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2008年3月农业机械学报第39卷第3期三维柔性微动平台拓扑优化设计杨姝郭东明米大海【摘要】将有限元方法和结构拓扑优化方法应用于三维微动平台设计.
以平台中心位置的输出位移为优化目标,以应力准则为约束条件,建立了三维微动平台的拓扑优化数学模型.
该优化问题采用敏度分析方法和准则法求解,并采用过滤技术解决优化过程中出现的棋盘格式和网络依赖性问题.
通过设计一个三维微动平台以及ANSYS的模拟演示,证明柔性结构拓扑优化方法适用于三维微动平台的设计.
关键词:微动平台三维柔性拓扑优化中图分类号:TH165文献标识码:ATopologyOptimizationof3DFlexibleMicropositioningDesignYangShuGuoDongmingMiDahai(DalianUniversityofTechnology)AbstractStructuraltopologyoptimizationwiththeuseoffiniteelementanalysishasbeenstudiedandappliedinthedesignofthreedimensionmicropositioning.
Amathematicalmodeloftopologyoptimizationforthreedimensionmicropositioning,whichhasdisplacementobjectiveconsideringstressconstraintsisproposed.
SensitivitymethodandOCmethodareappliedtosolvethistopologyoptimizationproblem.
Checkboardpatternsandmeshdependencygeneratedinoptimizationprocess,andfilteringapproachisadaptedtosolvetheseproblems.
Intheend,athreedimensionmicro2positioningtopologyoptimizationdesignispresentedtoshowthefeasibilityoftheproposedapproach,andthesimulationbyANSYSprovesthegoodperformanceofthemicropositioning.
KeywordsMicropositioning,Threedimension,Flexible,Topologyoptimization收稿日期:20070108国家自然科学基金资助项目(项目编号:50275018)和国家"973"重点基础研究发展计划资助项目(项目编号:2005CB724100)杨姝大连理工大学机械工程学院博士生,116024大连市郭东明大连理工大学机械工程学院教授博士生导师米大海大连理工大学机械工程学院博士生引言微动工作台(或称微位移机构)是微位移系统的核心.
传统的机械机构设计方法不适于微动平台的设计,而柔性机构具有构件少、无运动间隙、可实现高精度定位运动等特点,因此柔性机构在微位移结构设计领域越来越受到关注.
目前对柔性微动平台的拓扑优化研究主要集中于二维微动平台设计,鉴于目前对三维微动平台的应用需求不断提高,系统地研究三维柔性微动平台的设计方法具有重要的理论意义和应用价值.
本文在相关研究成果基础上[1~4],探讨三维柔性微动平台拓扑优化设计方法,并应用这些关键技术编制相应的求解算法和程序,设计三维柔性微动平台,并采用ANSYS给出相关的结果验证.
1有限元模型在有限单元法中,Πp表示系统的总位能,是微动平台变形位能和外力位能之和,其离散形式为Πp=12aTKa-aTP(1)式中K———结构整体刚度矩阵P———结构结点载荷列阵a———结构的结点位移http://www.
paper.
edu.
cn中国科技论文在线式(1)中Πp离散形式总位能的未知变量是结构的结点位移a,根据变分原理,泛函Πp取驻值的条件是它的一次变分为零,δΠp=0,即Πpa=0(2)由此得到有限元的求解方程Ka=P(3)其中K=∑eGTKeGKe=∫VeBTDBdV式中G———单元结点转换矩阵载荷列阵可以写作P=Pf+PS+Pσ0+Pε0+PF=∑eGT(Pef+PeS+Peσ0+Peε0)+PF其中Pef=∫VeNTfdVPeS=∫SσNTTdSPeσ0=-∫VeBTσ0dVPeε0=∫VeBTDε0dV式中PF———结点集中力载荷B———应变矩阵D———弹性矩阵Pef———体力PeS———面力Peσ0———初应力产生的载荷Peε0———初应变产生的载荷N———形函数2拓扑优化数学模型及求解21数学模型的建立三维柔性微动平台拓扑优化设计问题,就是在给定区域内设计一个最优结构,在满足约束条件的前提下,使输出位移达到目标值.
而拓扑优化就是在确定的设计域内建立最优的材料分布,因此其优化模型为Eijkl(x)=lΩm(x)E(0)ijkllΩm(x)=1(x∈Ωm)0(x∈Ω\Ωm)∫ΩlΩmdΩ=Vol(Ωm)≤V(4)式中E(0)ijkl———所选材料的弹性张量Ω———设计区域V———设计域体积Ωm———设计区域中有材料的区域要得到精确的拓扑形式,通常采用材料密度方法(SIMP方法),将离散优化问题(式(4))转化成连续优化问题.
密度法是假定材料的分布情况存在一定的百分比,即在式(4)中引入代表材料在该单元上百分含量的连续函数ρ(x).
当ρ(x)→1时,该单元的材料状态为"有",当ρ(x)→0时,该单元的材料状态为"无".
假定材料的宏观物理属性与材料的百分含量之间存在非线性关系,则式(4)就转化成Eijkl(x)=ρ(x)pE(0)ijkl0<ρmin<ρ(x)≤1∫ΩlΩmdΩ=Vol(Ωm)≤V(5)式中ρmin是设计变量下限,非零是为了在优化过程中避免出现奇异值.
将离散优化问题转化成连续优化问题后,虽然解决了超大规模离散优化无法解决的问题,但是在优化过程中会产生大量的"灰度"单元,即材料的百分含量介于0和1中间.
针对这个问题,对于三维结构拓扑优化可以在优化过程中限定惩罚因子p的取值范围[4],即p≥max151-ν07-5ν0,3(1-ν0)2(1-2ν0)其中ν0是基体材料的泊松比,这样根据KuhnTucker条件,在最终优化结果中ρ→0或ρ→1.
三维柔性微动平台拓扑优化数学模型为Min(uout,i-uout,i)2(i=x,y,z)s.
t.
∑Me=1Veρe≤VKa=Pσme≤(ρe)pσ00<ρmin≤ρe≤1(e=1,…,M)(6)式中uout,i———平台中心处i方向输出位移uout,i———平台中心处i方向目标位移ρe———设计变量M———单元数Ve———单元体积σ0———材料的许用应力σme———单元的Mises应力22优化模型求解根据优化问题的规模,采用准则法对其进行求解,由KT条件,可以得到优化变量的迭代格式为ρnewe=max(ρmin,ρe-m)(ρeBηe≤max(ρmin,ρe-m))ρeBηe(max(ρmin,ρe-m)<ρeBηe1Initialdesigndomainandloads3算例计算及结果分析运用上述设计方法,进行了三维柔性微动平台的拓扑优化设计.
图1所示为微动平台网格剖分后的初始设计域,设计域的尺寸为20mm*15mm*20mm,共用25*15*25个单元进行剖分.
基体材料的弹性模量为206*105MPa,泊松比为03,许用应力为600MPa.
优化过程中,微动平台以O1为中心的区域为非设计域,分别加集中力为05N,优化目标为:X向输出位移为75μm,Y向输出位移为300μm,Z向输出位移为100μm.
优化后的结构及其简化结果如图2所示.
优化后,微动平台在X、Y、Z方向的实际输出位移分别为7318μm、29813μm、10016μm,与优化目标的差值在许用范围内.
图3所示为采用ANSYS软件计算得到的三维柔性微动平台在X、Y、Z方向的位移变形,图4~6所示为采用ANSYS计算得到的三维柔性微动平台在X、Y、Z方向载荷作用下的应力分布图.
由应力图可知,三维柔性微动平台的最大应力出现在边界约束和载荷施加点的邻域内,都未超过材料的许用应力.
图2拓扑结构及其简化结构示意图Fig.
2Topologyandsimplifiedstructureofmicropositioning图3X、Y、Z向载荷时微动平台的变形图Fig.
3DisplacementofmicropositioningunderX,YandZ2load图4X方向载荷作用下的微动平台Mises应力图Fig.
4MisesstressofmicropositioningunderX2load图5Y方向载荷作用下的微动平台Mises应力图Fig.
5MisesstressofmicropositioningunderY2load图6Z方向载荷作用下的微动平台Mises应力图Fig.
6MisesstressofmicropositioningunderZ2load(下转第143页)331第3期杨姝等:三维柔性微动平台拓扑优化设计示的测量机组件XY纳米工作台实验装置中.
为了比较所设计的实验装置与传统误差分离方法的分离效果,将该装置与XY纳米工作台放入具有隔震功能、控温精度为002℃的恒温箱内,分离工作台X向导轨系统直线度的俯仰、偏摆误差和光栅的示值误差,并利用分离的误差对工作台X向定位误差进行修正,得到的工作台原始定位误差曲线和修正结果如图7中曲线1和3所示.
同样利用HP5529A型双频激光干涉仪和精度为01″的99型光电自准直仪分离工作台光栅的示值误差和X向导轨系统直线度的俯仰、偏摆误差.
由于这两种仪器体积较大,无法放入恒温箱,只能放在控温精度为1℃恒温室的光学平台上进行测试,激光干涉仪和自准直仪分开测量,这样在测量每种误差时存在着时间差,最后的误差修正结果如图7曲线2所示.
比较曲线2和3可以看出,误差分离实验装置分离结果修正的精度,是利用传统误差分离实验装置分离结果修正精度的5倍多,这主要是由于减小了环境温度、湿度、气流、仪器发热、外界震动和仪器示值漂移的影响.
图7工作台X向定位误差修正结果Fig.
7PositioningerrorcorrectingresultsinXdirectionoftheworkingtable5结束语从上述的理论分析与误差分离实验中可以看出,利用微型三光束平面镜干涉仪设计的误差分离实验装置可以一次实现多误差的分离,避免激光干涉仪发热、震动等外界环境因素对测量机误差的影响,同时避免了使用单一功能的仪器分次非实时测量带来的附加误差.
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(上接第133页)4结束语对微型柔性机构的拓扑优化理论进行了研究和算法实现,将其应用于三维微动平台设计中.
数值算例表明:SIMP材料插值模式、有限元分析方法、伴随矩阵敏度求解技术以及网格过滤技术应用于三维微型柔性平台设计中是切实可行的.
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