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com/doc/840ab286d39760825a883402信号与系统(第二版)余成波主编清华大学出版社课后习题答案信号与系统(第二版)余成波主编清华大学出版社课后习题答案http://www.
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com第一章信号与系统的基本概念1.
1学习重点、信号与系统的基本概念,信号的分类,会画信号的波形.
、常用基本信号(连续时间信号和离散时间信号)的时域描述方法、特点以及性质,并会灵活运用性质.
、信号的时域分解、变换与时域运算,及其综合运用.
4、深刻理解线性时不变系统的定义与性质,并会应用这些性质.
5、利用MATLAB表示信号、实现信号的基本运算.
1.
2教材习题同步解析.
1下列信号中哪些是周期信号,哪些是脉冲信号哪些是能量信号,它们的能量各为多少哪些是功率信号,它们的平均功率各为多少(1)ε(t)(2)ε(t)ε(t1)(3)ε(t)(4)3cos(ω0tθ)1t(5)3ej(ω0θ)(6)eatcosω0tε(t)(7)3tε(t)(8)cosω0tωtsin045【知识点窍】本题考察周期信号、脉冲信号、能量信号、功率信号的概念【逻辑推理】时间间隔无穷大时,周期信号都是功率信号,只存在有限时间内的信号是能量信号.
信号总能量为有限值而信号平均功率为零的是能量信号;信号平均功率为有限值而信号总能量为无限大的是功率信号.

解:(1)ε(t)是功率信号,其平均功率:=limE=∞T→∞2T[ε(t)]dt=∫T(2)ε(t)ε(t1)是脉冲信号,其为能量信号,能量为:=lim[ε(t)ε(t1)]T→∞∫T://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402ar2=∫0[ε(t)ε(t1)]dt=1=0(3)ε(t)是能量信号,其能量为:1t∞11=lim∫ε(t)dt=∫ε(t)dt=1tT→∞T1t=lim→∞2T1ε(t)∫Tdt=01t(4)3cos(ω0tθ)是功率信号,其平均功率为:=lim→∞2T[3cos(ωtθ)]dt=lim0∫TT→∞T∫T(ω0tθ)1199=lim2T=→∞2T222=lim[3cos(ω0tθ)]T→∞∫Tdt=∫∞[3cos(ω0tθ)]dt=∞∞(5)3ej(ω0θ)为功率信号,其平均功率为:=9e2j(ω0θ)=lim→∞T([3e∫ω0θ)2]dt=lim9e→∞2j(ω0θ)T=∞(6)eatcosω0tε(t)为能量信号,其能量为:=lim∫[e→∞Tatω0tε(t)]dt=lim∫0e2atcos2ω0tdt://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402rT→∞=lim→∞0∫2atω0t11=24aω04a1a2=0(7)3tε(t)既非能量信号又非功率信号,因其:=limT→∞2T[3tε(t)]dt=∞∫T=lim(8)cos[3tε(t)]T→∞∫T=∫0[3tε(t)]dt=∞∞ω0tωtsin0为功率信号,其平均功率为45ω0t1ω0tP=limcossindtT→∞2T∫T45ω0tω0t1T2ω0t2ω0t=limcos2cossinsindtT→∞2T∫T4455ω0tcos1Tcosω0t19ω0tω0t5=limsinsindt→∞2T∫T22020211=lim2T2TT→∞2T22T2=1E=∞.
2试画出下列各函数式表示的信号的波形.
(1)cosωtε(t)(2)cosωtε(tt0)(3)cos[ω(tt0)]ε(t)(5)ε(t0t)>0>0>0(4)cos[ω(tt0)]ε(tt0)>0>0(6http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402)ε(t02t)(7)ε(t02t)ε(t02t)t0>0(8)ε[sinπt](9)2nε[n](10)2(n2)ε[n2](11)nε[n2](12)sinn【知识点窍】本题考察基本信号的绘制及自变量变换导致信号变换的概念【逻辑推理】本题用到了基本信号的性质及信号的时域运算与变换.
解:(1)cosωtε(t)函数式的信号的波形如图1.
1(c)所示.
.
(2)cosωtε(tt0)15>0函数式的信号的波形如图1.
2(b)所示.
.
(a)(b)(c)[此处图片未下载成功]图1.
1(a)(b)图1.
2(3)cos[ω(tt0)]ε(t)>0函数式的信号的波形如图1.
3(b)所示.
.
>0函数式的信号的波形如图1.
4所示.
.
(4)cos[ω(tt0)]ε(tt0)[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功]5)ε(t0t)6)ε(t02t)(a)(b)图1.
3图1.
4>0函数式的信号的波形如图1.
5(b)所示.
.
t0>0函数式的信号的波形如图1.
6所示.
.
[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功](([此处图片未下载成功]://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402ar(a)(b)图1.
5[此处图片未下载成功]图1.
6(7)ε(t02t)ε(t02t)t0>0函数式的信号的波形如图1.
7(c)所示.
.
[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功](a)(b)[此处图片未下载成功](c)图1.
7[此处图片未下载成功](8)ε[sinπt]函数式的信号的波形如图1.
8(b)所示.
.
[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功](a)(b)图1.
8(9)2nε[n]函数式的信号的波形如图1.
9(c)所示.
.
(a)(b)(c)图1.
9(10)2(n2)ε[n2]函数式的信号的波形如图1.
10所示.
.
[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功]图1.
10(11)nε[n2]函数式的信号的波形如图1.
11(c)所示.
.
(a)(b)(c)图1.
11(12)sinn函数式的信号的波形如图1.
12所示.
.
15://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402ar图1.
12.
3试写出图1.
13所示各信号的表达式.
[此处图片未下载成功](a)(b)图1.
13【知识点窍】本题考察信号的概念.
【逻辑推理】本题用到了基本信号的性质及描述.
解:(a)由图1.
13(a)可得:t1f(t)=10(b)由图1.
13(b)可得:≤t≤22<t≤4其它t20≤t≤2(t)=2t82<t≤40其它.
4已知信号f(t)的波形如图1.
14所示.
试画出下列各信号的波形.
(1)f(2t)(2)f(t)ε(t)(3)f(t3)(4)f(t3)ε(t3)[此处图片未下载成功](5)f(t2)(6)f(2t)(7)f(2t)ε(2t)(8)f(2t)ε(t)(9)f(t1)[ε[此处图片未下载成功](t)ε(t2)]图1.
14【知识点窍】本题考察信号的绘制及自变量变换导致信号变换的概念【逻辑推理】本题用到信号的时域运算与变换.
解:(1)f(2t)信号的波形如图1.
15所示.
(2)f(t)ε(t)信号的波形如图1.
16所示.
[此处图片未下载成功]图1.
15图1.
16(3)f(t3)信号的波形如图1.
17所示.
(4)f(t3)ε(t3)信号的波形如图1.
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com/doc/840ab286d39760825a88340218所示.
[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功]图1.
17图1.
18[此处图片未下载成功](5)f(t2)信号的波形如图1.
19所示.
(6)f(2t)信号的波形如图1.
20所示.
(7)f(2t)ε(2t)信号的波形如图1.
21所示.
(8)f(2t)ε(t)信号的波形如图1.
22所示.
(9)f(t1)[ε(t)ε(t2)]信号的波形如图1.
23所示.
[此处图片未下载成功]图1.
19图1.
20[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功](a)(b)[此处图片未下载成功](c)图1.
21[此处图片未下载成功](a)(b)(c)(a)(c)(d)图1.
22[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功](b)(d)图1.
23图1.
24http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402.
5已知信号f(52t)的波形如图1.
24所示,试画出f(t)的波形图,并加以标注.
【知识点窍】本题考察信号的简单处理.
【逻辑推理】在信号的简单处理中常有综合时移、折叠与展缩,可以针对相应波形分步处理.
通常,在处理与本题相同情况,采用展缩、折叠、时移顺序比较好.
解:f(52t)是将f(t)经过时移、折叠、展缩三种变换后得到的.
三种变换的次序是可以任意的,故一共有六种途径.
下面用介绍其中四种方法求解.
在求解过程中要特别注意冲激函数的展缩变换.
方法一:时移→折叠→展缩左时移555f[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功](52t)=f2(t)f2(t)=f(2t)=f[2(t)]22折叠展宽1倍f(2t)f2×t=f(t)其波形依次如图1.
25(a)(b)(c)所示.
(a)(b)(c)图1.
25方法二:折叠→时移→展缩[此处图片未下载成功]右时移折叠555f(5[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功]2t)f(52t)=f2tf2t=f(2t)2展宽1倍2×t=f(t)其波形依次如图1.
26(a)(b)(c)所示.
(a)(b)http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402(c)图1.
26方法三:展缩→折叠→时移展宽1倍1折叠右时移5f(52t)f52×tf(t)=f(5t)f(5t)=f(t5)其波形依次如图1.
27(a)(b)(c)所示.
图1.
27方法四:时移→展缩→折叠5左时移5f[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功](52t)=f2(t)2展宽1倍552(t)=f(2t)22折叠2×t=f(t)f(t)其波形依次如图1.
28(a)(b)(c)所示.
由此可知,通常在求解时选择方法三为好.
图1.
28.
6(1)已知离散时间信号f[n]如图1.
29(a)所示,试画出下列各信号的波形图,并加以标注.
nf,n为3的倍数(a)f[4n](b)f[2n1](c)f[n]=30,n为其它(2)对图1.
29(b)所示的信号h(n),试画出下列各信号的波形,并加以标注.
(a)h[2n](b)h[n2](c)h[n2]h[n1]图1.
29【知识点窍】本题考察离散信号自变量变换导致信号变换的概念【逻辑推理】本题用到离散信号的时域运算与变换.
包括有时移、折叠、尺度变换(内插零和抽取).
解:(1)(a)f[4n]信号波形图如图1.
30(b)所示.
[此处图片未下载成功][此处图片未下载http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功](a)(b)图1.
30(b)f[2n1]信号波形图如图1.
31所示.
图1.
31nf,n为3的倍数(c)f[n]=信号波形图如图1.
32所示.
30,n为其它如图1.
32(2)(a)h[2n]信号波形图如图1.
33所示.
图1.
33(b)h[n2]信号波形图如图1.
34所示.
[此处图片未下载成功]图1.
34(c)h[n2]h[n1]信号波形图如图1.
35(c)所示.
[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功](a)(b)(c)图1.
35.
7判断下列各信号是否是周期信号,如果是周期信号,求出它的基波周期.
(1)f(t)=2cos3tπ(3)f(t)=e(5)f[n]=(πt1)(π2(2)f[n]=cosjπ)()(4)f[n]=e)∑[δ(n3m)δ(n13m)]=0∞(6)f(n)=2cosπnπnπnπsin2sin4826【知识点窍】本题考察周期信号的判别方法和复合http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402信号的周期计算方法【逻辑推理】包含几个不同频率余弦分量的复合,信号的周期T是各分量信号周期(i=1,2,3,L)的整数倍,即T=miti=miπ.
因此只要找到几个整数公因子的正整数ωi,m2,L,mn使ω1:ω2:Lωn=m1:m2:Lmn成立,可判定该信号为周期信号.
解:周期信号必须满足两个条件:定义域t∈R,有周期性.
两个条件中缺少任何一个,则就不是周期信号了.
(1)f(t)=2cos3tπ(π)是周期信号,其周期T=s32π8π(2)f[n]=cosm=72是周期信号,其周期N=0(3)f(t)=ej(πt1)是周期信号,其周期T=()π=2s[此处图片未下载成功]π(4)f[n]=e(5)f[n]=π)不是周期信号.
∑[δ(n3m)δ(n13m)]是周期信号,其周期N=3=0∞(6)f(n)=2cosπnπnπnπsin2sin是周期信号,其中4826=8,N2=16,N3=4则有信号f[n]的基波信号为N=16.
8(1)设f1(t)和f2(t)都是周期信号,其基波周期分别为T1和T2.
在什么条件下,和式f1(t)f2(t)是周期的如果该信号是周期的,它的基波周期是什么(2)设f1[n]和f2[n]都是周期信号,其基波周期分别为N1和N2.
在什么条件下,和式[n]f2[n]是周期的如果该信号是周期的,它的基波周期是什么【知识点窍】本题考察周期信号的判别方法和复合信号的周期计算方法【逻辑推理】复合信号的基波周期http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402为各分周期信号的周期的最小公倍数.
解:(1)因为f1(t)和f2(t)都是周期信号,其基波周期分别为T1和T2,所以有(t)=f1(tn1T1)f2(t)=f2(tn2T2)为整数n2为整数故要使:f1(t)f2(t)=f1(tn1T1)f2(tn2T2)是周期信号,则必须是:T1=n2T2=T0即,当f1(t)和f2(t)的周期满足期是T1和T的最小公倍数.
n1==有理数时,和式f1(t)f2(t)是周期的,其基波周T1n2(2)f1[n]和f2[n]都是周期信号,其基波周期分别为N1和N2,所以有[n]=f1[nm1N1]f2[n]=f2[nm2N2]为整数m2为整数故要使:f1[n]f2[n]=f1[nm1N1]f2[nm2N2]是周期信号,则必须是:N1=m2N2=N0即,当f1[n]和f2[n]的周期满足=有理数时,和式f1[n]f2[n]是周期的,其基波周期是N1和N2的最小公倍数.
.
9已知系统的输入、输出和初始状态的关系式如下,它们是否线性系统,为什么其中y(t0)和[n0]分别代表连续系统和离散系统初始观察时刻t0和n0的唯一的初始状态,f(t)和f[n]分别代表连续系统和离散系统的输入,y(t)和y[n]分别代表连续系统和离散系统的输出.
(1)y(t)=y(t0)f(t)(2)y[n]=y[n0]f[n](3)y(t)=lny(t0)3tf(t)(4)y[n]=ny[n0]=n0∑f[n][n](5)y(t)=y(t0)f://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402r2(t)(6)y[n]=y2[n0](7)y(t)=sintf(t)(8)y[n]=sin(9)y(t)=(t)(10)y[n]=f2[n]dtπf[n]2【知识点窍】本题考察线性系统的判定.
【逻辑推理】对于线性连续系统,其满足条件是齐次性与叠加性,即若f1(t)→y1(t)(t)→y2(t)则有k1f1(t)k2f2(t)→k1y1(t)k2y2(t)对于线性离散系统则有k1f1[k]k2f2[k]→k1y1[k]k2y2[k]其中k1,k2为任意常数.
解:(1)零输入响应和零状态响应均呈线性,根据线性系统的定义,故该系统为线性系统.
(2)该系统为线性系统.
(3)零输入响应和零状态响应均不呈线性,根据线性系统的定义,故该系统不是线性系统.
(4)该系统不是线性系统.
(5)零状态响应不呈线性,根据线性系统的定义,故该系统不是线性系统.
(6)零输入响应和零状态响应均不呈线性,根据线性系统的定义,故该系统不是线性系统.
(7)该系统不是线性系统.
(8)该系统不是线性系统.
(9)该系统是线性系统.
(10)该系统不是线性系统.
.
10已知系统的输入和输出关系式如下,它们是否时不变系统,为什么其中f(t),f[n],y(t),y[n]的意义同题1-9.
(t)(2)y[n]=f2[n](t)(3)y(t)=(4)y[n]=f[n]f[n1(1)y(t)=f://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402(5)y(t)=f(t)f(t1)(6)y[n]=f[n]f[n1](7)y(t)=tf(t)(8)y[n]=nf[n](9)y(t)=sintf(t)(10)y[n]=sin(11)y(t)=π[n]2∫∞(τ)dτ(12)y[n]==M∑f[nk]【知识点窍】本题考察时不变系统的判定.
【逻辑推理】如果激励是f(t)(或f[k]),系统产生的响应为y(t)(或y[k]),当将激励的时间延迟τ为f(tτ)(或f[kτ]),则其输出响应也相同地延迟τ时间为y(tτ)(或y[kτ]),它们之间的变化规律仍保持不变,其波形保持不变.
即:若f(t)→y(t)则有f(tτ)→y(tτ)若f[k]→y[k]则有f[kτ]→y[kτ]解:(1)对于该系统有(t)→y1(t)=f1(t)则有:(tτ)=f1(tτ)(tτ)→y2(t)=f1(tτ)=y1(tτ)故该系统为时不变系统.
(2)对于该系统有[n]→y1[n]=f1[n]则有:[nk]=f1[nk][nk]→y2[n]=f1[nk]=y1[nk]故该系统为时不变系统.
(3)对于该系统有(t)→y1(t)=则有:(t)://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402ary1(tτ)=(tτ)df1(t)=dtτdt(tτ)→y2(t)=故该系统为时不变系统.
(4)对于该系统有(tτ)df1(t)==y1(tτ)dtdt[n]→y1[n]=f1[n]f1[n1则有:[nk]=f1[nk]f1[nk1[nk]→y2[n]=f1[nk]f1[nk1=y1[nk]故该系统为时不变系统.
(5)对于该系统有(t)→y1(t)=f1(t)f1(t1)则有:(tτ)=f1(tτ)f1(tτ1)(tτ)→y2(t)=f1(tτ)f1(tτ1)=y1(tτ)故该系统为时不变系统.
(6)对于该系统有[n]→y1[n]=f1[n]f1[n1]则有:[nk]=f1[nk]f1[nk1][nk]→y2[n]=f1[nk]f1[nk1]=y1[nk]故该系统为时不变系统.
(7)对于该系统有(t)→y1(t)=tf1(t)则有:(tτ)=(tτ)f1(tτ)(tτ)→y2(t)=tf1(tτ)≠y1(tτ)故该系统为时变系统.
(8)对于该系统有[n]→y1[n]=nf1[n]则有:[nk]=[nk]f1[nk][nk]→y2[n]=nf1[nk]≠y1[nk]故该系统为时变系统.
(9)对于该系统有f1(t)→y1(t)=sintf1(t)则有:(tτ)=sin(tτ)f1(tτ)(thttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402τ)→y2(t)=sintf1(tτ)≠y1(tτ)故该系统为时变系统.
(10)对于该系统有[n]→y1[n]=sin则有:π[n]2[nk]=sinkπf[nk]π[nk]≠y1[nk]2[nk]→y2[n]=sin故该系统为时变系统.
(11)对于该系统有(t)→y1(t)=∫则有:t1∞(τ)dτ(tt1)=∫(tt)→y2(t)=∫故该系统为时不变系统.
(12)对于该系统有∞∞(τ)dτt1∞(τt1)dτ=∫(T)dT=y1(tτ)[n]→y1[n]=则有:=M∑f[nk][nm]=m=Mm∑f[nmk]=M[nm]→y2[n]=故该系统为时变系统.
∑f[nmk]≠y[nm]1.
11一线性连续系统在相同的初始条件下,当输入为f(t)时,全响应为y(t)=2etcos2t,当输入2f(t)时,全响应y(t)=et2cos2t.
求在相同的初始条件下,输入为4f(t)时的全响应.
【知识点窍】本题考察线性系统的响应函数的求法.
【逻辑推理】从一定初始条件和一定激励来求取系统响应,即求取描述该系统的常http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402系数线性微分方程.

解:设系统的零状态响应为yzs(t),零输入响应为yzi(t)则有:(t)=yzs1(t)yzi1(t)=2etcos2t①(t)=yzs2(t)yzi2(t)=et2cos2t②因f1(t)=f(t),f2(t)=2f(t),有f2(t)=2f1(t)根据已知条件以及LTI系统的性质,则有:yzi1(t)=yzi2(t)(t)=2y(t)zs2zs1将以上两式代入①、②中求得:(t)=3et(t)=cos2tet当激励为4f(t)时,系统的全响应为:(t)=yzs3(t)yzi3(t)=4yzs1(t)yzi1(t)=4cos2tet3et=4cos2tet.
121.
考虑具有下列输入输出关系的三个系统:系统1;y[n]=f[n]系统2;y[n]=f[n]系统3;y[n]=f[2n](1)若它们按图1.
36那样连接,求整个系统的输入输出关系.
(2)整个系统是线性吗是时不变的吗()[n1]f[n2]24f[此处图片未下载成功][n]y[n]图1.
36.
如果图中三个系分别为系统1和系统3:y[n]=f[n]系统2:y[n]=af[n1]bf[n]cf[n1]其中,a,b,c均为实数.
求级联系统的输入输出关系.
且a,b,c满足什么条件时:(1)整个系统线性时不变.
(2)整http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402个系统的输入输出关系与系统2相同.
(3)整个系统是因果的.

【知识点窍】本题考察线性系统与时不变系统的性质.
【逻辑推理】如果激励是f(t)(或f[k]),系统产生的响应为y(t)(或y[k]),当将激励的时间延迟τ为f(tτ)(或f[kτ]),则其输出响应也相同地延迟τ时间为y(tτ)(或y[kτ]),它们之间的变化规律仍保持不变,其波形保持不变.
线性系统满足是齐次性与叠加性.
解:1.
(1)整个系统输入输出关系[n]=f[2n][2n1]f[2n2]24(2)整个系统是线性的,是时变的.
2.
此时整个系统输入输出关系[n]=af[n1]bf[n]cf[n1](1)整个系统是线性时不变系统.
(2)若要整个系统的输入输出关系与系统2相同,则a=c.
(3)整个系统是因果的,则响应不出现在激励作用之前,所以有a=0.
.
13已知系统的输入和输出关系为:y(t)=f(t)f(t1试判断该系统(a)是否是线性的(b)是否是时不变的(c)当输入f(t)如图1.
37所示时,画出响应y(t)的波形.
【知识点窍】本题考察线性系统与时不变系统的性质.
【逻辑推理】如果激励是f(t)(或f[k]),系统产生的响应为y(t)(或y[k]),当将激励的时间延迟τ为f(tτ)(或f[kτ]),则其输出响应也相同地延迟τ时间为y(tτ)(或y[kτ]),它们之间的变化规律仍保持不变,其波形保持不变.
线性系统满足是齐次性与叠加性.
解:(a)该系统是非线性的(b)对此系统,输入为f1(t)时,有(t)→y1(t)=f1(t)f(t1)则有y1(tτ)=f1(tτ)f(tτ1(tτ)→y2(t)=f1(tτ)f(tτ1=y1(tτ)故该系统为时不变系统.
(c)当输入f(t)如图1.
3http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a8834027所示时,响应y(t)的波形如图1.
38(b).
[此处图片未下载成功]图1.
37[此处图片未下载成功](a)(b)图1.
38.
14一个LTI系统,当输入f(t)=ε(t)时,输出为y(t)=etε(t)ε(1t),求该系统对图1.
39所示输入f(t)时的响应,并概略地画出其波形.
[此处图片未下载成功]图1.
39[此处图片未下载成功]【知识点窍】本题考察线性系统与时不变系统的性质.
【逻辑推理】如果激励是f(t)(或f[k]),系统产生的响应为y(t)(或y[k]),当将激励的时间延迟τ为f(tτ)(或f[kτ]),则其输出响应也相同地延迟τ时间为y(tτ)(或y[kτ]),它们之间的变化规律仍保持不变,其波形保持不变.
线性系统满足是齐次性与叠加性.
解:由图1.
39可得,输入f2(t)=ε(t1)ε(t2)=f1(t1)f1(t2)当输入f1(t)=ε(t)时,输出为y1(t)=etε(t)ε(1t)根据LTI系统的时不变特性,有:(t1)=e(t1)ε(t1)ε(t)(t2)=e(t2)ε(t2)ε(1t)则当输入f2(t)=ε(t1)ε(t2)=f1(t1)f1(t2)时,输出响应为(t)=e(t1)ε(t1)e(t2)ε(t2)ε(t)ε(1t)其波形图如图1.
40(d)[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功](a)(b)(c)http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402(d)图1.
40[此处图片未下载成功]1.
15一个LTI系统的输入f(t)和输出y(t)如图1.
41所示.
试求该系统对阶跃信号ε(t)的响应.
[此处图片未下载成功]图1.
41【知识点窍】本题考察线性系统与时不变系统的性质.
【逻辑推理】如果激励是f(t)(或f[k]),系统产生的响应为y(t)(或y[k]),当将激励的时间延迟τ为f(tτ)(或f[kτ]),则其输出响应也相同地延迟τ时间为y(tτ)(或y[kτ]),它们之间的变化规律仍保持不变,其波形保持不变.
线性系统满足是齐次性与叠加性.
解:见图1.
41,可以得到:(t)=ε(t)ε(t1)ε(t2)ε(t3)系统对ε(t)的响应称为阶跃响应,以g(t)表示,于是对于f(t)的响应y(t)可以表示为:(t)=g(t)g(t1)g(t2)g(t3)借助图解法可求出阶跃信号ε(t)的响应g(t).
下面按照时间区间分别进行求解:(1)t:(0,1)在0<t<1时,输入只有ε(t),此时(t)=y(t)=sinπt(0<t<1)按照时不变特性,可得(t1)=sinπ(t1)(1<t<2)g(t2)=sinπ(t2)(2<t<3)g(t3)=sinπ(t3)(3<t<4)按上式,g(t),g(t1),g(t2),g(t3)示于图1.
42上.
图1.
42(2)t:(1,2)在1<t<2时,输入f(t)为:(t)=ε(t)ε(t1)而输出信号y(t)为(t)=g(t)g(t1)=0(thttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402)=g(t1)=sinπ(t1)(1<t<2)按照时不变特性,可得[此处图片未下载成功]g(t1)=sinπ(t2)(2<t<3)g(t2)=sinπ(t3)(3<t<4)g(t3)=sinπ(t4)(4<t<5)按上式,g(t),g(t1),g(t2),g(t3)在上述区间的图形示于图1.
43上.
[此处图片未下载成功]图1.
43(3)t:(2,3)在2<t<3时,输入f(t)为:(t)=ε(t)ε(t1)ε(t2)图1.
44输出信号y(t)为(t)=g(t)g(t1)g(t2)=sinπ(t2)(2<t<3)按照上几节的结果,在2<t<3时:(t1)=sinπ(t2)(2<t<3)g(t2)=sinπ(t2)(2<t<3)故g(t)=sinπ(t2)(2<t<3)按照时不变特性,可得(t1)=sinπ(t3)(3<t<4)g(t2)=sinπ(t4)(4<t<5)g(t3)=sinπ(t5)(5<t<6)[此处图片未下载成功]按上式,g(t),g(t1),g(t2),g(t3)在上述区间的图形示于图1.
44上.
(4)t:(3,4)在3<t<4时,输入f(t)为:(t)=ε(t)ε(t1)ε(t2)ε(t3)输出信号y(t)为://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402r[此处图片未下载成功](t)=g(t)g(t1)g(t2)g(t3)=0图1.
45按照上几节的结果,在3<t<4时:(t1)=sinπ(t3)(3<t<4)g(t2)=sinπ(t2)(3<t<4)g(t3)=sinπ(t3)(3<t<4)故g(t)=sinπ(t3)(3<t<4)按照时不变特性,可得(t1)=sinπ(t4)(4<t<5)g(t2)=sinπ(t5)(5<t<6)g(t3)=sinπ(t6)(6<t<7)按上式,g(t),g(t1),g(t2),g(t3)在上述区间的图形示于图1.
45上.
继续做下去,即可得到:(t)=sinπtε(t).
16某LTI离散系统,已知当激励为图1.
46(a)的信号f1[n](即单位序列δ[n])时,其零状态响应如图(b)所示.
求:(1)当激励为图(c)的信号f2[n]时,系统的零状态响应;(2)当激励为图(d)的信号f3[n]时,系统的零状态响应.

[此处图片未下载成功]图1.
46【知识点窍】本题考察LTI离散系统的响应函数的求法.
【逻辑推理】利用了LTI离散系统的线性性质与时不变性质.
解:(1)由图(c)可知:f2[n]=f1[n1]f1[n2]f1[n3]根据LTI系统的叠加性,当激励为信号f2[n]时,系统的零状态响应:[n]=yzs1[n1]yzs1[n2]yzs1[n3]由图(b)可得到:yzs1[n]=δ[n1]δ[n2]δ[n3]进而:http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402[n1]=δ[n2]δ[n3]δ[n4]yzs1[n2]=δ[n3]δ[n4]δ[n5]yzs1[n3]=δ[n4]δ[n5]δ[n6]所以有:[n]=yzs1[n1]yzs1[n2]yzs1[n3]=δ[n2]2δ[n3]3δ[n4]+2δ[n5]δ[n6](2)由图(d)可知:f3[n]=f1[n1]2f1[n2]3f1[n3]根据LTI系统的叠加性,当激励为信号f3[n]时,系统的零状态响应:[n]=yzs1[n1]2yzs1[n2]3yzs1[n3]由图(b)可得到:[n]=δ[n1]δ[n2]δ[n3]进而:[n1]=δ[n2]δ[n3]δ[n4]yzs1[n2]=δ[n3]δ[n4]δ[n5]yzs1[n3]=δ[n4]δ[n5]δ[n6]所以有:[n]=yzs1[n1]2yzs1[n2]3yzs1[n3]=δ[n2]3δ[n3]6δ[n4]+5δ[n5]3[n6].
17线性非时变因果系统,当激励f(t)=ε(t)时,零状态响应yzs(t)=etcostε(t)[ε(tπ)ε(t2π)].
求当激励f(t)=δ(t)时的响应h(t).
【知识点窍】本题考察线性非时变因果系统响应函数的求法.
【逻辑推理】利用了LTI系统的微分性质.
解:根据LTI系统的微分性质,即当激励f(t)产生的响应为y(t),则激励当激励f(t)=ε(t)时,零状态响应为(t)dy(t)产生的响应即为.
dtdt(t)=etcostε(t)cost[ε(tπ)ε(t2π)]://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402因δ(t)=εt,所以有:当激励f(t)=δ(t)时的响应(t)=(t)=etcostε(t)etsintε(t)etcostδ(t)sint[ε(tπ)ε(t2π)]cost[δ(tπ)δ(t2π)]即有:πt(t)=δ(t)2ecostε(t)sint[ε(tπ)ε(t2π)]δ(tπ)δ(t2π).
18某线性时不变系统的初始状态不变.
已知当激励为f(t)时,全响应(t)=etcosπt当激励为2f(t)时,其全响应>0(t)=2cosπt求当激励为3f(t)时,系统的全响应.
>0【知识点窍】本题考察线性系统的响应函数的求法.
【逻辑推理】从一定初始条件和一定激励来求取系统响应,即求取描述该系统的常系数线性微分方程.
解:设系统的零状态响应为yzs(t),零输入响应为yzi(t)则有:(t)=yzs1(t)yzi1(t)=etcosπt>0①(t)=yzs2(t)yzi2(t)=2cosπt>0②因f1(t)=f(t),f2(t)=2f(t),有f2(t)=2f1(t)根据已知条件以及LTI系统的性质,则有:yzi1(t)=yzi2(t)(t)=2y(t)zs2zs1将以上两式代入①、②中求得:(t)=etcosπt(t)=2et当激励为3f(t)时,系统http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402的全响应为:>0t>0(t)=yzs3(t)yzi3(t)=3yzs1(t)yzi1(t)=3etcosπt2et=3cosπtet()>0http://www.
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com第二章连续时间系统的时域分析2.
1学习重点、建立系统的数学模型——时间系统进行时域分析.
、学会应用经典时域分析法求解微分方程.
、深刻理解系统的零状态响应为yzs(t),零输入响应为yzi(t),以及全响应,会根据微分方程的特征根与已知系统的初始条件求解.
、深刻理解系统的冲激响应h(t)以及阶跃响应g(t)的意义,掌握其求解方法.
5、掌握卷积积分的定义、性质和运算,会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状态响应yzs(t).
、利用MATLAB进行LTI连续系统的时域分析微分方程,描述系统激励f(t)与响应y(t)的关系,对连续2.
2教材习题同步解析列写图2.
1所示中i1(t),i2(t),u0(t)的微分方程.
【知识点窍】本题考察系统方程的基尔霍夫定律.
【逻辑推理】对任一点有KCL:∑i(t)=0对任一回路有KVL:解:因uR1=uL,根据VCR,有[此处图片未下载成功]:∑u(t)=0图2.
1Ri1(t)=L即2i1(t)=(t)(t)⑴dt根据KVL:e(t)=uR1(t)uR2(t)uhttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402c(t)⑵根据VCR:uR1(t)=R1i1(t)=2i1(t)⑶(t)=R2(i1(t)i2(t))=2i1(t)2i2(t)ic(t)=i1(t)i2(t)=C(t)1dudt=c(t)2dt⑶式和⑷式代入⑵式中,有:(t)=4i1(t)2i2(t)uc(t)将⑴式代入⑹式中,得到:(t)=2(t)2i2(t)uc(t)对⑺式求一阶导,有:detdt=2d2i(t)di(t)duc(t)dt22dtdt将⑸式代入⑻式中,有:de(t)d2i2(t)didt=2dt222(t)dt2i1(t)2i2(t)再将⑴式代入⑼式中,得到i2(t)的微分方程为:d2i2(t)didt232(t)dt2ide(t)2(t)=dt对⑹式求一阶导,得到:(t)=4di1(t)2di2(t)duc(t)dtdtdtdt将⑴式、⑸式代入⑽式中,得到:(t)=4di1(t)dtdt6i1(t)2i2(t)对⑾式求导,得到:d2e(t)d2i1(t)di1(t)di2(t)dt2=4dt26dt2dt再将⑴式代入⑿式中,得到i1(t)的微分方程为:://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402ard2e(t)d2i1(t)di1(t)=464i1(t)dt2dt2dt根据KVL,有:(t)=uR1(t)u0(t)=2i1(t)u0(t)⒀对⒀式求一阶导和二阶导,得到:(t)dt=2di1(t)dtdu0(t)dtd2e(t)d2i1(t)d2dt2=2dt2u0(t)dt⒀式子×2+⒁式×3+⒂式×2,消去i1(t),整理后得到u0(t)的微分方程为:d2u0(t)dt23du0(t)dt2u0(t)=d2e(t)dt23de(t)dt2e(t)2-2已知描述系统的微分方程如下:(1)y''(t)3y'(t)2y(t)=0(2)y''(t)2y'(t)2y(t)=0(3)y''(t)2y'(t)y(t)=0当初始条件为y(0)=1,y'(0)=0时,求零输入响应.
【知识点窍】本题考察常系数微分方程经典解法.
【逻辑推理】利用系统的特征方程,求出齐次解,代入初始状态求解.
解:(1)由原微分方程可得其特征方程为λ23λ2=0可解得特征根为λ1=1,λ2=2微分方程齐次解为yth(t)=A1eA2e2t由初始状态为y(0)=1,y'(0)=0,则有:[此处图片未下载成功]1A2=112A2=0⒁⒂由联立方程可得A1=2,A2=1故系统的零输入http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402响应为:(t)=2ete2t(2)由原微分方程可得其特征方程为λ22λ2=0可解得特征根为λ1,2=1±i微分方程齐次解为yh(t)=et(C1costC2sint)由初始状态为y(0)=1,y'(0)=0,则有:C1=1C1C2=0由联立方程可得C1=1,C2=1故系统的零输入响应为:(t)=et(costsint)(3)由原微分方程可得其特征方程为λ22λ1=0可解得特征根为λ1,2=1微分方程齐次解为yh(t)=C1etC2tet由初始状态为y(0)=1,y'(0)=0,则有:C1=1C1C2=0由联立方程可得C1=1,C2=1故系统的零输入响应为:(t)=ettet已知描述系统的微分方程如下:(1)y'''(t)3y''(t)2y'(t)=0(2)y'''(t)2y''(t)y'(t)=0当初始状态为y(0)=y'(0)=y'''(0)=1时,求零输入响应.
【知识点窍】本题考察常系数微分方程经典解法.
【逻辑推理】利用系统的特征方程,求出齐次解,代入初始状态求解.
解:(1)由原微分方程可得其特征方程为λ33λ22λ=0可解得特征根为λ1=0,λ2=1,λ3=2微分方程齐次解为yh(t)=C1C2etC3e2t由初始状态为y(0)=y'(0)=y'''(0)=1,则有:C1C2C3=1http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402C22C3=1C4C=123由联立方程可得C1=3,C2=3,C3=1故系统的零输入响应为:(t)=33ete2t(2)由原微分方程可得其特征方程为λ32λ2λ=0可解得特征根为λ1=0,λ2,3=1微分方程齐次解为yh(t)=C1etC2tetC3由初始状态为y(0)=y'(0)=y'''(0)=1,则有:C1C3=1C1C2=1C2C=112由联立方程可得C1=3,C2=2,C3=4故系统的零输入响应为:(t)=3et2tet42-4已知某LTI系统的微分方程模型为y''(t)y'(t)2y(t)=f(t)(1)用两种方法(微分方程法和卷积积分法)求该系统的阶跃响应g(t);(2)求系统对输入f(t)=e2tcos3tε(t)的零状态响应.
【知识点窍】本题考察LTI系统的微分方程的单位冲激响应和单位阶跃响应,及其关系;零状态响应的卷积求解法.
【逻辑推理】求阶跃响应时可采取两种方法:直接求解微分方程零状态条件下的阶跃响应,或利用冲激响应积分.
零状态响应通过求取系统的冲激响应与激励函数相卷积得到.
解:(1)方法一:微分方程法由微分方程得特征根为λ1=2,λ2=1由此可得阶跃响应形式为g(t)=C1e2tC2et对上式求一阶、二阶导数,得ε(t)2(t)=2C1e'(2tt2ttC2eε(t)C1eC2eδ(t))://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402parg''(t)=4C1e2tC2etε(t)2C1e2tC2etδ(t)2C1e2t(((Ce)δ(t)Ce))2tC2etδ'(t)将阶跃响应g(t)及其一阶、二阶导数代入原方程,得:1ε(t)3C1e2t3C2etδ(t)C1e2tC2etδ'(t)=ε(t)2利用单位冲激函数的性质,得:12tt3C1e3C2eδ(t)=3C13C2=0212ttC1eC2eδ'(t)=C1C2δ'(t)(2C1C2)δ(t)=021=0得22C1C2=0C2则得系数C1=,C2=.
将其代入得阶跃响应h(t)6312t1t1(t)=eeε(t)6方法二:卷积积分法由微分方程求得特征根,进而可得冲激响应形式为(t)=C1e2tC2etε(t)对上式求一阶、二阶导数,得()'(t)=2C1e2tC2etε(t)C1e2tC2etδ(t)()()''(t)=4C1e2tC2etε(t)2C1e2tC2etδ(t)2C1e((://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402par2t(Ce)δ(t)(Ce))2tC2eδ(t)')将冲激响应h(t)及其一阶、二阶导数代入原方程,即(3Ce2t3C2etδ(t)C1e2tC2etδ'(t)=δ(t))()利用单位冲激函数的性质,得:(3C13C2)δ(t)(C1C2)δ'(t)(2C1C2)δ(t)=δ(t)得C2=0C12C2=1则得系数C1=,C2=.
3将其代入得冲激响应h(t)=则系统的阶跃响应为12t1teε(t)3(t)=h(t)ε(t)1=∫∞e2τeτε(τ)ε(tτ)dτt11=∫e2τeτdτε(t)03∞11=e2tetε(t360111=e2tetε(t)6(2)当输入f(t)=e2tcos3tε(t)时,系统的零状态响应为:(t)=h(t)f(t)∞11=∫∞e2τeτε(τ)e2(tτ)cos3(tτ)ε(tτ)dτ31t1=∫e2tcos3(tτ)dτ∫e2te3τcos3(tτ)dτ00332t1http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a88340212tt3τ=esin3(tτ)e∫0ecos3(tτ)dτ1=e2tsin3te2te3tcos3tsin3t93666111=ete2tcos3te2tsin3t1818181=et1e3tcos3te3tsin3t18[]设一个LTI系统的输入和输出分别为f(t)和y(t),试用两种方法证明:当系统的输入为f'(t)时,输出为y'(t).
【知识点窍】本题考察LTI系统的性质.
【逻辑推理】利用零状态响应与冲激响应的卷积关系或系统的时不变性.
证明:方法一:令系统的单位响应为h(t),则有y(t)=f(t)h(t)当系统的输入为f'(t)时'(t)h(t)=∫∞∞(τ)(tτ)dτ=dtdt∫∞∞(τ)f(tτ)dτ=(t)=y'(t)dt即证明当系统的输入为f'(t)时,输出为y'(t).
方法二:根据倒数定义有:'(t)=lim→0(tt0)f(t)根据LTI系统的时不变性,可得:(tt0)→y(tt0)则有:(tt0)f(t)y(tt0)y(t)'(t)=lim→lim=y'(t)→0t0→0t0t0即证明当系统的输入为f'(t)时,输出为y'(t).
已知函数波形如图2.
2所示,计算下面的卷积积分、并画出其波形.
(1)f1(t)f2(t)(2)f1(t)f3(t)http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402(3)f1(t)f2(t)f3(t)(4)f2(t)f4(t)(5)f4(t)f5(t)(6)f4(t)f6(t)(7)f2(t)f5(t)(8)f6(t)f7(t)(9)f5(t)f8(t)(10)f7(t)[此处图片未下载成功]f8(t)图2.
2【知识点窍】本题考察卷积求解法.
【逻辑推理】函数fi(t)与函数fj(t)相卷积后的值y(t),就是在变量τ由∞到∞范围内,对某一t值时乘积fi(τ)fj(tτ)曲线下的面积.
或利用卷积积分的微分和积分性质以及冲激函数卷积性质求解.
即若f(t)=f1(t)f2(t)=f2(t)f1(t)则其微分f(1)(t)=f1(1)(t)f2(t)=f1(t)f2(1)(t)积分f(1)(t)=f1(1)(t)f2(t)=f1(t)f2(1)(t)含有冲激函数的卷积有:(t)δ(t)=f(t)f(t)δ(tt0)=f(tt0)(t)δ'(t)=f'(t)(t)ε(t)=f(1)(t)=∫∞f(τ)dτ解:(1)如图可知,f2(t)=δ(t1)δ(t1)由含有冲激函数的卷积可得(t)f2(t)=f1(t)[δ(t1)δ(t1)]=f1(t1)f1(t1)其波形如图2.
3所示.
[此处图片未下载成功]图2.
3图2.
4(2)如图可知,f3(t)=δ(t1)δ(t2)δ(t3)由含有冲激函数的卷积可得://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402(t)f3(t)=f1(t)[δ(t1)δ(t2)δ(t3)]=f1(t11)f1(t2)f1(t3)其波形如图2.
4所示.
(3)由卷积积分性质可知,[此处图片未下载成功]f1(t)f2(t)f3(t)=f1(t)[δ(t1)δ(t1)][δ(t1)δ(t2)δ(t3)]=[f1(t1)f1(t1)][δ(t1)δ(t2)δ(t3)]=f1(t)f1(t1)f1(t2)f1(t2)f1(t3)f1(t4)=f1(t)f1(t1)2f1(t2)f1(t3)f1(t4)其波形如图2.
5所示.
[此处图片未下载成功]图2.
5(4)如图可知,f2(t)=δ(t1)δ(t1)由含有冲激函数的卷积可得(t)f4(t)=f4(t)f2(t)=f4(t)[δ(t1)δ([此处图片未下载成功]t1)]=f4(t1)f4(t1)其波形如图2.
6所示.
图2.
6(5)由卷积积分的积微性可知:(t)f5(t)=f4(1)(t)f5(1)(t)=[δ(t)δ(t1)]f5(1)(t)=f5(1)(t)f5(1)(t1)t由图可知f5(t)=1其波形如图2.
7所示.
120<t<12(1)即可求得f5(t)=≥1t12<t<1≥1://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402ar图2.
7(6)由卷积积分的积微性可知:(t)f6(t)=f4(1)(t)f6(1)(t)=f4(1)(t)[2δ(t)2δ(t1)2δ(t2)2δ(t3)]=2f4[(1)(t)f4(t1)f4(t2)f4(t3)](1)(1)(1)由图可知:f4(1)(t)=tε(t)(t1)ε(t1)即得:f4(t)f6(t)=2[tε(t)2(t1)ε(t1)2(t2)ε(t2)2(t3)ε(t3)(t4)ε(t4)]其波形如图2.
8所示.
[此处图片未下载成功]图2.
8(7)由图可知:f2(t)f5(t)=[δ(t1)δ(t1)]f5(t)=f5(t1)f5(t1)其波形如图2.
9所示.
(8)由图可知,(t)f7(t)=f6(1)(t)f7(1)(t)=f7(1)(t)[2δ(t)2δ(t1)2δ(t2)2δ(t3)]=2f7[(1)(t)f7(t1)f7(t2)f7(t3)](1)(1)(1)[此处图片未下载成功]图2.
9由图可知:f7(1)(t)=(t3)ε(t3)(t2)ε(t2)即得:f6(t)f7(t)=2[(t3)ε(t3)2(t2)ε(t2)2(t1)ε(t1)2tε(t)(t1)ε(t1)]其波形如图2.
10所示.
图2.
10图2.
11(9)由卷积积分的积微性可知:http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402(t)f8(t)=f8(t)f5(t)=f8(1)(t)f5(1)(t)=[δ(t)δ(t1)2δ(t2)]f5(1)(t)=f5(1)(t)f5(t1)2f5(t2)(1)(1)t由图可知f5(t)=1其波形如图2.
11所示.
120<t<12即可求得f5(1)(t)=≥1t12<t<1≥1(10)由卷积积分的积微性可知:(t)f8(t)=f7(1)(t)f8(1)(t)=f7(1)(t)[δ(t)δ(t1)2δ(t2)]=f7(1)(t)(1)(t1)2f7(t2)(1)[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功]由图可知:f7(1)(t)=(t3)ε(t3)(t2)ε(t2)即得:f7(t)f8(t)=(t3)ε(t3)3(t1)ε(t1)2tε(t)其波形如图2.
12所示.
[此处图片未下载成功]图2.
12利用冲激函数的取样性质,计算下列积分:∞π(1)∫δtsintdt(2)∫δ(t3)etdt∞∞4∞(3)∫∞∞10δ(1t)t24dhttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402t(4)∫δ(t)∞()∞t(5)122δ(2t3)2tt5dt(6)δ't(2tt5)dt∫10∫104()(7)t02εtδ(tt)dt(8)δt0∫∞2∫14dt∞()【知识点窍】本题考察冲激函数的取样性质.
【逻辑推理】(t)δ(tt0)=f(t0)δ(tt0);∫f(t)δ(tt0)dt=f(t0);∞∞δ'(t)=δ'(t)δ(n)(t)=(1)δ(n)(t)δ'(tt0)=δ'[(tt0)](t)δ'(t)=f(0)δ'(t)f'(0)δ(t)(t)δ(tt0)=f(t0)δ(tt0)f(t0)δ(tt0)'''∫∫∞∞∞(t)δ'(t)dt=f'(0)f(t)δ(n)∞(t)dt=(1)(n)(0)∫f(t)δ(tt)dt=f(t)()()∫f(t)δ(tt)dt=(1)f(t)''∞∞∞∞解:(1)ππδtsintdt=sinhttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402=∫∞442∞(2)(3)∫δ(t3)e∞∞∞t=e3∫∞∞δ(1t)t24dt=∫δ(t1)t24dt=t24∞()∞()[]=1=5∞sin2tsin2t(4)∫δ(t)=∫2δ(t)=2∞∞t2t(5)∫10δ(2t3)2tt5dt=∫()δt10222tt5dt2()1133=2×5=2222(6)2d2δ't2tt5dt=2tt5∫104dt()()==(4t1)t=1=0(7)t0t0εtδ(tt)dt=ε=10∫∞22∞(8)∫δ(t14dt=∫δ[(t2)(t2)]dt=01)求图2.
13(a)所示系统的零状态响应y(t),并画出其波形.
已知f(t)==∞∑δ(t2kT),k=0,±1,±2,L,f(t)的波形如图2.
13(b)所示.
[此处图http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402片未下载成功]∞图2.
13【知识点窍】本题考察系统的零状态响应求解法.
【逻辑推理】零状态响应通过求取系统的冲激响应与激励函数相卷积得到.
解:系统的单位冲激响应为h(t)=∫[δ(τ)δ(τT)]dt=ε(t)ε(tT)∞∞(t)的波形如图2.
14(a)所示.
故得零状态响应为(t)=f(t)h(t)==∞∑δ(t2kT)h(t)=∑h(tkT)=1=∞∞(t)的波形如图2.
14(b)所示.
[此处图片未下载成功](a)(b)图2.
14图2.
15电路,已知f(t)=ε(t),i(0)=1A,i'(0)=2A/s.
求全响应i(t).
[此处图片未下载成功]图2.
15【知识点窍】本题考察系统的全响应求解法.
【逻辑推理】基尔霍夫定律列出系统的微分方程,系统的全响应是由零输入响应与零状态响应组成;零输入响应通过经典法求取,零状态响应通过求取系统的冲激响应与激励函数相卷积得到.
解:(1)电路的微分方程为6p5i(t)=f(t)p即p25p6i(t)=pf(t)故i(t)=故得转移算子为()(t)=H(p)f(t)25p6H(p)=23==25p6p2p3p2p3://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402ar(2)零输入响应的通解为ix(t)=A1e2tA2e3t将初始条件i(0)=1A,i'(0)=2A/s代入上式可得A1=5,A2=4.
故得零输入响应为(t)=5e2t4e3tε(t)(A)(3)电路的单位冲激响应为h(t)=2e2t3e3tε(t)(A)(4)电路的零状态响应为()()(t)=f(t)h(t)=ε(t)2e2t3e3tε(t)=ε(t)2e2tε(t)ε(t)3e3tε(t)=e2te3tε(t)(A)(5)全响应为()()()()(t)=ix(t)if(t)=6e2t5e3tε(t)(A)图2.
16(a)所示电路,激励f(t)的波形如图2.
16(b)所示.
求零状态响应uc(t),并画出波形.
[此处图片未下载成功]()图2.
16【知识点窍】系统的零状态响应可由激励函数和系统的单位冲激响应相卷积得到.
【逻辑推理】先求取系统的冲激响应,再通过冲激响应与激励函数相卷积即可求得.
解:该电路的微分方程为d2ucuc=f(t)dt2即p21uc=f(t)转移算子为H(p)=故得单位冲激响应为()1(t)=sintε(t)故得uc(t)=f(t)h(t)=f'(t)∫∞τε(τ)dτ=[δ(t)δ(t6π)]sinτdτ∫://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402=[δ(t)δ(t6π)][cosτ]0=[δ(t)δ(t6π)][1cost]ε(t)=[1cost]ε(t)[1cos(t6π)]ε(t6π)(t)的波形如图2.
17所示.
[此处图片未下载成功]图2.
17已知一线性时不变系统对激励f(t)=sintε(t)的零状态响应y(t)的波形如图2.
18所示.
求该系统的单位冲激响应h(t),并画出其波形.
[此处图片未下载成功]图2.
18【知识点窍】系统的零状态响应可由激励函数和系统的单位冲激响应相卷积得到.
【逻辑推理】零状态响应由由冲激响应与激励函数相卷积求得,由此利用卷积的积分与微分性质求取冲激响应.
解:y(t)=f(t)h(t)=sintε(t)h(t)①(t)d=sintε(t)h(t)=costε(t)h(t)dtdtytd=costε(t)h(t)=[δ(t)sintε(t)]h(t)dt=h(t)sintε(t)h(t)②①式+②式即得:y(t)h(t)=y(t)=y(t)δ(t)2δ(t1)δ(t2)(t)d2y(t)h(t)的波形如图2.
19(c)所示.
图2.
19(a)(b)分别为,的波形.
[此处图片未下载成功]2dtdt(a)(b)(c)图2.
19://www.
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com/doc/840ab286d39760825a8834022-12图2.
20所示系统是由几个子系统组合而成,各子系统的冲激响应分别为(t)=ε(t)(积分器)h2(t)=δ(t1)(单位延时器)h3(t)=δ(t)(倒相器)求总系统的冲激响应h(t).
【知识点窍】线性系统的性质.
【逻辑推理】线性系统的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积.
[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功]图2.
20解:h(t)=h1(t)δ(t)h2(t)h1(t)h3(t)=ε(t)δ(t)δ(t1)ε(t)[δ(t)]=ε(t)ε(t1)在图2.
21所示系统中,h1(t)=δ(t1),h2(t)=ε(t)ε(t3),f(t)=ε(t)ε(t1).
求响应y(t),并画出其波形.
图2.
21图2.
22【知识点窍】线性系统的性质.
【逻辑推理】线性系统的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积.
解:f1(t)=f(t)f(t)h1(t)f(t)h1(t)h1(t)=[ε(t)ε(t1)][ε(t)ε(t1)]δ(t1)[ε(t)ε(t1)]δ(t1)δ(t1)=[ε(t)ε(t1)][ε(t1)ε(t2)][ε(t2)ε(t3)]=ε(t)ε(t3)(t)=f1(t)h2(t)=[ε(t)ε(t3)][ε(t)ε(t3)]=tε(t)2(t3)ε(t3)(t6)ε(t6)(t)的波形如图2.
22所示.
求图2.
23所示系统的单位冲激响应h(t).
【知识点窍】系统模拟图与微分方http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402程之间变换.
[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功]【逻辑推理】由系统模拟图求取系统的微分方程.
[此处图片未下载成功]图2.
23解:h'(t)=δ(t)∫h(τ)dτ∞''(t)=δ'(t)h(t)即h''(t)h(t)=δ'(t)即p21h(t)=pδ(t)()故得H(p)=2=1pj1pj1故h(t)=j1tej1t=costε(t)2()已知系统的单位冲激响应h(t)=sintε(t),波形如图2.
24(a)所示,激励的波形如习题图2.
24(b)所示.
求零状态响应y(t).
[此处图片未下载成功]图2.
24【知识点窍】系统的零状态响应可由激励函数和系统的单位冲激响应相卷积得到.
【逻辑推理】利用卷积积分的积微性进行求取冲激响应与激励函数的卷积.
解:将h(t)积分两次,有:(1)(t)=∫sinτε(t)dτ=(1cost)ε(t)(2)(t)=∫(1cosτ)ε(t)dτ=(tsint)ε(t)将f(t)微分两次,有''(t)=δ(t)2δ(t2π)δ(t4π)故得(t)=h(t)f(t)=h(2)(t)f''(t)=(tsint)ε(t)[δ(t)2δ(t2π)δ(t4π)]=(tsint)ε(t)2[(thttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a8834022π)sin(t2π)]ε(t2π)[(t4π)sin(t4π)]ε(t4π)y(t)的波形如图2.
25所示.
[此处图片未下载成功]图2.
25如图2.
26(a)所示系统,已知h1(t)=δ(t1),h2(t)=2δ(t1),f(t)=sintε(t),yf(t)的图形如图2.
26(b)所示,求h3(t).
[此处图片未下载成功]图2.
26【知识点窍】线性系统的性质与零状态响应的卷积求解.
【逻辑推理】线性系统的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积,零状态响应由由冲激响应与激励函数相卷积求得.
解:求系统的冲激响应h(t).
因有f(t)=sintε(t),则得到yf(t)=sintε(t)h(t)①d2d又因有2sintε(t)=costε(t)=δ(t)sintε(t)故得δ(t)=2sintε(t)sintε(t)②又因有yf(t)dt2=2sintε(t)h(t)③dtyf(t)dt2=sintε(t)h(t)2sintε(t)h(t)①式+③式得:yf(t)d2=sintε(t)2sintε(t)h(t)将②式代入上式,即yf(t)yf(t)dt=δ(t)h(t)=h(t)故得h(t)=yf(t)δ(t)2δ(t1)δ(t2).
h(t)的波形如图2.
27所示又http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402有h(t)=δ(t)h1(t)h1(t)h2(t)h3(t)=δ(t)δ(t1)δ(t1)2δ(t1)h3(t)=δ(t)δ(t2)2δ(t1)h3(t)故得h3(t)=h(t)[δ(t)2δ(t1)δ(t2)]=yf(t)δ(t)2δ(t1)δ(t2)[δ(t)2δ(t1)δ(t2)]=[此处图片未下载成功]yf(t)图2.
27http://www.
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com第三章连续时间信号与系统的频域分析3.
1学习重点、了解函数正交的条件及完备正交函数集的概念.
、能用傅立叶级数的定义式、基本性质求解周期信号的频谱、频谱宽度,会画频谱图;理解连续周期信号频谱的特点,相位谱的作用.
、能用傅立叶级数的定义式、基本性质求解非周期信号的频谱,会画频谱图,求信号的频谱宽度.
、掌握常用周期信号的傅立叶变换和非周期信号的傅立叶变换,理解周期信号与非周期信号之间的关系.
、熟练掌握傅里叶变换的性质,并会灵活应用.
、理解功率信号与功率谱、能量信号与能量谱的概念,会在时域和频域两个域中求解功率信号的功率和能量信号的能量.
、熟练利用傅里叶变换对称特性、部分分式展开法、傅里叶变换性质和常见信号的傅里叶变换对,求傅立叶反变换.
、深刻理解频域系统函数H(jω)的定义,物理意义,会求解并应用.
、掌握系统零状态响应、零输入响应和全响应的频域求解方法;连续周期信号响应的频域分析方法.
、理解无失真传输系统,及无失真传输的条件.
11、理解理想滤波器的定义、传输特性等.
12、了解抽样信号的频谱及其求解,理解抽样定理.
13、了解调制与解调的基本定理与应用.
、用MATLAB进行连续时间信号与http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402系统的频域分析3.
2教材习题同步解析3.
1如图3.
1所示信号f(t),求指数型与三角型傅里叶级数,并画出频谱图.
图3.
1【知识点窍】信号指数型与三角型傅里叶级数的写法,频谱图画法.
【逻辑推理】三角型的傅里叶级数为(t)=a1cosω0ta2cos2ω0tLb1sinω0tb2sin2ω0tL2∞=∑(acosnω0tbnsinnω0t)2n=1n式中a0,an,bn称为傅里叶系数,分别代表了信号f(t)的直流分量,余弦分量和正经弦分量的振荡幅度,其值分别由下式确定:Tt0=∫f(t)dtTt0an=∫f(t)cosnω0tdtTt0=∫f(t)sinnω0tdtT信号指数型为:=1,2,Ln=1,2,L(t)==∞∑Fe∞ω0t=Fnejn1t0Tjnω0t(t)edt∫tT0=0,±1,±2,LFn=解:(1)由图3.
1(a)可知,该信号的解析式为:(t)=11)傅里叶系数≤t≤T=T∫(t)dt=T∫212=11tdt=T://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402r2TT=T2T1(t)cosnωtdt=1tcosnω0tdt0∫∫00TTT2T2T=∫cosnω0tdt2∫tcosnω0tdtT0T02sinnωt=ω0==T2∫ω0tnω0tsinnωtTsinnωtdt∫0ω0Tnω0Tnω0T2ωt120nπnπnω0T2∫0nω0T=222cosnω0t0=0n=1,2,Lω0T[]=πω0bn=T1tsinnω0tdt∫0f(t)sinnω0tdt=T∫0TT2T=∫sinnω0tdt2∫tsinnω0tdtT0T0cosnω0t=nω0==2nω0T22T∫ω0tnω0tcosnωtTcosnωtdt∫0ωt220nπnω0Tnω0T2∫0nω0121T=222sinnω0t0=nπnω0Tnπ[]=1,2,LT=πω0该信号的三角傅里叶级数为∞1f(thttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402)=∑sinnω0tn=1nπ其频谱图如图[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功](a)(b)图3.
22)指数型=T=∫T(t)ejnω0tdt=T1jnω0t1Tjnω0t1tedt=edtT∫0TT∫0T2∫jnω0tdtejnω0tT0jnωT2jnω0T0∫jnω0tjnωT=e0jnω0Tjnω0Tjnω0T2===jnω0Tjnω0Tjnω0Tjnω0T211jnω0T2222ejnω0Tjnω0T1j2nπtejnω0tTTejnω0tdt∫00jnω0T1jnω0tTTee0jnω0j2nπ1=1ej2nπn2π2()=±1,±2,L1=∫(t)dt=∫11T1dt=该信号的指数型傅里叶级数为(t)==∞://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402r∑∞jnωtj2nπ其频谱图如图3.
2(b)所示.
(2)由图3.
1(b)可知,其周期为T=2π,其频ω0=1,信号的解析式为:costf(t)=0ππ≤t≤22π3π≤t≤221)由图可知,该函数为偶函数,故bn=0.
由题可傅里叶系数为=π2π2π=∫π2==Tπcostcosntdtan=∫2πcostcosnω0tdt=2TT2=T=π20∫π2∫[cos(n1)tcos(n1)t]dt1π1π2nπsin=cos2n1n12n1n21π2n1=1,2,L该信号的三角傅里叶级数为∞2nπf(t)=∑2cossinntπn=1n1π2其频谱图如图3.
3(a)所示.
2)指数型=∫π2π2(t)ejnω0tdt=∫2costejntdt=Tπ∫πjtejt)ejntdt(2ππ1jn1tjn1tjn1t=∫2e()e()dt=e()T0http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402jn1Tπjn1te()jn1Tππ20j(n1j(n1111122=eejn1Tjn1Tjn1Tjn1T=0,±1,±2,L(t)=其频谱图如图3.
3(b)所示.
=∞∑Fe∞ω0t(a)[此处图片未下载成功](b)图3.
3(3)由图3.
1(c)所示,方波信号在一个周期内的解析式为Ef(t)=2E2分别求得傅里叶系数≤t<00≤t≤TE2T2E=∫Tcosnω0tdt∫cosnω0tdt22T02ET2(sinnω0t0()=sinnωt=00T0ω0T[[]bn=TEE2sinnωtdtsinnω0tdt[此处图片未下载成功]0∫T22T∫02=(cosnω0t)0(cosnωt)0T0nω0TE=[2cos(nπ)2]2πn]2E即bn=nπ0故得信号的傅里叶级数展开式为为奇数n为偶数(t)=E111sinω0tshttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402in3ω0tsin5ω0tLsinnω0tLπ35n=1,3,5,L它只含有1、3、5、……等奇次谐波分量.
其频谱图如图3.
4(a)所示.
2)指数型Fn=TEjnω0tEjnω0t2edtedtT∫2∫0T22Ejnω0t0=eejnω0tT20-jnω0T()()==其指数型表达式为jnω0T1eωT2eωT21[22cosnπ]-j2πn(t)=其频谱图如图3.
4(b)所示.
∑j2πn[22cosnπ]ejnω0tn=∞∞(a)[此处图片未下载成功]101(b)图3.
4(3)由图3.
1(d)所示,该函数为奇谐函数,其只含有基波和奇次谐波的正弦、余弦项,而不包含偶次谐波项,级数中的系统分别为=0an=bn=0为偶数为奇数时,an=ωtdt=tcosnω0tdt0∫()∫0TT82sinnωtdt=2tsinnωt000∫0ω0=sinnπ222cosnω0t0Tnω0Tnω0==n2ω02n2π2://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402par=∫2f(t)sinnω0tdt=∫2tsinnω0tdtT0T82cosn=2tcosnωtωtdt000∫0ω048=cosnπ222sinnω0t02Tnω0Tnω0=482π222sinnπ=Tnω0Tnω0nπ[此处图片未下载成功]An==故得信号的傅里叶级数展开式为==1,3,5,L(t)=其频谱图如图3.
5所示.
11cosωtcos3ωtcos5ωtL000π2925211sinωtsin3ωtsin5ωtL000π35图3.
53.
2已知某LTI系统的单位冲激响应为h(t)=e4tε(t),对下列输入信号,求输出响应y(t)的傅里叶级数表示式.
(1)f(t)=cos2πt(2)f(t)=δ(tt0)【知识点窍】主要考察LTI系统的系统频率特性【逻辑推理】输出响应的傅里叶变换为激励的傅里叶变换与系统频率特性乘积,而系统频率特性就是系统的单位冲激响应的傅里叶变换.
即Y(ω)=F(ω)H(ω),H(ω)=F[h(t)]解:(1)因为H(ω)=F[h(t)]=Fe4tε(t)=[]jω(ω)=F[f(t)]=F[cos2πt]=π[δ(ω2π)δ(ω2π)]由于Y(ω)=F(ω)H(ω)所以得输出http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402响应表示式为:[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功]103Y(ω)=π[δ(ω2π)δ(ω2π)]4jωππ=δ(ω2π)δ(ω2π)4j2π4j2π(2)因为H(ω)=F[h(t)]=Fe4tε(t)=[]jω(ω)=F[f(t)]=F[δ(tt0)]=ejωt0由于Y(ω)=F(ω)H(ω)所以得输出响应表示式为:(ω)=jωt0jω3.
3(1)证明:以T为周期有信号f(t)如果是偶信号,即f(t)=f(t),则其三角函数形式的傅里叶级数表示式中只含有余弦分量;如果f(t)是奇信号,即f(t)=f(t),则其三角函数形式的傅里叶级数中只含有正弦分量.
(2)如果以T为周期的信号f(t)同时满足f(t)=ft,则称f(t)为偶谐信号;如果同时满足2T(t)=ft,则称f(t)为奇谐信号.
证明偶谐信号的傅里叶级数中只包含偶次谐波;奇谐信号的傅里叶级数中只包含奇次谐波.
(3)如果f(t)是周期为2的奇谐信号,且f(t)=t,0<t<1画出f(t)的波形,并求出它的傅里叶级数系数.
【知识点窍】主要考察函数的对称性与傅里叶系统的关系【逻辑推理】由傅里叶级数式定义来证明.
证明:(1)首先:证明以T为周期有信号f(t)如果是偶信号,即f(t)=f(t),http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402则其三角函数形式的傅里叶级数表示式中只含有余弦分量.
由傅里叶级数式定义知=∫t0(t)dt=∫T220(t)dt=∫Tf(t)dt∫02f(t)dt(1)2式(1)第一个积分式计算如下:令t=τ(t)dtf(τ)(1)dτ=T=TT2∫2T(τ)dτ==(t)=f(t)T22(τ)dτ=∫2f(t)dt(2)∫T0T0式(2)代入式(1)即可得∫f(t)dt因为Tt02=∫f(t)cosnω0tdt=T∫T2(t)cosnω0tdt(3)20()()=∫Tftcosnω0tdt∫ftcosnω0tdt2式(3)第一个积分式计算如下:令t=τ(t)cosnωtdtT0=TT∫2=1,2,L(τ)cos(nωτ)(1)dτ=(τ)cosnω0http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402τdτT∫因为f(t)=f(t)=(τ)cosnωτdτ=0∫T∫f(t)cosnωtdt(4)式(4)代入式(3)即可得T=∫2f(t)cosnω0tdt因为bn==∫t0(t)sinnω0tdt=∫T2(t)sinnω0tdt(5)2()()ftsinnωtdtftsinnωtdtT00∫T∫2=1,2,L式(5)第一个积分式计算如下:令t=τ(t)sinnωtdtT0=TT∫2(τ)sin(nωτ)(1)dτ=(τ)sinnω0τdτT∫因为f(t)=f(t)=T∫(τ)sinnω0τdτ=T∫f(t)sinnωtdt(6)式(6)代入式(5)即可得:bn=0即得证以T为周期有信号f(t)如果是偶信号,即f(t)=f(t),则其三角http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402函数形式的傅里叶级数表示式中只含有余弦分量.
同理可证:f(t)是奇信号,即f(t)=f(t),则其三角函数形式的傅里叶级数中只含有正弦分量.
即是:4bn=Ta=0n∫f(t)sin(nωt)dt=1,2,L(2)首先,证明奇谐信号的傅里叶级数中只包含奇次谐波.
由傅里叶级数定义式知Tt02an=∫f(t)cosnω0tdt=T=T2(t)cosnω0tdt(7)2()()ftcosnωtdtftcosnωtdtT00∫T∫2=1,2,L式(7)第一个积分式计算如下:(t)cosnω0tdtT∫2令t=τ=TTτcosnωτdτ0∫022T因为f(t)=ft2T=∫fτcos(nω0τ)cos(nπ)dτT02=(1)1=n∫2f(τ)cosnω0τ(1)dτ(8)T0(t)cosnω0tdt0T式(8)代入式(7)得=1(1)4=T0同理[1(t)cohttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402snω0tdtT∫0(t)cosnωtdt为奇数n为偶数bn=∫t0(t)sinnω0tdt=T2(t)sinnω0tdt(9)20()()=∫Tftsinnω0tdt∫ftsinnω0tdt2=1,2,L式(9)第一个积分式计算如下:(t)sinnω0tdtT∫2令t=τ=TTτsinnωτdτ0∫022T因为f(t)=ft2T=∫fτsin(nω0τ)cos(nπ)dτT02=(1)1=T∫(τ)sinnω0τ(1)dτ(10)(t)sinnω0tdt∫0T式(10)代入式(9)得=1(1)4=T0[1(t)sinnω0tdtT∫0(t)sinnωtdt为奇数n为偶数://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402由于证得奇谐信号的傅里叶级数中只包含奇次谐波.
同理,可证明偶谐信号的傅里叶级数中只包含偶次谐波.
(3)如果f(t)是周期为2的奇谐信号,即ω0=π=π.
由此可知,f(t)=f(t1).
T因为f(t)=t,0<t<1,所以f(t)的波形如图3.
6所示.
[此处图片未下载成功]图3.
6由奇谐信号的傅里叶级数中只包含奇次谐波.
即由式(9)和式(10)得该信号的傅里叶级数系数:4T02f(t)cosnω0tdtan=T04bn=T04为奇数=T为偶数0∫ω0tdt=n2π2为奇数n为偶数n为奇数n为偶数∫f(t)sinnωtdt21tsinnπtdt=2为奇数=∫0nπ为偶数03.
4已知周期信号f(t)一个周期(0<t<T)前四分之一波形如图3.
7所示.
就下列情况画出一个周期内完整的波形.
(1)f(t)是偶信号,只含偶次谐波;(2)f(t)是偶信号,只含奇次谐波;(3)f(t)是偶信号,含有偶次和奇次谐波;(4)f(t)是奇信号,只含有偶次谐波;(5)f(t)是奇信号,只含有奇次谐波;(6)f(t)是奇信号,含的偶次和奇次谐波.
图3.
7【知识点窍】主要考察函数的对称性与傅里叶系统的关系【逻辑推理】奇函数只含有正弦项谐波分量;偶函数只含有余弦项谐波分量;奇http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402谐函数只含有奇数项谐波;偶谐函数只含有偶数项谐波.

解:(1)信号波形如图3.
8(a)所示.
(2)信号波形如图3.
8(b)所示.
(3)信号波形如图3.
8(c)所示.
(4)信号波形如图3.
8(d)所示.
(5)信号波形如图3.
8(e)所示.
(6)信号波形如图3.
8(f)所示.
值得注意的是:(3)和(6)的信号的波形不仅仅只有图所示这一种.
(a)(b)[此处图片未下载成功](c)d)(e)f)图3.
83.
5求图3.
9所示信号的傅里叶变换.
图3.
9【知识点窍】本题主要考察傅里叶变换性质【逻辑推理】傅里叶变换基本性质如下表所示.
[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功]109解:(1)由图可得(t)==Eγγεtεtγ22Eγγγ2EγγγεtEεttεtEεtγ222γ222[此处图片未下载成功]因tε(t)jπδ'(ω),ε(t)πδ(ω)2ωjω则根据傅立叶变换的时移特性,则有:E1jωγ21jωγ://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402r(ω)=πδ(ω)e2jπδ'(ω)2eEγωjω(2)由图可得E1jπδ'(ω)2eγωjωγ1Eπδ(ω)ejωjωγE()f2t=tE[ε(t)ε(tγ)]γEEEEtγ)ε(tγ)=tEεttEεtγ=tεtEεtγγγγπδ'(ω因tε(t)),ε(t)πδ(ω)ω2jω则根据傅立叶变换的时移特性,则有:11E1jω2(ω)=jπδ'(ω)2Eπδ(ω)jπδ'(ω)e2γωjωγω(3)由图可得γ(t)=E=sin22π[ε(t)ε(tγ)]γ2πE2πtε(t)sintε(tγ)γ2γπγE2πEe=sintε(t)2γ2E2πEj=sintε(t)e2γ4j因ejjπγε(tγ)πγπγ(tγ)jj2πeε(tγ)ej(tγ)ej2πε(tγ)ω0tε(t)ωπ[δ(ωω0)δ(ωω0)]202,eatε(t)1http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a8834022jajωω0ω则根据傅立叶变换的时移特性,则有:2πEπ2π2πγ(ω)=δωδω22jγγ2π2ωγπ1Ej2π1eejωγeejωγπ2π4j4jjjωjjωγγππE2π2πEγ=δωδω2jγγ22π2ωγjωγj2π11eeej2π2π2π4jjjωjjωγγ=πEj2πδωγ2πEδω2γ2πγπγ2ωj2π2πj2π2πejjωejjωγEjωγγe2j2π2(jω)jγπ4ππjω2jsin2ππE2π2πEγEjωγγ=eδωδωγ222jγ4j2π2π22ωωγγπE2π2ππEγπγEejωγ=δωδωγ2π2ωγ22π2ωγ24jγ(4)由图可得(t)=E=sin22π://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402r[ε(tγ)ε(tγ)]γπE2πtε(tγ)sintε(tγ)γ2γ=2πγe2jjπtγε(tγ)2πγe2jjπγε(tγ)j2πjγ=ee4jEjγe4j因ππ(tγ)πjγε(tγ)eejππγ)ε(tγ)γ)jγj2πeε(tγ)ejγ)ej2πε(tγ)ω0tε(t)ωπ[δ(ωω0)δ(ωω0)]202,eatε(t)12jajωω0ω则根据傅立叶变换的时移特性,则有:(ω)=2ωπEjωγ1πEjωγ=ee2γγ2π2π2ωγγπγEejωγπγEejωγ=22πωγ2π2ωγ22jπγEsinωγ=π2ωγ2ωγjππjω2jsin2πγ2πγjωγjππjω2jsin2πγ://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402par2πγ2ω2ω3.
6设F(ω)F[f(t)],试用F(ω)表示下列各信号的频谱.
(1)f(3)(t)f(t)2)[1mf(t)]cosω0tτf(τ)dτ(4)f(63t)∫∞(5)(t2)f(t)6)(1t)f(1t)(7)f(t)f(t1)8)f'(t)f(3t2)ejt【知识点窍】本题主要考察傅里叶变换性质【逻辑推理】分析每个函数,判断使用哪个傅里叶变换的基本性质,其基本性质同题3.
5解:(1)根据傅里叶变换的线性及卷积定理可得(t)f(t)(ω)F(ω)F(ω)2π(2)cosω0tπ[δ(ωω0)δ(ωω0)]根据傅里叶变换卷积定理可得(t)cosω0t(ω)π[δ(ωω0)δ(ωω0)]2π=[F(ωω0)F(ωω0)]2所以[1mf(t)]cosω0tπ[δ(ωω0)δ(ωω0)]m[F(ωω0)F(ωω0)](3)因tf(t)ε(t)=其中tf(t)j∫∞τf(τ)dτ,d(ω),ε(t)πδ(ω)dωjω则根据傅里叶变换卷积定理可得∫://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402ar∞τf(τ)dτj1(ω)πδ(ω)dωjω1dd=F(ω)jπδ(ω)F(ω)ωdωdω(4)根据傅里叶变换时频展缩特性可得(63t)(5)(t2)f(t)=tf(t)2f(t)根据傅里叶变换微分特性可得2jωω33(t)j所以(ω)dω(t2)f(t)(6)因tf(t)j(ω)2F(ω)dω(ω),则根据傅里叶变换时频展缩特性可得dω(1t)f(1t)jejωdF(ω)ω(7)根据傅里叶变换时移特性可得f(t1)F(ω)ejω再由傅里叶变换卷积定理可得f(t)f(t1)F(ω)F(ω)ejω(8)根据傅里叶变换微分特性可得f'(t)jωF(ω)再由傅里叶变换时频展缩特性及频移特性可得:(3t2)e所以jtω1)ω11j23eF'(t)f(3t2)ejtω1)ω11j2jωF(ω)e3F33.
7先求出图3.
10所示信号f(t)的频谱F(ω)的具体表达式,再利用傅氏变换的性质由F(ω)求出其余[此处图片未下载成功]信号频谱的具体表达式.
[此处图片未下载成功]图3.
10【知识点窍】本题主要考察傅里叶变换性质【逻辑推理】同题3.
5解:由图可得:http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402(t)=(t1)[ε(t)ε(t1)]=tε(t)ε(t)(t1)ε(t1)因ε(t)jπδ'(ω)则根据傅立叶变换的时移特性,可得:,ε(t)πδ(ω),ω2jω(ω)=jπδ'(ω)1jω()()πδωjπδ'ωe22ωjωω=ejω1jπδ'(ω)πδ(ω)1jωejω=2πδ(ω)1jωejω(1)由图可得:x1(t)=f(t1)则根据傅立叶变换的时移特性,可得:()()1ω(ω(ω)=2πδ(ω)1jωejω2ejωωjωe=2πδ(ω)1jωejωω2()()(2)由图可得:x2(t)=f(t1)=x1(t)则根据傅立叶变换的时频展缩特性,可得:(ω)=X1(ω)=2πδ(ω)1jωe(3)由图可得:x3(t)=f(ω)ω2ω112则根据傅立叶变换的时频展缩特性,可得:jω11ω2eX3(ω)=F=2F(2ω)e2jω122jω2jω2jωe=22πδ(2ω)12jωee24ωjωjωe=4πδ(2ω)12jωe://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402parω2()((4)由图可得:x4(t)=f(t)f(t)则根据傅立叶变换的时频展缩特性,可得:(ω)=F(ω)F(ω)=ejω1jπδ'(ω)πδ(ω)1jωejωejω(((ω21jπδ'(ω)πδ(ω)1jωejω2ω)())()=ejωejωjπδ'(ω)2πδ(ω)2ejωejω)()1ω2=2jsinωjπδ'(ω)2πδ(ω)(22cosω)=2πsinωδ'(ω)2πδ(ω)(22cosω)=2πδ(ω)2πδ(ω)(22cosω)ωsin2ω==Sa22ω2(5)由图可得:x5(t)=f'(t)δ(t)根据傅立叶变换的微分特性,可得ω2ω2ω2(t)1jωjω(jω)F(ω)=(jω)e1jπδ'(ω)πδ(ω)1jωe2dtω()(又有δ(t)1所以(ω)=(jω)ejω1jπδ'(ω)πδ(ω)1jωejω21ω=ωπejω1δ'(ω)jωπδ(ω)jω1jωejω21ω=jωω2jωc21ω=ejω1ω()()()()[()(6)由图可得:http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402x6(t)=x4(t)cos0t其中cos0tπ[δ(ω0)δ(ω0)],X4(ω)Sa2根据傅立叶变换的卷积定理,可得ω2(t)=(t)π[δ(ω0)δ(ω0)]t2π1ω=Sa2[δ(ω0)δ(ω0)]t22=ω012ω0SaSa22223.
8应用傅氏变换的唯一性,证明下面信号的极限信号为单位冲激信号.
1t1,t≤a(1)f(t,a)=a,t>a,a>0,当a→0时(2)f(t,a)=ε(t)eatε(t),a>0,当a→∞时2[]【知识点窍】傅里叶变换的定义.
F(ω)=∫∞∞(t)ejωtdt【逻辑推理】先将函数进行傅里叶变换,然后对其求极限,证明结果为1.
证明:(1)(ω)=∫∞∞(t)ejωttjωt=∫1edt=aaa1∫aaa1tjωt∫0aa1tejωtdta0jωt10jωt1ajωt1ajωt=∫edt∫tedt∫edt∫tedtaaaaa0a011jωt0110jωt11jωta11=etdeea0ahttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402jωajω∫aajωajω11ejωa1jωt=teajωjωjωa11ejωa1jωtteajωjωjωa=11jωtajωajω∫ejωtdtaaajωt∫0edt0jωttde∫0aωa2jωa22cos(ωa)2=ωa2=111jωtaea0ajωajωjωaωaeωa2jωa2当a→0时,F(ω)→1.
所以得证.
(2)(ω)=∫ε(t)eatε(t)ejωtdt∞∞2∞∞a0a0=∫eatejωtdt∫eatejωtdt=∫e(ajω)tdt∫e(ajω)tdt∞2∞∞a11a11(ajω)t0(ajω)t=ee=∞02ajωajω2ajωajω∞(t)ejωtdt=∫∞[]=2jω118当a→∞时,F(ω)→1.
所以得证.
3.
9求下列信号的频谱(1)f(t)=Gτ(t)(2)f(t)=Gτ(t)δ(tt0)(3)f(t)=Gτ(t)[δ(tt0)δ(tt0)]【知识点窍】傅里叶变换的基本性质,信号的延时与叠加.
【逻辑推理】先将函数进http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402行傅里叶变换,然后利用冲激函数的特性与延时特性进行计算.
解:(1)门函数可表示为,(t)=Gτ(t)=0,根据傅里叶变换式可求得其频谱函数为<ττt>(ω)=∫∞f(t)esin=∞jωt=∫eτ2τ2jωtj1edt=jωωτeωτ2ωτωτωτ=τ=τSaωτω22(2)根据冲激函数卷积性质,可得:(t)=Gτ(t)δ(tt0)=Gτ(tt0)根据傅立叶变换的时移特性.
可得:ωτjωt0F(ω)=τSae2(3)根据冲激函数卷积性质,可得:(t)=Gτ(t)[δ(tt0)δ(tt0)]=Gτ(tt0)Gτ(tt0)根据傅立叶变换的时移特性.
可得:ωτ(ω)=τSa2jωt0ωτeτSa2jωt0ee(t1),0≤t≤13.
10已知f(t)=,求下列各信号的频谱的具体表达式.
,其它0(1)f1(t)=f(t)2)f2(t)=f(t)f(t)(3)f3(t)=f(t)f(t)4)f4(t)=http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402f(t)f(t1)(5)f5(t)=tf(t)【知识点窍】本题主要考察傅里叶变换性质【逻辑推理】同题3.
5解:f(t)=e(t1)[ε(t)ε(t1)]=eetε(t)e(t1)ε(t1)因eatε(t)根据傅立叶变换的时移特性,有,jωeejωjω(ω)=ee=jω1jω1jω(1)f1(t)=f(t)ejω所以F1(ω)=jω(2)f2(t)=f(t)f(t)ejω其中f(t)F(ω)=jω根据傅立叶变换的时频展缩特性,有ejω(t)F(ω)=jω所以ejωeejω2e2cosω2ωsinω(ω)=F(ω)F(ω)==2jω1jω1ω(3)f3(t)=f(t)f(t)则有eejωeejω2jωe2jsinω2jωcosω(ω)=F(ω)F(ω)==jω1jω1ω2(4)f4(t)=f(t)f(t1)ejω其中f(t)F(ω)=jω根据傅立叶变换的时移特性,有ejωjω(t1)ejω所以://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402parejωeejωjωeejω1ejω(ω)=e=jω1jω1jω(5)f5(t)=tf(t)根据傅立叶变换的微分特性,有eejωF5(ω)=jF(jω)=jωdω1jωe2ejωjωejω2=1jω3.
11用傅氏变换的对称特性,求下列信号的频谱.
(1)π(t2)2α(2)2πt2αt2(α>0)sin2πt(3)4)πtαjt【知识点窍】本题主要考察傅里叶变换的对称特性.
【逻辑推理】将f(t)中的t变换为ω,可得出F(ω)的形式找到与之相对应的原信号,再利用傅里叶变换对称即可.
即若f(t)F(ω)则F(t)2πf(ω).
ωτ,取ωτ=2πω,故得τ=4π,则解:(1)因Gτ(t)τωτ22πωsin2πωπ(t)4π=2ππωπωsin2πω故G4π(t)ππω故根据傅立叶变换的对称性,有πt12π×G4π(ω)=G4π(ω)πt2π故π(t2)G4π(ω)ej2ωπt2(2)因eαtαα2ω2(α>0)://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402arααω2πe22αt故根据傅立叶变换的对称性,有(α>0)(3)三角脉冲t1fτ(t)=τ0≤τt>τωτsin因有fτ(t)τωτ2sin2πω故f4π(t)4π2πω1sin2πω即f4π(t)4π2πωsin2πω故2π×f(ω)=f4π(ω)4π2πω4π2(4)因eαtε(t),αjω故根据傅立叶变换的对称性,有2πeαωε(ω)αjtωTN2ωτ3.
12证明:FGtδtnT=τSa()()τ∑ωT2n=Nsin,τ<T【知识点窍】本题主要考察冲激函数的性质及门函数傅里变换.
【逻辑推理】利用任意信号与冲激时移函数卷积等于该信号的时移.
然后再利用傅里叶变换时移特性求得.
证明:因为ωτωτ=τSaGτ(t)τωτ22://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402parδ(t)1由时移特性有:δ(tnT)ejω(nT)由线性可得:=N∑δ(tnT)=N∑jωnTωT2N1)ejωTN1e(=ejωT=ωTN1jωTjωTNN22eeeωTNeωTjeωTj212jsinNωTsinNωT==ωTωT2jsinsin由卷积定理可得:sinNωTNN2ωτFGτ(t)∑δ(tnT)=FGtFδtnT=τSa()()τ∑ωT2n=Nn=Nsin3.
13求图3.
11所示信号的傅里叶变换.
【知识点窍】本题主要考察傅里叶变换性质【逻辑推理】同例3.
5解:(1)由图可得,τ<T(t)=ε(t)ε(tτ)因ε(t)πδ(ω),则根据傅立叶变换的时移特性,则有:jω1jωτ(ω)=πδ(ω)1eω[]图3.
11(2)由图可得://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402par(t)=tε(t)tε(t1)=tε(t)(t1)ε(t1)ε(t1)因tε(t)jπδ'(ω)则根据傅立叶变换的时移特性,则有:,ε(t)πδ(ω)2ωjω(ω)=jπδ'(ω)(3)由图可得1jω1jωjπδ'(ω)eπδ(ω)e22ωωjωπ2(t)=G2(t)cos因cosπππωτπδωδω,Gτ(t)τSa2222则根据傅立叶变换的卷积定理,则有:(ω)==πF[G2(t)]Fcost2π21ππ[2Sa(ω)]πδωδω2π22ππ=SaωSaω2(4)由图可得TtT(t)=sintεtε22TTTT=costtεtcostεt2222因costε(t)ωδωδω()()jω222则根据傅立叶变换的时移特性,则有:ωjω11ω2(ω)=δ(ω)δ(ω)ee2222jω://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402parjωjω11ωδ(ω)δ(ω)e2e2222jωω=δ(ω)δ(ω)ω223.
14求下列各F(ω)的原函数f(t).
(1)F(ω)=δ(ωω0)2)F(ω)=ε(ωω0)ε(ωω0)ω0(3)F(ω)=π0<ω0其余(4)F(ω)=ωα2【知识点窍】本题主要考察傅里叶反变换以及傅里叶变换的基本性质.
【逻辑推理】能直接使用傅里叶反变换的就直接求,不能用的可利用傅里叶的一些基本性质来解答,如对称性.
解:(1)因有δ(t)1,故根据傅立叶变换正反变换的对称性可得:πδ(ω)1即δ(ω)所以F(ω)=δ(ωω0)的原函数πf(t)=(2)因有ε(t)πδ(ω)jω0t2π,故根据傅立叶变换正反变换的对称性可得:jωπε(ω)πδ(t)jt即ε(ω)δ(t)j22πt所以F(ω)=ε(ωω0)ε(ωω0)的原函数jω0t11jω0t1(t)=(t)jeδ(t)jeπt2πt22=jsinω0tδ(t)j2j(sinω0t)πthttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402ω1=sinω0t=0Sa(ω0t)πtπ(3)F(ω)=ω0ω0(ω)πωτ2,τ=2ω0,故ω0(t)2ω0Sa(ωω0)2πG2ω0(ω)2ω0Sa(ω0t)因有Gτ(t)τSaω0(ω)所以F(ω)=ω0(ω0t)πω0ω0(ω)的原函数πω(t)=0Sa(ω0t)π(4)F(ω)=ωα2=jωαjωα因eαtε(t),根据卷积定理有ωαf(t)=eαtε(t)eαtε(t)=∫eατε(t)eα(tτ)ε(tτ)dτ∞∞=∫edτ=teε(t)αtαt3.
15已知实偶信号f(t)的频谱满足lnF(ω)=ω,求f(t).
【知识点窍】本题主要考察傅里叶反变换以及傅里叶变换的基本性质.
【逻辑推理】利用傅里叶的一些基本性质来解答,如对偶性.
解:由于f(t)是实偶函数,可知F(ω)是实偶函数,即有(ω)=F(ω),F(ω)=F(ω)又由于lnF(ω=ω,可得F(ω)=e设Fω(ω)=F(ωej(ω),(ω)为F(ω)的相位谱.
我们可以得到(ω)=F(ωej(ω)=F(ω)ej(ω)=F(ω)即有ej(ω)=ej(ω)://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402所以(ω)=0或(ω)=π(ω)=F(ω或F(ω)=F(ωejπ=F(ω)因此(ω)=±F(ω)=±e若F(ω)=e即可得到ωω,由于我们已知et,根据对偶性定理2ωωe22π1t即(t)=若F(ω)=e,同理可得f(t)==222π1tπ1tω.
2π1t3.
16F(ω)的图形如图3.
12所示,求其反变换f(t).
图3.
12【知识点窍】本题主要考察傅里叶反变换以及傅里叶变换的基本性质.
【逻辑推理】能直接使用傅里叶反变换的就直接求,不能用的可利用傅里叶的一些基本性质来解答,如对称性.
解:(a)用基本定义求解.
因已知有(ω)=F(ωeθ(ω)=ejωt0故f(t)=ω0<ω<ω0∞∞π∫∞∞jωt0ejωtdω=π∫ω(tt0)dω=ω0[ω0(tt0)]π(t)的波形如图3.
13所示.
图3.
13(b)利用频域微积分定理.
由图可以写出:(ω)=j[ε(ωω0)ε(ω)]j[ε(ω)ε(ωω0)]://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402ar对F(ω)求导,得:(ω)=j[δ(ωω0)δ(ωω0)2δ(ω)]dω由于12πδ(ω),利用频移性质可得:j1djωtjωtF(ω)=je0e02=(cosω0t1)πdω2π[]由频域微积分定理有1d(t)=F1[F(ω)]=πδ(t)F1F(jω)dωjtjωtjωt=je0e02=(1cosω0t)2ππt[]3.
17求πtsin8πt.
2πt8πt【知识点窍】本题主要考察利用卷积定理求解原信号.
【逻辑推理】首先利用正反对性求解各信号的傅氏变换,然后利用卷积定理求解该两个时域信号积分信号对应的傅氏变换,再对其求反变换.
解:令f1(t)=因有Gτ(t)τSaπtsin8πt,f2(t)=2πt8πtωτ2,则根据傅里叶变换的对称特性,可得τtτSa2πGτ(ω)2若取τtsin2πt1=2πt,故得τ=4π,令f1(t)==4πSa(2πt)22πt4π(ω)=所以2πG4π(ω)=G4π(ω)4π2τtsin8πt1若取=8πt,故得τ=16π,令f2(t)==16πSa(8πt)πt16π所以(ω)=根据卷积定理,可得:2πG16π(ω)=G16π(ω)16π8π(ωhttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402)G16π(ω)=G4π(ω)2816(t)f2(t)F1(ω)F2(ω)=取反变换,即得:πtsin8πt1111sin2πt=4πSa(2πt)=Sa(2πt)=2πt8πt162π882πt3.
18已知F(jω)=4Sa(ω)cos2ω,求反变换f(t),并画出f(t)的波形.
【知识点窍】本题主要考察傅氏反变换求解.
【逻辑推理】应用傅里叶时移特性进行求解.
jωe2jω解:F(jω)=4Sa(ω)cos2ω=4Sa(ω)=2Sa(ω)e2jω2Sa(ω)e2jω因有Gτ(t)τSaωτ,取τ=2,故2(t)2Sa(ω)故有(t2)2Sa(ω)ej2ωG2(t2)2Sa(ω)ej2ω故得(t)=G2(t2)G2(t2)2Sa(ω)ej2ω2Sa(ω)ej2ω=4Sa(ω)cos2ω(t)的波形如图3.
14所示.
图3.
143.
19图3.
15(a)所示为非周期信号f0(t),设其频谱为F0(ω);习题图3.
15(b)所示为周期为T的周期信号f(t),设其复数振幅为An.
试证明:=(ω)ω=nT=πT图3.
15【知识点窍】本题主要考察非周期信号与由其构造的周期信号频谱关系.
【逻辑推理】将周期信号拆分成非周期信号的延时信号的叠加,运用冲激函数的卷积性质,将其看成是该非周期信号与延时冲激信号叠加的卷积,求其傅里叶变换,再经傅氏反变换求取其指数表示式.
证明http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402:因f(t)=∑f0(tnT)=∞∞可写成f(t)=f0(t)∑δ(tnT)=∞∞≥2τ则有(jω)=F0(jω)∑δ(ωn)=∞∞π∞=∑F0(jn)δ(ωn)Tn=∞2π=对上式进行傅立叶反变换有f(t)=π=∑∞∫∞∞(jω)eωtdω=π2π∞jωt∑F(jn)δ(tn)edω0∫∞Tn=∞∞∞1(jn)ejnt∫δ(ωn)dω∞n=∞T∞2=∑F0(jn)ejnt2n=∞T又知f(t)=将上两式比较可得∑Anejnt2(ω)ω=nTπT==3.
20设f(t)为限带信号,频带宽度为ωm,其频谱F(ω)如图3.
16所示.
(1)求f(2t),ft的带宽、奈奎斯特抽样频率N,fN与奈奎斯特间隔TN.
∞12(2)设用抽样序列δT(t)==∞∑δ(tnT)对信号f(t)进行抽样,得抽样信号f(t),求f(t)的频谱(ω),画出频谱图.
(3)若用同http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402一个δT(t)对f(2t),ft分别进行抽样,试画出两个抽样信号fs(2t),fst的频谱图.
1212图3.
16【知识点窍】本题主要考察采样定理.
【逻辑推理】奈奎斯特抽样频率N=2×2ωm,奈奎斯特间隔TN=1(其中,fN=N)fN2π解:(1)f(2t)F1(jω)=ωj,其频谱图如图3.
17(a)所示.
22故得频带宽度为2ωm=2×8=16rad/s奈奎斯特抽样频率N=2×2ωm=4ωm=32rad/s=π=sfN16N4ωm2ωm16===Hz2π2πππ奈奎斯特间隔TN=ω1ftF2(jω)=Fj=2F(j2ω),其频谱图如图3.
17(b)所示.
2ωm=×8=4rad/s22奈奎斯特抽样频率N=2×ωm=ωm=8rad/s故得频带宽度为=奈奎斯特间隔TN=Nωm4==Hz2π2πππ=sfN4(2)N=2ωm=2×8=16rad/s=其频谱为π2ππ==sNωm81(jω)=[j(ωn)]=∑Nπn=∞∞=∞∑F[j(ω16n)]∞其频谱如图如图3.
17(c)所示(3)此时抽样信号的频谱分别为://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402par(jω)=(jω)==∞∞∑F[j(ωn×16)]∞=∞∑F[j(ωn×16)]其频谱如图3.
17(d),3.
17(e)所示.
(a)b)(c)d)(e)图3.
173.
21已知系统的单位冲激响应h(t)=eatε(t),并设其频谱为H(ω)=R(ω)jX(ω).
(1)求R(ω),X(ω);(2)证明R(ω)=X(ω),X(ω)=R(ω).
πωπω【知识点窍】本题主要频谱的分解.
【逻辑推理】频谱是一个复函数,可以分解为实部分与虚部分之和.
然后根据卷积定义求其运算.
解:(1)H(jω)=,即jω(ω)jX(ω)=ωj2222ωaωω,X(ω)=2222ωaω∞x1(2)X(ω)=∫2dxπωπ∞ax2ωx故得R(ω)==πa2ω2a2ωxωdx2222∫∞ωxaxax∞xω22=aarctglnaωωln(ωx)22πaωa2http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402∞=2=R(ω)2ω()∞同法可以求证ωR(ω)=2=X(ω)2πωaω可见,只要知道了因果系统频率特性的实部(或虚部),则其虚部(或实部)也就确定了,即系统的整个频率特性就都被确定了.
3.
22求图3.
18所示电路的频域系统函数H1(jω)=(jω)I(jω),H2(jω)=及相应的单位冲激响应ωFjωh1(t)与h2(t).
图3.
18图3.
19【知识点窍】本题主要考察利用频域系统函数求解单位冲激响应.
【逻辑推理】频域系统函数就是单位冲激响应的傅里叶变换.
解:频域电路如图3.
19所示,故(ω)11jωC(jω)===FωRCRjωωCRC(jω)=(jω)jωC1jω=F(jω)=F(jω)11jωCR1RRjωωCRCI(jω)1jω1RCH2(jω)===1ωRRjωjωRCRCRCt故h1(t)=F[H1(jω)]=eε(t)1t(t)=F[H2(jω)]=δ(t)2eRCε(t)13.
23求图3.
20所示电路的频域系统函数H(jω)=(jω).
jω图3.
20http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402图3.
21【知识点窍】本题主要考察频域系统函数定义.
【逻辑推理】频域系统函数就是系统零状态响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换之比.
解:频域电路如图3.
21所示,故R()U1jωjωC(jω)=×RRjωCjωCωLRωC故有1R(jω)1jωC1(jω)==×=LU1jω(jω)2LCjω1jωCjωCRωLRωC3.
24已知系统函数H(jω)=ω,系统的初始状态y(0)=2,y'(0)=1,激励2ωj5ω6(t)=etε(t),求全响应y(t).
【知识点窍】本题主要考察利用频域系统函数求解零状态响应.
【逻辑推理】系统零状态响应的傅里叶变换等于激励的傅里叶变换与频域系统函数之积.
然后对其求傅里叶反变换即得系统零状态响应.
解:(1)求零输入响应yzi(t).
因H(jω)=ω,故知系统的特征方程有两个单根:-2和-3.
2ωj5ω6故得到yzi(t)=A1e2tA2e3t将系统的初始条件y(0)=2,y'(0)=1代入上式可以求解A1=7,A2=5.
所以有(t)=7e2t5e3tε(t)(2)求零输入响应yzs(t).
激励f(t)=etε(t),则有F(jω)=()jω1(jω)=http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402F(jω)H(jω)=ωω1jω2jω3=jω1jω22jω3故得13(t)=etε(t)2e2tε(t)e3tε(t)t2t3t=e2eeε(t)22(3)求全响应y(t).
(t)=yzi(t)yzs(t)1=7e2t5e3tε(t)et2e2te3tε(t)21=et9e2te3tε(t)2()3.
25求图3.
22所示各系统的系统函数H(jω)及冲激响应h(t).
图3.
22【知识点窍】本题主要考察常见系统的系统函数求解.
【逻辑推理】利用傅里叶变换性质及冲激响应与系统函数的关系求解.
解:(a)由图可知:y(t)=f(t1),则有Y(jω)=F(jω)ejω所以系统函数H(jω)=故冲激响应(jω)=ejωωh(t)=δ(t1)(b)由图可知:y(t)=f(t),则有Y(jω)=F(jω)所以系统函数H(jω)=故冲激响应(jω)=1Fjωh(t)=δ(t)(c)由图可知:y(t)=所以系统函数H(jω)=故冲激响应(t),则有Y(jω)=jωF(jω)dt(jω)http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402=jωFjωh(t)=δ'(t)(d)由图可知:y(t)=所以系统函数H(jω)=故冲激响应∫∞1(τ)dτ,则有Y(jω)=F(jω)πδ(ω)ω(jω)1=πδ(ω)ωjω(t)=ε(t)3.
26如图3.
23(a)所示系统,已知信号f(t)如习题图3.
23(b)所示,f1(t)=cosω0t,f2(t)=cos2ω0t.
求响应y(t)的频谱函数.
图3.
23【知识点窍】主要考察系统函数求解系统输出.
【逻辑推理】输出信号的频谱响应等于输入信号的频谱响应与频域系统函数积.
解:f(t)如图3.
23(b)所示,可得f(t)=Agτ(t)所以F(jω)=AτSaωτ2因f1(t)=cosω0t,f2(t)=cos2ω0t,则有F1(jω)=π[δ(ωω0)δ(ωω0)]F2(jω)=π[δ(ω2ω0)δ(ω2ω0)]由图3.
23(a)可知:x(t)=f(t)f1(t)故(jω)=ωτF(jω)F1(jω)=AτSaπ[δ(ωω0)δ(ωω0)]2π2π2(ωω0)τ1(ωω0)τ=AτSaSa222故(jω)=(jω)F2(jω)2π(ωω0)τ11(ωω0)τ=AτSaSaπ[δ(ω2ω0)δ(ω2ω0)]2π222=(ωhttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a8834023ω0)τττ1(ωω0)(ωω0)τ(ω3ω0)AτSaSaSaSa422223.
27一理想低通滤波器的频率响应πe2,6rad/s<ω<0jπ(ω)=e2,0<ω<6rad/s0,其余若输入f(t)=tt,求该系统的输出y(t).
t【知识点窍】主要考察系统函数求解系统输出.
【逻辑推理】输出信号的频谱响应等于输入信号的频谱响应与频域系统函数积.
解:因有Gτ(t)τSaωτ2ωτ,取=3ω,故得τ=6,故(t)6Sa(3ω)2πG6(ω)6Sa(3t)π(ω)Sa(3t)3所以tsin3t=3=3Sa(3t)πG6(ω)t3t又因cos5tπ[δ(ω5)δ(ω5)]所以(jω)==故πG6(ω)π[δ(ω5)δ(ω5)]2ππ[G6(ω5)G6(ω5)]2ππjjπ2(jω)=F(jω)H(jω)=G4(ω4)eG4(ω4)e2对上式进行傅立叶反变换,即得sin2tj4t1j2sin2tj4t(t)=eeeet2teπ=2Sa(2t)cos4t=2Sa(2t)sin4t=23.
28图3.
24所示的http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402调幅系统,当输入f(t)和载频信号s(t)加到乘法器后,其输出y(t)=f(t)s(t).
该系统是线性的吗(1)如f(t)=52cos10t3cos20t,s(t)=cos200t,试画出y(t)的频谱图.
(2)如f(t)=ππtetπj4tπj4t,s(t)=cos3t,试画出y(t)的频谱图.
t图3.
24【知识点窍】主要考察调制信号的定义以及调制信号与输出信号的关系以及频谱图的绘制方法.
【逻辑推理】利用傅里叶变换性质.
解:(1)因为s(t)π[δ(ω200)δ(ω200)](t)52π[δ(ω10)δ(ω10)]3π[δ(ω20)δ(ω20)]且y(t)=f(t)s(t)由傅里叶变换移频特性知(ω)=[s(t)]F[f(t)]2π1=π[δ(ω200)δ(ω200)]52π[δ(ω10)δ(ω10)]3π[δ(ω20)δ(ω20)]2π5=[δ(ω200)δ(ω200)]π[δ(ω210)δ(ω190)δ(ω210)δ(ω190)]23π[δ(ω220)δ(ω180)δ(ω220)δ(ω180)]2其频谱图如图3.
25所示.
[此处图片未下载成功]图3.
25(2)因为s(t)π[δ(ω3)δ(ω3)]因有Gτ(thttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402)τSaωτωτ=ω,故得τ=2,故,取(t)πG2(ω)且y(t)=f(t)s(t)[此处图片未下载成功]由傅里叶变换移频特性知Y(ω)=[s(t)]F[f(t)]2π1=π[δ(ω3)δ(ω3)]πG2(ω)2ππ=[G2(ω3)G2(ω3)]2其频谱图如图3.
26所示.
图3.
263.
29为了通信保密,可将语音信号在传输前进行倒频,接收端收到倒频信号后,再设法恢复原频谱.
图3.
27(b)是一倒频系统.
如输入带限信号f(t)的频谱如图3.
27(a)所示,其最高角频率为ωm.
已知ωb>ωm,图(b)中HP是理想高通滤波器,其截止角频率为ωb,即K1,>ωbH1(ω)=0,<ωbK2,<ωm图中LP为理想低通滤波器,截止角频率为ωm,即H2(ω)=0,>ωm画出x(t),y(t)的频谱图.
图3.
27【知识点窍】主要考察系统函数.
【逻辑推理】输出信号的频谱响应等于输入信号的频谱响应与系统函数之积.
解:高通滤波器前的信号x1(t)(t)=f(t)cosωbt[此处图片未下载成功]其傅里叶变换为:(ω)=(ω)π[δ(ωωb)δ(ωωb)]=[F(ωωb)F(ωωb)]2π2其频谱图形如图3.
28(a)所示.
通过高通滤波器后的信号频谱为:K1X1(ωhttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402)X2(ω)=H1(ω)X1(ω)=0其频谱图形如图3.
28(b)所示.
则由图3.
27(b)图可知,x(t)=x2(t)cos(ωbωm)t由其傅里叶变换为:ω>ωbω<ωb(ω)=====(ω)Fcos(ωbωm)t2π1(ω)πδ(ω(ωbωm))δ(ω(ωbωm))2π1X2(ω(ωbωm))X2(ω(ωbωm))2K1X1(ω(ωbωm))X1(ω(ωbωm))211K1Fω2ωωFωωFω2ωωFωω(bmmbmm222其频谱图形如图3.
28(c)所示.
由图3.
27(b)可知,Y(ω)=X(ω)H2(ω)=其频谱图如图3.
28(d)所示.
[此处图片未下载成功]K2X2(ω)0ω<ωmω>ωm(a)(b)(c)(d)图3.
283.
30如图3.
29所示系统,已知f(t)=(2t),H(ωπ)=jsgn(ω),求系统的输出y(t).
(t)(t)(t)图3.
29【知识点窍】主要考察系统函数.
【逻辑推理】输出信号的频谱响应等于输入信号的频谱响应与系统函数之积.
[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功]解:因有Ghttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402τ(t)τSaωτ2ωτ,取=2ω,故得τ=4,故(t)4Sa(2ω)2πG4(ω)4Sa(2t)(ω)Sa(2t)2π因输入f(t)=(2t),则有π(jω)=G4(ω)其频谱图如图3.
30(a)所示.
[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功](a)(b)[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功](c)(d)[此处图片未下载成功](e)如图3.
30由图3.
29可得(t)=f(t)cos4t故Y1(jω)=(jω)π[δ(ω4)δ(ω4)]2π11=F[j(ω4)]F[j(ω4)]221=[G4(ω4)G4(ω4)]2其频谱图如图3.
30(b)所示.
由图3.
29可得(jω)=H(jω)F(jω)=jsgn(ω)G4(ω)=j[G2(ω1)G2(ω1)]其频谱图3.
30(c)所示.
由图3.
29可得(t)=x(t)sin4t故(jω)==π(jω)[δ(ω4)δ(ω4)]2πj×j[G2(ω1)G2(ω1)][δ(ω4)δ(ω4)]2j1://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402par=[G2(ω5)G2(ω3)G2(ω3)G2(ω5)]2其频谱图3.
30(d)所示.
所以y(t)=y1(t)y2(t)则有(jω)=Y1(jω)Y2(jω)=G2(ω5)G2(ω5)1=G2(ω)[δ(ω5)δ(ω5)]=2×G2(ω)π[δ(ω5)δ(ω5)]π其频谱图3.
30(e)所示.
因已知G2(ω)sintSa(t)=ππtπ[δ(ω5)δ(ω5)]cos5t故得y(t)=2×sint2t=Sa(t)cos5tπtπ3.
31如图3.
31所示的系统,带通滤波器的频率响应如图(b)所示,其相频特性(ω)=0,若输入f(t)=t,s(t)=cos1000t,求输出信号y(t).
2πt图3.
31【知识点窍】主要考察系统函数.
【逻辑推理】输出信号的频谱响应等于输入信号的频谱响应与系统函数之积.
解:因有Gτ(t)τSaωτ2ωτ=2ω,故得τ=4,故,取2(t)4Sa(2ω)2πG4(ω)4Sa(2t)(ω)Sa(2t)2π因输入f(t)=t1=Sa(2t),则有2πtπ(jω)=(ω2)(jω)的曲线如图3.
32(a)所示.
又s(t)=cos1000t,则有(jω)=π[δ(ωhttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a8834021000)δ(ω1000)](t)=f(t)s(t)故(jω)=(jω)S(jω)2π11Gωπδω1000πδω10002π2411=G4(ω1000)G4(ω1000)44(jω)的曲线如图3.
32(b)所示.
11(jω)=F1(jω)H(jω)=G2(ω1000)G2(ω1000)(jω)的曲线如图3.
32(c)所示.
又因1[G2(ω)]=故得=Sa(t)πtπ∞<t<∞[此处图片未下载成功]y(t)=sintj1000t1sintj1000tsinte=cos1000t4π[此处图片未下载成功]t4πt2πt(a)(b)[此处图片未下载成功](c)图3.
32http://www.
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com第四章连续时间信号与系统的复频域分析4.
1学习重点、拉普拉斯变换的定义式,收敛域,能根据拉普拉斯变换的定义式求一些常用信号的拉普拉斯变换.
、熟练掌握拉普拉斯变换的基本性质(特别是时移性、频移性、时域微分、频域微分、初值定理、终值定理、卷积定理等性质)及其应用.
3、能应用部分分式法展开法、留数法,求解拉普拉斯反变换.
域元件模型,能求解4、利用拉普拉斯进行连续时间信号的复频域分析,分析电路、线性时不变系统的http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402响应,包括全响应、零输入响应、零状态响应,以及冲激响应和阶跃响应.
、深刻理解复频域系统函数H(s)的定义、物理意义及其与系统特性的关系,并能熟练应用于连续时间信号的复频域分析.
6、系统的复频域方框图表示与模拟.
、了解系统函数的零、极点与系统特性的关系,会画零、极点图,会根据零、极点图求系统函数H(s).
8、系统稳定性及其判断方法.
、用MATLAB进行连续时间信号与系统的复频域分析4.
2教材习题同步解析.
1求下列信号的拉普拉斯变换及其收敛域,并画出零极点图和收敛域.
(1)eatε(t),a<0(2)eatε(t),a>0(3)eatε(t),a>0(4)eat,a>0(5)ε(t4)(6)δ(tτ)(7)etε(t)e2tε(t)(8)cos(ω0t)ε(t)【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换定义及收敛域求法.
【逻辑推理】单边拉普拉斯变换定义:F(s)=∫f(t)e∞st.
若满足σ>σ0,使得→∞(t)eσt=0,则f(t)eσt在σ>σ0的全部范围内收敛.
解:(1)F(s)=L[atε(t)]=∫∞∞)t0atedt=∫e(adt10=a∞ateσt=limt→∞(aσ)tt→=0σa>0即http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402收敛域为σ>a,σ0=a.
(2)F(s)=L[eatε(t)]=∫∞est=∫(as)t∞=alimeateσt=lime(aσ)tt→∞→∞=0σ<0即收敛域为σ>a,σ0=a.
(3)F(s)=L[ε(t)]=∫∞st=∫∞(as)tdt=aσt=lime(aσ)tt→∞→∞=0σ<0即收敛域为σ>a,σ0=a.
(4)F(s)=L[atε(t)]=∫∞dt∫∞atestdt=∫(as)t∞11∞∫0(as)tdt=asa→∞ateσt=tlim→∞(aσ)t=0aσ<0即σ>atlim→∞σt=lim∞(aσ)tt→=0σ>0即σ<a即收敛域为a<σ<a.
(http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a8834025)F(s)=L[ε(t4)]=∫∞ε(t4)estdt=∫∞estdt=1s4st∞4s=1limt→∞ε(t4)eσt=tlim→∞σt=0σ>0即收敛域为σ>0,σ0=0(6)F(s)=L[δ(tτ)]=→∞∫δ(tτ)eτ∞st=est=τ=esτδ(tτ)eσt=lim0eσt=0→∞σ>∞即对σ0没有要求,全平面收敛.
(7)F(s)=Letε(t)e2tε(t)=[]∫∞testdt∫e2testdt∞=→∞∫∞(1s)tdt∫e(2s)tdt=∞s1s2→∞te2teσt=lime(1σ)tlime(2σ)t=0→∞()σ1>0且σ2>0即收敛域为σ>1,σ0=1.
(8)cos(ω0t)=cosω0tcossinω0tsinω0tjeω0tjeω0tjeω0tj=cossinjcossinω0tjcossinω0tj=22jhttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402e22jecossinωtjcossinωtj(s)=Lε(t)22je22jecossin∞ω0tjstcossin∞ω0tjst=22j∫0eedt22j∫0eedtcossin∞(ω0s)jtcossin∞(ω0s)jt=dtdt22j∫0e22j∫0e1j1jee=sjω0sjω0cossinω0tjcossinω0tjlimeeε(t)eσtt→∞2j2j22cossinsin(ω0jσ)tcos(ω0jσ)t=limelime=02t→∞t→∞2j2j2则有ω0jσ<0且ω0jσ>0即收敛域为σ>ω0j,σ0=ω0j.
4.
2求图4.
1所示信号的拉普拉斯变换.
【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换基本性质【逻辑推理】首先分析图形,看是由哪些基本信号的图形组合,然后通过基本信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯变换基本性质来求取其拉普拉斯变换.
[此处图片未下载成功]图4.
1解:(a)x(t)=ε(t)ε(tT)因ε(t),根据拉普拉斯变换时延特性,有s(s)=esT=1esT()(b)x(t)=ε(t)ε(t1)ε(t2)ε(t3),根据拉普拉斯变换时延特性,有s(s)=ese2http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402se3s=1ese2se3s(c)x(t)=t[ε(t)ε(tT)]=tε(t)(tT)ε(tT)ε(tT)因ε(t),tε(t)2,根据拉普拉斯变换时延特性,有(s)=2esT2esT因ε(t)()(d)x(t)=因ε(t)11[ε(t)ε(tT)]=(tT)ε(t)(tT)ε(tT)T,tε(t)2,根据拉普拉斯变换时延特性,有ss(s)=22esT(e)x(t)=4T2()tεtt2εtt2ε(tT)T2TT24TT2ε(t)tεt(tT)ε(tT)TT22T=因ε(t),tε(t)2,根据拉普拉斯变换时延特性,有ss22sT()Xs=22e2e=(f)x(t)=sinπt[ε(t)ε(tπ)]4e2esTπtε(t)πs2πejπtejπt[sinπtε(tπ)]=Lε(tπ)j∞1∞jπtstejπtst=1e=eedteedt∫http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402π∫π2j2jsjπsjπ(sjπ)π(sjπ)π所以π1e(sjπ)πe(sjπ)π(s)=2π22jsjπsjππ1sjπesπejπsjπesπejπ=22sπ2js2π2π1sπsejπejπjπejπejπ=2e222sπ2jsππsπssinπtπcosπt=2esπ2s2π2πesπssinπ2tπcosπ2t=π2.
3图4.
2所示的每一个零极点图,确定满足下述情况的收敛域.
(1)f(t)的傅里叶变换存在(2)f(t)e2t的傅里叶变换存在(3)f(t)=0,t>0(4)f(t)=0,t<5【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性.
【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式,再利用反变换求取其原信号,即可求取其收域.
[此处图片未下载成功]图4.
2解:由图4.
2(a)得(s)=由图4.
2(b)图得tk1k111t即得f(t)=eeε(t)=s1s12s1s12[](s)=tk2k113t即得f(t)=eeε(t)=23s36s3s32[]由图4.
2(c)图得(s)=tk3k113t即得f(t)=eeε(t)=3http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402s3s12s1s32[](1)f(t)的傅里叶变换存在,对于由图4.
2(a)来说,其收敛域为(t)eσt=lim→∞tKeteσt=lim1e(1σ)te(1α)t=0→∞2t→∞2[][]则由此可得1α<0即收敛域为α>1∪1α>0同理,对于图4.
2(b)来说,其收敛域为:σ>3对于图4.
2(c)来说,其收敛域为:α>1(2)f(t)e2t的傅里叶变换存在,对于由图4.
2(a)来说,其收敛域为(t)e2teσt=lim→∞tKeteσt=lim1e(3σ)te(1α)t=0→∞2t→∞2[][]由此可得其收敛域为:σ>3同理,对于对于图4.
2(b)来说,其收敛域为:σ>5对于图4.
2(c)来说,其收敛域为:α>1(3)(4)情况下,收敛域均为:∞<α<∞.
4针对图4.
3所示的每一个信号的有理拉氏变换的零极点图,确定:(1)拉氏变换式;(2)零极点图可能的收敛域,并指出相应信号的特征.
[此处图片未下载成功]图4.
3【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性.
【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式,再求取其收域.
解:(a)由如图4.
3(a)所示的零极点图,可得到拉氏变换式为(s)=13s1拉氏变换的收敛域内不应包含象函数的任何极点,所以信号可能的收敛域为σ<3或σ>1或3<σ<1://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402该信号的极点位于s平面的负实轴上,所以该信号为衰减指数信号.
(b)由如图4.
3(b)所示的零极点图,可得到拉氏变换式为(s)=1jsj拉氏变换的收敛域内不应包含象函数的任何极点,所以信号可能的收敛域为σ<0或σ>0该信号的极点位于s平面的虚轴上,所以该信号为等幅振荡信号.
(c)由如图4.
3(c)所示的零极点图,可得到拉氏变换式为(s)=(sj)(sj)s1s1s2拉氏变换的收敛域内不应包含象函数的任何极点,所以信号可能的收敛域为σ<2或σ>1或2<σ<1或1<σ<1该信号的极点位于s平面的实轴上,有一个极点位于s右半平面上,所以该信号为增幅信号.
若拉氏变换的收敛域为某平行于虚轴的直线左侧的半个有限s平面,则对应时域的左边时间函数;若拉氏变换的收敛域为某平行于虚轴的直线右侧的半个有限s平面,则对应时域的右边时间函数;若拉氏变换的收敛域为s平面中左、右边界有限的带状区域,则对应一个两边时间函数.

4.
5对于下列信号,判断拉氏变换是否存在.
若存在,求出其拉氏变换式及收敛域.
(1)tε(t)(2)t2ε(t)(3)te2tε(t)te,t<0(4)eε(t)(5)eε(t)(6)f(t)=e,t>0et【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换定义与收敛域算法.
【逻辑推理】首先由收敛的条件判断拉氏变换是否存在,然后再利用拉氏变换定义式求取其拉氏变换.
解:(1)limtε(t)eσt=lim→∞=lim=0t→∞eσtt→∞σeσtσ>0即σ0=0,收敛坐标位于坐标原点,收敛轴即虚轴,收敛域为S平面的右半平面.
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com/doc/840ab286d39760825a883402ar(s)=L[tε(t)]=∫testdt=∞s(2)limtε(t)et→∞σt=limσt=lim2σt=0t→∞et→∞σeσ>0即σ0=0,收敛坐标位于坐标原点,收敛轴即虚轴,收敛域为S平面的右半平面.
(s)=Lt2ε(t)=∫t2estdt=[]∞s(3)limte2tε(t)eσt=limσ2t=limσ2t=0t→∞t→∞et→∞σ2e即σ>2,σ0=2σ2>0(s)=Lteε(t)=∫te2testdt=2t[]∞22(4)limetε(t)eσt=limetσt→∞t→∞=0满足上式的σ值不存在,所以该信号的拉普拉斯变换不存在.
(5)limeeε(t)eσt=limeeσt=0→∞t→∞满足上式的σ值不存在,所以该信号的拉普拉斯变换不存在.
(6)limf(t)e→∞σt=limetε(t)eσtlimetε(t)eσt→∞→∞=lime(σ1)tlime(1σ)t=0→∞→∞σ1<0且1σ<0满足上式的σ值不存在,所以该信号的拉普拉斯变换不存在.
http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402.
6利用拉普拉斯变换的性质,求下列信号的拉氏变换,并画出零极点图.
(1)(t1)ε(t1)(2)tetε(tτ)(3)(t1)etε(t)(4)t2eatε(t)(5)sinπt[ε(t)ε(t1)](6)sinωtcosωtε(t)(7)sinωtε(tτ)(8)sinω(tτ)ε(t)(9)sin2tε(t)ε(t)tτdat(13)∫sinπτdτ(14)∫∫sinπxdxdτ(15)esinωtε(t)dt(10)sintε(t)(11)teatcosωtε(t)(12)[](16)eα(tt0)d2sinπt(ωtθ)ε(t)(17)2[sinπtε(t)](18)ε(t)2(19)attτsinτdτ(20)efε(t)∫0b【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换性质以及零极点图画法.
【逻辑推理】首先分析每一个信号,看是由哪些基本信号的图形组合,然后通过基本信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯变换基本性质来求取其拉普拉斯变换.
解:(1)(t1)ε(t1)=(t1)ε(t1)2ε(t1)因为tε(t)由时移特性可得:F(s)=其零极点图如图4.
4(a)所示.
(2)设f0(t)=tε(tτ)=(tτ)ε(tτ)τε(tτ)因为tε(t)由时移特性可得:F0(s)=s://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402arε(t)ss2s1s12s1see=e2=2e2ssssssε(t)ssττsτ1sτe=es2ssτs1sττ=2es由频移特性可得:tetε(tτ)=f0(t)etF0(s1)=其零极点图如图4.
4(b)所示.
(3)设f0(t)=(t1)ε(t)=tε(t)ε(t)τ(s1)1(s1)(s1)τεt()2s1由时移特性可得:F0(s)=2=2因为tε(t)由频移特性可得:(t1)etε(t)=f0(t)etF0(s1)=其零极点图如图4.
4(c)所示.
(4)因为tnε(t)2(s1)!
2!
22即得tεt=3()n13sss由频移特性可得:t2eatε(t)其零极点图如图4.
4(d)所示.
(5)因为(sa)πtε(t)ε(t1)=sinπtε(t)sinπtε(t1)=sinπtε(t)sinπ(t1)ε(t1)又因为sinπtε(t)πs22ππs由线性性http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402质即得sinπtεtεt11e()()()22sπ由拉氏变换时移性质有sinπ(t1)ε(t1)其零极点图如图4.
4(e)所示.
(6)因为sinωtcosωtε(t)=又因为sin2ωtε(t)ππ(2ωt)ε(t)2ωs(2ω)由线性性质即得sinωtcosωtε(t)其零极点图如图4.
4(f)所示.
(7)因为ωs(2ω)sinωtε(tτ)=jωtjωte)ε(tτ)(2j=ω(tτ)jω(tτ)eε(tτ)eε(tτ)2j2j±atjωτjωτ又因为eε(t)jωtε(t)jω即可得ejωtε(t)由拉氏变换的时移特性得sjωω(tτ)ε(tτ)由拉氏变换线性特性可得sτjωjω(tτ)ε(tτ)sτjωωτ1ejωτ1sτωtε(tτ)eesτjsjω2jsjω://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402par1ejωτejωτsτ=e2jsjωsjωωτjωτjω(ejωτejωτ)sτ)1s(ee=e222jsωs2jsinωτ2jωcosωτsτjsωssinωτωcosωτsτ=e22ω=其零极点图如图4.
4(g)所示.
(8)因为ω(tτ)ε(t)==jω(tτ)jω(tτ)eε(t)2j()ωtε(t)ejωtε(t)2j2j±atjωτjωτ又因为eε(t)jωtε(t)jω即可得ejωtε(t)由拉氏变换线性特性可得sjωejωτ1ejωτ1ω(tτ)ε(t)jsjω2jsjωejωτejωτ=2jsjωsjωjωτejωτ)jω(ejωτejωτ)1s(e=2js2ω2s2jsinωτ2jωcosωτjsωssinωτωcosωτ=ω2=其零极点图如图4.
4(h)所示.
cos2t11ε(t)=ε(t)cos2tε(t)2221s又因为ε(t)cosωtε(t)22ω://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402(9)因为sin2tε(t)=由拉氏变换线性特性可得sω2ε(t)=s2s2ω22s2ω22其零极点图如图4.
4(i)所示.
(10)设f0(t)=sintε(t)sin(tπ)ε(tπ)则由题4.
6(5)可知f0(t)则sintε(t)=esπ)(21∑f(tnπ)ε(tnπ)n=0∞esπ1由拉氏变换时移特性可知sintε(t)F0(s)=sπsπ2e1es1其零极点图如图4.
4(j)所示.
(11)因为tcosωtε(t)由拉氏变换的频移特性可得ω2ω其零极点图如图4.
4(k)所示.
at(sa)ω2ωtε(t)(sa)2ω22ωωa即得sinatε(t)22a(12)因为sinωtε(t)由S域积分定理可得∞sinataε(t)∫2ds1=2sts1a∫∞s11as1=arctahttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402n1a∞=πssarctan=arctan2aa其零极点图如图4.
4(l)所示.
ω22ωπ即得sinπtε(t)22π(13)因为sinωtε(t)由时域积分定理可得∫πτdτππ=2222πssπ其零极点图如图4.
4(m)所示.
ωωπ即得sinπtε(t)22π(14)因为sinωtε(t)由时域积分定理可得∫∫τπxdxdτππ=222222πssπ其零极点图如图4.
4(n)所示.
(15)因为sinωtε(t)由拉氏变换的频移特性可得ωωatsinωtε(t)由拉氏变换时域微分定理可得ωa2ωatωesinωtε(t)s22dtsaω[]其零极点图如图4.
4(0)所示.
(16)因为sin(ωtθ)ε(t)=[sin(ωt)cosθcos(ωt)shttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402inθ]ε(t)所以eα(tt0)sin(ωtθ)ε(t)=eαt0cosθeαtsin(ωt)ε(t)eαt0sinθeαtcos(ωt)ε(t)又因为sinωtε(t)由拉氏变换的频移特性可得[][]ωs2ω2ωtε(t)ω2αtsinωtε(t)由拉氏变换的线性特性有:ωα2ωαtcosωtε(t)α2ωα(tt0)sin(ωtθ)ε(t)eαt0其零极点图如图4.
4(p)所示.
(17)因为sinπtε(t)ωcosθssinθα2ωπππs2由拉氏变换的时域微分定理得2[sinπtε(t)]2π2其零极点图如图4.
4(q)所示.
sinπtdcosπt2(18)因为ε(t)=πε(t)=πsinπtε(t)2又因为sinπtε(t)ππ2sinπtπ3由拉氏变换线性特性得ε(t)2sπ2其零极点图如图4.
4(r)所示.
(19)因为τsinτdτ=τdcosτ=τcosτcosτdτ=tcostε(http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402t)∫∫∫∫cosτdτ由于tcostε(t)11ε(t)1由拉氏变换的时域积分特性和线性特性可得∫τsinτdτ11s2=222ss1s1其零极点图如图4.
4(s)所示.
(20)设f(t)ε(t)F(s)由拉氏变换的尺度变换特性可得fε(t)bF(bs)tb由拉氏变换的频移特性可得eatfε(t)bF[b(sa)][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功]t(a)[此处图片未下载成功](d)[此处图片未下载成功](g)(j)b[此处图片未下载成功](b)(c)[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功](e)(f)[此处图片未下载成功http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402][此处图片未下载成功](h)(i)[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功](k)[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功](l)(m)(n)[此处图片未下载成功](o)(p)[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功](q)([此处图片未下载成功]r)(s)图4.
4.
7求图4.
5所示单边周期信号的拉氏变换.
图4.
5【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换时移特性.
【逻辑推理】首先确定信号第一周期的信号,然后利用时移特性进行求解.
即周期信号的拉普拉斯变换等于其第一周期波形的拉普拉斯变换式乘以解:(a)该信号第一周期内波形可表示为.
sTeT()()f0t=εtεt其拉普拉斯变换式为(s)=由拉氏变换的时移特性可得e1e=sss(s)=e://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402par(s)=0eSTs1eST(b)该信号第一周期内波形可表示为(t)=其拉普拉斯变换式为ε(t)(t2)ε(t2)(t4)ε(t4)22e2Se4S12e2Se4S(s)=222=2ss2s2s由拉氏变换的时移特性可得(s)=(s)=F0(s)0ST4Se1e2e2Se4S=s21e4S.
8求下列象函数的拉氏反变换f(t).
3s2ess(1)F(s)=2(2)F(s)=2(3)F(s)=2s2s2s5s1s2s2s1s2s1(4)F(s)=3(5)F(s)=ln(6)F(s)=3223s7s5sss【知识点窍】主要考察拉普拉斯反变换求法.
【逻辑推理】将以上式子先用部分分式展开,变成常用信号的拉氏变换,然后再进行拉氏反变换或者利用拉氏变换的基本性质来求反变换.
解:(1)F(s)=3s3s12==2s2s121s121s121对上式进行拉普拉斯反变换,即得:(t)=etcostε(t)2etsintε(t)=et[cost2sint]ε(t)es2s5s2s5s(2)F(s)=2=12e=1e2s2s5s2s5s14s2(s1)32=1e22http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402s14s14s1s32=eseess14s14对上式进行拉普拉斯反变换,即得:(t)=δ(t1)2e(t1)cos2(t1)ε(t1)(3)F(s)=其中(t1)(t1)ε(t1)21s2=K2s1s2=(s1)F(ss=1=1=(s2)F(s)s=2=2所以(s)=对上式进行拉普拉斯反变换,即得:s1s2(t)=et2e2tε(t)s2(4)F(s)=3=223s7s5s1s2s5()=其中K2K31s12js12j=(s1)F(s)s=1=4K2=(s12j)F(ss=12j==(s12j)F(s)s=12j=所以4j4j(s)=4j134j14s18s12j8s12j对上式进行拉普拉斯反变换,即得:4j(12j)t34j(12j)t1(t)=eteeε(t)8841=etete2jte2jtjete2jte2jt41=etetcos2tetsin2tε(t)://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402ar44=et[13cos2t4sin2t]ε(t)41(5)F(s)=ln()()ε(t)则有(s)s1111=2==1sss1ss1对上式进行拉普拉斯反变换,即得:1dF(s)11t()L=L=εteε(t)dsss1根据拉普拉斯变换的微分特性,有:tf(t)=ε(t)etε(t)则有εtetεt1tf(t)==e1ε(t)tt()s1s2s111(6)F(s)=3==s2s2s1s1s2对上式进行拉普拉斯反变换,即得:(t)=ettε(t).
9求下列各象函数的原函数f(t)的初值与终值.
()s3s25s(1)F(s)=2(2)F(s)=(3)F(s)=2423s2ss2s4s5s4ss311(4)F(s)=(5)F(s)=(6)F(s)=32215ss2s1s2【知识点窍】主要考察初值定理、终值定理.
【逻辑推理】若有f(t)F(s)σ>σ0且f(t)连续可导和limsF(s)存在,则→∞=limf(t)=limsF(s)→0→∞()若有f(t)F(s)σ>σ0,且limf(t)存在,则→∞(∞)=limf(http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402t)=limsF(s)→∞→0解:初值定理的应用条件是,F(s)必须是真分式;终值定理应用的条件是:(1)F(s)的极点必须在s平面的左半开平面.
(2)在s=0处,F(s)只能有一阶极点.
也就是说,终值定理只有在f(t)有终值的情况下才能应用.
例如,当f(t)为周期函数时,终值定理就不适用了.

(1)F(s)=3s3=23s2s1s2s32=lim12=1s→∞s1s2s3s2()=limf(t)=limsF(s)=lims→0→∞→∞(∞)=limf(t)=limsF(s)=lim12=0t→∞s→0s→0s3s25s25(2)F(s)==22s4ss1js1j5s25f0=limf(t)=limsF(s)=lims2=lim2→∞s→∞t→0ss2s4s→∞s2s4512=lim=1→∞2412()55(∞)=limf(t)=limsF(s)=lim2=→∞s→0s→0s2s44(3)F(s)==42225s4s1s4因F(s)在jω轴上有两对共轭极点,故与F(s)对应的f(t)不存在终值.
=limf(t)=limsF(s)=lims4=lim→∞s→∞t→0s5s24s→∞s45s24=lim=0s→∞2452://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402par()s(4)F(s)=32ss2因F(s)在s平面的右半开平面上有极点s=2,且在s=0处,F(s)有二阶极点,故与F(s)对应的f(t)不存在终值.
()ses=limf(t)=limsF(s)=lims2=lim=033s→∞s→∞s→∞t→05ss25ss2s3(5)F(s)=1s22→0=limf(t)=limsF(s)=lims→∞→∞()31s22=0(∞)=limf(t)=limsF(s)=lims→∞→0→031s22=0(6)F(s)=ss1→0→∞→∞=limf(t)=limsF(s)=lims()s1=lim1=2→∞ss1s1s=1s1(∞)=limf(t)=limsF(s)=lim1→∞→0s→0.
10已知LTI因果系统的系统函数H(s)及输入信号f(t),求系统的响应y(t).
(1)H(s)=s3s4t,f(t)=ε(t)(2)H(s)=,f(t)=eε(t)226s8ss3s2s22ss12tt(3)H(s)=,f(t)=eε(t)(4)Hhttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402(s)=,f(t)=teε(t)225s6ss9【知识点窍】主要考察利用拉氏变换求解系统的响应.
【逻辑推理】首先求取激励的拉氏变换,然后根据系统函数的特性求出系统响应的拉氏变换,再求其拉氏反变换即得系统的响应.
解:(1)当f(t)=ε(t)时,有F(s)=则有(s)=H(s)F(s)=s312s3=6s8sss2s4=1232s4845=其中=sY(ss=0==(s2)Y(ss=2=K3=(s4)Y(ss=4所以(s)=8s4s28s4对上式进行拉普拉斯反变换,即得系统响应为(t)=ε(t)e2tε(t)e4tε(t)=32e2t5e4tε(t)(2)当f(t)=etε(t)时,有F(s)=1()则有(s)=H(s)F(s)==其中1241s4=3s2s1ss12s2K12K2s1ss2=(s1)Y(s)=1=3K12=(s1)2Y(s)ds[=1=1=sY(ss=0=2K3=(s2)Y(ss=2=1所以(http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402s)=312121s1ss2对上式进行拉普拉斯反变换,即得系统响应为(t)=3tetε(t)etε(t)2e2tε(t)=3tetet2e2tε(t)(3)当f(t)=e2tε(t)时,有F(s)=则有()22s1113(s)=H(s)F(s)=H(s)===9s2s293s29对上式进行拉普拉斯反变换,即得系统响应为(t)=sin3tε(t)(4)当f(t)=tetε(t)时,有F(s)=则有12(s)=H(s)F(s)=H(s)==其中111=5s6s12s1s2s3K1KK231s2s32=(s1)Y(s)s=1==(s2)Y(s)s=2=1=(s3)Y(s)s=3=所以2Y(s)=2s1s22s3对上式进行拉普拉斯反变换,即得系统响应为3t1t2t(t)=eeeε(t)2.
11计算下列微分方程描述的因果系统的系统函数H(s).
若系统最初是松弛的,而且f(t)=ε(t),求系统的响应y(t).
(1)y''(t)4y'(t)3y(t)=f'(t)f(t)(2)y''(t)4y'(t)5y(t)=f'(t)://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402par如果f(t)=etε(t),系统的响应y(t)又是什么【知识点窍】主要考察利用拉氏变换求解系统的响应.
【逻辑推理】首先由系统的微分方程求取系统函数,然后求出系统响应的拉氏变换,再求其拉氏反变换即得系统的响应.
解:Ⅰ.
当f(t)=ε(t)时,有F(s)=(1)由微分方程y''(t)4y'(t)3y(t)=f'(t)f(t),可得系统函数(s)=则有1s11==24s3s1s3s3K1(s)=H(s)F(s)==3sss3其中:K1=sY(ss=0=3=3=(s3)Y(s)所以=(s)=3s3s3(t)=ε(t)e3tε(t)=1e3tε(t)对上式进行拉普拉斯反变换,即得系统响应为()(2)由微分方程y''(t)4y'(t)5y(t)=f'(t),可得系统函数(s)=则有4s5(s)=H(s)F(s)===2224s5ss4s5s21对上式进行拉普拉斯反变换,即得系统响应为(t)=e2tsintε(t)Ⅱ.
当f(t)=etε(t)时,有F(s)=s1(1)由微分方程y''(t)4y'(t)3y(t)=f'(t)f(t),可得系统函数(s)=://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402ar则有1s11==4s3s1s3s3(s)=H(s)F(s)=其中:K1=(s1)Y(ss=1==12s3s1s1s32=(s3)Y(s所以=3=(s)=2s12s3t11ε(t)e3tε(t)=ete3tε(t)222对上式进行拉普拉斯反变换,即得系统响应为(t)=()(2)由微分方程y''(t)4y'(t)5y(t)=f'(t),可得系统函数(s)=则有4s5(s)=H(s)F(s)=s=4s5s1s1s24s5K2=3s2js2js1其中:K1=(sj)Y(s)s=2=3j=(s2j)Y(s)s=2j=3j=(s1)Y(ss=1=所以(s)=3j113j111s2j4s2j2s1对上式进行拉普拉斯反变换,即得系统响应为13j(2j)t13j(2j)t1t(t)=eeeε(t)http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a88340242tjt1t12tjtjtjt=eeejeeeeε(t)4()()1=e2tcoste2tsintetε(t)2.
12对一个LTI系统,已知:输入信号f(t)=4e2tε(t);输出响应y(t)=e2tε(t)e2tε(t)(1)确定系统的系统函数H(s)及收敛域;(2)求系统的单位冲激响应h(t);(3)如果输入信号f(t)为f(t)=et,∞<t<∞,求输出y(t).
【知识点窍】主要考察系统函数的特性.
【逻辑推理】首先分别对输入信号和输出信号进行拉氏变换,然后利用系统函数的定义确定系统系统函数,然后对其求拉氏反变换即得单位冲激响应.
解:(1)输入信号为f(t)=4e2tε(t),则其拉氏变换为(s)=→∞→∞2e2teσt=lim4e(2σ)t=0即收敛域为σ<2.
σ>0输出响应y(t)=e2tε(t)e2tε(t)其拉普拉斯变换为Y(s)=s2s2teσtlime2teσt=0→∞→∞σ>0且2σ>0即收敛域为2<σ<2.
所以H(s)=(s)=Fs=1s22其收敛域为2<σ<2.
(2)根据http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402收敛域为2<σ<2可得到:1[H(s)]=e2t即单位冲激响应为h(t)=e2t(3)若输入信号f(t)为f(t)=et,∞<t<∞输入(t)=f(t)h(t)=∫e∞∞2τe(tτ)τ=∫ee∞τ(tτ)τ∫e2τe(tτ)dτ∞∞0∞ττ=∫e3τetdτ∫eτetdτ=etedτedτ∫∫∞00∞1t3ττ∞=eee03∞4=et∞<t<∞3().
13描述某LTI系统的微分方程为y'(t)2y(t)=f'(t)f(t),求下列激励下的零状态响应.
(1)f(t)=ε(t)(2)f(t)=etε(t)(3)f(t)=e2tε(t)(4)f(t)=tε(t)【知识点窍】主要考察系统函数的特性.
【逻辑推理】首先由系统的微分方程求取系统函数,然后求出零状态响应的拉氏变换,再求其拉氏反变换即得系统零状态响应.
解:由微分方程可得系统函数(s)=(1)f(t)=ε(t),则有F(s)=s12(s)=H(s)F(s)=11=12s2ss2s其中:K1=(s2)Yzs(s)s=2=://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402ar12=sYzs(s)s=0=所以2(s)=2s22s对上式进行拉普拉斯反变换,即得零状态响应为2t11ε(t)ε(t)=1e2tε(t)2221(2)f(t)=etε(t),则有F(s)=1111(s)=H(s)F(s)==2s1s2(t)=[]对上式进行拉普拉斯反变换,即得零状态响应为(t)=e2tε(t)(3)f(t)=e2tε(t),则有F(s)=2(s)=H(s)F(s)=其中:K12s11=s2s2s22s2=(s2)Yzs(s)[s=2=(s1)s=2=1d2=(s2)Yzs(s)=1dss=2所以[](s)=1222对上式进行拉普拉斯反变换,即得零状态响应为(t)=te2tε(t)e2tε(t)=(1t)e2tε(t)(4)f(t)=tε(t),则有F(s)=s2(s)=H(s)F(s)=其中:11K11K122=22s2ssss2K11=s2Yzs(s)[s=0=11=2s=0http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a8834022d=s2Yzs(s)=dss=04[]K2=(s2)Yzs(s)s=2=所以(s)=22s4s4s2对上式进行拉普拉斯反变换,即得零状态响应为(t)=ε(t)ε(t)e2tε(t)=2t1e2tε(t)2444().
14描述某LTI系统的微分方程为y''(t)3y'(t)2y(t)=f'(t)4f(t),求在下列条件下的零输入响应和零状态响应.
(1)f(t)=ε(t),y(0)=0,y'(0)=1(2)f(t)=e2tε(t),y(0)=1,y'(0=1)【知识点窍】主要考察利用拉氏变换求解系统的响应.
【逻辑推理】首先由系统的微分方程求取系统函数,然后求出系统零状态响应的拉氏变换,再求其拉氏反变换即得系统零状态的响应.
对于零输入响应其求出可以采用两种方式:利用经典解法,由微分方程特征根直接写出其形式,再代入初始条件即可求得;另外,直接将微分方程两边求拉氏变换,代入初始条件即可求零输入响应的拉氏变换,然后求其反变换即得.

解:由微分方程可得系统函数(s)=由微分方程可得其特征方程为4s4=23s2s1s2λ23λ2=0可解得特征根为λ1=1,λ2=2则系统的零输入响应为yzi(t)=C1etC2e2t(1)当输入f(t)=ε(t)时,有F(s)=.
s则有(s)=H(s)F(s)=s4231=ss1s2ss1s2对上式进行拉普拉斯反变换,即得到系统的零状态响应://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402s(t)=2ε(t)3etε(t)e2tε(t)=23ee(t2t)ε(t)微分方程零输入响应为yzi(t)=C1etC2e2t则有y'zi(t)=C1et2C2e2t将初始条件y(0)=0,y'(0)=1代入以上两式,有:(0)=C1C2=0y'(0)=C12C2=1由以上两式求得:C1=1,C2=1故得到系统零输入响应为(t)=ete2tε(t)(2)当输入f(t)=e2tε(t)时,有F(s)=则有().
s2(s)=H(s)F(s)=将Yzs(s)进行部分分式展开得:s4s4=s2s1s2s1s22(s)=22K2s2s1求得K11=2,K12=3,K2=3故得(s)=22233s2s1对上式进行拉普拉斯反变换,即得到系统的零状态响应yzs(t)=2te2tε(t)3e2tε(t)3etε(t)=2te2t3e2t3etε(t)微分方程零输入响应为yzi(t)=C1etC2e2t则有y'zi(t)=C1et2C2e2t将初始条件y(0)=1,y'(0)=1代入以上两式,有:[]://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402r(0)=C1C2=1y'(0)=C12C2=1由以上两式求得:C1=3,C2=2故得到系统零输入响应为(t)=3et2e2tε(t).
15求下列方程所描述LTI系统的冲激响应h(t)和阶跃响应g(t).
(1)y''(t)4y'(t)3y(t)=f'(t)3f(t)(2)y''(t)y'(t)y(t)=f'(t)f(t)【知识点窍】主要考察系统函数的特性.
【逻辑推理】首先由系统的微分方程求取系统函数,然后求其反拉氏变换即系统的冲激响应.
利用系统函数的定义求出阶跃响应的拉氏变换,再求其反变换即得阶跃响应.
解:(1)由微分方程可得系统函数()(s)=①系统的冲激响应为3s3=24s3s1s3s3312h(t)=L1[H(s)]=L1=Ls1s3s1s3=2etε(t)3e3tε(t)=2et3e3tε(t)②当输入f(t)=ε(t)时,有F(s)=态响应).
(),此时响应为系统的阶跃响应(因为阶跃响应是零状s则有(s)=H(s)F(s)=s3121=ss1s3ss1s3对上式进行拉普拉斯反变换,即得到系统的阶跃响应(t)=ε(t)2etε(t)e3tε(t)=2ete3t1ε(t)(2)由微分方程可得系统函数()1H(s)=2=2222ss11313ss2222=2222311shttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402s2222①系统的冲激响应为sh(t)=L1[H(s)]=L12231s1s22222t=ecostε(t)esintε(t)t2=ecostsintε(t)232②当输入f(t)=ε(t)时,有F(s)=则有t2,此时响应为系统的阶跃响应.
ss12sss1(s)=H(s)F(s)=将Yzs(s)进行部分分式展开得:(s)=s13j22sj22求得K1=1,K2=故得j3j,K3=66j33j1Yzs(s)=s131sjsj对上式进行拉普拉斯反变换,即得到系统的阶跃响应(t)=ε(t)j3jeε(t)eε(t)661tt33=ε(t)e2coste2sintε(t)t33=1e2coste2sintε(t)1t2213t22.
16已知某LTI系统的阶跃响应g(t)=1e2tε(t),欲使系统的零状态响应()(t)=1ehttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a8834022tte2tε(t)求系统的输入信号f(t).
【知识点窍】主要考察系统函数的特性.
【逻辑推理】首先由系统的阶跃响应求取系统函数,然后根据利用系统函数的定义求出输入信号的拉氏变换,再求其反变换即得输入信号.
解:当输入f(t)=ε(t)时,有F(s)=()此时系统的响应为阶跃响应g(t)=1e2tε(t)其拉氏变换为G(s)=由此可得到系统函数()ss2(s)s2H(s)===1=2s2s欲使系统的零状态响应为yzs(t)=1e2tte2tε(t)()其拉氏变换为Yzs(s)=则有ss2s22(s)ss2s22s2111111F(s)====s22s2s2s2s2故可得此时的系统输入信号为(t)=ε(t)2t12teε(t)=1eε(t)22.
17某LTI系统,当输入f(t)=etε(t)时其零状态响应yzs(t)=et2e2t3e3tε(t),求该系统的阶跃响应g(t).
【知识点窍】主要考察系统函数的特性.
【逻辑推理】首先由输入信号和零状态响应求取系统函数,利用系统函数的定义求出阶跃响应的拉氏变换,再求其反变换即得阶跃响应.
解:当输入f(t)=etε(t)时,有F(s)=此时,零状态响应()1(t)=et2e2thttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a8834023e3tε(t)其拉氏变换为()(s)=由此得到系统函数s1s2s3(s)2(s1)3(s1)26H(s)=zs==1=22s3s2s3s11当输入f(t)=ε(t)时,有F(s)=此时系统响应即为阶跃响应(s)=F(s)H(s)=26226=s2s3sss2ss3=ss2s3对上式进行拉普拉斯反变换,即得到系统的阶跃响应(t)=ε(t)e2tε(t)2e3tε(t)=1e2t2e3tε(t).
18电路如图4.
6所示.
在t=0之前开关K位于"1"端,电路已进入稳态,t=0时刻开关从"1"转至"2",试求uc(t),ic(t).
[此处图片未下载成功]()图4.
6【知识点窍】主要考察利用拉氏变换求电路回路响应.
【逻辑推理】对于这方面题可以采用两种方法:方法一,根据电路图直接写出拉氏变换等效电路图,然后再利用回路之间关系求解;方法二,根据电路图直接写出微分方程,再对微分方程求拉氏变换即可求解.

解:方法一:先列出系数的微分方程,再用拉氏变换求解.
以uc(t)作为输出写出系统的微分方程如下:(t)2uc(t)=e(t)dt本例属于具有非零初始值的系统求完全响应的问题,为此需采用单边拉氏变换的0系统,即将初始值包含在变换式中,并避免求0到0的跳变.
但采用0系统积分的下限是0,因而微分方程必须描述0至∞的系统行为.
一般为了方便,让微分方程能在∞<t<∞的范围内描述系统,所以激励e(t)应为://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402(t)=δ(t)ε(t)于是微分方程为(t)2uc(t)=δ(t)ε(t)dt两边进行拉氏变换得(s)uc02U(s)=1()3由题可知uc(0)=,有U(s)=s2所以(t)=2teε(t)2(s)=sU(s)uc0=1故()s2(t)=δ(t)3e2tε(t)在本例中,若认为e(t)=δ(t)也能得到一致的结果,这是因为ε(t)的拉氏变换为0.
但方程没有正确描述t<0的情况,对于拉氏变换的0下限没有保证,这样可能会导致错误.
如本例先计算(t)便会如此.
以ic(t)为输出的微分方程为(t)2ic(t)=e(t)dtdt取e(t)=δ(t)ε(t)代入方程得(t)2ic(t)=δ'(t)δ(t)dt两边进行拉氏变换(s)2I(s)=s1(s)=12(t)=δ(t)3e2tε(t)这时认为e(t)=δ(t)则会得出不正确的结果.
方法二:画出S域模型如图4.
7所示.
由S域中的KVL可写出方程(s)uc0[I(s)Ic(s)]=0ss()(s)[I(s)Ic(s)]=E(s)其中E(s)=L[δ(t)]=1(0)=,将其代入上面两式,由此可得2Ic(s)=1://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402r2对其求拉氏反变换可得:ic(t)=δ(t)3e2tε(t)由图4.
7可得:(s)=s112Ic(s)uc0==ssss22ss2()对其求拉氏反变换可得:uc(t)=[此处图片未下载成功]32teε(t)2图4.
7.
19已知如图4.
8(b)所示RC电路,激励信号e(t)=∑δ(tn),波形如习题图4.
8(a)所示,=0∞试求零状态响应uc(t),并指出瞬态响应分量和稳态响应分量.
[此处图片未下载成功]图4.
8【知识点窍】主要考察利用拉氏变换求电路回路响应.
【逻辑推理】先求出激励的拉氏变换和利用电路写出回路方程,求出其零状态响应拉氏变换,然后对其求反变换即得零状态响应.
解:由图4.
8(a)可得:∞s2s(s)=LΣδ(tn)==1ee…sn=01e由图4.
8(b)可得:1ese2sU(s)=E(s)==…ss11es1s1s11s所以(t)=L1[U(s)]=etε(t)e(t-1)ε(t-1)e(t-2)ε(t1)+…瞬态响应和稳态响应分量可由其拉氏变换极点的位置来判断,因而需对U(s)分母进行因式分解,再利用部分分式展开法求出相应的分量.
因式1es对应这极点s=j2nπ(n=0,±1,±2,L),于是有:()(s)=1ssj2πsj2πLsj2nπshttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402j2nπLA11A12An1An2=LLs1ssj2πsj2πsj2nπsj2nπ式中=(s1)11es==11e=s11es==0(s1)1esds[()]=1=0=(sj2nπ)s11es==j2nπ(s1)1esds(sj2nπ)[()]==j2nπj2nπ=于是j2nπ(s)=L1es1s1j2πsj2π1j2πsj2πL1j2nπsj2nπ1j2nπsj2nπ故uc(t)=t11eε(t)ε(t)ej2πtε(t)ej2πtL1e1j2π1j2πej2nπtε(t)ej2nπtL1j2nπ1j2nπ1t=eε(t)4e2431瞬态响应+ε(t)∑∞(2nπ)1444444424444444443=1稳态响应(2nπtarctg2nπ)ε(t).
20电路如图4.
9所示,在t=0以前开关K位于"1",且电路已达到稳态.
t=0时刻开关倒http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402向"2".
试求对于下列e1,e2时电容两端电压uc(t):(1)e1=0V,e2=e2tε(t)(2)e1=1V,e2=0V(3)e1=1V,e2=e2tε(t)(4)e1=1V,[此处图片未下载成功]e2=2V图4.
9【知识点窍】主要考察利用拉氏变换求电路回路响应.
【逻辑推理】先画出运算形式的等效电路图,写出回路方程,再进行拉氏反变换.
解:利用电路元件的s域模型.
图4.
9[此处图片未下载成功]的s域模型如图4.
10所示.
图4.
10在这里以UC(s)作为输出,而不是以IC(s),根据s域中的KVL可得:uc0UC(s)s=E(s)(s)11s(s)uc0E(s)uc0所以UC(s)==1s1s1E(s)式中对应零状态响应的拉氏变换,对应零输入响应的拉氏变换,组合起来形成全响应.
1s1(1)e1=0V,e2=e2tε(t)时,uc1(t)为零状态响应=e1=0()(s)=L[e2(t)]=所以2(s)=1s2(t)=ete2tε(t)(2)e1=1V,e2=0V时,uc2(t)为零输入响应()=e1=1()(s)=0所以1(s)==1s1(t)=etε(t)(3)e1=1V,e2=ehttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a8834022tε(t)时,uc3(t)为全响应()=e1=1()(s)=L[e2(t)]=所以2E(s)uc0s3(s)==1s1s1s2uc3(t)=(ete2t)ε(t)可见uc3(t)=uc1(t)uc2(t)即全响应等于零输入响应和零状态响应之和.
因为uc3(s)的极点均在s左半开平面,利用终值定理可求得3(∞)=limt→∞(t)=lims→01s2=0(4)e1=1V,e2=2V时,全响应为uc4(t)(0)=e1=1(s)=L[e2(t)]=s所以(s)=sss1s1=ss1s1=21特别地,当e1=1V,e2=1V时有uc(t)=ε(t)2(∞)=limt→∞(t)=lims→01=2由(3),(4)可知利用终值定理求得电容电压的终值与电路的实际观察是一致的.
2.
21如图4.
11所示双口网络,已知其s域阻抗矩阵为Z(s)=11s1RL=1,Rs=2,试求输出电压的冲激响应h(t).
[此处图片未下载成功]图4.
1111,s1且【知识点窍】主要考察利用拉氏变换求电路回路响应.
【逻辑推http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402理】利用运算形式的等效电路图,写出回路方程,再进行拉氏反变换.
解:由图4.
11可得:(s)=1RSI1(s)①(s)=(s)②RL因双口网络的z参数已知,故可写出z方程为(s)=z11I1(s)z12I2(s)③U2(s)=z21I1(s)z22I2(s)④将式①代入式③中得到:I1(s)=将式②和式⑤代入式④中得到:z12I2(s)⑤z11(s)=将RS,RL代入式⑥得:RL⑥z11z21z12z22RSz11RLRSRL(s)=1s8s7(s)=U2(s)=1112s2s22=21121s2s222所以该双口网络的冲激响应为(t)=L1[H(s)]=1112s2s221122t2t1222ε(t)=ee.
22如图4.
12所示零状态电路,图中ku2(t)是受控源,试求:(1)系统函数H(s)=(s);U1s(2)k为何值时系统稳定;(3)取k=2,u1http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402(t)=sintε(t)时,求响应u3(t);(4)取k=3,u1(t)=costε(t)时,求响应u3(t);(5)取k=3,u1(t)=cos2tε(t)时,求响应u3(t).
【知识点窍】主要考察利用拉氏变换求电路回路响应.
【逻辑推理】先画出运算形式的等效电路图,写出回路方程,再进行拉氏反变换.
[此处图片未下载成功]图4.
12解:(1)当t>0时的s域电路如图4.
13所示.
以I1(s)、I2(s)为变量对两个网孔列KVL方程为:[此处图片未下载成功]图4.
13111I1(s)1I2(s)=U1(s)s1111I1(s)1I2(s)=kU2(s)ss又有(s)=[I1(s)I2(s)]s(s)=kU2(s)整理以上四式,并联解得(s)=即有(s)23ks1(s)=(s)k=2U1ss3ks1(2)若H(s)的极点全部位于s平面的左半开平面,系统就是稳定的.
欲使整个系统稳定,则必须有3k>0,故得k<3(3)取k=2,u1(t)=sintε(t)时,有(s)s11(s)=21将U1(s)=2代入U3(s)中,得到:1(s)=(s)=s1s21://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402s1s=222222s11313ss2222t2故得([此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功]t)=2e1cossintε(t)2costε(t)(4)取k=3,u1(t)=costε(t)时,有(s)s21s(s)=21将U1(s)=2代入U3(s)中,得到:1(s)=U3(s)=故得s32s=2222s1s12(s1)u3(t)=ε(t)2(5)取k=3,u1(t)=cos2tε(t)时,有(s)21s(s)=24将U1(s)=2代入U3(s)中,得到:4sss(s)=22=221s4s1s4(s)=故得(t)=(costcos2t)ε(t)http://www.
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com第五章离散时间系统的时域与频域分析.
1学习重点、深刻理解离散时间系统的基本概念,学会建立离散系统的数学模型——差分方程.
、掌握离散时间系统的时域分析方法,灵活应用迭代法、经典法求解单位响应、单位阶跃响http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402应、零输入响应、零状态响应和全响应等.

、理解卷积和的定义,掌握求解卷积和的方法,包括图解法、阵列表法和解析法等;会用卷积和求零状态响应.
、了解周期离散时间信号的离散傅里叶级数的表示方法,非周期离散时间信号的离散时间傅里叶变换以及周期序列的离散时间傅里叶变换.
5、熟悉离散时间傅里叶变换的性质,并会灵活应用.
6、掌握离散时间LTI系统的频域分析方法.
7、用MATLAB进行离散时间系统的时域与频域分析5.
2教材习题同步解析.
1设信号f(t)为包含0~ωm的频带有限信号,试确定f(3t)的抽样频率.
【知识点窍】主要考察奈奎斯特频率的概念.
【逻辑推理】时域的信号的压缩,在频域中将会扩展.
时域中压缩多少培,频域中将扩展多少培.
另外,抽样频率等于奈奎斯特频率与2π之比.
解:因为信号f(t)为包含0~ωm的频带有限信号,则信号f(3t)为包含0~3ωm的频带有限信号.
则其奈奎斯特频率N=2×3ωm,故f(3t)的抽样频率fs≥N3ωm=.
2ππ.
2若电视信号占有的频带为1~6MHz,电视台每秒发送25幅图像,每幅图像又分为625条水平扫描线,问每条水平线至少要有多少个抽样点【知识点窍】主要考察香农取样定理及理想取样点数求法.
【逻辑推理】最小取样频率fsmin=2fm(等于2倍的信号最高频率).
香农取样间隔Tsmax=fsmin最小理想取样点数nmin=τ时间间隔解:电视信号占有的频带为1~6MHz,即带宽为fm=5MHz,则抽样频率为fs≥10MHz.
抽样点的个数为n=fs=4000个625,y[2]=,试24.
3设有差分方程为y[n]3y[n1]2http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402y[n2]=f[n],初始状态y[1]=求系统的零输入响应.
【知识点窍】主要考察系统零输入响应的概念,会用特征值求零输入响应.
【逻辑推理】首先由差分方程得到特征方程,由此求出特征根,然后代入初始条件求出零输入响应.
解:由差分方程得其特征方程为λ23λ2=0由此解得其特征根λ1=1,λ2=2.
故系统的零输入响应为[n]=A1(1)A2(2)将初始状态y[1]=,y[2]=代入上式,有:2411[1]=yzi[1]=A1(1)A2(2)=22[2]=yzi[2]=A1(1)A2(2)=联立以上两式可解得:A1=2,A2=3则系统的零输入响应为[n]=2(1)3(2).
4设有离散系统的差分方程为y[n]4y[n1]3y[n2]=4f[n]f[n1],试画出其时域模拟图.
【知识点窍】主要考察由系统的差分方程画出系统的直接模拟图,掌握直接模拟图的意义.
【逻辑推理】将差分方程各个环节分别用加法器及延时器来表示.
解:时域模拟图如图5.
1.
5设有一阶系统为图5.
1[n]0.
8y[n1]=f[n](1)试求单位响应h[n];(2)试求阶跃响应g[n].
【知识点窍】主要考察系统的单位响应和阶跃响应的概念及其求解方法.
【逻辑推理】利用选代法求解.
解:(1)令输入激励f[n]=δ[n],系统在冲激序列δ[n]的激励下的零状态响应就为单位响应[n].
即隐含初始条件为n<0时h[n]=0则给定的差分方程变为[n]=0.
8h[n1]δ[n]可依次迭http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402代得[此处图片未下载成功]h[0]=0.
8h[1]δ[0]=1h[1]=0.
8h[0]δ[1]=0.
8[n]=0.
8h[n1]0=0.
8n该一阶系统的单位响应是[2]=0.
8h[1]δ[2]=0.
82[n]=0.
8nε[n](2)令输入激励f[n]=ε[n],系统在阶跃序列ε[n]的激励下的零状态响应就为单位阶跃响应g[n].
即隐含初始条件为n<0时g[n]=0.
则给定的差分方程变为[n]=0.
8g[n1]ε[n]可依次迭代得[0]=0.
8g[1]ε[0]=1[1]=0.
8g[0]ε[1]=0.
81g[2]=0.
8g[1]ε[2]=0.
820.
81[n]=0.
8g[n1]ε[n]=0.
8n0.
8n1L0.
820.
810.
8n1=0.
8=510.
8n1()[n]=510.
8n1ε[n]则该一阶系统的单位响应是()1.
6设离散系统的单位响应为h[n]=ε[n],输入信号为f[n]=2n,试求f[n]h[n].
3【知识点窍】主要考察离散系统的卷积和概念及计算方法【逻辑推理】卷积和计算方法通常有:1)图解计算法卷积和的图解计算法是把取卷积的过程分解为反褶、平移、相乘、求和四个步骤.
具体求序列的卷积和f1[n]f2[n]按下述步骤进行:①将序列f1[n]、f2[n]的自变量用i替换,然后将序列f2[i]以纵坐标为轴线反褶,成为f2[i];②将序列f2[i]沿正n轴平移n个单位,成为f2[ni];③求乘积f1[i]f2[ni];④按式f1http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402[n]f2[n]=2)阵列表法)解析法:利用卷积和定义求解.
∞11nin解:f[n]h[n]=∑h[i]f[ni]=∑ε[i]2=2∑=06i=∞i=∞3∞∞=∞∑f[i]f[ni]求出各乘积之和.
∞上式是公比为的等比无穷级数求和的问题,按求和公式6∞1∑an=n=01a[n]h[n]=2nε[n]=2n1ε[n]所以.
7已知系统的的响应[n]=anε[n](0<a<1)输入信号f[n]=ε[n]ε[n6],试求系统的零状态响应.
【知识点窍】主要考察离散系统的零状态响应概念及求解.
【逻辑推理】利用系统的零状态响应的卷积和求解.
即:yzs[n]=f[n]h[n]an1解:因为aε[n]ε[n]=∑aε[i]ε[ni]=∑a=ε[n]=∞i=01a∞同理可得an5ε[n]ε[n6]=∑aε[i]ε[n6i]=∑a=ε[n6]=∞i=01a∞6故系统的零状态响应为[n]=f[n]h[n]=anε[n](ε[n]ε[n6])=aε[n]ε[n]aε[n]ε[n6]an1http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a8834021an5=ε[n]ε[n6]1a1a5.
8描述某线性非时变离散系统的差分方程为y[n]2y[n1]=f[n],若已知初始状态y[1]=0,激励为单位阶跃序列,即f[n]=ε[n],试求y[n].
【知识点窍】主要考察系统的阶跃响应的概念及其求解方法.
【逻辑推理】利用选代法求解.
解:由给定的差分方程变得y[n]=2y[n1]f[n]因为激励为f[n]=ε[n],所以当n<0时f[n]=0可依次迭代得[0]=2y[1]ε[0]=1[1]=2y[0]1=3y[2]=2y[1]1=7y[3]=2y[2]1=15[n]=2y[n1]1=2n11求得[n]=2n11ε[n].
9如有齐次差分方程为y[n]y[n1]6y[n2]=0,已知y[0]=3,y[1]=1,试求其齐次解.
【知识点窍】主要考察系统的齐次解的概念及其求解方法.
【逻辑推理】首先通过差分方程得特征方程,由特征方程求得特征根,代入条件即可求得齐次解.
解:其特征方程为λ2λ6=0其特征根λ1=3,λ2=2.
其齐次解为()[n]=A1(3)A2(2)将初始状态y[0]=3,y[1]=1代入上式,有:[0]=yh[0]=A1(3)A2(2)=3[1]=yh[1]=3A12A2=1联立以上两式可解得:A1=1,A2=2于是齐次解为yh[n]=(3)2n1.
10如有齐次差分方程为y[n]4y[n1]4y[n2]=0,已知y[0]=y[1]=2,试求其齐次解.
【知识点窍】主要考察系统的齐次解的概念及其求解方法http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402.
【逻辑推理】首先通过差分方程得特征方程,由特征方程求得特征根,代入条件即可求得齐次解.
解:其特征方程为λ24λ4=0其特征根λ1,2=2.
其齐次解为[n]=A1n(2)A2(2)将初始状态y[0]=y[1]=2代入上式,有:[0]=yh[0]=A2=2[1]=yh[1]=2A12A2=2联立以上两式可解得:A1=3,A2=2于是齐次解为[n]=3n(2)(2)1.
11解下列非齐次差分方程(1)y[n]2y[n1]=f[n],f[n]=(n2)ε[n],f[0]=1(2)y[n]2y[n1]=f[n],f[n]=2ε[n],y[0]=0(3)y[n]2y[n1]y[n2]=f[n],f[n]=n(3)ε[n],y[0]=y[1]=03【知识点窍】主要考察系统差分方程的求解方法.
【逻辑推理】差分方程的解由齐次解yh[n]和特解yp[n]构成,即[n]=yh[n]yp[n].
解:(1)首先,求方程的齐次解.
其特征方程为λ2=0其特征根λ=2.
方程的齐次解为yh[n]=A1(2)根据激励f[n]=(n2)ε[n]的形式,得方程的特解[n]=P1nP0将它代入到原差分方程中,得nP02[P1(n1)P0]=n2,P0=39于是方程的特解为yp[n]=n等式左右对应,即得P1=将齐次解与特解相加,得方程的全解n://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402r[n]=yh[n]yp[n]=A1(2)n因f[0]=1,则有y[0]=f[0]2y[1]=1将初始状态y[0]=1代入y[n]式,得A1=所以方程的解为(2)n1n4939[n]=(2)首先,求方程的齐次解.
其特征方程为λ2=0其特征根λ=2.
方程的齐次解为[n]=A1(2)根据激励f[n]=2ε[n]的形式,得方程的特解[n]=P将它代入到原差分方程中,得2P=2等式左右对应,即得P=2于是方程的特解为yp[n]=2将齐次解与特解相加,得方程的全解[n]=yh[n]yp[n]=A1(2)2将初始状态y[0]=0代入上式,得A1=2所以方程的解为[n]=2(2)2=2(2)1[](3)首先,求方程的齐次解.
其特征方程为λ22λ1=0其特征根λ1,2=1.
方程的齐次解为[n]=A1n(1)A2(1)根据激励f[n]=n(3)ε[n]的形式,得方程的特解3[n]=P(3)将它代入到原差分方程中,得(3)2P(3)1P(3)2=n(3)3等式左右对应,即得P=4n(3)4n(3)4于是方程的特解为yp[n]=将齐次解与特解相加,得方程的全解://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402ar[n]=yh[n]yp[n]=A1n(1)A2(1)将初始状态y[0]=y[1]=0代入上式,得A1=1,A2=所以方程的解为[n]=n(1)(1)n3(3)n44.
12图5.
2所示各系统(1)求单位响应;(2)当f[n]=ε[n]时,求系统的零状态响应.
【知识点窍】主要考察系统模拟图与系统差分方程关系.
【逻辑推理】先将系统的模拟图转化为差分方程形式,再求该方程所示系统的单位响应,然后利用零状态响应与单位响应关系求其零状态响应.
即:yzs[n]=f[n]h[n]解:(a)由图可得差分方程为y[n]=[n1]f[n]3(1)令输入激励f[n]=δ[n],系统在冲激序列δ[n]的激励下的零状态响应就为单位响应h[n].
即隐含初始条件为n<0时h[n]=0.
[此处图片未下载成功]图5.
2系统模拟图则给定的差分方程变为[n]=可依次迭代得[n1]δ[n]3[1]δ[0]=1311h[1]=h[0]δ[1]=h[0]=1h[2]=h[1]δ[2]=31h[n]=h[n1]0=3该系统的单位响应是1[n]=ε[n]3(2)由激励为f[n]=ε[n],可得n<0时f[n]=0可依次迭代得[0]=[1]ε[http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a8834020]=13yzs[1]=[0]1=1331[2]=y[1]1=13L11nn113yzs[n]=y[n1]1=L1=3313求得11[n]=13(b)由图可得差分方程为y[n]=1ε[n][n1]f[n1]2(1)令输入激励f[n]=δ[n],系统在冲激序列δ[n]的激励下的零状态响应就为单位响应h[n].
即隐含初始条件为n<0时h[n]=0.
则给定的差分方程变为[n]=可依次迭代得[n1]δ[n1]2[1]δ[1]=021[1]=h[0]δ[0]=1h[2]=h[1]δ[1]=h[0]=h[3]=1h[2]δ[2]=22L1h[n]=h[n1]0=2该系统的单位响应是11[n]=ε[n1]3(2)由激励为f[n]=ε[n],可得n<0时f[n]=0可依次迭代得[1]ε[1]=021[1]=y[0]1=1[2]=y[1]1=1yzs[0]=http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a88340211[3]=y[2]1=12L11[n]=y[n1]1=2求得12122112L1=21n[n]=21ε[n1]2(c)由图可得差分方程为y[n]=y[n1]y[n2]f[n]即y[n]y[n1]y[n2]=f[n](1)求单位响应,即输入激励f[n]=δ[n]时的响应.
[1]y[2]δ[n]=16611当n>0时,y[n]y[n1]y[n2]=0其特征方程为λ2λ=0其特征根λ1=,λ2=.
系统的冲激响应为当n=0时,y[0]=11[n]=A1A223激励f[n]=δ[n],在n=0时刻作用于系统,故初始状态h[1]=0将h[1]=0,h[0]=1代入上式,得A1=综上可得,系统的零状态响应为,A2=5531n21n[n]=ε[n]352(2)若激励为f[n]=ε[n],首先,求方程的齐次解.
其特征方程为http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402λ2其特征根λ1=,λ2=λ=066.
齐次解为311[n]=A1A223根据激励f[n]=ε[n]的形式,得方程的特解[n]=P将它代入到原差分方程中,得等式左右对应,即得P=1于是方程的特解为yp[n]=1将齐次解与特解相加,得方程的全解P=16611[n]=yh[n]yp[n]=A1A2123激励f[n]=nε[n],在n=0时刻作用于系统,故初始状态为y[1],y[2],对零状态响应则有[1]=0,y[2]=0.
将y[1]=0,y[2]=0代入上式,得A1=所以系统的零状态响应为,A2=5511n11n[n]=1ε[n]5253(d)由图可得差分方程为y[n]=-4y[n2]f[n](1)令输入激励f[n]=δ[n],系统在冲激序列δ[n]的激励下的零状态响应就为单位响应h[n].
即隐含初始条件为n<0时h[n]=0.
则给定的差分方程变为[n]=-4h[n2]δ[n]可依次迭代得[0]=-4h[2]δ[0]=1h[1]=-4h[1]0=0h[3]=-4h[1]0=0h[2]=-4h[0]0=-4h[4]=-4h[2]0=(-4)h[5]=-4h[3]0=0该系统的单位响应是(42ε[n]h[n]=0://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402[6]=-4h[4]0=(-4)为偶数为奇数(2)若激励为f[n]=ε[n],首先,求方程的齐次解.
其特征方程为λ24=0其特征根λ1=2j,λ2=2j.
方程的齐次解为[n]=A1(2j)A2(2j)根据激励f[n]=ε[n]的形式,得方程的特解[n]=P将它代入到原差分方程中,得P4P=1等式左右对应,即得P=5155于是方程的特解为yp[n]=将齐次解与特解相加,得方程的全解[n]=yh[n]yp[n]=A1(2j)A2(2j)激励f[n]=nε[n],在n=0时刻作用于系统,故初始状态为y[1],y[2],对零状态响应则有[1]=0,y[2]=0.
将y[1]=0,y[2]=0代入上式,得A1=所以系统的零状态响应为j2j,A2=552j(2j)n2j(2j)n1y[n]=ε[n]555.
13各序列的图形如图5.
3所示,试求下列卷积和.
[此处图片未下载成功]图5.
3(1)f1[n]f2[n](2)f2[n]f3[n](3)f3[n]f4[n]【知识点窍】主要考察卷积和定义及计算方法.
【逻辑推理】f1[n]f2[n]=四步完成的.
解:(1)根据卷积和的定义,可以得到当n<3时,f1(n)f2(n)=0当n=3时,f1(n)f2(n)=1当n=2时,f1(n)f2(n)=3http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402当n=1时,f1(n)f2(n)=4当n=0时,f1(n)f2(n)=4当n=1时,f1(n)f2(n)=4当n=2时,f1(n)f2(n)=3当n=3时,f1(n)f2(n)=1=∞∑f[i]f[ni],卷积和的计算是通过反褶、平移、相乘、叠加∞当n>3时,f1(n)f2(n)=0卷积和计算结果如图5.
4(a)所示.
(2)根据卷积和的定义,可以得到当n<2时,f2(n)f3(n)=0当n=2时,f2(n)f3(n)=3当n=1时,f2(n)f3(n)=5当n=0时,f2(n)f3(n)=6当n=1时,f2(n)f3(n)=6当n=2时,f2(n)f3(n)=6当n=3时,f2(n)f3(n)=3当n=4时,f2(n)f3(n)=1当n>4时,f2(n)f3(n)=0卷积和计算结果如图5.
4(b)所示.
(3)根据卷积和的定义,可以得到当n<0时,f3(n)f4(n)=0当n=0时,f3(n)f4(n)=3当n=1时,f3(n)f4(n)=1当n=2时,f3(n)f4(n)=2当n=3时,f3(n)f4(n)=2当n=4时,f3(n)f4(n)=1当n=5时,f3(n)f4(n)=1当n>5时,f3(n)f4(n)=0卷积和计算结果如图5.
4(c)所示.
(a)[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功](b)[此处图片未下载成功](c)图5.
45.
14已知系统的激励f[n]和单位响应h[n]如下,试求系统的零状态响应yzs[n],并画出其图形.
(1)f[n]=h[n]=ε[n](2)f[n]=ε[n],h[n]=δ[n]δ[n3](3)f[n]=h[n]=ε[n]ε[n4]://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402ar【知识点窍】主要考察图解法求系统卷积和及零状态响应的方法.
【逻辑推理】yzs[n]=f[n]h[n],是通过反褶、平移、相乘、叠加四步完成的.
解:(1)已知f[n]=h[n]=ε[n],则[n]=f[n]h[n]=ε[n]ε[n]=∑ε[i]ε[ni]=∑1=(n1)ε[n]零状态响应yzs[n]的图形如图5.
5(a)所示.
(2)已知f[n]=ε[n],h[n]=δ[n]δ[n3]=0=0则yzs[n]=f[n]h[n]=ε[n]δ[n]ε[n]δ[n3]=ε[n]ε[n3]零状态响应yzs[n]的图形如图5.
5(b)所示.
(3)已知f[n]=h[n]=ε[n]ε[n4]则[n]=f[n]h[n]=(ε[n]ε[n4])(ε[n]ε[n4])=ε[n]ε[n]2ε[n]ε[n4]ε[n4]ε[n4]=(n1)ε[n]2(n3)ε[n4](n7)ε[n8]零状态响应yzs[n]的图形如图5.
5(c)所示.
5.
15对于线性非时变系统,(1)如已知系统的单位响应h[n],如何求阶跃响应g[n](阶跃响应是激励为单位阶跃序列时,系统的零状态响应);(2)如已知系统的阶跃响应g[n],如何求系统的单位响应h[n].
【知识点窍】主要考察单位响应与阶跃响应之间关系.
【逻辑推理】利用系统的线性性质求解.
(a)(b)(c)图5.
5解:(1)系统的单位响应h[n]是由激励δ[n]产生的,阶跃响应g[n]是由激励ε[n]产生的,因ε[n]==∞∑δ[i],系统的单位响应h[n]已知,则根据线性非时变系统的累加和性质,得到阶跃响应[此处图片未下载成功]://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402ar[此处图片未下载成功][此处图片未下载成功][此处图片未下载成功]ng(n)==∞∑h[i](2)因δ[n]=ε[n]=ε[n]ε[n1],系统的阶跃响应g[n]已知,则根据线性非时变系统的差分性质,得到单位响应(n)=g[n]=g[n]g[n1].
16如图5.
6为系统的模拟图,试求输入f[n]分别为(1)f[n]=ε[n];(2)f[n]=nε[n]时的零状态响应.
[此处图片未下载成功]图5.
6【知识点窍】主要考察系统模拟图与系统差分方程关系.
【逻辑推理】先将系统的模拟图转化为差分方程形式,再求该方程所示系统的单位响应,然后利用零状态响应与单位响应关系求其零状态响应.
即:yzs[n]=f[n]h[n]解:(a)由图可得差分方程为y[n]=(1)由激励为f[n]=ε[n],可得n<0时f[n]=0可依次迭代得[n1]f[n]2[1]ε[0]=1211[1]=y[0]1=1yzs[0]=11[2]=y[1]1=122L111[n]=y[n1]1=22112L1=1121求得1[n]=12(2)由图可得差分方程为y[n]首先求齐http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402次解.
齐次差分方程为1ε[n][n1]=f[n]2[n1]=02[n]其特征方程为λ其特征根λ==02.
方程的齐次解为21[n]=A12根据激励f[n]=nε[n]的形式,得方程的特解[n]=P1nP0将它代入到原差分方程中,得nP0,P0=39于是方程的特解为yp[n]=n等式左右对应,即得P1=将齐次解与特解相加,得方程的全解[P1(n1)P0]=n2[n]=yh[n]yp[n]=A122n239激励f[n]=nε[n],在n=0时刻作用于系统,故初始状态为y[1],对零状态响应则有y[1]=0.
将y[1]=0代入上式,得A1=所以系统的零状态响应为21n22[n]=nε[n]92(b)由图可得差分方程为y[n]=y[n1]y[n2]f[n]即y[n][n1]y[n2]=f[n]22[n]首先求齐次解.
齐次差分方程为[n1]y[n2]=02231其特征方程为http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402λ2λ=0其特征根λ1=,λ2=1.
方程的齐次解为1n[n]=A1A2(1)2根据激励的形式,确定方程的特解(1)当激励f[n]=ε[n]时,方程的特解为yp[n]=P0n将它代入到原差分方程中,得n等式左右对应,即得P0=2于是方程的特解为yp[n]=2n将齐次解与特解相加,得方程的全解(n1)P0(n2)=1221n[n]=yh[n]yp[n]=A1A2(1)2n2激励f[n]=ε[n],在n=0时刻作用于系统,故初始状态为y[1],y[2],对零状态响应则有[1]=0,y[2]=0.
将y[1]=0,y[2]=0代入上式,得A1=1,A2=0所以系统的零状态响应为1n[n]=2nε[n]2(2)当f[n]=nε[n]时,方程的特解为yp[n]=n(PnP)10将它代入到原差分方程中,得(P1nP0)(n1)(P1(n1)P0)1(n2)(P1(n2)P0)=n22等式左右对应,即得P1=1,P0=1于是方程的特解为yp[n]=n(n1)=nn将齐次解与特解相加,得方程的全解1n[n]=yh[n]yp[n]=A1A2(1)n2n2激励f[n]=nε[n],在n=0时刻作用于系统,故初始状态为y[1http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402],y[2],对零状态响应则有[1]=0,y[2]=0.
将y[1]=0,y[2]=0代入上式,得A1=2,A2=2所以系统的零状态响应为1n2[n]=22nnε[n]21,.
17如已知某线性非时变系统的输入为f[n]=4,0,0,[n]=9,<0试求此系统的单位响应.
n≥0=0=1,2时,其零状态响应为其余【知识点窍】主要考察系统单位响应与系统零状态响应关系.
【逻辑推理】yzs[n]=f[n]h[n]解:因[n]=f[n]h[n]=∑f[i]h[ni]=f[0]h[n]f[1]h[n1]f[2]h[n2]由已知条件f[0]=1,f[1]=4,f[2]=4,yzs[n]=9ε[n],故得差分方程为h[n]4h[n1]4h[n2]=9ε[n]其特征方程为λ24λ4=0故得特征根λ1,2=2,差分方程的齐次解为=∞∞[n]=P1n(2)P2(2)ε[n][]设差分方程的特解为hP[n]=P0ε[n],故hP[n1]=hP[n2]=P0ε[n]代入差分方程,得:P04P04P0=9解之得P0=1,故得hP[n]=ε[n]h[n]=P1n(2)P2(2)1ε[n][]又h[1]=P1(2)P2(2)://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402par111=02[2]=2P1(2)P2(2)1=02联解求得P1=6,P2=8故得此系统的单位响应[n]=6n(2)8(2)1ε[n][].
18已知离散时间系统的差分方程为y[n]0.
5y[n1]=f[n],试用叠代法求其单位响应.
【知识点窍】主要考察利用叠代法求解系统的单位响应.
【逻辑推理】先将差分方程的f[n]和y[n]分别用δ[n]和h[n]形式代入,再利用冲激信号的特性逐步进行求解.
解:令输入激励f[n]=δ[n],系统在冲激序列δ[n]的激励下的零状态响应就为单位响应h[n].
即隐含初始条件为n<0时h[n]=0.
则给定的差分方程变为[n]=0.
5h[n1]δ[n]可依次迭代得[0]=0.
5h[1]δ[0]=1h[1]=0.
5h[0]δ[1]=0.
5[n]=0.
5h[n1]0=0.
5n该离散时间系统的单位响应是[2]=0.
5h[1]δ[2]=0.
52[n]=0.
5nε[n].
19系统差分方程式为y[n]3y[n1]3y[n2]y[n3]=f[n],用经典法求系统的单位响应.
【知识点窍】主要考察利用经典法求解系统的单位响应.
【逻辑推理】利用单位响应定义进行求解.
它是零状态响应,但其解的形式与零输入响应相同.
解:求单位响应,即求输入激励f[n]=δ[n]时的响应.
当n=0时,y[0]=3y[1]3y[2]y[3]δ[n]=1当n>0时,y[n]3y[n1]3y[n2]y[n3]=0其特征方程为λ33λ23λ1=0其特征根λ1,2,3=1.
系统的冲激响应为[n]=A1n2(1http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402)A2n(1)A3(1)激励f[n]=δ[n],在n=0时刻作用于系统,故初始状态h[1]=0,h[2]=0将h[1]=0,h[2]=0,h[0]=1代入上式,得A1=综上可得,系统的单位响应为,A2=,A3=122123[n]=nn1ε[n]2.
20已知系统的差分方程模型为y[n]5y[n1]6y[n2]=f[n]3f[n2],求系统的单位响应.
【知识点窍】主要考察利用经典法求解系统的单位响应.
【逻辑推理】利用单位响应定义进行求解.
它是零状态响应,但其解的形式与零输入响应相同.
解:求单位响应,即求输入激励f[n]=δ[n]时的响应.
当n=0时,y[0]=5y[1]6y[2]δ[n]3δ[n2]=1当n=1时,y[1]=5y[0]6y[1]δ[1]3δ[1]=5当n=2时,y[2]=5y[1]6y[0]δ[2]3δ[0]=16当n>3时,y[n]3y[n1]3y[n2]y[n3]=0其特征方程为λ25λ6=0其特征根λ1=2,λ2=3.
系统的冲激响应为h[n]=A1(2)A2(3)将h[2]=16,h[1]=5代入上式,得A1=于是h[n]=,A2=221n(2)2(3)nε[n1]2当n=0时,y[0]=1综上可得,系统的单位响应为1nn[n]=δ[n](2)2(3)ε[n]2.
21已知如下两个序列3,2,[n]=1,0,试用"阵列表"法求它们的卷积.
://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402ar=01n=1,[n]=2n=20,其余≥0n<0【知识点窍】主要考察卷积和"阵列表"求解法.
【逻辑推理】首先画出序列阵表图,左部放f[n],上部放h[n],然后以f[n]的每个数去乘h[n]各数,并将结果放入相应的行,最后把虚斜线上的数分别相加即得卷积和结果序列.
解:如题可得表5.
1,由此可求得表5.
1[此处图片未下载成功]7111121[][][]yn=fnhn=3,,,,,L24816.
22系统的单位响应为h[n]=anε[n],其中0<a<1.
若激励信号为一矩形序列,即[n]=ε[n]ε[nN],试求响应y[n].
【知识点窍】主要考察系统单位响应与系统零状态响应关系.
【逻辑推理】yzs[n]=f[n]h[n]解:由系统单位响应与零状态响应关系可得[n]=f[n]h[n]=anε[n](ε[n]ε[nN])=aε[n]ε[n]aε[n]ε[nN]∞an1因为aε[n]ε[n]=∑aε[i]ε[ni]=∑a=ε[n]=∞i=01aanN1同理aε[n]ε[nN]=∑aε[i]ε[nNi]=∑a=ε[nN]=∞i=01a∞N所以系统的零状态响应为[n]=f[n]h[n]://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402r1an11anN1=ε[n]ε[nN]1a1a.
23已知x[n]=1sin(2π/N)n3cos(2π/N)ncos(4πn/Nπ/2)式中N为整数,求其频谱.
【知识点窍】主要考察离散时间信号的离散傅里叶级数.
【逻辑推理】x[n]=∈<N>∑ce(2π/N)n解这个信号是周期的,其周期为N.
将x[n]直接开展成复指数形式,得x[n]=1[ej(2π/N)nej(2π/N)n]/2j3[ej(2π/N)nej(2π/N)n]/2[e将相应项归并后,得π(4π/N2eπj(4πn/N2]/2[n]=1(3/21/2j)ej(2π/N)n(3/21/2j)ej(2π/N)n(ejπ/2/2)ej2(2π/N)n(ejπ/2/2)ej2(2π/N)n与x[n]=∈<N>∑ce(2π/N)n比较,可得*=1,c1=3/21/2j=3/2j1/2,c1=3/2j1/2=c1*=j1/2c2=j1/2=c2而在长度为N的周期内,其余系数均为0.
这些系数是周期的,其周期为N.
例如,=c2N=cN=c0=1,c1N=c12N=c12N=c1=3/2j1/2,c2N=c22N=c2N=c2=j1/2等等.
z15.
24某离散系统的系统函数H(z)=,试求其系统频率响应.
10.
5z【知识点窍】主要考察离散系统频率响应.
【逻辑http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402推理】系统函数与系统频率响应关系为H(ejωT)=H(z)=eωT.
解由H(z)的表示式可知,其收敛域为0.
5z1<1,系统的频率响应(频率特性)(eωT)=H(z)=eωTejωT=10.
5ejωT=cosωTjsinωT0.
5cosωTj0.
5sinωT(1cosωT)2sin2ωTejψ10.
5cosωT)(0.
5sinωT)eθ=若令1ejωT=Bejψ,10.
5ejωT=Aejθ可得B=A=(1cosωT)2sin2ωT=(1cosωT)(10.
5cosωT)2(0.
5sinωT)2=.
25cosωTsinωTcosωT0.
5sinωTθ=arctg0.
5cosωTψ=arctg若令系统的频率响应H(ejωT)=Hd(ω)ejd则Hd(ω)=(ω)(1cosωT)=A1.
25cosωTsinωT0.
5sinωTaretgcosωT10.
5cosωT3sinωT=arctgcosωT2π由幅频和相频特性的表示式可见,它们都以ω=周期性地重复变化.
http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402d(ω)=ψθ=arctg.
25一个LTI系统,其h[n]=anε[n],1<a<1;输入x[n]=con(2πn/N),N=4,求系统响应.
【知识点窍】主要考察离散系统频率分析.
【逻辑推理】如果系统的单位抽样响应为h[n],而输入为x[n]=zn=ejωn,式中z=ejω,ω为数字频率,可得系统输出y[n]为[n]=H(z)ejωn=Hejωejωn系统对周期序列x[n]输入的响应y[n]为y[n]=系统对非周期序列x[n]输入响应为()(e(πN)k)e(π)kn[n]=π∫πωHejωejωndω=()()π∫()πωejωndω解将x[n]写成离散傅里叶级数的形式,即[n]=(ej(2π/N)nej(2π/N)n)/2先求出H[z]==∞∑h[k]z∞∞k=∑a(e=0m∞π/N)k=∑(ae=0∞j2π/N)根据无穷项几何级数求和公式∑r==0r(j2π/N)得到H(ej2π/N)=求系统响应,http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402由y[n]=∈N(e(πN)k)aeej(2πN)kn得(ej2π/N)ej(2π/N)nH(ej2π/N)ej(2π/N)n221111j(2π/N)n=eej(2π/N)nj2π/Nj2π/Nae21aejθjθ若令=re,则=rej2π/Nj2π/Nae1ae[n]=y[n]=由于N=4,所以j(2πn/Nθ)1j(2πn/Nθ)rere=rcos(2πn/Nθ)22=,则r=,θ=arctgaaej2π/41jaa[n]=a(2πn/Narctga).
41z1.
26一个LTI离散系统,系统函数H(z)=,系统的输入为幅度等于10v,频率为200Hz0.
2z1的正弦序列,设抽样频率为1000Hz,求其稳态输出.
【知识点窍】主要考察离散系统频率响应.
【逻辑推理】系统函数与系统频率响应关系为H(ejωT)=H(z)=eωT.
.
41z1解根据系统函数H(z)=10.
2z可得HejωT=H(z)z=ejωT()=0.
2e0.
41ejωT1ωT1又因输入信号幅度A=10v,输入频率f=200Hz,抽样频率T=1000Hz,故://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402rωT=2πfT=2π5,所以输入信号表达为[n]=10sin(2π)ε[n]将ωT=2πfT=2π代入HejωT(())=0.
2e0.
41ejωT1ωT1,求出()ωT=0.
924,和∠HejωT=21.
90故系统的正弦稳态输出()[n稳态2π0=9.
24sinn21.
9ε[n]5.
27用计算机对测量所得的数据f(k)进行平均处理.
当收到一个测量数据后,计算机就把这一次输入的数据与前三次输入的数据进行平均,求这一数据处理过程的频率响应.
【知识点窍】主要考察离散系统频率响应.
【逻辑推理】系统函数与系统频率响应关系为H(ejωT)=H(z)=eωT解:由题意可知,系统的表示为[k]=由此可得系统函数为[f(k)f(k1)f(k2)f(k3)]4(z)=(z)1=1z1z2z3Fz4[]根据系统函数与系统频率响应关系可得系统的频率响应为ωt=∞()ejωtej2ωtej3ωt4[].
28求周期抽样序列串x[n]==∞∑δ[nkN]的傅里叶频谱.
【知识点窍】主要考察离散信号的傅里叶变换性质.
【逻辑推理】主要利用线性性质和时移特性求解.
解:因为δ[n]1由离散傅里叶变换的时移特性与线性可得://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402Xe()=∑eω=∞∞jωkNωNMejωN(M1)=limejωNM→∞ωNM=limsinωNM→∞2.
29一个LTI系统离散时间系统,已知h[n]=δ[nm]通过系统后的波形变化.
【知识点窍】主要考察离散时间系统的频域分析.
[n]Xejω,用频域分析法求x[n]()【逻辑推理】利用离散时间信号的傅里叶变换时移特性.
解:系统的输出响应[n]=x[n]h[n]=x[n]δ[nm]=x[nm]因x[n]Xejω,则有()[n]=x[nm]Xejωejωm所以,x[n]通过系统后的波形幅频特性不变,相频特性附加一个线性的相移ωm.
5.
30有LTI系统,已知h[n]=αnε[n],x[n]=βnε[n],求系统响应.
【知识点窍】主要考察离散时间系统的频域分析.
()【逻辑推理】利用离散时间信号的傅里叶变换卷积定理.
解:由时域分析可知,系统的响应为[n]=h[n]x[n]由傅里叶变换卷积定理可得(jω)=H(jω)X(jω)==由此可求得αejωαejω1βejωβejω=即可得ααβ=βαβ(jω)=对上式求反变换即得系统响应为αβαβ1http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402αejω1βejω[n]=αn1βn1ε[n]αβ[].
31已知描述离散系统的差分方程为y[n]ay[n1]=x[n],0<a<1,试求该系统的频响特性.
【知识点窍】主要考察由离散系统的差分方程求解系统的频响特性.
【逻辑推理】首先将差分方程两边进行傅里叶变换,然后根据系统的频响特性定义即可求得.
解:方程两端进行傅里叶变换,得到:ωaejωYejω=Xejω由此根据频响特性定义即得()()()ω=()(jω)1=ω1aejω111.
32已知离散系统激励x[n]=ε[n]22系统的频响特性Hejω.
1ε[n1],零状态响应y[n]=ε[n],试求该3()【知识点窍】主要考察系统的频响特性定义.
【逻辑推理】系统的频响特性为零状态响应的傅里叶变换与激励傅里叶变换的比值.
解:根据离散时间信号的傅立叶变换anε[n]由傅里叶变换时移特性可得jωae(jω)=ejω1ejω41ejωejω=jω1e2(jω)=jω1e3由系统的频响特性定义可得ω()ejω1ejω1ejω(jω)====://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402parXjω11ejω1ejω1ejω1ejωe2jω3411ejω第六章离散系统的Z域分析6.
1学习重点、离散信号z域分析法—z变换,深刻理解其定义、收敛域以及基本性质;会根据z变换的定义以及性质求常用序列的z变换;理解z变换与拉普拉斯变换的关系.
2、熟练应用幂级数展开法、部分分式法及留数法,求z反变换.
3、离散系统z域分析法,求解零输入响应、零状态响应以及全响应.
4、z域系统函数H(z)及其应用.
5、离散系统的稳定性.
6、离散时间系统的z域模拟图.
、用MATLAB进行离散系统的Z域分析.
6.
2教材习题同步解析.
1求下列序列的z变换,并说明其收敛域.
11(1),n≥0(2),n≥033nπ11(3),n≥0(4)cos,n≥0(5)sinnnnππ,n≥024【知识点窍】本题考察z变换的定义式【逻辑推理】对于有始序列离散信号f[n]其z变换的定义式为F(z)=∑f[n]z=0∞n1解:(1)该序列可看作ε[n]3∞1n∞1n11n(z)=Zε[n]=∑ε[n]z=∑zn=033n=03://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402对该级数,当11<1,即z>时,级数收敛,并有33(z)=z=13z11z13的圆外区域3其收敛域为z平面上半经z=n1n(2)该序列可看作ε[n]=(3)ε[n]3(z)=Z(3)ε[n]=∑(3)ε[n]z=0[]∞n=∑3z=0∞(1n)对该级数,当3z1<1,即z>3时,级数收敛,并有(z)=z=13zz3其收敛域为z平面上半经z=3的圆外区域1n1n1nn(3)该序列可看作ε[n]=3ε[n]232∞∞1n∞1n11nnn(z)=Z3ε[n]=∑3ε[n]z=∑z∑3z1n=0n=0222n=0()对该级数,当11<1且3z<1,即z>3时,级数收敛,并有2(z)=zz=1113z12z1z31z其收敛域为z平面上半经z=3的圆外区域(4)该序列可看作cosπεhttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402[n]4ππjnπnπn1∞j4∞4n(z)=Zcosε[n]=∑cosz=∑eez442n=0n=0=111∑eez∑22n=0n=0∞∞π4ππj4z1π4对该级数,当ez1<1且ej1<1,即z>1时,级数收敛,并有F(z)=×ezπ41×2ejπ411zz=ππj2ze4ze4π2zcosz2z==2π2zcos1z2z1其收敛域为z平面上半经z=1的圆外区域(5)该序列可看作ππnπnπππε[n]=sincoscossinε[n]42422=nπnπcossinε[n]222nπnπ2∞nπn2∞nπn(z)=Zsincosε[n]=sinzcosz∑∑222n=022n=022ππ2zcos22z2z2==22ππ22222z12z1://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402rz2zcos1z2zcos12z=z21其收敛域为z平面上半经z=1的圆外区域6.
2已知δ[n]1,anε[n],nε[n],2az1试利用z变换的性质求下列序列的z变换.
(1)δ[n2](2)0.
61(1)ε[n][](3)ε[n]2ε[n4]ε[n8](4)(1)nε[n](5)(n1)ε[n1](6)n(n1)ε[n1](7)(n1)ε[n1](8)n[ε[n]ε[n1]]【知识点窍】本题考察z变换的性质【逻辑推理】(1)线性性质:z变换的线性性质表现为齐次性和可加性,即[n]F1(z)若则af1[n]bf2[n]aF1(z)bF2(z)[n]F2(z)式中a和b为任意常数.
(2)移位特性:对于双边序列f[n],其右移m位后的单边z变换为f[nm]zmkF(z)f[k]z∑=1对于单边序列f[nm]ε[nm]zmF(z)(3)尺度变换:若f[n]F(z),则f[n]乘以指数序列的z变换为anf[n]Fza(4)初值定理:若f[n]F(z),且limF(z)存在,则f[n]的初值为://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402→∞[0]=limF(z)→∞(5)终值定理:若f[n]F(z),则若f[n]的终值为[∞]=limf[n]=lim(z1)F(z)→∞→1(6)卷积定理:若f1[n]F1(z),f2[n]F2(z),则f1[n]与f2[n]卷积和的z变换为[n]f2[n]F1(z)F2(z)解:(1)δ[n]1,根据z变换的移位特性,有:[δ[n2]]=z2(2)anε[n],则有:za0.
6ε[n]根据z变换的线性,有:.
6z0.
6zn,0.
6(1)ε[n]z1z1.
6z0.
6z1.
2z2.
61(1)ε[n]==21z1z1[[]](3)ε[n],根据z变换的移位特性,有:z1ε[n4]z43zz78=,ε[n8]z=z1z1z1z1再根据z变换的线性,则有:z3z7z2z3z7[ε[n]2ε[n4]ε[n8]]==1z1z1z1(4)令f1[n]=(1)ε[n],则根据anε[n],有F1(z)=zaz1所以f[n]=(1)nε[n]=nf1[n]根据z变换的微分性质,有:(z)=z(5)nε[n](z)=2dzz1z12,http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402根据z变换的移位特性,有:[(n1)ε[n1]]=z1(6)令f1[n]=(n1)ε[n1],有F1(z)=12=121所以f[n]=n(n1)ε[n1]=nf1[n]根据z变换的微分性质,有:(z)=zzF1(z)=z(2)=dzz13z13(7)令f1[n]=(n1)ε[n1],有F1(z)=12所以f[n]=(n1)ε[n1]=(n1)f1[n]=nf1[n]f1[n]根据z变换的微分特性和线性,有:(z)=zz1z1F1(z)F1(z)==323dzz1z1z1(8)f[n]=n[ε[n]ε[n1]]=nε[n](n1)ε[n1]ε[n1]ε[n]12,ε[n],根据z变换的移位特性,有:z1[(n1)ε[n1]]=根据z变换的线性,有:12,Z[ε[n1]]=z1(z)=.
3求下列象函数的z反变换.
12z12=0z10.
5z1(1),z>0.
5(2),z>0.
50.
5z110.
25z2za1z2://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402r(3),z>(4)2,z>2azz3z2|a|z1z2(5)2,z>2(6),z>0.
5z2z0.
5z0.
25(7)z,z>1(8),z>1221z1z1【知识点窍】本题考察z变换的反变换的方法【逻辑推理】求反变换通常有3种方法(1)幂级数展开法:将F(z)展开成zn的级数,由zn的系数就是f(n)的相应项.
(2)部分分式展开法:若用z变换进行反z变换.
(3)留数法:f[n]=为有理分式,则可将展开成部分分式,再乘以z,再利用常zzn1n1=ResFzz()()∑Ñ∫C2πji≥0解:(1)F(z)=z=10.
5zz0.
5对上式取反变换,则有:f[n]=0.
5nε[n]0.
5z1z20.
5zz(2)F(z)===220.
25zz0.
25z0.
5对上式取反变换,则有:f[n]=(0.
5)ε[n](3)(z)azKK2==11zaz1=F(z)z=0=aK2=(az1)(z)=a=a1(z)aa21所以有=1故有F(z)=a1za21=a://www.
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com/doc/840ab286d39760825a8834021aa对上式取反变换,则有:112(n1)[n]=aδ[n]ε[n]ε[n]=aδ[n]a1aa()(4)(z)zzKK=2==12zz3z2z1z2z1z2(z)=1=1zF(z)K2=(z2)z=2=2z(z)12所以有=1z2z2z故有F(z)=1z2=(z1)对上式取反变换,则有:[n]=(1)ε[n]2(2)ε[n]=(1)2n11ε[n]()K3F(z)z2z1z2z1K1K2(5)===2z2zz2z1zz2z1=z=0F(z)1=(z2)=z=2F(z)K3=(z1)z=1=1zF(z)11111所以有=z2z2z1zz故有F(z)=z2z1=F(z)对上式取反变换,则有:n[n]=δ[n](2)ε[n]ε[n](6)(z)zK1K2==0.
5z0.
25z0.
5z0.
25=0.
5=2zF(z)K2=(z0.
25)z=0.
25=1z(z)21://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402par所以有=0.
5z0.
25zz故有F(z)=0.
5z0.
25=(z0.
5)对上式取反变换,则有:[n]=2(0.
5)ε[n](0.
25)ε[n]=21n22nε[n]()(7)K2K3F(z)1==zzzjzjzz21=F(z)=0=1=z=jFz1=(zj)=z=j=(zj)所以有(z)11111=zz2zj2zj故有F(z)=1z1z2zj2zj对上式取反变换,则有:[n]=δ[n](8)(j)nε[n]1jnε[n]=δ[n]cosnπε[n]222K12K2F(z)11===222zz1z1z1z1z1z1z1=12F(z)(z1)=11!
z2z=11d12Fz(z1)=21!
dzzz=14(z)z=1==(z1)所以有=4(z)111111=2z2z14z14z1z1z1z2z124z14z1故有F(z)=对上式取反变换,则有:[n]=n1nε[n]ε[n](http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a8834021)ε[n]=n(1)ε[n]244442.
4若序列的z变换如下,求f[0].
z2z1(1)F(z)=,z>2(2)F(z)=,z>12z1z1z0.
5z2z(3)F(z)=,z>131【知识点窍】本题考察利用z变换求取序列的初值【逻辑推理】初值定理:若f[n]F(z),且limF(z)存在,则f[n]的初值为→∞[0]=limF(z)→∞解:z2(1)f[0]=limF(z)=lim=lim→∞z→∞z2z1z→∞=122z1zz=1(2)f[0]=limF(z)=lim=lim→∞z→∞z1z0.
5z→∞12zz(3)F(z)==321z1f[0]=limF(z)=lim→∞→∞12=limz2→∞=0.
5若序列的z变换如下,能否应用终值定理如果能则求出f[∞].
1z2z1(1)F(z)=(2)F(z)=z1z0.
5zz23(3)F(z)=1z2【知识点窍】本题考察利用z变换求取序列的终值【逻辑推理】为了保证f[∞]存在,只有当n→∞时,f[n]收敛才可应用,也就是说,其极点必须限制在单位圆内部,在http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402单位圆上只能位于z=1点且是一阶极点;否则,f[n]将随着n→∞而无限地增长或者为不定值.

终值定理:若f[n]F(z),则若f[n]的终值为[∞]=limf[n]=lim(z1)F(z)→∞→1解:(1)f[∞]=limf[n]=lim(z1)F(z)=lim→∞→11z2111z23→1=0z1(2)f[∞]=limf[n]=lim(z1)F(z)=lim=2→∞z→1z→1z0.
5(3)F(z)收敛域为z>2,不满足应用终值定理的条件,故终值不存在.
6.
6利用性质求下列序列的z变换.
(1)cosπnπε[n](2)nsinε[n]22π1i(3)cosε[n](4)∑(1)2i=0【知识点窍】本题考察z变换的性质【逻辑推理】(1)线性性质:z变换的线性性质表现为齐次性和可加性,即若[n]F1(z)则af1[n]bf2[n]aF1(z)bF2(z)[n]F2(z)式中a和b为任意常数.
(2)移位特性:对于双边序列f[n],其右移m位后的单边z变换为f[nm]zmkF(z)f[k]z∑=1对于单边序列f[nm]ε[nm]zmF(z)(3)尺度变换:若f[n]F(z),http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402则f[n]乘以指数序列的z变换为anf[n]Fzaππjπjππ1j2nj21212解:(1)f[n]=cosε[n]=eeε[n]=eε[n]eε[n]22因为anε[n]aπj2z则有eε(n)jπze2πj2zeεn()jπze2由线性性质可得:πjππ22zzee2zzcos1z1z1z2F(z)=====2jπjπππ222jjz12e2ze2z2ze2e21z2zcos21πzsinπz(2)令f1[n]=sinε[n],则有:F1(z)==2π22zcos1z1所以f[n]=nsinπε[n]=nf1[n],根据z变换的微分性质,有:2z2z31(z)=zF1(z)=z=2222dzz1z1(3)令f1[n]=cosπε[n],则有:2πF1(z)==2πz122zcos1zcosπ11所以http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402f[n]=cosε[n]=f1[n]22根据z变换的尺度变换性质,有:z2(z)=F1(2z)=2z1(4)令f1[n]=(1)ε[n],则有:(z)=所以f[n]=故根据时域部分求和性质,有:z1∑(1)=∑f[i]=0=0(z)=F1(z)=21z1.
7试用卷积定理证明以下关系:(1)f[n]δ[nm]=f[nm](2)ε[n]ε[n]=(n1)ε[n]【知识点窍】本题考察z变换的性质之一——卷积定理【逻辑推理】卷积定理:若f1[n]F1(z),f2[n]F2(z),则f1[n]与f2[n]卷积和的z变换为[n]f2[n]F1(z)F2(z)证明:(1)因δ[n]1,根据z变换的移位特性,有:δ[nm]zm令f[n]F(z),则根据卷积定理有:f[n]δ[nm]zmF(z)根据z变换的移位特性,可得:1zmF(z)=f[nm]即有:f[n]δ[nm]=f[nm](2)令f1[n]=f2[n]=ε[n],则有F1(z)=F2(z)=[]1(z)F2(z)=21故有(z)F2(z)z11==22://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402arzz1z1z1zz21z1即有F1(z)F2(z)=对上式求反变换,有Z1[F1(z)F2(z)]=nε[n]ε[n]根据卷积定理有:f1[n]f2[n]F1(z)F2(z)所以f1[n]f2[n]=Z1[F1(z)F2(z)]=nε[n]ε[n]即有:ε[n]ε[n]=(n1)ε[n].
8已知上题的结论ε[n]ε[n]=(n1)ε[n],试求nε[n]的z变换.
【知识点窍】本题考察z变换的性质.
【逻辑推理】(1)线性性质:z变换的线性性质表现为齐次性和可加性,即[n]F1(z)若则af1[n]bf2[n]aF1(z)bF2(z)[n]F2(z)式中a和b为任意常数.
(2)卷积定理:若f1[n]F1(z),f2[n]F2(z),则f1[n]与f2[n]卷积和的z变换为[n]f2[n]F1(z)F2(z)解:令f1[n]=f2[n]=ε[n],则有F1(z)=F2(z)=z1所以F1(z)F2(z)=21令[n]=nε[n],f4[n]=ε[n],则有F4(z)=1根据卷积定理f1[n]f2[n]F1(z)F2(z)以及已知条件ε[n]ε[n]=(n1)ε[n],即f1[n]f2[n]=f3[n]f4[n]则可得:f3[n]f4[n]F1(z)F2(z)http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402=21再由z变换线性可知:f3[n]f4[n]F3(z)F4(z)zz则有:F3(z)=F1(z)F2(z)F4(z)==221z1z1即nε[n].
9利用卷积定理,求下述序列的卷积y[n]=f[n]h[n].
(1)f(n)=anε(n),(2)f[n]=anε[n],(3)f[n]=anε[n],12(n)=δ(n2)h[n]=ε[n1]h[n]=bnε[n]【知识点窍】本题考察z变换的性质(卷积定理)以及反变换求法.
【逻辑推理】卷积定理:若f1[n]F1(z),f2[n]F2(z),则f1[n]与f2[n]卷积和的z变换为[n]f2[n]F1(z)F2(z)解:(1)f(n)=anε(n),则有F(z)=a因δ[n]1,h(n)=δ(n2),根据z变换的移位特性,有:H[z]=z2所以F(z)H(z)=z2=zazza根据卷积定理y[n]=f[n]h[n]F(z)H(z)即有Y(z)=F(z)H(z)=a求其z变换,将Y(z)进行部分分式展开,可得:K2Y(z)1=2=11zzzazzaz2其中:K11=2Y(z)1z=11!
zz=0a1d2Y(z)1z=21!
dzzaz=0=(z)1=z=aY(z)1111http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a88340211所以有=222az故Y(z)=22a111对上式求反变换有:y[n]=δ[n1]2δ[n]2anε[n](2)f(n)=anε(n),则有F(z)=a因ε[n],h(n)=ε(n1)1根据z变换的移位特性,有:H[z]=z1=1z1=(za)所以F(z)H(z)=z=zaz1z1za根据卷积定理y[n]=f[n]h[n]F(z)H(z)即有Y(z)=F(z)H(z)=求其z变换,将Y(z)进行部分分式展开,可得:1zaY(z)1K1K2==1zaz1za=zz=11aY(z)1=(za)=z=a1Y(z)1111所以有=az1a1zaz1z故Y(z)=az1a1za11n1对上式求反变换有:y[n]=ε[n]aε[n]=an1ε[n]aa1a1(3)f(n)=anε(n),则有F(z)=az[n]=bnε[n],则有H(z)=b其中:K1http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402=(z1)()所以F(z)H(z)==azb1zazb根据卷积定理y[n]=f[n]h[n]F(z)H(z)即有Y(z)=F(z)H(z)=azb求其z变换,将Y(z)进行部分分式展开,可得:(z)zKK==12zzazbzazb其中:K1=(za)(z)a==aab==baY(z)a1b1所以有=bzabazb故Y(z)=bzabazb=(zb)对上式求反变换有:[n]=anε[n]bnε[n]=an1bn1ε[n]abbaab().
10用z变换求下列齐次差分方程.
(1)y[n]0.
9y[n1]=0,y[1]=1[1]=0,y[2]=2y[0]=0,y[1]=3y[0]=0,y[1]=3(2)y[n]y[n1]2y[n2]=0,(3)y[n2]y[n1]2y[n]=0,(4)y[n]y[n1]2y[n2]=0,【知识点窍】本题考察用z变换求解系统响应的方法.
【逻辑推理】利用z变换求解系统的差分方程的响应一般步骤为:(1)对给定的差分方程进行z变换,将时域内的激励f[n]和响应y[n]分别变换成z域内的激励(z)和响应Y(z).
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com/doc/840ab286d39760825a883402ar(2)对差分方程z变换后得到的代数方程求解,求得z域内的响应Y(z).
(3)对Y(z)进行z反变换,即可求的得待求的时域响应y[n].
解:(1)对差分方程z变换,根据移位特性,可得(z)0.
9z1Y(z)y[1]=0则Y(z)=[].
9y110.
9z将初始条件y[1]=1代入Y(z)的式中,整理后可得(z)=对Y(z)进行z反变换,可得.
90.
9z=10.
9zz0.
9[n]=0.
9n1ε[n](2)对差分方程z变换,根据移位特性,可得(z)z1Y(z)y[1]2z2Y(z)z1y[1]y[2]=0[1]2y[2]2y[1]z1则Y(z)=12z2z将初始条件y[1]=0,y[2]=2代入Y(z)的式中,整理后可得[][]4z2(z)=2z288Y(z)4z由此可得:=2=z2z2z1zz即得:Y(z)=2z1对上式求z反变换,即得n1n[n]=2(1)ε[n]2(3)对差分方程z变换,根据移位特性,可得Y(z)y[0]z1y[1]z[Y(z)y[0]]2Y(z)=0[0]z2http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402y[1]zy[0]z则Y(z)=z2将初始条件y[0]=0,y[1]=3代入Y(z)的式中,整理后可得[](z)=对Y(z)进行z反变换,可得zzz=z2z2z1ε[n]y[n]=21()(4)对差分方程z变换,根据移位特性,可得(z)z1Y(z)y[1]2z2Y(z)z1y[1]y[2]=012y22y1z1则Y(z)=z12z2由给定的初始条件y[0]=0,y[1]=3确定所需的初始条件y[1]和y[2],可以令差分方程中的[][]=1和n=0,则有[1]y[0]2y[1]=0从中解出y[1]=[0]y[1]2y[2]=0,y[2]=24将初始条件y[1]和y[2]代入Y(z)的式中,整理后可得(z)=zzz=2z2z2z1对Y(z)进行z反变换,可得ε[n]y[n]=21().
11画出图6.
1所示系统的z域模拟图,并求该系统的单位响应和阶跃响应.
[此处图片未下载成功]图6.
1【知识点窍】本题考察系统z域模拟图的绘制方法.
【逻辑推理】首先由时域模拟图得到系统的差分方程,再由此求出系统的函数.
根据系统的函数的定义即可求出单位响应和阶跃响应.
解:(a)由z域模拟图可得:y[n]=f[n]即差分方http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402程为y[n][n1]3[n1]=f[n]3在零状态下对差分方程两边取z变换,得:111zY(z)=F(z)3故(z)=Y(z)=1Fz1z13域模拟图,如图6.
2(1)求系统的单位响应h[n].
[此处图片未下载成功]F(z图6.
2已经求得系统函数H(z),求其z反变换即求得h[n].
(z)=z=1111zz33对上式取反变换即得单位响应1[n]=ε[n]3(2)求系统的阶跃响应g[n].
当输入f(n)=ε(n)时,有F(z)=z1(z)=H(z)F(z)=z1z3将G(z)进行部分分式展开得:KG(z)z==2z1z1z(z1)求出系数K1=,K2=22z3z(z)=所以有:z2z13取G(z)的反变换即得阶跃响应:131[n]=ε[n]ε[n]=33nε[n]322()(b)由z域模拟图可得:y[n1]0.
5y[n]=f[n]在零状态下对差分方程两边取z变换,得:(z)0.
5Y(z)=F(z)故H(zhttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402)=域模拟图,如图6.
3(1)求系统的单位响应h[n].
(z)1=Fzz0.
5图6.
3已经求得系统函数H(z),求其z反变换即求得h[n].
(z)=将H(z)进行部分分式展开,得到:0.
5(z)1K1K2==0.
5zz0.
5求出系数K1=2,K2=2所以有:H(z)=2对上式取反变换即得单位响应z0.
5[n]=2δ[n]2(0.
5)ε[n](2)求系统的阶跃响应g[n].
当输入f(n)=ε(n)时,有F(z)=z1z0.
5z1(z)=H(z)F(z)=将G(z)进行部分分式展开得:KGz=20.
5z1求出系数K1=2,K2=2[此处图片未下载成功]所以有:G(z)=取G(z)的反变换即得阶跃响应:2z2z0.
5z1[n]=2(0.
5)ε[n]2ε[n]=210.
5nε[n]().
12已知系统的差分方程、输入序列和初始状态如下,试用z域分析法求系统的完全响应.
(1)y[n]0.
5y[n1]=f[n][n]=(0.
5)ε[n],[1]=1(2)y[n]0.
5y[n1]=f[n]0.
5f[n1]f[n]=ε[n],y[1]=http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a8834020【知识点窍】本题考察用z变换求解系统全响应的方法.
【逻辑推理】利用z变换求解系统的差分方程的响应一般步骤为:(1)对给定的差分方程进行z变换,将时域内的激励f[n]和响应y[n]分别变换成z域内的激励(z)和响应Y(z).
(2)对差分方程z变换后得到的代数方程求解,求得z域内的响应Y(z).
(3)对Y(z)进行z反变换,即可求得全响应y[n].
解:(1)对差分方程两边取z变换,根据移位特性,可得1(z)0.
5zY(z)y[1]=F(z)(1)当输入f[n]=(0.
5)ε[n]时,有F(z)=将初始条件y[1]=1,F(z)=代入(1)式,即得0.
5.
5z(z)=0.
5[n]=(0.
5)10.
5对其取反变换即得到系统的全响应为ε[n](2)对差分方程两边取z变换,根据移位特性,可得(z)0.
5z1Y(z)y[1]=F(z)0.
5z1F(z)f[1](2),f[1]=0z1z将初始条件y[1]=0,F(z)=,f[1]=0代入(2)式,有:1当输入f(n)=ε(n)时,有F(z)=[][]Y(z)0.
5z1Y(z)=故有:[].
5z1z1.
5=zY(z)=0.
5z1z1对上式取反变换即得到系统的全响应为:[n]=ε[n].
13设系统的差分方程为http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402y[n]5y[n1]6y[n2]=f[n],当f[n]=2ε[n],初始状态[1]=3,y[2]=2时,求系统的响应y[n].
【知识点窍】本题考察用z变换求解系统全响应的方法.
【逻辑推理】利用z变换求解系统的差分方程的响应一般步骤为:(1)对给定的差分方程进行z变换,将时域内的激励f[n]和响应y[n]分别变换成z域内的激励(z)和响应Y(z).
(2)对差分方程z变换后得到的代数方程求解,求得z域内的响应Y(z).
(3)对Y(z)进行z反变换,即可求得全响应y[n].
解:对差分方程z变换,根据移位特性,可得(z)5z1Y(z)y[1]6z2Y(z)z1y[1]y[2]=F(z)当输入f(n)=2ε(n)时,有F(z)=将初始条件F(z)=[][]z,y[1]=3,y[2]=2代入上式,可得:z1z(z)5z1Y(z)36z2Y(z)3z12=1z1[][]故有:z18z13z321z218zz(5z6)(z3)Y(z)===5z16z2z1z2z3z1z2z3z5z6=1z2将上式进行部分分式展开,得到:Y(z)5z6K1K2==1z2z1z2求出系数K1=1,K2=4故Y(z)=对上式取反变换即得到系统响应:zz1z2(n)=ε(n)4(2)ε(n)=12n2ε(n)[].
14若一系统的输入http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402f[n]=δ[n]4δ[n1]2δ[n2],系统函数为(z)=试求系统的零状态响应.
z110.
5z【知识点窍】本题考察利用系统函数求解系统零状态响应的方法.
【逻辑推理】系统函数定义为系统零状态响应和激励的z变换之比.
即H(z)=可得:Yzs(z)=H(z)F(z),再将其求z反变换即可得零状态响应.
解:当输入f[n]=δ[n]4δ[n1]2δ[n2]时,则有:(z)Fz,由此(z)=14z12z2已知系统函数H(z),可得系统的零状态响应的象函数为:(z)=H(z)F(z)=z1z24z21214z2z=10.
5zz1z0.
5()将上式进行部分分式展开,得到:(z)z24z2KKK==zzz1z0.
5zz1z0.
5求出系数K1=4,K2=2,K3=1故Yzs(z)=4zzz1z0.
5对上式取反变换即得到系统的零状态响应:(n)=4δ[n]2ε[n]0.
5nε[n]=4δ[n]20.
5nε[n]()6.
15某数字系统的差分方程为y[n]0.
7y[n1]0.
12y[n2]=2f[n]f[n1](1)求系统函数H(z);(2)求单位响应h[n].
【知识点窍】本题考察由差分方程求解系统函数的方法.
【逻辑推理】系统函数定义为系统零状态响应和激励的z变换之比.
即H(z)=.
由此可知,将差分方程两边按照零状态条件下进行z变换,然后求出响应和激励的z变换比值即为系统函数.
解:(1http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402)求系统函数H(z).
在零状态下对差分方程两边取z变换,得:(z)0.
7z1Y(z)0.
12z2Y(z)=2F(z)z1F(z)故有:z12z2z(z)===2120.
7z0.
12zz0.
7z0.
12(2)求单位响应h[n].
已求得系统函数H(z),取其z反变换即求得h[n].
将H(z)进行部分分式展开得:(z)2z12z1K1K2=2==0.
7z0.
12z0.
3z0.
4z0.
3z0.
4求出系数K1=4,K2=2所以有H(z)=对上式取反变换即得到系统的单位响应:z2z0.
3z0.
4(n)=4(0.
3)ε[n]2(0.
4)ε[n]=22(0.
3)0.
4nε[n][].
16设一系统的差分方程为y[n](1)试求单位响应h[n];[n1]=f[n]31n1n(2)若系统的零状态响应为y[n]=3ε[n],试求输入信号f[n].
23(3)试判断该系统是否稳定【知识点窍】本题考察系统函数定义及系统是否稳定的判定的方法.
【逻辑推理】系统函数定义为系统零状态响应和激励的z变换之比.
即H(z)=∞(z)Fz系统稳定的条件是其单位响应绝对可和,即于单位圆内.
解:(1)求单位响应h[n].
在零状态下对差分方程两边取z变换,得:=∞∑h[n]<∞,即其系统函http://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402数H(z)全部极点必须位(z)z1Y(z)=F(z)故有:(z)=z=1111zz331对上式取反变换即得单位响应h[n]=ε[n]31n1n(2)系统的零状态响应为y[n]=3ε[n],则有:23zz(z)=3zz23由求得系统函数H(z),则有:zz311zzzY(z)23F(z)===31=zHzz1z122z3将F(z)进行部分分式展开,得到:Fz==1z1zzz求出系数K1=1,K2=1故:(z)=1z2对上式取反变换即得输入信号为:1[n]=δ[n]ε[n]2(3)由于H(z)的极点为z1=,它位于单位圆内,故该系统是稳定的.
3.
17设离散系统输入为f[n]=ε[n]时,零状态响应为y[n]=210.
5nε[n],若输入为()[n]=0.
5nε[n]时,求系统的响应;该系统是否稳定【知识点窍】本题考察系统函数定义及系统是否稳定的判定的方法.
【逻辑推理】系统函数定义为系统零状态响应和激励的z变换之比.
即H(z)=∞(z)Fz://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402par系统稳定的条件是其单位响应绝对可和,即于单位圆内.
解:系统输入f(n)=ε(n)时,有F(z)==∞∑h[n]<∞,即其系统函数H(z)全部极点必须位z1零状态响应为y[n]=210.
5nε[n],即有:()z2z1z0.
52z2z(z)2(z1)1故H(z)===2=0.
5z0.
5z1(z)=若输入为f[n]=0.
5nε[n],则有F(z)=故:Y(z)=H(z)F(z)=0.
5zz=0.
5z0.
5z0.
52对上式求z反变换,即得系统响应为:[n]=n(0.
5)ε[n]1由于系统函数H(z)的极点为z1=0.
5,它位于单位圆内,故该系统是稳定的.
3z2.
18某一离散系统的系统函数为H(z)=,为使系统稳定,常数K应满足什么2zk1z1条件【知识点窍】本题考察系统是否稳定的判定的方法.
【逻辑推理】系统稳定的条件是其单位响应绝对可和,即全部极点必须位于单位圆内.
解:系统函数即其系统函数H(z)∑h[n]<∞,∞=∞3z2z1z2(z)=2=2zk1z12zk1z1求系统函数H(z)的极点,有:2z2(k1)z1=0求解极点为z1,2=(k1)±khttp://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402128为使系统稳定,系统函数H(z)的极点应位于单位圆内,故有:(k1)±k128解上述方程求得:12<k<12<1当(k1)±k128=2时,求得k=,即有:=2,z2=z23z2(z1)(z2)=z1,系统稳定.
从而求得H(z)==12zz12(z2)z2z4当(k1)±k128=1时,求得k=2,即有:=1,z2=3z2从而求得H(z)==2z3z11z21(z1)z=2,系统稳定.
12z所以,为使系统稳定,常数K应满足:<k<123或k=2z4.
19设有系统函数H(z)=20.
5z0.
25(1)试画出系统Z域模拟图;(2)系统是否稳定(3)试画出系统的幅频特性和相频特性.
【知识点窍】本题考察由系统函数求解频率响应的方法.
【逻辑推理】若离散系统的系统函数H(z)的极点全部在单位圆内,则Hejω称为离散系统的频率响应或频率特性.
He()()=H(z)ω://www.
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com/doc/840ab286d39760825a883402rz=ejω即Hejω=Hejωej(ω)()(Hejω称为离散系统的幅频响应,其随ω变化的曲线称为系统的幅频特性曲线;(ω)称为离散系统的相频响应,其随ω变化的曲线称为系统的相频特性曲线.
解:(1)系统函数()2z412z14z2(z)=2=120.
5z0.
2510.
5z0.
25z画出系统Z域模拟图,如图6.
4.
(2)求系统函数H(z)的极点,即求z20.
5z0.
25=0可得z1=.
50.
5j0.
50.
j,z2=(z)的两个极点均位于单位圆内,故该系统是稳定的.
(z)图6.
4(3)由(2)可知系统函数的极点为均位于单位圆内,所以系统的频率响应为()=H(z)ω=ej[此处图片未下载成功]ω2z4=20.
5z0.
25=eω2e4[此处图片未下载成功]=0.
5e0.
25ω2ωω2ω(a)(b)图6.
5ω=0时,H(eω===4;0.
75ω<ω<π时,随着ω的增加,H(e)=://www.
1mpi.
com/doc/840ab286d39760825a883402值保持不变ω=π时,H(ejω===4[此处图片未下载成功]1.
750<ω<π时,随着ω的增加,H(eω)=值保持不变ω=π时,H(eω===40.
75同理,可以分析(ω)随ω变化的情况.
由此可得幅频特性和相频特性曲线如图6.
5所示.
6.
20已知连续系统的H(s)为H(s)=散系统函数H(z).
【知识点窍】本题考察由连续系统函数求解对应的离散系统的系统函数的方法.
【逻辑推理】H(z)和H(s)之间的关系为1s3,试用冲激响应不变法,求对应于H(s)的离(z)=Z1[h(n)]=H(s)ds1sTC2πj1zeH(s)=∑Res1sT1zes=sii式中,si为H(s)的极点,T为抽样周期.
解:已知(s)=1s3(s)的极点为s1=1,s2=3,所以22(z)=(s1)(s3)1sT1sTs1s31zes=1s1s31zes=3=1T13T1ze1zezz=eTze3T文档下载网是专业的免费文档搜索与下载网站,提供行业资料,考试资料,教学课件,学术论文,技术资料,研究报告,工作范文,资格考试,word文档,专业文献,应用文书,行业论文等文档搜索与文档下载,是您文档写作和查找参考资料的必备网站.