方程《高等数学教学课件》第8章空间解析几何与向量代数近年试题济南大学

0809B

一、填空题(每小题3分共18分)

1 、曲线= 在xOp面上的投影曲线为___________

[

消去z,再与z=0联立• [” +厂=

[z=()

Z线『一;才绕询旋转得到咂方涉- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

绕z轴母线中的变量z不变兀换成土Jx?+b

(z-a)

二、选择题(每小题3分共15分)

2^在曲线x= t.y= -t2,z= t3所有切线中,与平面x+3 y+3 z=4'卜行的切线( )

(A)只有一条 (B)只有两条 (C)至少有3条 (D)不存在

切线的方向向量与平面的法向量垂直 7=(1,—2(,3厂)  n=(1,3,3),^=0

A

五、解答题(每小题分10,共20分)

[xy—z—1—0

2 、求直线彳丿 与平面口兀+尹+ z+l=0的夹角.

[x-y十z+1=0

Jk

解设夹角为0直线的方向向量£= 1 1 -1=(0,-2,-2),平面的法向量n=(1,1,1)

1

|

-1 1

091 OB

一、填空题(每小题2分共10分)

1 、过点(3,0,-1)且与平面3x-7p+5z-12=0垂直的直线方程为 • 与平面垂直的直线和该平面的法向量平行,

x-3yz+1

3~-7-5

二、选择题(每小题2分共10分)

面上的投影曲线的方程是

( )

/ 、 \

(J) r :

(C)y2=2x-9  (D)

[z=0

在xQ/面上的投影曲线消去曲线中的变量z,然后联立z二0.

(A)

(C) \ a 9b \表示以a , b为邻边的平行四边形的面积

B

4、设7,&为两个向量则正确的是 (

表示以d,于为邻边的平行四边形的面积

D

四、计算题(每小题10分共40分)

3 、设已知两点冋(4,血, 1)和坚(3,0,2)・计算向量网胚的模、方向余弦及与其平行的单位向量.利川数量积和向量积的性质⑴b=0U=>Q丄b.

(1) ={-l,-V2,l),向量硏瓦的模为丽=J 1+2+1=2,

向量M}M2的方向余弦为COS<7=—— cos/?=----------- ,COSy=—.

与向量乔両同向的单位向晶 a)

与向量MM?反向的单位向量: -a=一(cos a. cos 0,cos y)

从而其平行的单位向量(一知¥ *)和弓¥弓.

五、解答题(每小题分12,共24分) 】 、试求曲叱二绕渝旋转所得曲面与平面日所围成的立体的体积.r cos 0昇“sin&)rdrdO

解曲线:二绕涮旋转所得旋转抛物面"2+b,与十围成的立体在xoy面上的投影为D={(x,y):x2+y2<l}.极坐标表示

2)={(p,^) 0<p<l,0<052龙} .

V=^(\ -x2-y2)da=^(\ -p-}pdpdO= d0^ p2)pd p=—.

2、已知“T平面上两定点/(1,3,0k 3(420)及椭圆柱面二+匸= l(x>0j>0)

9 4 '

上一点C&』 ,0),记44BC的面积为S“

(1) 、计算孔二丄区xl^

(2) 、试确定C(x,”0)点坐标使»最大.

解而=(3,-1,0),旋=(兀一1』一3,0),jk

ACxAB== x-l y-30=-(10-x-3y)i,

3 -12

1I— ―» 1 1

S 、=^\ACxAB=- \10-x-3y|=-(10-x-3y). (v0v兀<3,0<j<2)

(2)喪拉格朗日函数

1

F(x, =—(10-x-3j)+2(—+—-1),

解方程组, 得唯一驻点x=-^=- ,且AABC面积最大值一定存在所以当点C坐标为忌忌时MC面积最大

1011B

一、填空题每小题3分共15分

⑵旋转抛物面z=x2+y2-l在点2,1,4处的法线方程是___________________.

过已知点的法线方程为:

解设F=X2+/-Z-1,Fx=2x,Fy=2y,F:=-i.曲面在点2,1,4处的法向量

⑶方程3x2-y2-2z2=l所表示的曲而方程名称是双叶双曲面

(5)求过点(1,2-1) ,A/2(2,3,1) ,K和平|Mx-y+z+ l=0垂直的平面方程为.M}M2=(2-1,3-2,1-(一1))=(1,1,2),«=(1,-1,2)

所求平面的法向量n{= \ 1 2=4 -2疋所求平面方程为 4(x—l)+2(z+l)=0

1 -12

或2x+z-l=0.

1112B

一、填空题每小题2分共10分

————

5•若a ,b为同向的单位向量则它们的数量积a ・b=

答案 0

二、选择题(每小题2分共10分)

1.设平面方程为》 +Cz+D=O,且B,C,DHO,贝I」平面

( )

(A)平行于兀轴⑻平行于y轴(C)经过尹轴(D)经过x轴答案A

4.两平面- + ^ + - = 1,2x+3y-4z=1的位置关系是

2 3 4

( )

(A)平行但不重合(B)重合(C)相交但不垂直 (D)垂直

因为丄・2+丄・ 3+丄・ ( -4)=1,所以两平面不垂直,

2 3 4

两平面的法向量对应的坐标不成比例所以所以两平面不平行

答案C

四、解答题(每小题11分共33分)

1.求过点(-3,2,5)且与平面x—4z—3=0和2x—y—5z—l二0的交线平行的直线方程.解所求直线与已知的两个平面的法向量都垂直所以所求直线的一个方向向量i k

一 _一_ x+3V—2z—5

1 0 -4=-4/-3j-)t.所求直线方程为二一=—=—•

2 -1 -5 4 3 *

解法2两方程联立求出交线方程。

由x-4z=3得(x-3)/4=z,代入(2)得(y-5)/3=z,

因此交线方程为(x-3)/4=(y-5)/3=z,方向向量(4,3, 1),

所以所求直线方程为(x+3)/4=(y-2)/3=(z-5)/l .

解法3在交线上取两点。

如取7=0 ,x=3 ,y=5得A(3,5,0),再取z=l ,x=7,y=8得B(7,8, 1),

因此交线的方向向量为AB=(4,3, 1),

所求直线方程为(x+3)/4=(y-2)/3=(z-5)/l<>

3. 求曲线\Z = X'绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=1所围成立体的体积V. b=o解曲线Z=x2绕Z轴旋转所得旋转抛物而z=x2+/,与z=l所围成的立体

在xoy面上的投影为£> = {(x,^):x2+y2<1}.

极坐标表示£)= { ( " ,^):0<p<l,0<3<2龙} .

V= J J(I——y^)d(7= J J(I~P)pdpdO—J (1—p~)pdp—_.

1213B

一、填空题每小题2分共10分

仃过点 1,2,1且与平面x+2尹+ 3z=0平行的平面方程______________________・

兀一1+2 尹-2 +3 z—1 =0或x+2p+3z-8=O

四、应用题每小题10分共20分

1求旋转抛物而z=x2+y2±垂直于直线x+V+z+l=°的切平而方程.x+2y+5z+3=0i Jk

解已知直线的方向向量11 1 1=37-4 +^.

125

设抛物面上在点Mx ,几,z°处的法向量H= 2x0,2y0,-l与已知直线的方向向量平行于是= = ¥.得X。=一■| ,坯=2,Zo=手.

3 25 25

所求得切平面方程为3 x+- -4 y-2 + z--  = 0或3兀-4尹+ 2+二=0.

2 4 4

0809代数几何B

一、填空题每小题4分共32分

2、经过02轴和点 1,1,1的平面方程的为_________________________________.y=x.

3 、曲线]2在x。平而上的投影柱而的方程为___________________________________

F=]

二、选择题每小题4分共20分

22(g2宀2几3)("二込2 L (C)^=4x2;(D)Z2=\-X

4、下列方程屮表示的Il l i面为圆锥面的是[B]

A为旋转抛物面B为圆锥面C抛物柱面D旋转椭球面

1011代数几何B

二、选择题每小题3分共18分

5. 二次方程兀 -2兀+3*-4兀]兀=1所表示的llll面为[C]

⑷椭球面 B二次锥面 C单叶双llllffi D双叶双llll面.需要用到线性代数中线性变换及二次型知识

1112代数几何A

一、填空题每小题3分共18分

4.___________________________________________________________母线平行

于z轴月•过曲线+片+彳=16的柱而方程为________________________________.x

X2+2/=16

6 •过点1,0,1且垂直于直线*2J_Z_1 = °的平而方程为_________________________・

2x-j+z+1=0

兀_ 1 _3尹_5z -l =0j^ix-3y-5z+4=0

二、选择题每小题3分共18分

1 •方程2 X2+2 J2-Z2=1表示旋转曲面则旋转轴为  ・

A x轴 B 〉轴 C z轴 D任一直线.

C

分析曲线I/ y}= 。绕轴旋转所得旋转曲而方程为伽±心+,  =0.因为曲线z=0上的点在旋转过程屮有两个不变一•是横坐标x不变二是所求曲面上的点到X轴的距离不变所以只需将y换成士JyW.一般地求由某一坐标面上的曲线绕该坐标面上的某一个处标轴旋转而得旋转曲血方程的方法是绕哪个处标轴旋转则原曲线方程中相应的那个变量不变而将llll线方程屮另一个变量改写成该变量与第三个变量平方和的正负平方根.

1213代数几何A

一、选择题每小题3分共18分

6.母线平行于j轴且通过曲线\X\ + J"+Z"=16的柱面方程是  •

兀・一 =0

(A)3 x2+2z2=16(B)X2+2J2=16(C)3 J2-Z2=16(D)3j 2+z2=16.

1011代数儿何A

一、填空题每小题3分共21分

3 、过点 1,0,1且垂直于直线f^+2j -z-l=0的平面方程[2x-y+z+l=0

为____________________•

x_1 _3尹_ 5 z_1 =0或兀一3尹一5z+4=0

7 、曲线f绕z轴旋削成的曲而方程为- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

F+尹2=z-l

二、选择题每小题3分共21分

4、曲面z=x2+2/与z=6-2?一尸所围成的封闭曲面在“尹面上的投影区域为

(A)圆X2+/=2 (3)圆ffi x 2+/<2

(C)椭圆2x2+y2=6 (D)椭圆而2x2+y2<6.

B

四、综合题每小题10分共20分

1 、己知三平面叭x+z=1,心尹+ 2 z=3 7T3 :3x+y+ a z=6交于一条直线I,求Q的值并求此直线/的方程.

注需耍用到线性代数中线性方程组解结构的理论

101

(1)解三平面交于一条直线r(A)=r(A b)=2此时\A\=012=0.即a=5,

3 1 a