粒子51la统计系统

第五章波色系统:波色-爱因斯坦凝聚5.
1理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚回忆我们在前面获得的理想波色气体的物态方程:这里比容平均热波长易逸度z的定义为其中μ为化学势.
对波色气体,我们有:由定义知显然成立;可由动量为0的态的平均占据数确定.
函数一般地由下式确定:当z取0至1的值时,是z的正的单调递增有界函数(注意在费米系统里z可取任意大于0的值).
对于n>1有:这是黎曼Zeta函数.
当发散.
容易发现产生凝聚的条件:把比容的方程改写为:凝聚要求当时,这必然成立.
这样系统可看作两个热力学"相"的混合,一个相由动量为零的粒子组成,令一个由动量不为零的粒子组成.
分割面方程由确定,由此可得临界温度和临界比容(固定温度T时):当(v一定)或(T一定)时,将产生波色-爱因斯坦凝聚.
即低温和高密度是产生波色-爱因斯坦凝聚的条件,有凝聚时粒子的平均热波长与粒子平均间距有相同的数量级.
大V极限下的易逸度z:右图1为比容物态方程的图形解,图2展示固定v时z和的关系.
对宏观系统来说我们更关心体积V趋于无穷大的极限情形.
由上面的图形解可知在大V极限下我们有:填布数与温度和比容的关系(大V极限下):利用和上面的结果可得:粒子在动量空间里凝聚.
T=0时所有粒子都占据p=0态.
物态方程:压强方程中的第二项可忽略,因它最多是的量级,对大系统可忽略.
因此物态方程为物态方程在连续,但其导数不连续,因此相变为一级相变.
其它热力学量:应分为两段讨论,如内能:熵:定容比热:在T=0附近我们有这与光子和声子的行为不同,原因是它们的能谱不同.
而在处比热是连续的(因发散),比热的导数不连续.
5.
2非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚考虑N个无自旋波色粒子组成的稀薄气体系统,体积为V,系统处于低温且相互作用为二体碰撞.
在一级近似下,系统哈密顿量修正近似为散射长度a>0的排斥势的一级项:这里我们把势能项看作微扰.
设无微扰波函数(自由粒子系统波函数)为其中为单粒子态中粒子的填布数.
在一级近似下,系统能量为:成立条件为k为一对粒子的相对波矢,a是散射长度.
即粒子只能激发到动量较小的态.
在基态,我们让其它所有为零,基态能量为:而低激发态能级同时含有连续谱和分立谱.
在极低温度下,只有少量粒子激发,能量表达式可进一步近似为:下面我们要找到物态方程.
我们考虑极低温的情况,即并用n代表能量的动能部分记为记,配分函数为:其中为理想波色气体的配分函数.
是对理想波色气体的统计平均.
每个粒子的自由能为:压强可由自由能得到:注意到对理想波色气体有:作近似后可得:因此这个相变在当前的近似下是二级相变.
在一级近似下,系统能量的推导:以填布数表示的波色系统对称波函数可写为(P表示置换操作):因此我们需要先从N个粒子里取出一对粒子再做置换,其方法数为:于是上面可化为:利用可以发现于是5.
3波色-爱因斯坦凝聚实验的基本原理实验困难:大多数气体在极低温下不呈现气态.
1995年:三个研究组用Rb,Na和Li蒸气在简谐磁陷阱中在极低温度下观察到了波色-爱因斯坦凝聚现象.
实验的基本原理有两个:(1)多普勒致冷(动量空间的压缩):恰当选取激光频率,这里是原子最低激发频率,可使得原子在多次吸收激光后,动量不断减小:原子接受迎面光子激发(有方向性,动量减小),再通过自发辐射退激发(无方向性,损失动量平均为零).
(2)磁-光陷阱(坐标空间囚禁):在磁场中原子激发态能级发生分裂,激发能为:原子通过两束沿z轴相对运动的激光激发.
激光频率小于原子无磁场时的跃迁频率().
这样,不论在z>0还是z0对应排斥势,a<0对应吸引势.
相互作用势可近似写为:因此在外界简谐势场中,弱相互作用波色气体的哈密顿量为:这里是波色粒子的产生算符,是湮灭算符,统称为玻色场算符.
它们满足(海森堡绘景,坐标表象):这个方程可在平均场近似下求解.
关键是把波色场算符分为凝聚部分和非凝聚部分(波戈留波夫近似):均匀空间情形:理想波色气体的基态是所有粒子都处于单粒子的零动量态,其低激发态仍有量级为N的粒子占据零动量态,而的态的占据数很少.
我们假定这对近理想波色气体仍然成立.
令为动量为p的单粒子态的湮灭(产生)算符,我们有故这表明在这种近似下我们可以忽略的非对易性,把它们当作非算符的量(C数)且这样场算符可以写为两部分(C数和算符部分):推广到空间非均匀和与时间有关的情形,我们令:这里是围绕平均值的量子和热涨落(一个小量),代表凝聚部分的密度.
带入到上面的方程即得(GP方程):用巨正则系综我们可以研究系统的平衡性质.
凝聚部分的哈密顿量为:零温情况下,统计平衡时系统的的平均值有极小值,故有从上式代入并解之得:这是个非线性方程,一般不可能解析求解.
解的情况:(一).
排斥势:当是各向同性简谐势,且粒子间有弱排斥作用;或是部分各向异性即且粒子间有弱排斥作用时,数值计算表明凝聚体的波函数变宽,形状偏离高斯分布.
对后者来说,在谐振频率最小的方向,变宽的程度最大.
考虑各向异性势阱:在两种极限条件下可以解析求解,记(1)当时,粒子间无相互作用;(2)在强排斥力极限下,相当于很大时,可忽略动能项.
具体可见杨展如书106-107页.
(二).
吸引势:在均匀空间中,系统不可能出现凝聚,其激发谱的有些模会使激发能变为虚数,导致系统不稳定;在简谐势里,只要粒子数不超过某个临界值,则可能零点能超过吸引势能,使凝聚体保持稳定!
考虑各向同性简谐势,可把凝聚体能量写为:对求变分即得解.
利用近似波函数我们发现由右图知时曲线不出现极小值,不能产生凝聚.
5.
6波色-爱因斯坦凝聚的序参量和判据序参量:描述连续相变(二级相变)特征(自发对称破缺)的参量.
在相变点附近,它是唯一重要的热力学量.
理想波色气体系统:我们考察单粒子密度矩阵:这里表示系综平均为正则系综统计算符,为单自由粒子场算符(可用平面波展开),分别为平面波的波矢量为k的湮灭和产生算符.
上式表示如在y处失去一个粒子,则可在x处找到一个粒子的概率密度.
考虑一个有平移不变性的系统,这时动量和哈密顿量对易,利用Tr(AB)=Tr(BA)可证:另一方面,直接计算可得:因此对这种系统我们有于是当r=|x-y|→∞时,上式中的积分为零.
因此在这个极限下与空间位置无关.
物理意义:在系统里存在着恒定密度的零动量粒子.
这正是波色-爱因斯坦凝聚存在的标志.
有相互作用的系统:单粒子动量不是一个好量子数,与哈密顿量不对易,上面的计算不适用.
Penrose和Onsager建议采用下列波色-爱因斯坦凝聚存在的一般判据:这里为序参量,若则说明存在动量空间的有序,即波色-爱因斯坦凝聚.
这时非对角矩阵也必定不为零.
非零序参量的出现表征系统中出现了"对称破缺".
5.
7陷阱中波色-爱因斯坦凝聚的激发态在5.
5节我们把一般的场算符分为了两部分:并考虑了C数部分的贡献,这里我们将考虑涨落算符的贡献.
涨落算符的对易关系与常算符的相同,因此有:哈密顿量为:其中上面最后一式里我们已经略去了涨落算符二次方以上的项.
由上可知粒子数密度为:故总粒子数为:而实际是一个C数.
由此我们可写出涨落算符的动力学方程(海森堡方程):把的表达式带入,可得:方程求解:把涨落算符用一套简正模集合来展开(波戈留波夫变换):同时令并设遵守等时波色对易关系.
带入到方程中得:解之即得和相关的本征值.
相应地,通过上面的展开式也可简单地表示成:即可用假想的波色粒子的湮灭和产生算符来表达,它是能量为的各种假想的无相互作用的波色粒子的能量之和,这种粒子称为准粒子.
5.
1节正常相热力学公式的推导首先我们有物态方程:.
对正常相,第二项是正比于1/V的小量可略去,故在此相有:我们从巨配分函数出发进行计算.
对理想波色气体有:利用上式,可知内能为(杨展如书P.
45,必须取z,V,T(或β)为独立变量!
):熵:取巨正则系综,由全微分可知我们必须取μ,V,T(或β)为独立变量!
所以由热力学公式和可得:定容比热:取正则系综,由定义有下面利用N,V不变作进一步计算.
由(两边对β求导):于是我们最终得到: