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com微信公众号:xqdzsb1求极限的各种方法1.
约去零因子求极限例1:求极限11lim41xxx【说明】1x表明1与x无限接近,但1x,所以1x这一零因子可以约去.
【解】6)1)(1(lim1)1)(1)(1(lim2121xxxxxxxx=42.
分子分母同除求极限例2:求极限13lim323xxxx【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求.
【解】3131lim13lim311323xxxxxxx【注】(1)一般分子分母同除x的最高次方;(2)nmbanmnmbxbxbaxaxannmmmmnnnnx0lim0110113.
分子(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim22xxx【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式.
【解】13)13)(13(lim)13(lim22222222xxxxxxxxxx0132lim22xxx例4:求极限30sin1tan1limxxxx【解】xxxxxxxxxxsin1tan1sintanlimsin1tan1lim3030新起点专升本官网:www.
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com微信公众号:xqdzsb241sintanlim21sintanlimsin1tan11lim30300xxxxxxxxxxx【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子是解题的关键4.
应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sinlim0xxx和exnxxxnnxx10)1(lim)11(lim)11(lim,第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现.
主要考第二个重要极限.
例5:求极限xxxx11lim【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤:先凑出1,再凑X1,最后凑指数部分.
【解】2221212112111lim121lim11limexxxxxxxxxxx例6:(1)xxx211lim;(2)已知82limxxaxax,求a.
5.
用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有:当0x时,~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin~xxxxxx1ex,abxaxxxb~11,21~cos12;(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式.
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;(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选.
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例7:求极限0ln(1)lim1cosxxxx【解】002ln(1)limlim211cos2xxxxxxxx.
例8:求极限xxxx30tansinlim【解】xxxx30tansinlim613lim31coslimsinlim222102030xxxxxxxxxx新起点专升本官网:www.
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用罗必塔法则求极限例9:求极限220)sin1ln(2coslnlimxxxx【说明】或00型的极限,可通过罗必塔法则来求.
【解】220)sin1ln(2coslnlimxxxxxxxxxx2sin12sin2cos2sin2lim203sin112cos222sinlim20xxxxx【注】许多变动上显的积分表示的极限,常用罗必塔法则求解例10:设函数f(x)连续,且0)0(f,求极限.
)()()(lim000xxxdttxfxdttftx【解】由于000)())(()(xxxutxduufduufdttxf,于是xxxxxxxduufxdtttfdttfxdttxfxdttftx0000000)()()(lim)()()(lim=xxxxxfduufxxfxxfdttf000)()()()()(lim=xxxxxfduufdttf000)()()(lim=)()()(lim000xfxduufxdttfxxx=.
21)0()0()0(fff7.
用对数恒等式求)()(limxgxf极限例11:极限xxx20)]1ln(1[lim【解】xxx20)]1ln(1[lim=)]1ln(1ln[20limxxxe=.
2)1ln(2lim)]1ln(1ln[2lim00eeexxxxxx【注】对于1型未定式)()(limxgxf的极限,也可用公式)()(limxgxf)1(=)()1)(lim(xgxfe新起点专升本官网:www.
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com微信公众号:xqdzsb4因为)1)(1ln()(lim))(ln()(lim)()(limxfxgxfxgxgeexf)()1)(lim(xgxfe例12:求极限3012coslim13xxxx.
【解1】原式2cosln3301limxxxex202cosln3limxxx20ln2cosln3limxxx()01sin2coslim2xxxx()011sin1lim22cos6xxxx【解2】原式2cosln3301limxxxex202cosln3limxxx20cos1ln3limxxx(1)20cos11lim36xxx8.
利用Taylor公式求极限例13求极限)0(,2lim20axaaxxx.
【解】)(ln2ln1222lnxaxaxeaaxx,)(ln2ln1222xaxaxax;).
(ln2222xaxaaxxaxxaxxaaxxxx22222020ln)(lnlim2lim.
例14求极限011lim(cot)xxxx.
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com微信公众号:xqdzsb5【解】00111sincoslim(cot)limsinxxxxxxxxxxx323230()[1()]3!
2!
limxxxxxxxx333011()()12!
3!
lim3xxxx.
9.
数列极限转化成函数极限求解例15:极限21sinlimnnnn【说明】这是1形式的的数列极限,由于数列极限不能使用罗必塔法则,若直接求有一定难度,若转化成函数极限,可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解.
【解】考虑辅助极限611sin11011sin222limlim1sinlimeeexxyyyyxxxxxx所以,6121sinlimennnn10.
n项和数列极限问题n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.
例16:极限22222212111limnnnnn【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把)(xf看成[0,1]定积分.
10)(211limdxxfnnfnfnfnn【解】原式=222112111111limnnnnnn新起点专升本官网:www.
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com微信公众号:xqdzsb61212ln2111102dxx例17:极限nnnnn22212111lim【说明】(1)该题遇上一题类似,但是不能凑成nnfnfnfnn211lim的形式,因而用两边夹法则求解;(2)两边夹法则需要放大不等式,常用的方法是都换成最大的或最小的.
【解】nnnnn22212111lim因为11211122222nnnnnnnnn又nnnn2lim11lim2nnn所以nnnnn22212111lim=112.
单调有界数列的极限问题例18:设数列nx满足110,sin(1,2,)nnxxxn(Ⅰ)证明limnnx存在,并求该极限;(Ⅱ)计算211limnxnnnxx.
【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.
【详解】(Ⅰ)因为10x,则210sin1xx.
可推得10sin1,1,2,nnxxn,则数列nx有界.
于是1sin1nnnnxxxx,(因当0sinxxx时,),则有1nnxx,可见数列nx单调减少,故由单调减少有下界数列必有极限知极限limnnx存在.
设limnnxl,在1sinnnxx两边令n,得sinll,解得0l,即lim0nnx.
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com微信公众号:xqdzsb7(Ⅱ)因22111sinlimlimnnxxnnnnnnxxxx,由(Ⅰ)知该极限为1型,61sin01sin110032221limlimsin1limeeexxxxxxxxxxxx(使用了罗必塔法则)故2211116sinlimlimennxxnnnnnnxxxx.