专题25 平面向量的模长问题
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平面向量中涉及模长的问题 常用解法是将模长进行平方利用向量数量积的知识进行解答另外向量是一个工具型的知识具备代数和几何特征 因此解答这类问题时可以利用数形结合的思想利用代数和几何特征 会加快解题速度.本专题拟通过典型例题介绍代数法和几何法两种思路以期对大家有所启发. 一代数法
利用代数方法处理向量的模长问题 主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式
2222
1、模长平方通过aaacos0a可得 aa 将模长问题转化为数量积问题从而能够与条件中的已知向量已知模长夹角的基向量找到联系.要注意计算完向量数量积后别忘记开方a x,y 则axy.某些题目如果能把几何图形放入坐标系中 则只要确定所
2、坐标运算若22求向量的坐标 即可求出 或表示 出模长
3、有关模长的不等问题通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系从而将问题转化为求函数最值问题
二几何法
1、 向量和差的几何意义已知向量a,b则有
1若a,b共起点则利用平行四边形法则求ab可得ab是以a,b为邻边的平行四边形的对角线
2若a,b首尾相接则利用三角形法则求出ab可得ab a,b围成一个三角形
2、 向量数乘的几何意义对于a 1共线平行特点a与a为共线向量其中0时 a与a同向0时 a与a反向
2模长关系aa
3、与向量模长问题相关的定理
1三角形中的相关定理设ABC三个内角A,B,C所对的边为a,b,ca bc
①正弦定理sinAsinBsinC
222
②余弦定理abc2b cc osA
2菱形对角线垂直平分且为内角的角平分线
1特别的对于底角60的菱形其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形. 3矩形若四边形ABCD的平行四边形则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件
4、利用几何法求模长的条件条件中的向量运算可构成特殊的几何图形且所求向量与几何图形中的某条线段相关则可考虑利用条件中的几何知识处理模长
【经典例题】
例1. 【浙江省部分市学校新昌一中、台州中学等 2019届高三上学期9+1联考】如图 点C在以AB为直径的圆上其中AB2过A向点C处的切线作垂线垂足为P 则ACPB的最大值是
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
【答案】 B
【解析】连结BC 则ACB=90
∵APPC
2
∴A CPBP C1
∴A CPB的最大值为1故选B
2点睛 1 向量的运算将向量与代数有机结合起来这就为向量和函数的结合提供了前提运用向量的有关知识可以解决某些函数问题 2以向量为载体求相关变量的取值范围 是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题 3 向量的两个作用①载体作用关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣” 转化为我们熟悉的数学问题②工具作用利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.例2.已知向量a,b的夹角为45且a1,2ab10 则b
A. 2 B. 2 C. 22 D. 32 【答案】D
可知AB2,B,AC10 【解析】思路本题利用几何图形可解运用向量加减运算作出如下图形
4
只需利用余弦定理求出BC即可.
222
解1 如图可得 bBC在ABC中有ACABBC2ABBCcosB
例3. 已知向量a,b 且a1,b2 则2ba的取值范围是
A. 1,3 B. 2,4 C. 3,5 D. 4,6
3 【答案】 3,5
222
解2 2ba4b4aba174abcosa,b178cosa,b2
因为cosa,b即
1,12ba9,252ba3,5例4. 【2019届浙江省杭州市高三第二次检测】记的最大值和最小值分別为和.若平面向量
满足则
A. B.
C. D.
【答案】 A【解析】 由已知可得
建立平面直角坐标系
可得
4
点睛本题主要考查的知识点是向量的数量积及模的关系.通过建立平面直角坐标系将其转化为点与圆的位置关系就可以求出距离的最值解答本题的关键是转化理解并掌握本题的解题方法.有一定的难度.例5. 【2019届北京市城六区高三一模】 已知点在圆上点在圆
上则下列说法错误的是
A. 的取值范围为
B.取值范围为
C. 的取值范围为
D.若则实数的取值范围为【答案】 B
【解析】 ∵M在圆C上 点N在圆C上
12∴∠MON≥90°
∴≤0
又OM≤+1 ON≤+1
∴当OM=+1 ON=+1时
2
取得最小值+1 cosπ= 3 2故A正确
5设M 1+cosα 1+sinα
N 1+cosβ
则= cosα+cosβ
2
∴=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos α β +2∴0≤≤2故B错误
故选B
例6. 【2017浙江 15】 已知向量a b满足a1,b2,则abab的最小值是________最大值是_______
【答案】 4 25
【解析】
6
【名师点睛】本题通过设入向量a,b的夹角结合模长公式解得
再利用三角有界性求出最大、最小值属中档题对学生的abab54c os54c os转化能力和最值处理能力有一定的要求
例7. 【2017课标1理13】已知向量a b的夹角为60° |a|=2 |b|=1则| a +2 b|= . 【答案】 23
【解析】 222试题分析 |a2b||a|4ab4|b|4421cos 60412
所以|a2b|1223.
秒杀解析利用如下图形 可以判断出a2b的模长是以2为边长的菱形对角线的长度则为23.届山西省孝义市高三下学期一模】已知向量与的夹角是且则向量与
的夹角是__________【答案】
【解析】分析先根据题意画出平行四边形再解三角形得解.
7详解如图所示
∴
∵
∴
∴
所以向量与的夹角是120° .
故填120° .
例9. 【2019届湖北省高三4月调研】 已知向量a与b的夹角为30° ab2 则ab的最大值为_________
【答案】 4234
【解析】分析由题意ab2利用基本不等式和向量的运算求的ab进而可求得ab23
的最大值.
22
220所以ababab2ab44ab44abcos30423ab
8
442328163 当且仅当a b时 等号成立
23
所以28163423.ab点睛平面向量的计算问题往往有两种形式一是利用数量积的定义式 二是利用数量积的坐标运算公式涉及几何图形的问题先建立适当的平面直角坐标系可起到化繁为简的妙用利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决
例10.已知平面向量a,b,c满足a1,b2 且ab1若向量ac,bc的夹角为60 则c的最大值是_________. 221
【答案】 3
BD221221d2R 即c
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