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""""高考命题评述及学习指导一、!
""#年全国各省市高考对该部分内容的考查要点和命题趋势$对排列、组合内容的考查,一般都以实际应用题形式出现,这是因为排列、组合的应用性概念强,充满思辨性和解法多样性,符合高考选择题的特点,易于考查学生的能力%!
%对二项式定理的考查,以二项式展开式及其通项公式内容为主,考查目标意识和构造意识,考查展开式的通项公式正、反两方面的应用等%&%对统计、概率内容的考查,往往以实际应用题形式出现%这既是这类问题的特点,又符合高考发展方向,以课本概念和方法为主,以熟练技能、巩固概念为目标,查找知识缺漏,总结解题规律%'%对复数内容的考查,以选择题和解答题为主%常以考查复数运算为主,估计这一命题趋势还将继续下去%二、复习备考过程中该部分内容的复习要点和注意问题$%分类计数原理和分步计数原理是本章的基础,它是学习排列、组合、二项式定理和计算事件的概率的预备知识%在对应用题的考查中,经常要运用分类计数原理或分步计数原理对问题进行分类或分步分析求解,如何灵活利用这两个原理对问题进行分类或分步往往是解应用题的关键%排列、组合问题大致可分两类:!
有附加条件的排列问题%此类题多数只有一个附加条件,且以学生熟悉的数字问题或排队问题为主;"有附加条件的组合问题%此类题常以"至少取!
个"或以几何为背景的分类组合问题为主%!
%二项式定理中,公式一般都能记住,但与其相关的概念如:二项式系数、系数、常数项、项数等,学生易混,须在平常加以对比分析,对通项公式重点训练%二项式定理问题大致也可分两类:!
直接运用通项公式求特定项的系数或与系数有关的问题;"需用转化思想化归为二项式问题来处理的问题%&%古典概型是学习概率与统计的起点,而掌握古典概型的前提是能熟练掌握排列组合的基本知识,熟练掌握五种事件的概率以及抽样方法、总体分布的估计、期望和方差%掌握随机事件、等可能事件、互斥事件、独立事件、!
次独立重复试验中恰好发生"次等五种事件的概率,会用样本频率分布估计总体分布,会用样本平均数估计总体期望值,会用样本的方差估计总体方差%'%复数的概念是复数理论的基础,在解题活动中它经常是思维的突破口%围绕复数的代数形式和三角形式给出的两类运算,体现了复数知识的广泛联系性和普遍渗透性,这两种形式及其运算也为我—$—们处理复数问题提供了代数思考方法和三角思考方法;复数概念及其运算的几何意义,为从几何上处理复数问题或几何问题复数化提供了广阔的空间!
高考对这部分内容的考查比较少!
主要涉及到复数的代数形式及模的计算问题!
要认真复习下述有关题型:(")应用代数运算的方法,特别是!
的性质,化简计算复数问题!
(#)注意复习有关复平面内两点间距离公式,复数的几何意义的题目,掌握数形结合的思想!
三、对#$$%年本部分高考内容的命题预测"!
排列、组合及二项式定理在高考中所占比重不大,但试题都具有一定的灵活性、机敏性和综合性!
一般仍为"&#道小题,且多为选择、填空题,应注意二项式定理在近似计算中的应用!
解排列、组合问题时,会考查分类讨论、分步讨论!
以几何为背景的排列、组合题需用数形结合的思想,在解非二项问题时,需用转化思想化归为二项问题求解等,这种命题特点在以后的高考中仍会保持下去!
#!
概率问题综合性强且命题体现逐渐走强,都是以实际问题为背景,对运用数学思想的要求高!
概率命题仍要重点掌握随机事件、等可能事件、互斥事件、独立事件、!
次独立重复试验中恰好发生"次等五种事件的概率,会用样本频率分布估计总体分布,会用样本平均数估计总体期望值,会用样本的方差估计总体方差!
'!
由于复数内容在新的教学大纲中已被列为选学内容,所以复数部分在高考中考查的难度与题量都呈下降趋势!
试题多以中低档题目出现,难度不大,但涉及面广,对基本问题掌握的熟练程度要求较高,所以对基本问题不能放松要求!
(!
运用数形结合思想处理复平面问题是高考考查的热点之一,应引起注意!
—#—第一章!
排列、组合和概率第一节!
排列与组合一、选择题"#('$%·天津)(理)从集合{",&,',…,""}中任选两个元素作为椭圆方程!
&"&(#&$&)"中的"和$,则能组成落在矩形区域%){(!
,#)且*#*+,}内的椭圆个数为0&1#234#,$&5('$%·北京)(理)《财富》全球论坛期间,某高校有".
名志愿者参加接待工作,若每天早、中、晚三班,每班.
人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为-51"&".
1.
"&1.
2/51"&".
-.
"&-.
2151"&".
1.
"&1.
2-''451"&".
1.
"&1.
2-''(文)五个工程队承建某项工程的%个不同的子项目,每个工程队承建"项,其中甲工程队不能承建"号子项目,则不同的承建方案共有-51".
1.
.
种/51".
-.
.
种451.
.
种45-.
.
种'&('$%·江苏)四棱锥的2条棱代表2种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为!
、"、#、$的.
个仓库存放这2种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为-5,3/5.
215&.
45$.
5('$%·湖北)(文)把同一排3张座位编号为",&,',.
,%,3的电影票全部分给.
个人,每人至少分"张,至多分&张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是-5"32/5,3150&45".
.
%5('$%·湖南)(文)设直线的方程是从",&,',.
,%这五个数中每次取两个不同的数作为'、%的值,则所得不同直线的条数是-5&$/5",15"245"33&('$%·湖南)(理).
位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得"$$分,答错得6"$$分;选乙题答对得,$分,答错得6,$分&若.
位同学的总分为$,则这.
位同学不同得分情况的种数是-5.
2/5'315&.
45"20#('$%·福建)从3人中选.
人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这3人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有-#'$$种/#&.
$种1#".
.
种4#,3种25('$%·江西)(文)将,个人(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙分在同一组,则不同分组方法的种数为-50$/5".
$15&2$452.
$,#('$.
·全国%)从%位男教师和.
位女教师中选出'位教师,派到'个班担任班主任(每班"位班主任),要求这'位班主任中男、女教师都要有,则不同的选派方案共有-#&"$种/#.
&$种1#3'$种4#2.
$种"$#('$.
·全国&)将.
名教师分配到'所中学任教,每所中学至少"名教师,则不同的分配方案共有-#"&种/#&.
种1#'3种4#.
2种""#('$.
·全国')在由数字",&,',.
,%组成的所有没有重复数字的%位数中,大于&'".
%且小于.
'%&"的数共有-#%3个/#%0个1#%2个4#3$个"&#('$.
·北京)(理)从长度分别为",&,',.
,%的五条线段中,任取三条的不同取法共有$种&在这些取法中,以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为",则"$等于-#""$/#"%1#'"$4#&%"'#('$.
·北京)(文)从长度分别为",&,',.
的四条线段中,任取三条的不同取法共有$种&在这些取法中,以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为",则"$等于-#$/#".
1#"&4#'.
".
#('$.
·江苏)从.
名男生和'名女生中选出.
人参加某个座谈会,若这.
人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有—'—!
"#$%种&"#'%种(")*种+")$种#*"('%$·湖南)从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数为#,"('%$·辽宁)有两排座位,前排##个座位,后排#'个座位!
现安排'人就座,规定前排中间的)个座位不能坐,并且这'人不#左右相邻,那么不同排法的种数是#/"('%$·福建)某校高二年级共有六个班级,现从外地转入$名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排'名,则不同的安排方案种数为!
"!
',('$&"#'!
',('$("!
',!
'$+"'!
',#-"('%$·北京春)在#%%件产品中有,件次品!
现从中任取)件产品,至少有#件次品的不同取法的种数是!
.
(#,('0$&.
(#,('00(.
()#%%1()0$+.
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)#%%1!
)0$#0"('%$·安徽春)直角坐标"#$平面上,平行直线"2%(%2%,#,',…,*)与平行直线$2%(%2%,#,',…,*)组成的图形中,矩形共有!
.
'*个&.
),个(.
#%%个+.
''*个'%"('%)·北京)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆$种蔬菜品种中选出)种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有!
.
'$种&.
#-种(.
#'种+.
,种'#"('%'·新课程)从正方体的,个面中选取)个面,其中有'个面不相邻的选法共有!
"-种&"#'种("#,种+"'%种''"('%'·北京)#'名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口$人,则不同的分配方案共有!
"($#'($-($$种&")($#'($-($$种("($#'($-!
))种+"($#'($-($$!
))种')"('%'·京、蒙、皖春)从,名志愿者中选出$人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作!
若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作,则选派方案共有!
"'-%种&"'$%种("#-%种+"0,种'$"('%#·新课程)某赛季足球比赛的计分规则是:胜一场,得)分;平一场,得#分;负一场,得%分!
一球队打完#*场,积))分!
若不考虑顺序,该队胜、负、平的可能情况共有!
.
)种&.
$种(.
*种+.
,种'*"('%%·京、皖春)从单词中选取*个不同的字母排成一排,含有"'("(其中"'("相连且顺序不变)的不同排列共有!
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#'%个&!
$-%个(!
/'%个+!
-$%个',"('%#·新课程)如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联!
连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量!
现从结点-向结点.
传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递!
则单位时间内传递的最大信息量是0二、填空题#!
('%*·全国!
)(文)从,名男生和$名女生中,选出)名代表,要求至少包含#名女生,则不同的选法共有333种!
'!
('%*·全国")在由数字%,#,',),$,*所组成的没有重复数字的四位数中,不能被*整除的数共有个!
)!
('%*·浙江)(理)从集合{#,/,0,1,2}与{%,#,',),$,*,,,/,-,0}中各任取'个元素排成一排(字母和数字均不能重复)!
每排中字母#、0和数字%至多只出现一个的不同排法种数是333(用数字作答)!
(文)从集合{/,0,1,2}与{%,#,',),$,*,,,/,-,0}中各任取'个元素排成一排(字母和数字均不能重复)!
每排中字母0和数字%至多出现一个的不同排法种数是333(用数字作答)!
$!
('%*·辽宁)用#、'、)、$、*、,、/、-组成没有重复数字的八位数,要求#与'相邻,)与$相邻,*与,相邻,而/与-不相邻,这样的八位数共有333个!
(用数字作答)*"('%$·天津)(理)从#,),*,/中任取'个数字,从%,',$,,,-中任取'个数字,组成没有重复数字的四位数,其中能被*整除的四位数共有33个!
(用数字作答)(文)从%,#,',),$,*中任取)个数字,组成没有重复数字的三位数,其中能被*整除的三位数共有333个!
(用数字作答),"('%$·湖北)将标号为#,',…,#%的#%个球放入标号为#,',…,#%的#%个盒子内,每个盒内放一个球,则恰好有)个球的标号与其所在盒子的标号不#一致的放入方法共有3333种!
(以数字作答)/"('%$·浙江)设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿"轴跳动,每次向正方向或负方向跳#个单位,经过*次跳动质点落在点(),%)(允许重复过此点)处,则质点不同的运动方法共有3333种!
(用数字作答)-"('%)·新课程)某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为,个部分(如图),现要栽种$种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有3333种(用数字作答)!
—$—!
"('#$·新课程)将$种作物种植在如下图的%块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物,不同的种植方法共有&&&种!
(以数字作答)'#"('#$·上海春)(名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各)人,分别进行单循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠、亚军,败者角逐第$、)名,大师赛共有&&&&场比赛!
''"('#'·上海)某餐厅供应客饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选*荤*素共)种不同的品种,现在餐厅准备了%种不同的荤菜,若要保证每位顾客有*##种以上的不同选择,则餐厅至少还需准备不同的素菜品种种!
(结果用数值表示)'*"('#'·广东、河南)圆周上有*"个等分点("+'),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为!
'$"('##·全国)乒乓球队的'#名队员中有$名主力队员,派%名参加比赛,$名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余,名队员选*名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有种!
(用数字作答)一、选择题'-(理).
&由题意#取值'/'#,"取值'/(-由两者取值范围的差异,可分两类:若$从!
、'#中取值,则有0'*0'(1'2个,若$从'/(中取值,则有0'(0',1%2个,所以总共%23'21,*个-*-(理)4&')名志愿者只需要'*人去值班-本题可分三步来完成-第一步选出参加的人有0'*')种方法;第二步把'*个人平均分作三组,有0)'*0)(0))4$$种方法;第三步,把这三组分别对应早、中、晚三班,有4$$种方法,所以答案为0'*')·0)'*·0)(·0))4$$·4$$10'*')0)'*0)(-(文).
&甲工程队比较特殊,可以优先安排,则甲的安排方法有0')种,其他四个工程队没有特殊要求共有4))种-4选项只排了甲,未对其他四个工程队进行排列;0选项既未排甲也未对另外四个工程队进行排列;5选项未排甲,只对四个工程队进行了排列-$-.
&由题意分析,如图,先把标号为',*,$,)的化工产品分别放入!
,",#,$)个仓库内共有4))1*)种放法;再把标号为%,2,,,(的化工产品对应按要求安全存放:,放入!
,(放入",%放入#,2放入$;或者2放入!
,,放入",(放入#,%放入$两种放法-综上所述:共有4))6*1)(种放法-故选.
-)-(文)5&分两步:(')首先选出两个连排号,当一个选',*号时,另一个人只能选$,)号或),%号或%,2号-有$种方法;当一人选*,$号时,另一人选),%号或%,2号,有*种方法;当一人选$,)号,另一人选%,2号,有一种方法-7共有2种方法-(*)把2张票按要求分给)人有4))种,由乘法计数原理可知264))1'))种-%-(文)0&从',*,$,),%中每次取两个不同的数的排列有4*%种,其中取',*和*,)或*,'和),*表示相同直线,所以所得不同直线条数为:4*%8*1'(条-故选0-2-(理).
&当甲、乙、丙、丁中有两人选甲,两人选乙,且得#分有0*)4**0**4**种,)人都选甲或都选乙且得#分有0*)0**种,故共有0*)4**0**4**3*0*)0**1$2种-,!
.
&先定去巴黎的人有0')种方法,再定去其他三个城市的人有4$%种方法,故方法总数有0')·4$%1*)#种,选.
!
(!
(文)4&与甲、乙在同一组的人的选择有0',种,其他六人分成两个三人组有0$20$$4**种方法,因此,共有0',·0$20$$4**1,#种,本题可能没考虑均匀分组,没除以4**而选.
-!
"【解析】&本题考查排列组合的应用!
(%)全为女班主任有:4$),(&)全为男班主任有:4$%,$位班主任中男女都有为:4$!
84$)84$%1%#)8*)82#1)*#种,应选.
!
'#"【解析】&本题考查排列组合的应用!
首先将四名老师进行分成$组有0*),然后将其进行全排列有4$$,由分步计数原理有0*)4$$1$2!
故选0!
''"【解析】&本题考查排列组合的应用!
由题可知小于等于*$')%的数有:4))34$$3',大于等于)$%*'的数为:4$$34))3',则符合条件的数有:4%%8(4$$34))3')8(4$$34))3')1%(,故选0!
'*"【解析】&(理)本题考查排列组合的应用!
由题可知"10$%,可组成钝角三角形的有:*,$,);*,),%,7#1*,则#"1*'#1'%,故选.
!
'$"【解析】&(文)本题考查排列组合的应用!
由题可知"10$),可组成一个三角形,边长为*,$,),7#1',则#"1')!
故选.
!
')"【解析】&本题考查排列组合的应用!
用排除法求解:0),80))1,626%6))6$6*6'8'1$%8'1$),故选5!
'%"【解析】&本题考查考生的综合应用!
易知一条棱%%&,在平面'%、平面'&%&和平面(%&上可组成直角三角形(个,故'*条棱共组成直角三角形有(6'**1)(个,故选0!
'2"【解析】&本题考查排列组合的应用!
*人在除去前排—%—中间!
个座位剩余的"#个座位中任取"个有$""#,"人相邻有$%%&·$"故满足题中条件得$""#'($%%&$"故选+!
%,-【解析】.
本题是先选后排的问题!
先把)人平均分成两组/")·/""$"",再将这两组按顺序排到两个班级中有$"*种排法,共有/")·/""$""·$"*(%"$"*·/")种安排方法0故选+!
%1-【解析】.
本题考查排列组合的应用,从%##件产品中任意取!
件有/!
%##种,其中没有次品的取法有/!
&),则至少有一件次品的取法有/!
%##'/!
&),故选/!
%&-【解析】.
在垂直于"轴的*条直线中任取"条,在垂直于#轴的*条直线中任取"条,)条直线相交得出一个矩形,所以矩形总数为/"*2/"*(%32%3(""3个!
故选4!
"#-【解析】.
本题着重考查对排列组合的基本概念的理解!
种植方法有/"!
·$!
!
(%1种05选+!
"%-【解析】.
解法一:从*个面中取出!
个面的不同取法共有/!
*种,取出的!
个面可分为两类:一类是!
个面两两相邻,即!
个面有公共点,这时,该公共点必为正方体的顶点,故属于这一类的共有1种取法;另一类是!
个面中有"个面不相邻,应用分类计数原理得,属于这后一类的不同取法种数为.
$(/!
*'1(*232)%2"2!
'1(%"!
故选+!
解法二:记正方体的*个面为上、下、左、右、前、后,那么,从中取!
个面有两个不相邻者,可分为!
类:第一类:选取的!
个面不含前、后面,有)种不同取法;第二类:选取的!
个面不含左、右面,也有)种不同取法;第三类:选取的!
个面不含上、下面,同样有)种不同取法!
因此,应用分类计数原理得,不同取法数为$()6)6)(%"!
故选+!
解法三:在正方体的*个面中,不相邻的两个面,必然是相对的"个面有,且只有!
种情形,即:上下面,左右面和前后面!
对每种情形,取剩下的)个面中的任意%个与其构成!
个面,便可得到合乎题意的!
个面;反之,任何合乎题意的!
个面,都可按这样的方法取得!
于是,为了得到合乎题意的!
个面,可分两步进行:第%步:从*个面中选取出不相邻的"个面,共有!
种取法;第"步:再从剩下的)个面中取%个面,有)种取法!
应用分步计数原理得,所求的不同选取方法种数为$(!
2)(%"!
故选+!
""-【解析】.
本题主要考查组合的问题,是平均分配且有归属的这一类问题,解题的基本依据是分步计数原理!
先分配)个人到第一个路口,再分配)个人到第二个路口,最后分配)个人到第三个路口,即:/)%"·/)1·/))!
5选$!
"!
-【解析】.
解法一:翻译因为甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作!
因此,翻译工作从余下的四名志愿者选一人有$%)种,再从余下的3人中选!
人从事导游、导购、保洁有$!
3种!
因此$%)$!
3(")#!
5选+!
解法二:完成这项工作分成三类:!
不含甲乙两人,有$))(")种方法;"含甲乙两人之一,有/%"$%!
$!
)(%))种方法;#含甲乙两人,有$"!
$")(,"种方法!
因此共有")6%))6种方法!
故选+!
")-【解析】.
本题考查不定方程及穷举法解决问题的能力,一般地,当数字不大时,常用穷举法来解决!
设该队胜"场,平#场,则负(%3'"'#)场,由题意得!
"6#(!
!
,55"%%%,且"6#%%3,(",#&!
),因此,有以下三种情况:"(%%#{(#或"(%##{(!
或"(&#{(*!
5选$!
"3-【解析】.
本题主要考查排列、组合的基本知识和方法!
/!
*$))()1#!
5选+!
"*-【解析】.
本题主要考查考生的阅读能力、理解能力、对考生的综合数学素质要求较高!
本题形式新颖,要求考生必须仔细阅读,正确理解题意,将实际问题转化为数学问题!
因为连线标注的数字表示该段网线单位时间内可通过的最大信息量,5%&最大是!
,%'最大是),()最大是*,%*最大为*!
而传递的路途只有)条!
%&—&+—+,,而每条路径允许通过的最大信息量应是一条途径中!
段中的最小值,如中%&能通过的最大信息量为!
,5段能通过的最大信息量也只能为!
!
以此类推能传到的最大信息量为!
6)6*6*(%&!
5选4!
本题的得分率不高,其主要原因是:考生对题目不理解,对信息的传递不理解,其实可把信息的传递理解成:水的流动、人的流动、车的流动等常见的问题,这样就容易理解问题,就容易解题了!
二、填空题%!
(文)%##.
解法一.
当只有一个女生为代表时共有/"*/%)种选法,当有两个女生为代表时共有/%*/")种选法,当有三个女生为代表时共有/!
)种选法!
故至少有一个女生为代表时共有/"*/%)6/%*/")6/!
)(%##种选法!
解法二.
从%#人中选!
名代表,有/!
%#种选法,全部都是男生有/!
*种选法,故至少有一名女生有/!
%#'/!
*种选法,即共有%##种选法!
"!
%&".
用总个数减去个位数为#,3的情况即可0/%3$!
3'—*—!
"#$%&'(%&'(%&"!
(理),'.
'0只含*的有%.
"·%&-·!
'')+',种,只含"或#的有%&.
·%&"·%.
-·!
'种,不包含*,#或"的有%.
"%.
-!
'种,故不同排法种数有+',1.
#-.
1种!
(文)#,".
0总的排列数$)%.
'%.
&*!
'字母#与数字*一起出现的排列数为%&"·%&-·!
'')+',/2字母#和数字*至多出现一个的不同排法种数为'!
#3+0分三步,第一步把&与.
,"与',#与+分别捆绑,得"个整体,并进行全排列,共!
"")+种;第二步&与.
,"与',#与+位置互换共%&.
%&.
%&.
),种;第三步把3与,插到'个空中共!
.
')&.
种/故由分步计数原理知八位数共有3+个/评析0解排列组合题常用规律有先特殊后一般,相邻采用捆绑法、不相邻采用插空法等!
#4【解析】0(理)本题考查排列组合的应用!
分两种情况:!
个位数是*的有:%&'·%.
'·!
"","个位数是#的有:%&"·%.
#·!
""$%&"·%&'·!
.
.
;综上满足条件的共计%&'%.
'!
""1%&"%.
#!
""$%&"%&'!
.
.
)"**/(文)本题考查排列组合的应用!
#)*在个位上时有:!
.
#,$)#在个位上时有:%&'·%&',综上有!
.
#1%&'·%&')"+/+4【解析】0本题考查排列组合的应用!
可以这样安排:从&*个数中任取"个有%"&*,然后将这"个数都不安排在自己对号的位置上有:%&.
·&·&,由分步计数原理可得:%"&*·%&.
)"(.
种!
34【解析】0本题考查考生的分析判断问题的能力,根据树状图求解:*''&*—&—.
—".
&—.
—""—.
—''""—'—",,共计#种!
,4【解析】0本题主要考查排列的知识!
是属于一种较新的题型:圆环排列的问题!
解决的基本思路是把圆环排列的问题转化为直线排列的问题,在解题时注意分类讨论的思想的应用!
先排&区,有'种方法,把其余四个区视为一个圆环(如图&),沿着圆环的一个边界剪开并把圆环拉直,得到如图.
的五个空格,在五个空格中放"种不同元素,且!
相同元素不能相邻!
"两端元素不能相同!
共有&#种不同方法!
然后再把图.
粘成圆形即可!
下面解决两端元素相同的情况!
在这种情况下,我们在六个空格如图"!
要求!
相同元素不能相邻!
"两端元素必须相同,共有&#种不同方法,然后再把图"粘成圆环形,把两端的两格粘在一起看成一个格即可!
综上,共有'(
种方法!
图.
0图"-4【解析】0分别用&、'、(代表"种作物,先安排第一块田,有"种方法,不妨设放入&,再安排第二块田有'或(.
种方法,不妨设放入'!
第三块田也有.
种方法&或(!
(&)若第三块田放则第四、五块田分别有.
种方法,共.
·.
种方法!
(.
)若第三块田放第四块田仍有'或(.
种放法!
(5)若第四块田放第五块田仍有.
种方法!
(55)若第四块田放则第五块田只能放(,共有"种方法!
综上,共有"·.
(.
·.
1"))'.
种方法!
&*4【解析】0分两组比赛,每组有%.
'场,每组的第一名与另一组的第二名比赛有.
场,三、四名比赛,冠亚军比赛,共有.
%.
'1.
1.
)&+(场)!
&&4【解析】0在#种不同的荤菜中取出.
种的选择方式应有%.
#)#('.
)&*(种)!
选择方式至少为.
**种,设素菜为)种,2%.
)%.
#$.
**,)()$&).
$.
*,)()$&)$'*,)$3,2至少应为3种素菜!
&.
4【解析】0解法一:选出.
个点能连为直径,有*种情况,其余.
*$.
个点与直径组成的三角形为67(!
用分步计数原理有*(.
*$.
)即.
*(*$&)个这样的三角形!
解法二:以所给的圆的等分点中的两点为端点的弦,有且仅有*条不同的直径!
因此,由圆的上述性质,可将适合题意的直角三角形分成*类,同类的直角三角形有相同的斜边(即圆的直径);由于对每条确定的直径为斜边的直角三角形,其直角顶点可以是等分点中除该直径端点外的任意一个点,共有.
*$.
种可能,所以,同一类的直角三角形共有.
*$.
个!
应用分类计数原理,即得符合题意的直角三角形的个数为$)*(.
*$.
)).
*(*$&)!
&"4【解析】0本题主要考查受限制的排列组合的问题!
"元素分析法"、"位置分析法"是解决这类问题的最基本的方法,在解题时,应先考虑特殊,再考虑一般!
!
""%.
3!
.
.
).
#.
!
—3—一、选择题"#('$%东城高三教学目标检测&)如果一个三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字,则这样的三位数一共有'#()$个*#(+%个,#(-"个.
#()-个(#('$%石家庄部分学校高三统一考试"")体育老师把/个相同的足球放入编号为"、(、-的三个箱子中,要求每个箱子放球的个数不少于其编号,则不同的放法有'#"$种*#"0种,#(+种.
#)(种-#('$%成都高中毕业班第一次诊断性检测"()(理)从1-,1(,1",$,",(,-,)这+个数中任选-个不同的数组成二次函数!
2"#(3$#3%的系数",$,%,则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线有'4&(条*4/0条,4"(+条.
4"))条)#('$%成都高中毕业班第一次诊断性检测"$)(文)某单位有"%名成员,其中男性"$人,女性%人,现需要从中选出0名成员组成考察团外出参观学习,如果按性别分层,并在各层按比例随机抽样,则此考察团的组成方法种数是'4,-"$*4,)"$,(%,4,%"%.
4')"$'(%%#('$%潍坊高三统一考试/)某汽车生产厂家准备推出"$款不同的轿车参加车展,但主办方只能为该厂提供0个展位,每个展位摆放一辆车,并且甲、乙两款车不能摆放在"号展位,那么该厂家参展轿车的不同摆放方案有'4,("$')+种*4,"/'%/种,4,"+'%/种.
4,"+'%+种0#('$%福州高中毕业班综合测试题"")(文)有一楼梯共"$级,若每次只能跨上一级或二级,要走上第"$级,共有多少种走法&#('$)海淀%月高三第二学期期末练习0)某公司新招聘进+名员工,平均分给下属的甲、乙两个部门&其中两名英语翻译人员不能同给一个部门;另三名电脑编程人员也不能同给一个部门&则不同的分配方案有'4-0种*4-+种,4"$+种.
4"")种+#('$)海淀)月高三第二学期期中练习0)0名运动员站在0条跑道上准备参加比赛,其中甲不能站在第一道也不能站在第二道,乙必须站在第五道或第六道,则不同排法种数共有'4"))*4/0,4&(.
4)+/#('$)东城高三综合练习〈二〉%)(理)某银行储蓄卡的密码是一个)位数码,某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字(如(+"0)的方法设计密码,当积为一位数时,十位上数字选$,千位、百位上都能取$&这样设计出来的密码共有'#/$个*#//个,#"$$个.
#""(个"$#('$)西城%月抽样测试&)设集合'2{",(,-,),%},"、$&',则方程#("3!
($2"表示焦点位于!
轴上的椭圆有'&%个*&"$个,&($个.
&(%个""#('$)东北四市高中毕业班联合调研测试题+)某运输公司有&个车队,每个车队的车多于)辆,现从这&个车队中抽出"$辆车,且每个车队至少抽"辆,则不同的抽法有'#+)种*#"($种,#0-种.
#-$"种"(#('$)东北三校高三第二次联合考试+)已知右图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能,因此%个开关共有(%种可能&在这(%种可能中,电路从(到)接通的情况有'#-$种*#"$种,#()种.
#"0种"-#('$)石家庄)月高三模拟考试"$)有'、*、+、,、-、.
六人依次站在正六边形的六个顶点上传球,从'开始,每次可随意传给相邻的两人之一,若在%次之内传到,,则停止传球;若%次之内传不到,,则传完%次也停止传球,那么从开始到停止,可能出现的不同传法种数是0")#('$)成都高中毕业班第-次诊断性检测题%)以长方体的+个顶点中的任意-个为顶点的三角形中,锐角三角形的个数是'#$*#0"%#('$)黄冈)月高三质量检测"()('*+内有任意三点不共线的($$(个点,加上'、*、+三个顶点,共($$%个点,把这($$%个点连线形成互不重叠的小三角形,则一共可以形成小三角形的个数为"0#('$)南京高三第三次质量检测"$)显示屏上的&个小孔排成一排,每个小孔可以显示红、绿两种颜色,或不显示&若每次显示其中三个小孔,但相邻的两个小孔不同时显示,则该显示屏能够显示的—+—不同的信号种数为*+"('$(南京高三第二次质量检测*$)某学生要邀请*$位同学中的&位参加一项活动,其中有,位同学不能同时参加,则邀请的方法有!
"#(种%"-#种'"**,种)"*($种*#"('$(南通高三第一次调研考试**)已知直线中的!
、#是取自集合{01,0,,0*,$,*,,}中的,个不同的元素,并且直线的倾斜角大于&$%,那么符合这些条件的直线共有!
"#条%"**条'"*1条)"*&条*-"('$(福州高三质量检查+)有&、'两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都会操作两种车床,丙只会操作&种车床,现从这三名工人中选,人分别去操作以上车床,则不同的选派方法有!
2&种%23种'2(种)21种,$"('$(泉州高中毕业班高考模拟考试**)(文)有(名学生,分别插入&、'两班学习,若每班最多只能接收1名学生,且甲不去&班,则不同的分配方法种数为!
2+%2-'2**)2*,,*"('$1海淀3月高三第二学期期末练习&)将+名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排,名学生(那么互不相同的分配方案共有!
(,3,种%(**,种'(+$种)(3&种,,"('$1东城3月高三综合练习三+)(理)如右图,在正方形&')*中,+、,、-、.
是各边中点,/是正方形中心,在&、+、'、,、)、-、*、.
、/这九个点中,以其中三个点为顶点作三角形,在这些三角形中,互不全等的三角形共有!
2&个%2+个'2#个)2-个(文)将(张互不相同的彩色照片与1张互不相同的黑白照片排成一排,任何两张黑白照片都不相邻的不同排法的种数是!
2!
((!
1(%2!
(1!
11'2!
(('13)2!
((!
13,1"('$1西城(月抽样测试*$)甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作,每天*人值班,每人值班,天(如果甲同学不值周一的班,乙同学不值周六的班,则可以排出不同的值班表有!
"1&种%"(,种'"3$种)"+,种,("('$1东北三校高三第一次联合考试*,)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端异色,若只有五种颜色可供使用,则不同的染色方法总数为!
2,($种%21$$种'21&$种)2(,$种,3"('$1东北三校高三第二次联考**)对某种产品的&件不同正品和(件不同次品一一进行测试,到区分出所有次品为止.
若所有次品恰好在第五次测试被全部发现,则这样的测试方法有!
(,(种%(-&种'(3+&种)(+,$种,&"('$1辽宁部分重点中学协作体高考模拟试题*,)对于任意正整数0,定义"0的双阶乘0!
!
"如下:当0是偶数时,0!
!
/0·(00,)·(00()·…·&·(·,;当0是奇数时,0!
!
/0·(00,)·(00()·…·3·1·*现在有如下四个命题:!
(,$$1!
!
)·(,$$,!
!
)/,$$1!
;",$$,!
·*$$*!
;#,$$,!
!
的个位数是$;$,$$1!
!
的个位数是3(其中正确的命题有!
"*个%",个'"1个)"(个,+"('$1武汉部分学校高三调研测试〈一〉-),$$,年韩日世界杯足球赛,参赛球队共1,支,分成#个小组,每个小组(支球队进行单循环赛,各组前两名出线,再按排定的签位进行淘汰赛,决出前(名,则比赛进行的场数共为!
"#!
,(.
*,'"#!
,(.
*&,#"('$1山东烟台高三诊断性考试*$)两名教师与五名学生排成一排照像,则恰有三名学生排在两名教师之间的概率为!
"&+%"1+'",+)"*+,-"('$1山东淄博高三模考-)3个身高均不相同的学生排成一排合影留念,高个子站中间,从中间到左边和从中间到右边一个比一个矮,则这样的排法共有!
"&种%"#种'"*,种)"*&种1$"('$1南京高三第二次质量调研卷*,)某城市举行"市长杯"足球比赛,由全市的&支企业职工业余足球队参加,比赛组委会规定:比赛采取单循环制进行,每个队胜一场得1分,平一场得*分,负一场得$分(在今年即将举行的"市长杯"足球比赛中,参加比赛的市工商银行队的可能的积分值有!
2*1种%2*(种'2*3种)2*&种1*"('$1南京高三第三次质量调研卷-)已知!
/(",$),其中"&{*,,,(,3},$&{,,(,&,#},则满足条件的不共线的向量共有!
"*&个%"*1个'"*,个)"-个—-—!
"#('$!
南通高三第二次调研考试%)从图中的&"个点中任取!
个点作为一组,其中可构成三角形的组数是二、填空题&#('$/无锡高中毕业班考试试卷&/)为配制某种染色剂,需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂,其中有机染料的添加顺序不能相邻!
现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响,总共要进行的试验次数为0000!
(用数字回答)"#('$+长春高中毕业班第二次调研测试&/)某校邀请了+位优秀同学的父母共)人,并请这)位家长中的+位介绍对子女的教育情况,如果这+位中至多有一对是夫妻,那么不同的选择方法的种数是000!
!
#('$+济南+月高三统考&.
)(文)对于正整数"和#,其中#1",定义"#!
2("3#)("3"#)("3!
#)…("3$#),其中$是满足"4$#的最大整数,则&)+!
"$.
!
20000000!
+#('$!
海淀+月高三第二学期期中练习&")将%、&、'、(、)、*、+七个不同的电子元件在线路上排成一排,组成一个电路,如果元件%及&均不能排在两端,那么,这七个电子元件组成不同电路的种数是00000(用数字做答)!
/#('$!
天津高三质量调研试题&+)(理)学校组织!
名同学去+个工厂进行社会实践活动,其中工厂%必须有同学去实践,每个同学去哪个工厂可自行选择,则不同的分配方案共有0000种(用数字作答)!
.
#('$!
天津和平区高三模考试题&/)&&名工人中,有/人只会排版,+人只会印刷,还有"人既会排版又会印刷,现从这&&人中选出+人排版,+人印刷,有种不同的选法!
5#('$!
东北四校第二次高考模拟考试&+)按'*6血型系统学说,每个人的血型为'、*、6、'*四种之一,依血型遗传学,当且仅当父母中至少有一人的血型是'*型时,子女一定不是6型,若某人的血型为6型,则父母血型所有可能情况有0000种!
)#('$!
黄冈中学高三/月模考&+)(理)五名学生进行某种劳动技术比赛,决出了第一名到第五名的名次!
甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说:"很遗憾,你和乙都未拿到冠军!
"对乙说:"你当然不会是最差的!
"从这个回答分析,五人的名次排列共可能有000种不同的情况(用数字作答)!
%#('$!
黄冈中学高三/月底适应性考试&+)正六边形的中心和顶点共5个点,以其中三个点为顶点的三角形共有0000个!
(用数值作答)&$#('$!
郑州高中毕业班第一次质量预测题&!
)某高校的某一专业从)名优秀毕业生中选派/名支援中国西部开发建设,某人必须被选派的种数是000!
&&#('$!
江西九所重点中学高三联考&/)某电子器件的电路中,在%、&之间有'、(、)、*四个焊点(如图)如果焊点脱落,则有可能导致电路不通,今发现%、&间电路不通,则焊点脱落的不同情况有0000种!
&"#('$!
黄冈中学高三/月底适应性考试&.
)一天内的不同时刻,经理把文件交给秘书打字,每次都将文件放在秘书文件堆最上面,秘书如果有时间,就将文件堆最上面的那份文件取来打字!
若有五份文件,且经理按&,",!
,+,/的顺序交来,则秘书打字的可能顺序是0000!
!
&,",!
,+,/"!
,",+,&,/#/,+,!
,",&$+,/,",!
,&%!
,",/,+,&一、选择题&#'0分情况类推,当十位数字是%时,百位数字有)种取法,个位数字有%种取法,此时取法种数为)7%;当十位数字是)时,百位数字有5种取法,个位数字有)种取法,此时取法种数为57);依次类推,直到当十位数字是"时,百位数字有&种取法,个位数字有"种取法,此时取法种数为&7";故,总的个数为&7"8"7!
8!
7+8…8)7%2("7"8!
7!
8+7+8…8%7%)3("8!
8+8…8%)2(&"8""8!
"8…8%")3(&8"8!
8+8…8%)2%7(%8&)7("7%8&).
3%7(&8%)"2"+$!
故选'!
"#'0用隔板法解!
先在"、!
号箱中分别放&个和"个球,剩下的.
个球排成一行,插入两个隔板把它们分成三部分,如图,)9)))9))!
从左到右把第一、二、三部分分别放入&、"、!
号箱中,即可使每个箱子放球的个数不少于其编号!
而插入两个隔板的方法数有,"/2&$,故选'!
【评析】0解题时要突破两个难点:!
足球是相同的,故用隔板法;"要使每个箱子放球的个数不少于其编号可预先在"、!
号箱中分别放&个和"个球,则问题转化为向每个箱子放球的个数都不少于&!
!
#(理)-0当,4$时,坐标原点在抛物线内部*-($)2.
1$;当,1$时,坐标原点在抛物线内部*-($)2.
4$!
:坐标原点在抛物线内部*,.
1$!
:,&!
,&+'""·'&.
2&++,选-!
—$&—!
"(文)#$设男性选!
人,女性选"人,由已知有!
%&'"(')%('*(+!
'!
"{'*,选#+(",$考查分步计数原理和排列数公式,在%号位汽车选择的种数为,%-,其余位置的排列数为.
(/,故种数为,%-·.
(/,选,#)"(文),$设走上$级楼梯的走法有%$种#容易知道%%'%,%*'*#当$$0时,我们知道第一步有两种走法,跨一级或跨二级,所以我们可以把走法分为两类#第一类是第一步跨上一级,则剩下的是$1%级楼梯的走法为%$1%种;第二类是第一步跨上二级,则剩下的$1*级楼梯的走法为%$1*种#由分类计数原理有%$'%$1%2%$1*#所以有递推公式%$'%$1%2%$1*($$0),且%%'%,%*'*"于是有%0'0,%!
'(,%('-,%)'%0,%3'*%,%-'0!
,%/'((,故走上%&级楼梯共有-/种走法#【评析】$本题应用了分类计数原理和迭代的思想,锻炼了学生的逆向思维#思路:先把%$看作已知往前推,得到数列的递推公式%$'%$1%2%$1*#从而,我们只需得到%%'%,%*'*,即可依次求到3".
$本题考查排列组合的应用#首先分成两组,然后再选甲、乙两个部门,分组有:,%*·,%0·,*0,共有,%*·,%0,*0·,%*'0),故选.
#-".
$不同排法种数为:,%*.
((1,%*,%*·.
!
故选.
+/"(理),$本题考查有条件的排列组合的应用#由于千位、百位确定下来后十位、个位就随之确定,则只考虑千位、百位即可,千位、百位各有%&种选择,所以有%&4故选,#%&"#$本题考查椭圆标准方程的性质#由于焦点在"轴上,则必有&5%,在(个数中任取两个,大的为&,小的为%,则有,*(种,即%&个,故选##%%".
$本题等价于从3个车队抽出0辆车,分0种情况:!
0辆车来自同一车队,,%3种;"0辆来自*个车队,,%*,*3种;#0辆来自0个车队,,03种,故共有,%32,%*,*32,03'-!
种+%*"6$五个开关全闭合有%种情况能使电路接通;四个开关闭合有(种情况能使电路接通;三个开关闭合有-种情况能使电路接通;两个开关闭合有*种情况能使电路接通;所以共有%2(2-2*'%)种情况能使电路接通#%0"#$本题考查分步计数和分类计数原理的应用#0次传球到'有*种,!
次传球到'有&种,而每次传球有*种选择#若不考虑到'是否停,则(次传球有*('0*种,减去第0次传球到'且共传了(次的种数*·**'-种,7综上共计*20*1-'*)(种),故选##%!
",$解法一:直接法:每个顶点对着一个以三条面对角线组成的锐角三角形,故共-个,选,#解法二:间接法:在由这-个顶点中任意0个组成的三角形中,是直角三角形的有:以每个顶点为直角顶点能组成)个直角三角形,故共有,0-1)4-'-#选,#%(".
$本题考查考生的综合分析能力#由题中的条件知,三角形内部一个点,可比原来多出两个三角形(如下图),由分析知:%$2%1%$'*(%$表示三角形内部有$个点时组成不重叠的小三角形的个数),可看出,组成一个首项为0,公差为*的等差数列:%$'02($1%)4*($&!
),则当时,%$'02($1%)4*'02(*&&*1%)4故选.
+%)".
$本题考查排列组合的应用#本题采用插空方法求解,将三个亮的灯插入四个不亮的孔中有,!
(种情况,三个亮的灯有*·*·*种情况,则有-4,!
('-&种情况,故选.
#%3"6$本题考查排列组合的综合应用,分两种情况:8)这*位同学都不被邀请有,)-种;88)这*位中有一位被邀请有,%*,(-#综合8)、88)可得邀请方法有,)-2,%*,(-',*-2,%*·,0-'-43*2*4-434)04*'%!
&,故选6#%-"6$本题考查排列组合的应用和斜率与倾斜角之间的关系,倾斜角!
大于)&9,即或:;展开式中常数项为第七项为-39·(,&)&48,故选+'&0+6依题意有-)!
4-8!
,从而!
48%)4,1,展开的,,项中,中间项第3项最大,选+'【评析】6解题的关键在于熟悉二项式系数的性质:在("%/)!
展开式中,第1项的二项式系数为-1.
,!
,且中间项的二项式系数最大'另外还要注意组合数—&&—性质!
!
"的运用,本题中展开式的系数等于展开式的二项式系数#$%&'(($!
)*+)""(+*$!
))",设")%$为有理项,则%"$&,且,%%%","&!
#-要求"的最小值,只要求出%的最大值即可#又(只有.
个有理项,-&",,+,),$,/#-%012"+),从而"034"+)#故选&#【评析】'本题以二项展开式中的有理项为突破口,先用展开式的通项公式求出")%$,找到%与"的关系后,因为求的是"的最小值,故而利用最值代替的思想去求%的最大值,使得问题转化为简单易求的常见问题#/%5'令'"+得令'",得(,"+,【评析】'解这类题要注意技巧的运用#.
%&'原式"(+*')$[+#(+*')),,$]+#(+*')"#(+*')$*(+*')),,6',即求(+*')),,6中'/的系数,为!
/),,6#【评析】'解题思路:对于含因式数列应用等比数列求和公式,将因式处理成最简形式,再处理'$的系数;也可以分别对每一项处理'$的系数,再应用组合数公式!
"#+!
*!
"!
"!
"!
*+,求得最简结果#6%(理)7'考查极限的求法#由题可知,当'",时,(,""*+,(+")8+*)8)*)88"")*")")8+*")8"""("*+)+930"-:(),(+"930"-:("*+))"("*+)"930"-:"*+""+#故选7#(文)7'本题考查函数的综合应用#令)(')"(+('#+)/*()('#+)$*($('#+))*(/+(+"+,))+()#6故选7#;%&'本题考查二项式定理#第&*+项为:!
&;·((');#&"!
&·';#&,'$项系数为!
/;($,')的系数为!
.
;(),'.
系数为!
);(.
,由条件知(!
/;($))"!
);(.
·!
.
;(),解之得(").
0珠子从出口!
出来有,#种方法,从出口$出来有!
#种方法,从出口*出来有$#种方法,从出口-出来有*#种方法,从出口#出来有-#种方法,从出口0设&为"第二次取到新球",则%(&)4*#6$-5$#6*-4*#!
评析0解答本题要注意"无放回抽取"与"有放回抽取"的区别!
"无放回抽取"时样本总数发生变化;"有放回抽取"时样本总数不变!
—!
<—!
"(理)#$设所求的概率为!
",则的概率为!
"(%,而最大数在第"行的概率为""(")%)'*'")%,于是!
"*'")%!
"(%,又!
%*%,故得递推关系!
%*%,"*%,!
"*'")%!
"(%,"$'{$由于!
%*%,!
'*'+!
%,!
+*',!
',…,!
"*'")%!
"(%,以上各式相乘得!
"*'"(")%)!
$评析$直接求其概率不易,应运用数列的思想,即列出其递推关系式进行求解$,)…)!
"*!
(%(!
")%(!
$/"#$先验.
,得!
*0$+,逆想:0$0$0$120"3,故选#$评析$所给解法是解选择题特有的快法———先验.
,然后逆向思维$二、填空题%"+'3+$由题知:!
(0))%'!
(0))%''!
(0))…)%'1!
(0)*%,4!
(0)*+'3+$'"%3+0$.
''·(.
,,·.
++·.
'1).
%0%0*%3+0$评析$等可能事件&的概率的计算,关键是分清基本事件与事件&中包含的结果数'$+"(文)1!
$'!
$记黄色旗不在两端为事件&,则!
(&)*.
%1·.
33.
!
!
*1!
$记红色旗与蓝色旗相邻为事件(,则!
(()*.
''·.
33.
!
!
*'!
$评析$该题考查概率的计算,利用排列数、组合数公式求某事件发生时的概率$,"(文)%3$本题考查了等差数列的概念和概率计算"总的可能性是#+%0*%'0种,从小到大排成等差数列的可能性为'0种(其中公差为%的-种,公差为'的3种,公差为+的,种,公差为,的'种),故所求概率为'0%'0*%3"评析$等可能性事件的概率公式!
(&)*'"中,求'是关键"本题按公差的可能取值进行分类,当然也可按等差中项的可能取值进行分类"三、解答题%"(文)(%)!
*#%%'#1%%)#'%'#,%0)#+%'#,/#,%1#1%%*+,,11$(')!
*#+%'#,/.
++#,%1#1%%*',/%$评析$新高考将"考应用"转向现代数学的应用,考概率统计是其中的一个重点$本题是"古典概型",要熟练掌握古典概型公式!
(&)*'"*5678(&)5678())$'"记"第一套通讯设备能正常工作"为事件&,"第二套通讯设备能正常工作"为事件($由题意知!
(&)**+,!
(()**+,!
(6,!
(6$(%)恰有一套设备能正常工作的概率为!
(&·6()6&·()*!
(&·6())!
(6&·()**+(%(*+))(%(*+)*+*'*+('*3$(')解法一$两套设备都能正常工作的概率即为!
(&·()*!
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(()**3$能进行通讯的概率即至少有一套设备能正常工作的概率为!
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('*3)*3*'*+(*3$解法二$两套设备都不能正常工作的概率为!
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(6()*(%(*+)'$能进行通讯的概率即至少有一套设备能正常工作的概率为%(!
(6&·6(6&)·!
(6()*%((%(*+)'*'*+(*3$答:恰有一套设备能正常工作的概率为'*+('*3,能进行通讯的概率为'*+(*3$评析$概率知识的复习应当紧扣课本与历年高考试题,抓住基本概念、基本公式的学习和理解,不需要过多地做难题、偏题、怪题$+"(%)由于第"次到顶点&是从(、+、,三个顶点爬行而来,从其中任何一个顶点到达&的概率都是%+,而第"(%次在顶点&与小虫在顶点(、+、,是对立事件,因此,第"次到达顶点&的概率为!
"*%+,即!
"(%,*(%+!
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%(%,*+,为首项,公比为(%+的等比数列,4!
"*+,·(()%+"(%)%,$故!
"*%,"*%;+,((%+)"(%)%,,"$'{$(')第'001次爬行到顶点&的概率!
'001*+,·—'3—!
()"#'"(7"(!
()由于每组同学可以等可能的去*个社区中的任一社区,每组都有*种等可能的方法,根据分步计数原理,(个小组的同学安排在某街道的*个社区进行社会实践共有*(种方法!
(")指定的(个社区各有"组同学,有+((种方法,所以"(#),+((*(,"&(!
($)恰有(个社区各有"组同学,可分两步完成,!
从*个社区中选出(个有-(*种方法,"(个小组每组去"个社区有+((种方法,于是有"($),-(*·+((*(,&".
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(#)从(组同学中选$组去指定的某个社区,共有-$(种选法,余下$组每组都可去&个社区中的任"个,有&$种方法,/"(%),-$(·&$*(,$&$"*!
&)(")正面向上次数概率"(&)".
#.
#.
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正面向上次数'$"%概率"(')"("$"(($)甲获胜,则&0'!
当&,#时,',$,",%,其概率为".
1"('"$'()"(,".
;当&,$时,',",%,其概率为#.
1"$'()"(,2#$;当&,"时,',%,其概率为#.
1"(,##$;所以甲获胜的概率为".
'2#$'##$,"$!
*)(")每天不超过$%人排队结算的概率为3&,即不超过$%人排队结算的概率是%!
3&!
($)每天超过"&人排队结算的概率为"$,一周3天中,没有出现超过"&人排队结算的概率为-%3("$)3;一周3天中,有一天出现超过"&人排队结算的概率为-"3("$)("$)*;一周3天中,有两天出现超过"&人排队结算的概率为-$3("$)$("$)&;所以有#天或#天以上出现超过"&人排队结算的概率为"!
[-%3("$)3'-"3("$)("$)*'-$3("$)$("$)&],22"$.
0%!
3&,所以,该商场需要增加结算窗口!
评析4此题是图表信息题,通过图表提供的数据,结合概率知识求解!
对于第(")问选出满足条件的,利用概率的加法求解,注意关键词"不超过",即小于或等于!
对于第($)问考查了独立重复试验,做独立重复试验问题的步骤为:!
确定在"次试验中某事件发生的概率"!
"在'次独立重复试验中这个事件恰好发生(次的概率为"'((),-('"(("!
")'!
(!
3)(文)(")用#表示事件"他喝了"瓶甲饮料",则#就表示"他没有喝甲饮料"!
因此,选取的人没喝甲饮料的概率"(#),"!
#*&%,%!
$.
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($)用$表示事件"他喝了"瓶乙饮料但是没有喝甲饮料",%表示事件"他两种饮料都没有喝",则$和%互斥,并且由"(#),"($)'"(%),得"($),"(#)!
"&&%,%!
".
!
.
)(")从图中可以看出,三个课外兴趣小组总人数为*%!
用#表示事件"选取的成员只属于一个小组",则#就表示"选取的成员属于至少两个小组",于是"(#),"!
"(#),"!
*%,#&!
因此,随机选取的一个成员属于至少两个小组的概率是#&!
($)用$表示事件"选取的成员属于#个小组",则$就表示"选取的成员属于不超过$个小组",于是,"($),"!
.
*%,"#"&)所以随机选取的一个成员属于不超过$个小组的概率是"#"&!
评析4本题将集合的图示与概率交汇于一题,似乎有点新意!
这种看图、识图、用图也是很符合我们这个"读图时代"的!
2)(")记"&个人随意坐,&个人都坐到各自的指定席位上"为事件#,事件#发生的概率"(#),"+&&,""$%!
($)三个人到各自的指定席位上就坐,而其余两人都不坐到各自的席位的情况有-#&1"1"种,记"&个人中恰—#*—有三个人坐到各自的指定席位上"为事件!
,事件!
发生的概率"(!
)!
"#'$$!
&&(#评析)高考对概率内容的考查,往往以实际应用题为主,这既是这类问题的热点,也符合高考发展方向,要以课本概念和方法为主,熟练技能,巩固概念#&*+(理)设"$为在$**次抛掷中&点恰出现$次的概率,则由独立重复试验概率公式得"$!
"$&,$·&-()&,$**-$,令"$.
&"$/&+"$.
&$**(&,)$.
&·(&-&,)"$$**·()&,$·&-()&,$**-$/&+$**-$$($.
&)/&+$01(+$#即当&%$%1(时,"$.
&/"$,"$递增;当1#%$%$**时,"$.
&0"$,"$递减,且"$.
&"$0&#故"1#最大,即&点出现1#次的概率最大#(文)因为基本事件总数%!
"($*,从&到$*中能被#整除的数有#,,,2等&,个数,被#除余&的数有&3个,被#除余(的数有&3个,按题意:(&)"&!
"(&,.
"&&3·"&&3"($*!
4*2&(($#(()1&,&(($#评析)概率是新教材中新增的内容,求解概率问题会涉及到许多数学思想,在学习中要注意灵活运用,这将有助于提高数学素质和思维能力,增强分析问题、解决问题的能力#&&+(&)甲至少获得#个商标的概率为"#$.
"4$.
"$$($!
&(#(()甲、乙两位选手中至少有一位获得&个或&个以上商标的概率为&-"$$&($·"$$&($!
&-&&*(4!
&*(#&*(4/*#22#故有22&的把握作如此断定#评析)高考对概率内容的考查,往往以实际应用题为主,这既是这类问题的热点,也符合高考发展方向,要以课本概念和方法为主,熟练掌握基本技能,巩固概念#&(+(文)(&)5,人坐法的可能结果有',,种,指导教师不坐在后排的可能结果有'&#'$$种,6指导教师不坐在后排的概率"!
'&#'$$',,!
&(#(()记$人同时达标的事件为',每个人达标的概率为"!
(#,则$人同时达标的概率是"(')!
"$$((#)$(&#)$-$!
1*(4#,可得$!
#或4#评析)本题考查了等可能事件、%次独立重复试验中恰好发生(次的事件的概率的计算,以及分析问题解决问题的能力#古典概率是学习概率与统计的起点,而掌握古典概率的前提是熟练地掌握排列、组合的基本知识#&#+(理)(&)抽到的次品数!
7!
所以抽到#件次品的概率是"%*#1*!
*#**1#(()抽到的次品数!
的可取值(!
*,&,(,##由!
7!
(#,*+(),得"%*#1#-(((!
*,&,(,#),所以抽到的次品数!
的分布列是14*#*2,*#**1数学期望评析)识破本题的随机变量服从于二项分布,问题便快速解出#(文)(&)记'(!
{第(次抽到次品,其他两次没有抽到次品},(!
&,(,##所以恰好抽到&件次品的概率为"!
"('&).
"('().
"('#)!
(&*%12%31.
1&*%(2%31.
1&*%32%(1!
3&$#(()抽到次品的事件是三次都抽到正品的事件的对立事件,所以抽到次品的概率为"*!
&-1&*%32%,1!
1&$#评析)求概率的难点有二:第一,要弄清所求概率的事件是什么,并用已知或可求概率的事件表示出来;第二,区分概率类型:是用古典法,还是加乘法,还是逆算#本题之(&)是用互斥事件的加法,而(()是逆算#本题还有一个难点:要注意"不放回"抽样!
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