向量备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题25 平面向量的模长问题 - 百度文库

专题25 平面向量的模长问题

【热点聚焦与扩展】

平面向量中涉及模长的问题 常用解法是将模长进行平方利用向量数量积的知识进行解答另外向量是一个工具型的知识具备代数和几何特征 因此解答这类问题时可以利用数形结合的思想利用代数和几何特征 会加快解题速度.本专题拟通过典型例题介绍代数法和几何法两种思路以期对大家有所启发. 一代数法

利用代数方法处理向量的模长问题 主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式

2222

1、模长平方通过aaacos0a可得 aa 将模长问题转化为数量积问题从而能够与条件中的已知向量已知模长夹角的基向量找到联系.要注意计算完向量数量积后别忘记开方a x,y 则axy.某些题目如果能把几何图形放入坐标系中 则只要确定所

2、坐标运算若22求向量的坐标 即可求出 或表示 出模长

3、有关模长的不等问题通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系从而将问题转化为求函数最值问题

二几何法

1、 向量和差的几何意义已知向量a,b则有

1若a,b共起点则利用平行四边形法则求ab可得ab是以a,b为邻边的平行四边形的对角线

2若a,b首尾相接则利用三角形法则求出ab可得ab a,b围成一个三角形

2、 向量数乘的几何意义对于a 1共线平行特点a与a为共线向量其中0时 a与a同向0时 a与a反向

2模长关系aa

3、与向量模长问题相关的定理

1三角形中的相关定理设ABC三个内角A,B,C所对的边为a,b,ca bc

①正弦定理sinAsinBsinC

222

②余弦定理abc2b cc osA

2菱形对角线垂直平分且为内角的角平分线

1特别的对于底角60的菱形其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形. 3矩形若四边形ABCD的平行四边形则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件

4、利用几何法求模长的条件条件中的向量运算可构成特殊的几何图形且所求向量与几何图形中的某条线段相关则可考虑利用条件中的几何知识处理模长

【经典例题】

例1. 【浙江省部分市学校新昌一中、台州中学等 2019届高三上学期9+1联考】如图 点C在以AB为直径的圆上其中AB2过A向点C处的切线作垂线垂足为P 则ACPB的最大值是

A. 2 B. 1 C. 0 D. 1

【答案】 B

【解析】连结BC 则ACB=90

∵APPC

2

∴A CPBP C1

∴A CPB的最大值为1故选B

2点睛 1 向量的运算将向量与代数有机结合起来这就为向量和函数的结合提供了前提运用向量的有关知识可以解决某些函数问题 2以向量为载体求相关变量的取值范围 是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题 3 向量的两个作用①载体作用关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣” 转化为我们熟悉的数学问题②工具作用利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.例2.已知向量a,b的夹角为45且a1,2ab10 则b 

A. 2 B. 2 C. 22 D. 32 【答案】D

可知AB2,B,AC10 【解析】思路本题利用几何图形可解运用向量加减运算作出如下图形 

4

只需利用余弦定理求出BC即可.

222

解1 如图可得 bBC在ABC中有ACABBC2ABBCcosB

例3. 已知向量a,b 且a1,b2 则2ba的取值范围是

A. 1,3 B. 2,4 C. 3,5 D. 4,6

3 【答案】 3,5

222

解2  2ba4b4aba174abcosa,b178cosa,b2

因为cosa,b即

1,12ba9,252ba3,5例4. 【2019届浙江省杭州市高三第二次检测】记的最大值和最小值分別为和.若平面向量

满足则

A. B.

C. D.

【答案】 A【解析】 由已知可得

建立平面直角坐标系  

可得

4

点睛本题主要考查的知识点是向量的数量积及模的关系.通过建立平面直角坐标系将其转化为点与圆的位置关系就可以求出距离的最值解答本题的关键是转化理解并掌握本题的解题方法.有一定的难度.例5. 【2019届北京市城六区高三一模】 已知点在圆上点在圆

上则下列说法错误的是

A. 的取值范围为

B.取值范围为

C. 的取值范围为

D.若则实数的取值范围为【答案】 B

【解析】 ∵M在圆C上 点N在圆C上

12∴∠MON≥90° 

∴≤0

又OM≤+1 ON≤+1

∴当OM=+1 ON=+1时

2

取得最小值+1 cosπ= 3 2故A正确

5设M 1+cosα 1+sinα 

N   1+cosβ

则= cosα+cosβ

2

∴=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos α β +2∴0≤≤2故B错误

故选B

例6. 【2017浙江 15】 已知向量a b满足a1,b2,则abab的最小值是________最大值是_______

【答案】 4 25

【解析】

6

【名师点睛】本题通过设入向量a,b的夹角结合模长公式解得

 再利用三角有界性求出最大、最小值属中档题对学生的abab54c os54c os转化能力和最值处理能力有一定的要求

例7. 【2017课标1理13】已知向量a b的夹角为60°  |a|=2 |b|=1则| a +2 b|= . 【答案】 23

【解析】 222试题分析 |a2b||a|4ab4|b|4421cos 60412

所以|a2b|1223.

秒杀解析利用如下图形 可以判断出a2b的模长是以2为边长的菱形对角线的长度则为23.届山西省孝义市高三下学期一模】已知向量与的夹角是且则向量与

的夹角是__________【答案】

【解析】分析先根据题意画出平行四边形再解三角形得解.

7详解如图所示

∴

∵

∴

∴

所以向量与的夹角是120° .

故填120° .

例9. 【2019届湖北省高三4月调研】 已知向量a与b的夹角为30°  ab2 则ab的最大值为_________

【答案】 4234

【解析】分析由题意ab2利用基本不等式和向量的运算求的ab进而可求得ab23

的最大值.

22

220所以ababab2ab44ab44abcos30423ab

8

442328163 当且仅当a b时 等号成立

23

所以28163423.ab点睛平面向量的计算问题往往有两种形式一是利用数量积的定义式 二是利用数量积的坐标运算公式涉及几何图形的问题先建立适当的平面直角坐标系可起到化繁为简的妙用利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决

例10.已知平面向量a,b,c满足a1,b2 且ab1若向量ac,bc的夹角为60 则c的最大值是_________. 221

【答案】 3

BD221221d2R 即c