb@qingdaonews.
com